大數(shù)定律和中心極限定理基本概念

PAGEPAGE1大數(shù)定律和中心極限定理基本概念第一篇：大數(shù)定律和中心極限定理基本概念讀書人大數(shù)定律和中心極限定理基本概念1、概念網(wǎng)絡(luò)圖切比雪夫大數(shù)定律伯努利大數(shù)定律辛欽大數(shù)定律大數(shù)定律中心極限定理列維－林德伯格定理棣莫弗－拉普拉斯定理二項(xiàng)定理泊松定理2、重要公式和結(jié)論例5．1：設(shè)總體X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，X1，X2，?，Xn為來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，則當(dāng)n時,YnnnXi依概率收斂于。i1例5．2：設(shè){Xk}為相互獨(dú)立且同分布的隨機(jī)變量序列，并且Xk的概率分布為P(Xk2i2lni)2i(i1,2,).試證{Xi}服從大數(shù)定律。例5．3：一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機(jī)的，假設(shè)每箱平均重50千克，標(biāo)準(zhǔn)差為5千克。若用最大載重量為5噸的汽車承運(yùn)，試?yán)弥行臉O限定理說明每輛車最多可以裝多少箱，才能保障不超載的概率大于0.977。例5．4：兩只一模一樣的鐵罐里都裝有大量的紅球和黑球，其中一罐（取名“甲罐”）內(nèi)的紅球數(shù)與黑球數(shù)之比為2：1，另一罐（取名“乙罐”）內(nèi)的黑球數(shù)與紅球數(shù)之比為2：1。今任取一罐并從中取出50只球，查得其中有30只紅球和20XX球，則該罐為“甲罐”的概率是該罐為“乙罐”的概率的(A)154倍(B)254倍(C)798倍(D)1024倍第二篇：第五章大數(shù)定律和中心極限定理第五章大數(shù)定律和中心極限定理一、填空題1、設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX，方差DX2，則由切比雪夫不等式有PX3____________。2、設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX100，方差DX10，則由切比雪夫不等式，可得P80X120XX_________3、設(shè)X1,X2,,Xn是n個相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，EXi，DXi8，i1,2,,n，對于XXi，寫出所滿足的切比雪夫不等式_______________；i1nn__。并估計(jì)PX4__________4、設(shè)隨機(jī)變量X和Y的數(shù)學(xué)期望分別為2和2，方差分別為1和4，而相關(guān)系數(shù)為0.5，則根據(jù)切比雪夫不等式PXY6____________。5、設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,,Xn,相互獨(dú)立同分布，且EXn0，則nlimPXin______。ni1二、單項(xiàng)選擇題1、設(shè)X1,X2,,Xn,為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，其分布函數(shù)為Fxaxarctan,b0，則辛欽大數(shù)定律對此序列（）b1A、適用B、當(dāng)常數(shù)a,b取適當(dāng)?shù)臄?shù)值時適用C、不適用D、無法判別2、設(shè)X1,X2,,Xn,為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且Xi(i1,2,)服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則（）nnXinXinA、limPi1xxB、limPi1xxnnnnnnXiXiC、limPi1xxD、limPi1xxnnnn1x其中x12et22dt。3、設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,,Xn相互獨(dú)立，SnX1X2Xn，則根據(jù)中心極限定理，當(dāng)n充分大時，Sn近似服從正態(tài)分布，只要X1,X2,,Xn（）A、有相同的數(shù)學(xué)期望B、有相同的方差C、服從同一泊松分布D、服從同一連續(xù)型分布三、計(jì)算題1、在每次實(shí)驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為0.5，利用切比雪夫不等式估計(jì)，在1000次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)在400—600之間的概率。2、設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布Bn,p，試分別用切比雪夫不等式和中心極限定Xnp理，估計(jì)滿足PnDX99%式中的n。33、一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機(jī)的。假設(shè)每箱平均重50千克，標(biāo)準(zhǔn)差為5千克。若用最大載重量為5000千克的汽車承運(yùn)，試用中心極限定理說明每輛車最多可以裝多少箱，才能保障不超載的概率大于0.977？四、證明題設(shè)X1,X2,,Xn獨(dú)立同分布，已知EXkak(k1,2,3,4)。證明：當(dāng)n充分大1n2時，隨機(jī)變量ZnXi近似服從正態(tài)分布，并指出該正態(tài)分布的分布參數(shù)。ni1參考答案：一、填空題1398111、2、3、PX2；14、5、19402n12n二、單項(xiàng)選擇題1、C2、A3、C三、計(jì)算題391、2、n30；n83、箱數(shù)m98.02，最多裝98箱四、證明題略3第三篇：第五章大數(shù)定律和中心極限定理第五章大數(shù)定律和中心極限定理考試內(nèi)容切貝雪夫（Chebyshev）不等式切比雪夫大數(shù)定律伯努利大數(shù)定律辛欽（Khinchine）大數(shù)定律棣莫弗－拉普拉斯（DeMoivre－Laplace）定理列維－林德伯格（Levy－Lindbreg）定理考試要求1.了解切比雪夫不等式．2.了解切比雪夫大數(shù)定律、伯努利大數(shù)定律和辛欽大數(shù)定律（獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列的大數(shù)定律）。3.了解棣莫弗一拉普拉斯定理（二項(xiàng)分布以正態(tài)分布為極限分布）和列維一林德伯格定理（獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列的中心極限定理）．重點(diǎn)內(nèi)容切比貝夫不等式及其應(yīng)用，列維一林德伯格中心極限定理及其應(yīng)用，其余大數(shù)定律與中心極限定理。特別注意切貝雪夫大數(shù)定律，伯努利大數(shù)定律和辛欽大數(shù)定律這三個大數(shù)定律成立的條件的異同；注意區(qū)分兩個中心極限定理。一、主要內(nèi)容講解1、切貝雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量X的方差存在，則對0，都有P{XEX}DX2或P{XEX}1DX22、依概率收斂設(shè)有隨機(jī)變量序列X1,X2,,Xn?和隨機(jī)變量X〔可以是常數(shù)〕，如果對0，滿足limP(XnX)1nX(n).則稱Xn依概率收斂于X.記作XnP注意：依概率收斂與函數(shù)極限的收斂是不同的；概率是頻率的穩(wěn)定值表達(dá)的就是一種依概率收斂關(guān)系.3、大數(shù)定律X〔隨機(jī)變量的均值→期望的均值，→依概率收斂〕切貝雪夫大數(shù)定律：設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,,Xn?相互獨(dú)立，均具有有限方差，且有公共上界，即D(Xi)C(i=1,2,?),則對于任意的正數(shù)，有1limPnnni1Xi1nni1E(Xi)1.特殊情形：若X1,X2,,Xn?具有相同的數(shù)學(xué)期望E(Xi)，則上式成為n1limPnni1Xi1.伯努利大數(shù)定律：設(shè)μ是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對于任意的正數(shù)ε，有l(wèi)imPp1.nn伯努利大數(shù)定律說明，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時，事件A發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很小，即limPp0.nn這就以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式描述了頻率的穩(wěn)定性。〔切比雪夫大數(shù)定律的特殊情形〕注：如果用X表示n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p(0limP{nXnp}1辛欽大數(shù)定律：設(shè)X1,X2,,Xn，?是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且E(Xi)，則對于任意的正數(shù)ε有n1limPnni1Xi1.EX|2}2例5.1：設(shè)隨機(jī)變量X的方差為2，則根據(jù)切比雪夫不等式有估計(jì)P{|X例5.2：設(shè)隨機(jī)變量X和Y的數(shù)學(xué)期望分別為-2和2，方差分別為1和4，而相關(guān)系數(shù)為-0.5，則根據(jù)切比雪夫不等式有估計(jì)P{|XY|6}112例5.3：設(shè)總體X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，X1,X2,,Xn為來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，則當(dāng)n時,Ynn2innXi依概率收斂于。i1分析：n時,YnXni12E(X)，n2ii1nE(Xi)D(Xi)(EXi)（)例5.4：設(shè)X1,X2,,Xn，?相互獨(dú)立同分布，且EXi0，則nlimPXinni1nn1limPXinlimP分析：ni1nn[1,EXi0]i11Xi1limPnnni1Xi011n注：事實(shí)上，對0，都有l(wèi)imPXin1.ni1例5.5：設(shè)X1,X2,,Xn，?是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，Xn服從參數(shù)為n的指數(shù)分布（n=1,2,?），則下列中不服從切比雪夫大數(shù)定律的隨機(jī)變量序列是：（A）X1,X2,,Xn，?；（B）X1,22X2,,n2Xn，?〔B〕（C）X1,X2/2,,Xn/n，?；（D）X1,2X2,,nXn，?分析：E(n2Xn)n21nn,D(nXn)n1nn(n)注：也不服從辛欽大數(shù)定律〔不同分布〕。4、中心極限定理XN(,n)[→極限分布]列維－林德伯格定理：設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,,Xn?相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差：E(Xk),D(Xk)變量0(k1,2,)，則隨機(jī)nYnk1Xknn的分布函數(shù)Fn(x)對任意的實(shí)數(shù)x，有nXnkk1limFn(x)limPxnnnt12xedt.此定理也稱為獨(dú)立同分布的中心極限定理。n注：即Xkk1N(n,n，再標(biāo)準(zhǔn)化得到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。)（近似服從正態(tài)分布）棣莫弗－拉普拉斯定理：設(shè)隨機(jī)變量Xn為具有參數(shù)n,p(0p1)的二項(xiàng)分布，則對于任意實(shí)數(shù)x,有l(wèi)imFn(x)limPnnxXnp1xetdt注：即二項(xiàng)分布的極限分布是正態(tài)分布N(np,npq)，再標(biāo)準(zhǔn)化得到N(0,1).【評注】棣莫弗－拉普拉斯定理是列維－林德伯格定理的特殊情形〔二項(xiàng)分布是獨(dú)立的服從0-1分布的隨機(jī)變量之和〕。例5.6：一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機(jī)的，假設(shè)每箱平均重50千克，標(biāo)準(zhǔn)差為5千克。若用最大載重量為5噸的汽車承運(yùn)，試?yán)弥行臉O限定理說明每輛車最多可以裝多少箱，才能保障不超載的概率大于0.977。解：令Xi――第i箱的重量，XX1Xn.P(X5000)0.977,XN(50,25n)P(X5000n)0.977.5000由500.9775000502n98.例5.7：設(shè)X1,X2,,Xn，?是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，在下面條件下，X12，X22，?，Xn2，?滿足列維－林德伯格中心極限定理的是：〔A〕（A）P{Xim}pmq1m,m0,1；x（B）P{Xix}(1tcm)；（C）P{Xim}2,m1,2,，常數(shù)c2m1m1；（D）Xi服從參數(shù)為i的指數(shù)分布。分析：（A）Xi01分布，Xi01分布.期望、方差都存在。（B）柯西分布，期望不存在。（C）EXi不存在〔m（D）不同分布。5、二項(xiàng)定理：若當(dāng)N時,CMCNMCMNknkCm不絕對收斂〕E(Xi2)不存在。MNp(n,k不變)，則Cnp(1p)kknk(N).即超幾何分布的極限分布為二項(xiàng)分布。例5.8：兩只一模一樣的鐵罐里都裝有大量的紅球和黑球，其中一罐（取名“甲罐”）內(nèi)的紅球數(shù)與黑球數(shù)之比為2：1，另一罐（取名“乙罐”）內(nèi)的黑球數(shù)與紅球數(shù)之比為2：1。今任取一罐并從中取出50只球，查得其中有30只紅球和20XX球，則該罐為“甲罐”的概率是該罐為“乙罐”的概率的(A)154倍(B)254倍(C)798倍(D)1024倍解：記“任取一罐并從中取出50只球，查得其中有30只紅球和20XX球”為A,30230120XX0()()P(甲）P(AP(AP(甲A)P(甲，A)1024.21P(乙A)P(乙，A)P(乙)P(A(A3020XXC50()()336、泊松定理：若當(dāng)n時,np0，則Cp(1p)knknkkk!e(n).其中k=0，1，2，?，n，?。二項(xiàng)分布的極限分布為泊松分布。注：由中心極限定理知：二項(xiàng)分布的極限分布亦為正態(tài)分布.歷年試題分析：（02，3分）設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,,Xn相互獨(dú)立，SnX1X2Xn，則根據(jù)列維-林德伯格（Levy-Lindberg）中心極限定理，當(dāng)n充分大時，Sn近似服從正態(tài)分布，只要X1,X2,,Xn（A）有相同的數(shù)學(xué)期望。（C）服從同一指數(shù)分布。[C]注：(D)不能確定有無期望、方差.（03，4分）設(shè)總體X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，X1,X2,Xn為來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，則當(dāng)n時，Yni（B）有相同的方差。（D）服從同一離散型分布。X依概率收斂于ni1。（05，4分）設(shè)X1,X2,,Xn,為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量列，且均服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，記x為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，則（C）nnXnXniii1i1xx（B）limPxx（A）limPnnnnnnXnXiii1i1xxxx（D）limP（C）limPnnnn分析：XiExp(),EXi,DXi,XiN（n,n)(n).再標(biāo)準(zhǔn)化即得.6第四篇：第五章大數(shù)定律和中心極限定理第五章大數(shù)定律和中心極限定理我們知道，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的數(shù)學(xué)分之。但是，只有對大量隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行觀測時，隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性才會呈現(xiàn)出來。為了考察“大量”的隨機(jī)現(xiàn)象，就導(dǎo)致了極限定理的研究。概率論中極限定理的內(nèi)容是很廣泛的，其中最主要的是大數(shù)定律和中心極限定理。5.1大數(shù)定理在引入大數(shù)定理之前,我們先證明一個重要的定理.5.1.1切貝雪夫不等式對于任何具有有限方差的隨機(jī)變量X都有其中是任一正數(shù)。證設(shè)是的分布函數(shù),則顯然有切貝雪夫不等式也可以表示成式只利用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及方差。由于切貝雪夫不等就可對X的概率分布進(jìn)行估計(jì)，因此它在理論研究及實(shí)際應(yīng)用中有價值。從切貝雪夫不等式還可以看出，當(dāng)方差越小時，事件發(fā)生的概率也越小，從而可知，方差確實(shí)是一個描述隨機(jī)變量與其期望值離散程度的一個量。例1設(shè)電站供電網(wǎng)有10000盞電燈，夜晚每盞燈開燈的概率均為0.7，假定燈的開、關(guān)是相互立的，使用切貝雪夫不等式估計(jì)夜晚同時開著的燈數(shù)在6800到720XX之間的概率。解令這時表示在夜晚同時開著的燈數(shù)目，則服從n=10000，p=0.7的二項(xiàng)分布，由切貝雪夫不等式可得事實(shí)上，這個概率的近似值表明，在10000盞燈中，開著的燈數(shù)在6800到720XX概率大于0.95。而實(shí)際此概率的精確值可由貝努里公式求得為0.99999。由此可知，切貝雪夫不等式雖可用來估計(jì)概率，但精度不夠高，它的重要意義是在理論上的應(yīng)用，在大數(shù)定律的證明中，用切貝雪夫不等式可使證明非常簡潔。5.1.2貝努里大定理設(shè)是重貝奴里試驗(yàn)中事件，都有出現(xiàn)的次數(shù)，而是事件在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率，則對任意在證明這個定理之前，先看看它的具體含義。是重貝努里試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù),則便是這次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率，上式表明，當(dāng)次數(shù)很大時，事件出現(xiàn)的頻率與事件A出現(xiàn)的概率p的偏差超過任意正數(shù)的可能性很小，或者基本上說，是不可能的。也就是說，要從理論上證明：對于任意的，有它等價于。貝努里大數(shù)定律是研究這種極限定理的第一個定律，也是一個從理論上證明隨機(jī)現(xiàn)象的頻率具有穩(wěn)定性的定律。下面我們給出由貝奴里在1713年發(fā)表的這個定律的證明。證設(shè)是第次試驗(yàn)中事件其中發(fā)生的次數(shù)，由服從參數(shù)為的(0-1)分布,相互獨(dú)立,且，從而知由切貝雪夫不等式有因此亦即貝努里大數(shù)定律證明了在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時，隨機(jī)事件的頻率在它的概率的附近擺動，若事件或者說事件的概率很小，則正如貝努里定律所指出的，事件很少發(fā)生。的頻率也很小，“概率很小的隨機(jī)事件在個別試驗(yàn)中是幾乎不能發(fā)生的”這一原理稱為小概率事件的實(shí)際不可能性原理。它在國家經(jīng)濟(jì)建設(shè)中有著廣泛的應(yīng)用。至于“小概率”小到什么程度才能看作實(shí)際上不可能發(fā)生，則要視具體情況的要求和性質(zhì)而定。例如，自動車床加工零件出現(xiàn)次品的概率為0.01，若零件的重要性不大而價格又低，則完全可允許有1%的次品率，即可忽視100個零件中出現(xiàn)一個次品的可能性。但如果制造一批降落傘出現(xiàn)的次品的概率為0.01，顯然在這種情況下，這1%的忽視也是絕對不允許的，因?yàn)樗赡芪＜斑@百分之一跳傘者的生命。貝努里大數(shù)定律還提供了通過試驗(yàn)來確定事件概率的方法。既然頻率與概率有較大偏差的可能性很小，那么我們就可以通過做試驗(yàn)確定某事件發(fā)生的頻率并把它作為相應(yīng)概率的估計(jì)，這種方法稱為參數(shù)估計(jì)，它是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中主要的研究課題之一。參數(shù)估計(jì)的一個重要理論基礎(chǔ)就是大數(shù)定律。設(shè)數(shù)，有是一個互相獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，是一個常數(shù)，若對于任意正，則稱序列依概率收斂于a。因此，由貝奴里大數(shù)定律可得：設(shè)是次獨(dú)立試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的次數(shù)，而是事件在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率,則頻率依概率收斂于概率。人們在事件中還發(fā)現(xiàn)，除了頻率具有穩(wěn)定性之外，大量觀察值的平均值也具有穩(wěn)定性。這就是切貝雪夫大數(shù)定律。5.1.3切貝雪夫大數(shù)定律設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,每一隨機(jī)變量都有數(shù)學(xué)期望和有限的方差公共上界c,即，并且它們有，則對任意的，皆有證因相互獨(dú)立，所以又因，由切貝雪夫不等式可得所以于是,在1866年由俄國數(shù)學(xué)家切貝雪夫證明的大數(shù)定律是關(guān)于大數(shù)定律大的一個相當(dāng)普遍的結(jié)論。貝努里大數(shù)定律就是切貝雪夫大數(shù)定律的一個特例。切貝雪夫大數(shù)定律表明相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的算術(shù)平均值與數(shù)學(xué)期望的算術(shù)平均值的差在充分大時是一個無窮小量，這也意味著在從分大時，經(jīng)算術(shù)平均后得到的隨機(jī)變量的附近。有切貝雪夫大數(shù)定律還得益的下面的推論：設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量服從同一分布，并且有數(shù)學(xué)期望及方差，的值將比較緊密地聚集在它的數(shù)學(xué)期望則的算術(shù)平均值在時，依概率收斂與數(shù)學(xué)期望，即對任意正數(shù)，有.上述推論，是我們關(guān)于算術(shù)平均值的法則有了理論上的依據(jù)。如我們要測量某一物理量，在不便條件下重復(fù)進(jìn)行次，得個測量值，顯然它們可以看成是個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，具有相同的分布，并且有數(shù)學(xué)期望。由大數(shù)定理可知，當(dāng)充分大時，次測量值得平均值可作為得近似值：則由此所因發(fā)的誤差是很小的。第五篇：第四章大數(shù)定律和中心極限定理第四章大數(shù)定律和中心極限定理教學(xué)內(nèi)容：本章主要講述契比雪夫不等式，契比雪夫大數(shù)定律，貝努里大數(shù)定律和中心極限定理等內(nèi)容．教學(xué)重點(diǎn)：講清大數(shù)定律的條件、結(jié)論和中心極限定理的條件、結(jié)論。教學(xué)難點(diǎn)：隨機(jī)變量序列的兩種收斂性及大數(shù)定律和中心極限定理的應(yīng)用。在本課程一開始引入概率這個概念時，我們曾經(jīng)指出，頻率是概率的反映，隨著觀察次數(shù)n的增大，頻率將會逐漸穩(wěn)定到概率。還曾經(jīng)指出，當(dāng)n很大時，頻率會概率是會非?！翱拷钡模承┳x者可能早就有了疑問：這里說的“逐漸穩(wěn)定”和非?！翱拷本烤故鞘裁匆馑迹颗c數(shù)學(xué)分析中的極限概念有關(guān)系嗎？這個問題提得非常好，前面提到的“逐漸穩(wěn)定”和非?！翱拷倍贾皇且环N直觀的說法，它的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)家意義確實(shí)需要我們進(jìn)一步闡明，本章就是要討論這一類問題。第一節(jié)切比雪夫不等式一、契比雪夫不等式（Chebyshevinequality）設(shè)隨機(jī)變量X的均值E(X)及方差D(X)存在，則對于任意正數(shù)，有不等式2222P{|XE(X)|}或P{|XE(X)|}1成立。我們稱該不等式為契比雪夫（Chebyshev）不等式。證明：（我們僅對連續(xù)性的隨機(jī)變量進(jìn)行證明）設(shè)f(x)為X的密度函數(shù)，記E(X)，D(X)2P{|XE(X)|}則1f(x)dx1x2(x)2x2f(x)dx2(x)f(x)dx22D(X)2從定理中看出，如果D(X)越小，那么隨機(jī)變量X取值于開區(qū)間(E(X),E(X))中的概率就越大，這就說明方差是一個反映隨機(jī)變量的概率分布對其分布中心(distributioncenter)E(X)的集中程度的數(shù)量指標(biāo)。利用契比雪夫不等式，我們可以在隨機(jī)變量X的分布未知的情況下估算事件XE(X)的概率?！纠?】設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)10，方差D(X)0.0，4估計(jì)的大小。P9.2X11解：P9.2X11P0.8X101PX100.810.04(0.8)20.9375因而P9.2X11不會小于0.9375.第二節(jié)大數(shù)定理概率論中用來闡明大量隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果的穩(wěn)定性的一系列定理稱為大數(shù)定理。定義4.1依概率收斂設(shè){Xn}為隨機(jī)變量序列，a為隨機(jī)變量，若任給>0,使得nlimP{|Xna|}1則稱{Xn}依概率收斂于a.可記為XnaP意思是:當(dāng)n時，Xn落在(a,a)內(nèi)的概率越來越大。定理4.1（切比雪夫大數(shù)定律）設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X1,X2,,Xn,分別具有均值E(X1),E(X2),,E(Xn),及方差D(X1),D(X2),,D(Xn),，并且方差有共同的上界，即D(Xi)≤K，i=1,2,?，則對于任意正整數(shù)，有1limPnnnk1Xkn1nnk1PE(Xk)1EXni1即Xni11i1ni證明：P{|Xni1ni1niE(Xni11ni)|}P{|Xni1n1E(Xni11ni)|}D(11nnXi12i)D(X1i1i)n221nMn221(n)又P{|Xni11niE(Xni1n1ni)|}1所以limP{|nXni11niE(Xni11i)|}1切比雪夫大數(shù)定律表明，n個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，在定理的條件下，它們的算術(shù)均值Xni11ni隨n的增大，將幾乎必然地密集在該平均值的數(shù)學(xué)期望EXni11ni的附近。2推論：設(shè){Xk,k=1,2,...}為獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，且有相同的數(shù)學(xué)期望，及方差>0，則YnXnk11nkP即若任給>0,使得nlimP{|Yn|}1證明:由切比雪夫不等式P{|YnE(Yn)|}1D(Yn)2.這里E(Yn)E(Xnk11nk)D(Yn)1n2nD(Xk1k)2n22故P{|Yn|