高等數(shù)學(xué)（上下冊(cè)）PPT完整全套教學(xué)課件

第一章集合與函數(shù)

集合1.1映射與函數(shù)1.2

建立函數(shù)關(guān)系式1.3第1章集合與函數(shù)第2章函數(shù)的極限與連續(xù)第3章函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分第4章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第5章不定積分第6章定積分第7章空間解析幾何與向量代數(shù)第8章多元函數(shù)微分學(xué)第9章多元函數(shù)積分學(xué)第10章曲線(xiàn)積分與曲面積分第11章無(wú)窮級(jí)數(shù)第12章常微分方程1.1.1集合的概念所謂集合，按集合論的奠基者康托爾（Cantor）所述：“集合”為我們的感覺(jué)或思維中確定的個(gè)別對(duì)象的匯總。通俗地說(shuō)，集合就是指具有某種屬性的對(duì)象的全體，所確定的每一個(gè)對(duì)象稱(chēng)為集合的“元素”。

集合（簡(jiǎn)稱(chēng)集）的例子很多.例如，自然數(shù)的全體構(gòu)成一個(gè)集合；整數(shù)的全體構(gòu)成一個(gè)集合；實(shí)數(shù)的全體也構(gòu)成一個(gè)集合.通常我們把自然數(shù)的全體構(gòu)成的集合記作N={0，1，2，3，…}，整數(shù)的全體構(gòu)成的集合記作Z={0，±1，±2，…}，實(shí)數(shù)的全體構(gòu)成的集合記作R.

習(xí)慣上，我們用大寫(xiě)字母A，B，C…表示集合，而用小寫(xiě)字母a，b，c，…表示元素.

通常我們用列舉法或性質(zhì)描述法來(lái)表示一個(gè)集合.列舉法表示一個(gè)集合的形式為A={a，b，c，…}.

用性質(zhì)描述法表示一個(gè)集合的形式為A={x|x具有的性質(zhì)}.

例如，上面的自然數(shù)集N={0，1，2，3，…}，整數(shù)集Z={0，±1，±2，…}等都是用列舉法表示的集合；而對(duì)于X={xx<0，x∈R}，A={xx3-1=0}等都是用性質(zhì)描述法表示的集合.

集合的表示方法便于我們表示一個(gè)具有某種性質(zhì)的集合.例如，為了表示以正實(shí)數(shù)為元素的集合，我們可記為X={x|x>0}.

為了表示介于a與b之間的所有實(shí)數(shù)為元素的集合，我們可記為Y={xa<x<b}.

同樣，為了表示以圓x^2+y^2=1上的點(diǎn)為元素的集合可表示為A={（x，y）x^2+y^2=1}.注集合的元素不僅可以是抽象的數(shù)，也可以是一些具體的實(shí)物.例如，將某班級(jí)看作一個(gè)集合，其元素可取為該班的學(xué)生；若將某公司看作一個(gè)集合，它所屬的工廠就可作為元素.

如果a是集合A的元素，則記作a∈A，讀作a屬于A；如果a不是A的元素，則記作aA，讀作a不屬于A.一個(gè)集合，若它只含有限個(gè)元素，則稱(chēng)為有限集；不是有限集的集合稱(chēng)為無(wú)限集.

不包含任何元素的集合，稱(chēng)為空集，記作.

例如：若A={x|x>0且x<0}，則A是空集，于是記為A=.【例1】用集合符號(hào)表示下列集合：（1）方程x^2-3x+2=0的根的集合；（2）小于10的全體正整數(shù)的集合；（3）直線(xiàn)x+y=1上的點(diǎn)的集合.

解（1）A={1，2}；

（2）A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}；

（3）A={（x，y）x+y=1}.1.1.2集合的運(yùn)算1集合的并

設(shè)集合A和B，由A和B的所有元素構(gòu)成的集合，稱(chēng)為A與B的并集，記作A∪B，讀作A并B即A∪B={x|x∈A或x∈B}.顯然有（1）A包含于（A∪B）（2）B包含于（A∪B）（3）A∪A=A（4）A∪U=U（5）A∪○=A.2集合的交

設(shè)集合A和B，由A和B的所有公共元素構(gòu)成的集合稱(chēng)為A與B的交集，記作A∩B，讀作A交B即A∩B={x|x∈A且x∈B}.顯然有（1（A∩B包含于A（2）（A∩B）包含于B（3）A∩U=A（4）A∩A=A（5）A∩=.3集合的補(bǔ)

設(shè)全集U中所有不屬于A的元素構(gòu)成的集合，稱(chēng)為A的補(bǔ)集，記作A，讀作A的補(bǔ)集即A={xx∈U且xA}.4集合的差

設(shè)集合A和B，由屬于A，而不屬于B的所有元素構(gòu)成的集合稱(chēng)為A與B的差集，記為A-B，讀作A與B的差集即A-B={xIx∈A且xB}.【例2】利用集合的運(yùn)算表示下列集合，并求出集合的元素的個(gè)數(shù).

設(shè)某班有100名學(xué)生，有70名學(xué)生會(huì)講漢語(yǔ)，以集合A表示這些學(xué)生；有75名學(xué)生會(huì)講英語(yǔ)，以集合B表示這些學(xué)生；有50名學(xué)生兩種語(yǔ)言都會(huì)講，以集合C表示這些學(xué)生.求：（1）只會(huì)講漢語(yǔ)的學(xué)生的集合及人數(shù)；（2）只會(huì)講英語(yǔ)的學(xué)生的集合及人數(shù)；（3）兩種語(yǔ)言中至少會(huì)其中一種的學(xué)生的集合及人數(shù)；（4）兩種語(yǔ)言都不會(huì)講的學(xué)生的集合及人數(shù).解（1）只會(huì)講漢語(yǔ)的學(xué)生的集合A-C.人數(shù)為70-50=20（人）.

（2）只會(huì)講英語(yǔ)的學(xué)生的集合B-C,人數(shù)為75-50=25（人）.

（3）兩種語(yǔ)言中至少會(huì)其中一種的學(xué)生的集合A∪B,人數(shù)為20+25+50=95（人）.

（4）兩種語(yǔ)言都不會(huì)講的學(xué)生的集合A∪B,人數(shù)為1００－９５＝５（人）.【例3】如果A={x|0<x<5}，B={x|3<x<6}，求：（1）A∪B；（2）A∩B；（3）A-B；（4）B-A.解（1）A∪B={x|0<x<6};（2）A∩B={x|3<x<5};（3）A-B={x|0<x≤3};（4）B-A={x|5≤x<6}.1．1．3區(qū)間和鄰域

上面我們給出了集合的定義及其一些運(yùn)算規(guī)律，下面我們?cè)賮?lái)認(rèn)識(shí)實(shí)數(shù)集R中兩類(lèi)重要的數(shù)集：區(qū)間和鄰域.1區(qū)間

通俗地講，區(qū)間就是介于兩實(shí)數(shù)a與b之間的一切實(shí)數(shù)，其中a，b稱(chēng)為區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)；當(dāng)a<b時(shí)，則稱(chēng)a為左端點(diǎn)，b為右端點(diǎn).區(qū)間可分為有限區(qū)間和無(wú)限區(qū)間.有限區(qū)間設(shè)a，b∈R且a<b,（1）閉區(qū)間：若A={xa≤x≤b}，則集合A稱(chēng)為以a，b為端點(diǎn)的閉區(qū)間，記為［a，b］，即［a，b］={xa≤x≤b}.（2）開(kāi)區(qū)間：若A={xa<x<b}，則集合A稱(chēng)為以a，b為端點(diǎn)的開(kāi)區(qū)間，記為（a，b），即（a，b）={xa<x<b}.

（3）左半開(kāi)區(qū)間：若A={xa<x≤b}，則集合A稱(chēng)為以a，b為端點(diǎn)的左半開(kāi)區(qū)間，記為（a，b］，即（a，b］={xa<x≤b}.（4）右半開(kāi)區(qū)間：若A={xa≤x<b}，則集合A稱(chēng)為以a，b為端點(diǎn)的右半開(kāi)區(qū)間，記為［a，b），即［a，b）={xa≤x<b}.無(wú)限區(qū)間就是a與b兩端點(diǎn)中至少有一個(gè)端點(diǎn)是負(fù)無(wú)窮大或正無(wú)窮大.

為了表示正無(wú)窮大或負(fù)無(wú)窮大，我們引入記號(hào)“+∞”表示正無(wú)窮大，“-∞”表示負(fù)無(wú)窮大，則無(wú)限區(qū)間可分為：（1）（a，+∞）={xx>a};

（2）［a，+∞）={xx≥a};

（3）（-∞，b）={xx<b};

（4）（-∞，b］={xx≤b};

（5）（-∞，+∞）={x-∞<x<+∞}=R.1.2映射與函數(shù)1．2．1映射的概念定義1.2設(shè)X、Y是兩個(gè)非空集合，如果存在一個(gè)法則f，使得對(duì)X中每個(gè)元素x，按法則f，在Y中有唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)f為從X到Y(jié)

的映射，記作f：X→Y,其中y稱(chēng)為元素x的像，并記作f（x），即：y=f（x），而元素x稱(chēng)為元素y的一個(gè)原像；集合X稱(chēng)為映射f的定義域，記作Df，即Df=X；X中所有元素的像組成的集合稱(chēng)為映射的值域，記作Rf，即Rf=f（X）={f（x）|x∈X}.

從上述映射的定義中，需要注意的是：（1）構(gòu)成映射必須具備以下三個(gè)要素：集合X，集合Y，對(duì)應(yīng)法則f，使對(duì)每個(gè)x∈X，有唯一確定的y=f（x）與之對(duì)應(yīng).（2）對(duì)每個(gè)x∈X，元素x的像y是唯一的；而對(duì)每個(gè)y∈Rf，元素y的原像不一定是唯一的；映射f的值域Rf是Y的一個(gè)子集RfY，即，不一定Rf=Y.5兩函數(shù)和（差）的定義域，應(yīng)是兩函數(shù)定義域的公共部分；6分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集；7

求復(fù)合函數(shù)的定義域時(shí)，一般是由外層向里層逐步求.1．2．3函數(shù)的幾種特性下面所討論的函數(shù)的定義域都假設(shè)為D.1奇偶性

如果函數(shù)f（x）的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，對(duì)于任意x∈D都有f（-x）=f（x），則稱(chēng)函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；

如果函數(shù)f（x）的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，對(duì)于任意x∈D都有f（-x）=-f（x），則稱(chēng)函數(shù)f（x）為奇函數(shù).1.3建立函數(shù)關(guān)系式第二章函數(shù)的極限與連續(xù)

函數(shù)的極限2.1函數(shù)的連續(xù)性2.5極限的運(yùn)算法則2.3兩個(gè)重要極限2.4無(wú)窮小量與無(wú)窮大量2.22.1函數(shù)的極限

函數(shù)概念刻畫(huà)了變量之間的關(guān)系，而極限概念著重刻畫(huà)了變量的變化趨勢(shì).極限是學(xué)習(xí)微積分的基礎(chǔ)和工具.2．1．1數(shù)列的極限

先說(shuō)明數(shù)列的概念.如果按照某一法則，對(duì)每個(gè)n∈N+，對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的實(shí)數(shù)xn，這些實(shí)數(shù)xn按照下標(biāo)n從小到大排列得到的一個(gè)序列x1，x2，x3，…，xn，…,就叫做數(shù)列，簡(jiǎn)記為數(shù)列{xn}.

數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng)，第n項(xiàng)xn叫做數(shù)列的一般項(xiàng).數(shù)列x1，x2，…，xn…,可以看作自變量為正整數(shù)的函數(shù)f（n），其中f（n）=xn，因此，數(shù)列的極限是一類(lèi)特殊函數(shù)的極限，為了便于學(xué)習(xí)函數(shù)極限，我們先給出數(shù)列極限的定義.2.2無(wú)窮小量與無(wú)窮大量2．2．1無(wú)窮小量1無(wú)窮小量的定義定義2.5極限為零的變量稱(chēng)為無(wú)窮小量，簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)窮小.特別地，以零為極限的數(shù)列{xn}稱(chēng)為n→∞時(shí)的無(wú)窮小.由定義可知當(dāng)x→0時(shí)，x、tanx等，都是無(wú)窮??；當(dāng)x→∞時(shí)，1/x、1/x^2等也是無(wú)窮小.注（1）零是唯一的可以看作是無(wú)窮小的常數(shù).（2）不要把無(wú)窮小與很小的數(shù)混為一談.因?yàn)闊o(wú)窮小是這樣的函數(shù)，在x→x0（或x→∞）的過(guò)程中，這函數(shù)的絕對(duì)值能小于任意給定的正數(shù)ε，而很小的數(shù)如百萬(wàn)分之一，就不能小于給定的正數(shù)ε（可以取千萬(wàn)分之一）.(3）一般來(lái)說(shuō)，無(wú)窮小是相對(duì)于自變量的某個(gè)變化趨勢(shì)而言的.2.3極限的運(yùn)算法則2.4兩個(gè)重要極限

通過(guò)上面三節(jié)的學(xué)習(xí)，我們知道了一些求極限的方法，如運(yùn)用極限的定義和運(yùn)算法則.除此之外，我們還經(jīng)常遇到下面要討論的兩個(gè)重要極限.本節(jié)給出判定極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并依據(jù)它們給出兩個(gè)重要極限.2．4．1判定極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則準(zhǔn)則1（夾逼準(zhǔn)則）如果數(shù)列{xn}、{yn}及{zn}滿(mǎn)足下列條件：（1）從某項(xiàng)起，即n0∈N，當(dāng)n＞n0時(shí)，有yn≤xn≤zn，（2）limn→∞yn=a，limn→∞zn=a，

那么數(shù)列{xn}的極限存在，且limn→∞xn=a.準(zhǔn)則2單調(diào)有界數(shù)列必有極限.

在本章2.1節(jié)中，我們已經(jīng)看到有界數(shù)列不一定有極限，但準(zhǔn)則2指出，單調(diào)且有界的數(shù)列必有極限.2．4．2兩個(gè)重要極限公式2.5函數(shù)的連續(xù)性

連續(xù)性是函數(shù)的重要性態(tài)之一，它反映了自然界中的許多現(xiàn)象，例如氣溫，物體運(yùn)動(dòng)的路程等都隨著時(shí)間的改變而發(fā)生連續(xù)變化，當(dāng)時(shí)間的改變量很小時(shí)，則該時(shí)刻氣溫的溫度，物體運(yùn)動(dòng)的路程的改變量也很小.在數(shù)學(xué)上，我們就可以用函數(shù)的連續(xù)性來(lái)表達(dá)這一性質(zhì).

下面我們先給出變量的增量（或稱(chēng)改變量）的概念，再引入函數(shù)連續(xù)的概念.

設(shè)y=f（x）在x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量從x0變動(dòng)到x時(shí)，稱(chēng)Δx=x-x0為自變量的增量（或改變量），對(duì)應(yīng)函數(shù)值從f（x0）變動(dòng)到f（x0+Δx），稱(chēng)Δy=f（x0+Δx）-f（x0）為函數(shù)的增量（或改變量）.變量的增量可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零.

關(guān)于函數(shù)的左連續(xù)和右連續(xù)有下面的一個(gè)定理：定理2.8函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)的充分必要條件是函數(shù)f（x）在該點(diǎn)左連續(xù)且右連續(xù).

如果函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱(chēng)函數(shù)y=f（x）在（a，b）內(nèi)連續(xù)，區(qū)間（a，b）稱(chēng)為連續(xù)區(qū)間.如果函數(shù)y=f（x）在（a，b）內(nèi)連續(xù)，且該函數(shù)在左端點(diǎn)處右連續(xù)，在右端點(diǎn)處左連續(xù)，則稱(chēng)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù).函數(shù)f（x）在它的定義域內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱(chēng)f（x）為連續(xù)函數(shù).

從幾何直觀上，區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的圖象是一條不間斷的曲線(xiàn).2.5.4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有一些非常重要的性質(zhì)，下面僅給出定理的敘述，不做證明.定理2.13（最值存在定理）閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必能取到最大值和最小值.即若f（x）在［a，b］上連續(xù)，則在［a，b］上至少存在一點(diǎn)ξ1和一點(diǎn)ξ2，對(duì)于［a，b］上任一點(diǎn)x，均滿(mǎn)足：f（ξ1）≤f（x）≤f（ξ2），稱(chēng)f（ξ1）為f（x）在［a，b］上的最小值，f（ξ2）為f（x）在［a，b］上的最大值.

注:如果定理2.13中“閉區(qū)間”和“連續(xù)”的條件不具備時(shí)，結(jié)論可能不成立.如函數(shù)y=x在開(kāi)區(qū)間（0，1）內(nèi)連續(xù)，但它既無(wú)最大值也無(wú)最小值.推論1（有界定理）閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有界.定理2.14（介值定理）閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必能取到介于最大值和最小值之間的一切值，即函數(shù)f（x）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，c是介于f（x）的最大值M和最小值m之間的一個(gè)值，則至少存在一點(diǎn)ξ∈［a，b］，使得f（ξ）=c.

推論2（零點(diǎn)存在定理）若f（x）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，且f（a）·f（b）<0，則至少存在一點(diǎn)ξ∈（a，b），使得f（ξ）=0.這個(gè)定理也叫做根的存在定理，常用來(lái)判斷方程是否存有根.【例14】證明方程x^5-3x^3+1=0在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)根.

證明:令f（x）=x^5-3x^3+1，則f（x）顯然在［0，1］上連續(xù)，并且有f（0）=1>0；f（1）=-1<0,則由零點(diǎn)存在定理可知，在（0，1）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f（ξ）=0，即ξ^5-3ξ^3+1=0，ξ∈（0，1）,這說(shuō)明方程x^5-3x^3+1=0在（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)根.第三章函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)的概念3.1反函數(shù)及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則3.3函數(shù)和、差、積、商求導(dǎo)3.2隱函數(shù)的求導(dǎo)3.4函數(shù)的微分3.6高階導(dǎo)數(shù)3.53.1導(dǎo)數(shù)的概念

微分學(xué)是微積分學(xué)的兩大部分之一，它又分一元函數(shù)微分學(xué)和多元函數(shù)微分學(xué)兩個(gè)部分.本章討論的是一元函數(shù)微分學(xué)，多元函數(shù)微分學(xué)我們將會(huì)在本書(shū)（下冊(cè)）第8章中學(xué)習(xí).

一元函數(shù)微分學(xué)中最基本的概念是導(dǎo)數(shù)和微分，導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)相對(duì)于自變量的變化快慢程度，微分則指明了當(dāng)自變量有微小變化時(shí)，函數(shù)大體上變化多少.3.1導(dǎo)數(shù)的概念3.1.1引例

在歷史上，導(dǎo)數(shù)的概念主要起源于兩個(gè)著名的問(wèn)題：一個(gè)是求非勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問(wèn)題；另一個(gè)是求曲線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題.1變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問(wèn)題3.2函數(shù)和、差、積、商求導(dǎo)法則3.3反函數(shù)及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則3.4隱函數(shù)以及參數(shù)方程的求導(dǎo)3.4.1隱函數(shù)的求導(dǎo)方法

以前我們所遇到的函數(shù)如y=x^2+1，y=sinx+ln（x+cosx）等都是顯函數(shù)，其特點(diǎn)是式子左端是因變量，右端是僅關(guān)于自變量的表達(dá)式.而一個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則可以有多種多樣的表達(dá)方式，所謂隱函數(shù)是指給定方程F（x，y）=0中每當(dāng)x取某一區(qū)間內(nèi)任一值時(shí)，按照方程F（x，y）=0總可以解得唯一的y值與其對(duì)應(yīng)，這樣就稱(chēng)F（x，y）=0在該區(qū)間內(nèi)確定了一個(gè)關(guān)于x的隱函數(shù).

前面我們已經(jīng)知道，把一個(gè)隱函數(shù)化為顯函數(shù)，叫作隱函數(shù)的顯化.另外我們還知道有一些隱函數(shù)不易顯化或很難顯化，這樣我們就需考慮直接由方程入手來(lái)計(jì)算其所決定的隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法.下面由幾個(gè)具體的例子來(lái)說(shuō)明它的求法.3.5高階導(dǎo)數(shù)3.6函數(shù)的微分

在自然科學(xué)與工程技術(shù)中，常遇到這樣一類(lèi)問(wèn)題：在運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中，當(dāng)自變量有微小增量Δx時(shí)，需要計(jì)算相應(yīng)的函數(shù)改變量Δy.

對(duì)于一個(gè)一般的函數(shù)y=f（x），Δy與Δx之間的關(guān)系比較復(fù)雜，這一點(diǎn)不利于計(jì)算Δy相應(yīng)于自變量Δx的增量.能否有較簡(jiǎn)單的關(guān)于Δx的線(xiàn)性關(guān)系去近似代替Δy的復(fù)雜關(guān)系呢？近似后所產(chǎn)生的誤差又是怎樣的呢？現(xiàn)在我們以可導(dǎo)函數(shù)y=f（x）來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題.3.6.1微分的概念第四章微分中值定理及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用微分中值定理4.1圖像的描繪4.5函數(shù)的極值與最值4.3曲線(xiàn)的凹凸性與拐點(diǎn)4.4函數(shù)的單調(diào)性4.2曲率4.64.1微分中值定理

導(dǎo)數(shù)反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)處的局部性質(zhì)，本章我們將學(xué)習(xí)微分學(xué)基本定理，在微分中值定理的基礎(chǔ)上進(jìn)一步從局部性質(zhì)去推斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的整體性態(tài).4.1.1微分中值定理

引理（費(fèi)馬定理）設(shè)函數(shù)y=f（x）在（a，b）內(nèi)有定義，且在（a，b）內(nèi)的點(diǎn)ξ處取得最大（?。┲担涣硗鈟=f（x）在ξ處可導(dǎo)，則必有f′（ξ）=0.1羅爾定理定理4.1設(shè)函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：（1）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)；（2）在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；（3）f（a）=f（b）.則至少存在一點(diǎn)ξ∈（a,b），使得f′（ξ）=0.證明：由條件（1）知，f（x）在［a，b］上存在最大值M和最小值m.

特殊地，若M=m時(shí)，則f（x）為常值函數(shù)，此時(shí)結(jié)論總成立；一般地，若M>m時(shí)，則由條件（3）f（a）=f（b）知，M和m中至少有一個(gè)在區(qū)間（a，b）內(nèi)部取得（不妨設(shè)為M），根據(jù)費(fèi)馬定理得，至少存在一點(diǎn)ξ，使得f′（ξ）=0.【例1】設(shè)f（x）=（x－1）（x－2）（x－3）（x－4），不求導(dǎo)數(shù)證明f′（x）=0有且僅有三個(gè)實(shí)根.證明：顯見(jiàn)f（x）=0有四個(gè)實(shí)根x=1，2，3，4.考察區(qū)間［1，2］，［2，3］，［3，4］，這三個(gè)區(qū)間顯然滿(mǎn)足羅爾定理的三個(gè)條件，于是得f′（x）=0在其內(nèi)各至少有一個(gè)實(shí)根，所以方程f′（x）=0至少有三個(gè)實(shí)根；另一方面，f′（x）是一個(gè)三次多項(xiàng)式，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)至多有三個(gè)實(shí)根.

綜上可知，f′（x）=0有且僅有三個(gè)實(shí)根.4.2函數(shù)的單調(diào)性

單調(diào)性是函數(shù)的重要特性，這一節(jié)將討論怎樣用導(dǎo)數(shù)這一工具來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性.首先觀察下面的兩圖（見(jiàn)圖4.5），注意觀察曲線(xiàn)的單調(diào)性與其上切線(xiàn)的走向和切線(xiàn)斜率的符號(hào).

容易看出，曲線(xiàn)的單調(diào)性跟其上任一點(diǎn)處的切線(xiàn)走向密切相關(guān)，直觀上不難理解如下的函數(shù)單調(diào)性判定定理.定理4.6設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間I上可導(dǎo)，如果在區(qū)間I上滿(mǎn)足：（1）在I上f′（x）>0，那么函數(shù)f（x）在I上單調(diào)增加；（2）在I上f′（x）<0，那么函數(shù)f（x）在I上單調(diào)減少.證明：在區(qū)間I上任意取兩點(diǎn)x1，x2（x1<x2），考察區(qū)間［x1，x2］滿(mǎn)足拉格朗日中值定理，所以在（x1，x2）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f（x2）－f（x1）=f′（ξ）（x2－x1）（x1<ξ<x2），因?yàn)閤1<x2，所以在區(qū)間I上f′（x）>0時(shí)，f（x2）－f（x1）>0，函數(shù)f（x）在I上單調(diào)增加；同理f′（x）<0時(shí)，函數(shù)f（x）在I上單調(diào)減少.【例1】證明函數(shù)f（x）=sinx－x+x36在區(qū)間［0，+∞）上是單調(diào)增加的.

證明：函數(shù)f（x）的一階導(dǎo)數(shù)是f′（x）=cosx－1+x22，因?yàn)槎A導(dǎo)數(shù)f″（x）=x－sinx>0（x>0），所以f′（x）單調(diào)增加.即f′（x）>f′（0），又因f′（0）=0，所以f′（x）>0（x>0），從而得f（x）在區(qū)間［0，+∞）上是單調(diào)增加.4.3函數(shù)的極值與最值4.3.1極值定義4.1設(shè)f（x）在U（x0）內(nèi)有定義，則對(duì)于U（x0）內(nèi)異于x0的點(diǎn)x都滿(mǎn)足：f（x）<f（x0）

則稱(chēng)函數(shù)f（x）在x0處取得極大值，x0稱(chēng)作極大值點(diǎn)；反之，若有f（x）>f（x0）都成立，則稱(chēng)f（x）在x0處取得極小值，x0稱(chēng)作極小值點(diǎn).函數(shù)的極大值和極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱(chēng)作極值點(diǎn).

關(guān)于函數(shù)極值應(yīng)注意如下幾點(diǎn)：（1）函數(shù)極值的概念是局部性的，函數(shù)的極大值和極小值之間并無(wú)確定的大小關(guān)系；（2）由極值的定義知，函數(shù)的極值只能在區(qū)間內(nèi)部取得，不能取在區(qū)間端點(diǎn)上.下面來(lái)討論函數(shù)極值的求法.

由費(fèi)馬定理知，對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，在函數(shù)的極值點(diǎn)處函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零.這就是函數(shù)極值存在的必要條件.今后我們稱(chēng)使得函數(shù)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)為函數(shù)的駐點(diǎn).則函數(shù)極值存在的必要條件又可以敘述為：定理4.7（極值存在的必要條件）可導(dǎo)函數(shù)y=f（x）在x0點(diǎn)取得極值，則點(diǎn)x0一定是其駐點(diǎn)，即f′（x0）=0.據(jù)此定理，為我們尋求函數(shù)的極值點(diǎn)劃定了一定的范圍.但是，函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是函數(shù)的極值點(diǎn).例如，x=0是函數(shù)y=x3的駐點(diǎn)但不是極值點(diǎn).那么駐點(diǎn)具備什么樣的條件才是函數(shù)的極值點(diǎn)呢？

從幾何直觀上容易理解，如果曲線(xiàn)通過(guò)某點(diǎn)時(shí)先增后減，則對(duì)應(yīng)于該點(diǎn)取得極大值；反之，如果先減后增，則對(duì)應(yīng)于該點(diǎn)取得極小值.利用上節(jié)的結(jié)論容易得到判定函數(shù)極值點(diǎn)的方法.

極值存在的判定定理有多個(gè)，在這里我們只介紹兩個(gè)常用的定理.定理4.8（極值存在的第一充分條件）設(shè)函數(shù)f（x）在x0處連續(xù)，在U（0）內(nèi)可導(dǎo)，如果滿(mǎn)足：（1）當(dāng)x<x0時(shí)，f′（x0）>0；當(dāng)x>x0時(shí)，f′（x0）<0，那么f（x）在x0處取得極大值；（2）當(dāng)x<x0時(shí)，f′（x0）<0；當(dāng)x>x0時(shí)，f′（x0）>0，那么f（x）在x0處取得極小值；（3）當(dāng)f′（x）的符號(hào)不發(fā)生改變時(shí)，則f（x）在點(diǎn)x0處不取得極值.

以上的討論僅限于可導(dǎo)函數(shù)，對(duì)于含有不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)來(lái)說(shuō)，不可導(dǎo)點(diǎn)也可能成為函數(shù)的極值點(diǎn)，例如，函數(shù)y=|x|在x=0處取得極小值，但卻不可導(dǎo).我們有時(shí)稱(chēng)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)為可能極值點(diǎn).

綜合以上討論，我們可按如下步驟求函數(shù)的極值：

（1）確定函數(shù)的定義域；

（2）求出函數(shù)的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)的點(diǎn)；

（3）利用充分條件依次判斷這些點(diǎn)是否是函數(shù)的極值點(diǎn).4.3.2最值

在生產(chǎn)實(shí)踐和工程技術(shù)中經(jīng)常會(huì)遇到最值問(wèn)題：在一定條件下，怎樣才能使得成本最低、利潤(rùn)最高、原材料最省等等.這類(lèi)問(wèn)題在數(shù)學(xué)上有時(shí)可歸結(jié)為求某一函數(shù)（通常稱(chēng)為目標(biāo)函數(shù)）的最大值最小值問(wèn)題，在這一段中，我們就來(lái)討論函數(shù)的最值問(wèn)題.

設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)、（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且至多有有限個(gè)極值點(diǎn).根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，f（x）在［a，b］上一定存在最值，而且，如果函數(shù)的最值是在區(qū)間內(nèi)部取得，那么其最值點(diǎn)也一定是函數(shù)的極值點(diǎn)，因而也一定是函數(shù)的駐點(diǎn)（由假設(shè)）.當(dāng)然，函數(shù)的最值點(diǎn)也可能取在區(qū)間的端點(diǎn)上.因此，我們可以按照如下的步驟來(lái)求函數(shù)的最值：4.4曲線(xiàn)的凹凸性與拐點(diǎn)

在前面兩節(jié)，我們討論學(xué)習(xí)了函數(shù)單調(diào)性和極值的判定方法，這些對(duì)于我們研究函數(shù)性態(tài)作出函數(shù)圖形有很大的幫助，在本節(jié)中我們就函數(shù)的單調(diào)性作更細(xì)致的研究.

我們首先還是來(lái)觀察下面的兩條曲線(xiàn)，如圖4.6所示，看一看它們單調(diào)增加的方式有什么不同.

一個(gè)很明顯的區(qū)別是：雖然它們都是單調(diào)遞增的，但是一個(gè)是向上“鼓鼓”地增；另一個(gè)是向下“鼓鼓”地增，它們遞增的方式是不同的.那么如何判定函數(shù)的單調(diào)變化方式呢？我們先引入如下定義.4.5圖像的描繪4.6曲率第五章不定積分不定積分的概念和性質(zhì)5.1有理數(shù)積分法5.5換元積分法5.3分部積分法5.4不定積分基本公式5.2積分表的使用方法5.65.1不定積分的概念和性質(zhì)

在前面第3章中，我們經(jīng)常會(huì)遇到求已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）問(wèn)題.同樣在問(wèn)題研究中有時(shí)也會(huì)遇到與此相反的問(wèn)題，即知道了一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分），如何求出這個(gè)函數(shù).該問(wèn)題的解決就需要用到積分學(xué)的一個(gè)基本知識(shí)：不定積分.

在微分學(xué)中研究的一個(gè)基本問(wèn)題是：已知一個(gè)函數(shù)怎么樣將它的導(dǎo)數(shù)（或微分）求出來(lái)；而在我們將要學(xué)習(xí)的積分學(xué)中的基本問(wèn)題是：根據(jù)所給函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）如何來(lái)求它原來(lái)的函數(shù)，這就是“原函數(shù)”的概念.5.1.1原函數(shù)首先，我們給出原函數(shù)的定義.定義5.1設(shè)函數(shù)F（x）是定義在區(qū)間I上的可導(dǎo)函數(shù)，如果滿(mǎn)足F′（x）=f（x），則我們稱(chēng)在區(qū)間I上，F(xiàn)（x）是f（x）的一個(gè)原函數(shù).

例如，在（-∞，+∞）上，因?yàn)椋╯inx）′=cosx，所以在（-∞，+∞）內(nèi)sinx是cosx的一個(gè)原函數(shù).另外，我們還會(huì)發(fā)現(xiàn)，像sinx+1、sinx-3等等，同樣也是cosx的原函數(shù)，由此可見(jiàn)，一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)并不唯一.

那么如何去尋找一個(gè)函數(shù)的所有原函數(shù)呢？它們之間是否存在著某些聯(lián)系呢？這是我們下面需要討論的問(wèn)題.5.2不定積分基本公式5.3換元積分法5.4分部積分法5.5有理函數(shù)的積分5.6積分表的使用方法

在前幾節(jié)里，我們主要討論了一些簡(jiǎn)單函數(shù)的不定積分求法.而在實(shí)際應(yīng)用或?qū)嵺`工作中，我們也許會(huì)遇到一些比較繁雜函數(shù)的不定積分求解問(wèn)題，為了迅速而準(zhǔn)確的計(jì)算它們，我們對(duì)一些常見(jiàn)函數(shù)的積分匯編成表格：不定積分表，供大家在實(shí)際計(jì)算中應(yīng)用.

此表共分15大類(lèi)，共計(jì)153個(gè)公式（見(jiàn)教材后附“積分表”）.當(dāng)我們需要計(jì)算某個(gè)不定積分時(shí)，可以找到相應(yīng)的類(lèi)型，將被積函數(shù)與表中的被積函數(shù)相對(duì)照，確定出公式中的各個(gè)系數(shù)，然后將各系數(shù)代到結(jié)果中去即可.但要注意的一點(diǎn)是：有時(shí)被積函數(shù)在系數(shù)不同的條件下有不同的結(jié)果，這就要求我們需要驗(yàn)證系數(shù)滿(mǎn)足的條件后，再代到相應(yīng)的公式中去.第六章定積分

定積分的概念6.1反常積分的審斂法γ函數(shù)6.5定積分的計(jì)算6.3廣義積分6.4微積分基本公式6.2定積分的應(yīng)用6.66.1定積分的概念

在積分學(xué)中，定積分是另一個(gè)基本問(wèn)題.我們從幾何與力學(xué)問(wèn)題引出定積分的定義，然后討論它的性質(zhì)與計(jì)算方法.可以說(shuō)，只有定積分才能將微積分思想得以真正的完整的體現(xiàn).

為了便于理解，我們首先從這樣兩個(gè)例子講起.6.1.1引例引例1面積問(wèn)題.設(shè)函數(shù)y=f（x）≥0在區(qū)間［a，b］上是連續(xù)的，如圖6.1所示，求由曲線(xiàn)y=f（x），x=a，x=b以及x軸所圍成圖形（該圖形稱(chēng)為曲邊梯形）的面積A.分析該圖形的面積沒(méi)有現(xiàn)成的計(jì)算公式，如果用傳統(tǒng)的計(jì)算思想和方法去求解顯然是行不通的.微積分卻突破了原先的思維，

提出了一種全新的思維方式：化整為零取近似；聚零為整求極限.

下面，運(yùn)用這種思想和方法來(lái)求曲邊梯形的面積.6.1.4定積分的性質(zhì)

為了計(jì)算和理論上的需要，我們?cè)诖私榻B一下定積分的性質(zhì).這些性質(zhì)都可以利用定積分的定義、極限的性質(zhì)和運(yùn)算法則推導(dǎo)得出.另外，下列性質(zhì)中的函數(shù)在其積分區(qū)間上都假定是可積的，積分上下限在沒(méi)有特別指明的情況下，下限不一定比上限小.6.2微積分基本公式

從上節(jié)的例子可以看出，若利用定義去計(jì)算定積分是比較煩瑣的；若利用它的幾何意義來(lái)計(jì)算定積分，雖然簡(jiǎn)單但是卻很有限.那么，對(duì)于一般的定積分而言，有沒(méi)有一種簡(jiǎn)單而有效的方法呢？微積分基本公式就是求定積分最簡(jiǎn)練的方法.6.2.1積分上限函數(shù)定義6.2設(shè)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上可積，對(duì)任意x∈［a，b］，y=f（x）在［a，x］上可積，且它的值與x構(gòu)成一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，記作6.3定積分的計(jì)算

微積分基本公式將定積分的計(jì)算與不定積分聯(lián)系起來(lái)，于是定積分的計(jì)算也有換元和分部積分兩種基本方法.6.3.1換元積分法定理6.3如果兩定積分∫baf（x）dx和∫βαf（φ（t））φ′（t）dt滿(mǎn)足下列條件：（1）f（x）在區(qū)間［a，b］上連續(xù)；（2）φ（t）在區(qū)間［α，β］上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且φ（α）=a，φ（β）=b；（3）f（φ（t））在區(qū)間［α，β］上連續(xù)，則∫baf（x）dx=∫βαf（φ（t））φ′（t）dt.

對(duì)上述定理的說(shuō)明：

定理中的三個(gè)條件是為了保證函數(shù)f（x）和f（φ（t））在相應(yīng)區(qū)間上連續(xù)，從而使得它們的積分存在.另外，定理還指出，定積分在換元的同時(shí)要換限，即原來(lái)的上限對(duì)應(yīng)現(xiàn)在的上限，原來(lái)的下限要對(duì)應(yīng)現(xiàn)在的下限.

下面通過(guò)幾個(gè)例子，熟悉換元積分法的用法.6.4廣義積分

在前面討論定積分時(shí)，被積函數(shù)要么在閉區(qū)間上是連續(xù)的，要么在區(qū)間上只有有限個(gè)間斷點(diǎn)且是有界的函數(shù).而在實(shí)際問(wèn)題中，如果當(dāng)被積函數(shù)不滿(mǎn)足這些條件時(shí)，我們又如何去研究類(lèi)似積分問(wèn)題呢？本節(jié)將介紹兩類(lèi)類(lèi)似于定積分的情況：無(wú)窮區(qū)間上的積分和無(wú)界函數(shù)的積分，這兩種情況下的積分稱(chēng)為廣義積分，相應(yīng)的前面所討論的定積分通常稱(chēng)為常義積分.6.4.1無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分

先看這樣一個(gè)例子：

引例：求由x軸，y軸以及曲線(xiàn)y=e-x所圍的，延伸到無(wú)窮遠(yuǎn)處的圖形的面積A，如圖6.11所示.6.5反常積分的審斂法6.6定積分的應(yīng)用

在本節(jié)中，我們主要利用微元法討論定積分在幾何和物理上的一些應(yīng)用.6.6.1微元法

在利用定積分的定義計(jì)算量F=f（x）在區(qū)間［a，b］上的值時(shí)，根據(jù)定積分的定義，我們一般會(huì)從四個(gè)步驟來(lái)進(jìn)行分析計(jì)算：分割、近似表示、求和式、取極限.其中第二步是關(guān)鍵的一步，因?yàn)樽詈蟮谋环e表達(dá)式的形式就是在這一步中被確定的，第三、四步只不過(guò)是對(duì)被積函數(shù)在區(qū)間［a，b］上的無(wú)限累加.于是，求量F可以簡(jiǎn)化成二步：（1）在區(qū)間［a，b］上任取一代表區(qū)間［x，x+Δx］，然后定出在該代表區(qū)間上量F的微元dF=f（x）dx.（2）將量微元dF在區(qū)間［a，b］上積分（即對(duì)dF無(wú)限累加），從而得到F=∫baf（x）dx，

以上求量F的方法稱(chēng)為微元法.對(duì)微元法的應(yīng)用需注意如下兩點(diǎn)：（1）在代表區(qū)間［x，x+Δx］上確定微元時(shí)，一般本著“以常代變”、“以直代曲”、“以勻代不勻”的思路來(lái)分析問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，從而得到dF=f（x）dx的關(guān)系式.（2）微元dF=f（x）dx的表達(dá)一定要準(zhǔn)確，即dF與實(shí)際函數(shù)的改變量ΔF的誤差是關(guān)于Δx的高階無(wú)窮?。é-dF=o（Δx）），否則積分求得的值不是量F.下面就利用微元法來(lái)討論定積分在幾何和物理上的一些應(yīng)用.第七章空間解析幾何與向量代數(shù)空間直角坐標(biāo)系7.1曲面與空間曲線(xiàn)7.5向量的數(shù)量積和向量積7.3平面與空間直線(xiàn)7.4向量代數(shù)7.27.1空間直角坐標(biāo)系

在平面解析幾何中，通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系把平面上的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而將平面上的圖形與代數(shù)方程聯(lián)系起來(lái)，進(jìn)而用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題.空間解析幾何也是依照類(lèi)似的方法建立起空間中的點(diǎn)與有序數(shù)組間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而將空間圖形與代數(shù)方程聯(lián)系起來(lái)，并用代數(shù)的方法研究空間幾何問(wèn)題.定義7.1在空間中任取一點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作三條兩兩垂直的數(shù)軸，其中點(diǎn)O稱(chēng)為坐標(biāo)原點(diǎn).三條數(shù)軸分別是x軸（橫軸）、y軸（縱軸）、z軸（豎軸），它們?nèi)唛g的方向符合右手定則，即右手握住z軸，并攏的四指由x軸的正方向自然彎曲指向y軸的正方向，這時(shí)拇指所指的方向就是z軸的正方向，

如圖7.1所示.把這三條數(shù)軸統(tǒng)稱(chēng)為坐標(biāo)軸.我們把由坐標(biāo)原點(diǎn)O及符合右手定則的這三條坐標(biāo)軸，稱(chēng)為一個(gè)空間坐標(biāo)系.如圖7.2所示.

將平面xOy，yOz，zOx稱(chēng)為坐標(biāo)平面.三個(gè)坐標(biāo)面將整個(gè)空間分成了八個(gè)部分，每一部分稱(chēng)為一個(gè)卦限.由x軸、y軸、z軸的正向所圍成的空間稱(chēng)為第Ⅰ卦限；在xOy面上方其余三個(gè)卦限按逆時(shí)針?lè)较蛞来我?guī)定為第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限；在xOy面下方與第Ⅰ卦限所對(duì)的是第Ⅴ卦限；其余仍按逆時(shí)針?lè)较蛞来我?guī)定為第Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限.如圖7.3所示.

建立坐標(biāo)系之后，我們就可以將空間中的點(diǎn)與數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái)了.7.1.2空間中點(diǎn)的坐標(biāo)7.2向量代數(shù)

向量是解決數(shù)學(xué)、物理及工程技術(shù)等問(wèn)題的有力工具，本節(jié)主要向大家介紹向量的相關(guān)概念及向量的線(xiàn)性運(yùn)算.7.2.1向量的概念

在日常生活中，我們常會(huì)遇到兩種類(lèi)型的量，一類(lèi)是只有大小的量，如長(zhǎng)度、面積、溫度、質(zhì)量等；另一類(lèi)是不僅有大小而且有方向，如力、速度、位移等，我們把前者的量稱(chēng)為數(shù)量或標(biāo)量；后者的量稱(chēng)為向量或失量.在幾何上我們?cè)?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)有向線(xiàn)段，它是一條既有長(zhǎng)度又有方向的線(xiàn)段，于是，我們可以用有向線(xiàn)段來(lái)表示向量：即用有向線(xiàn)段的長(zhǎng)度表示向量的大??；有向線(xiàn)段的方向表示向量的方向.

例如，以A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)的向量可記為AB.同時(shí)，向量也可以用黑體或粗體字母來(lái)表示，例如，向量a，b，c等；另外，在書(shū)寫(xiě)上，我們還可以用在字母上方標(biāo)注向右的箭頭的形式表示向量，例如，向量a，b，c等.

在數(shù)學(xué)上我們所討論的向量一般指的是自由向量，即只考慮其大小和方向，忽略向量所在的位置的向量.如果兩向量a，b的大小和方向相等，則稱(chēng)兩向量是相等或相同的向量，記為a=b.

向量的大小稱(chēng)為向量的模，例如，向量AB的?？捎洖閨AB|，向量a的模記為|a|.其中模等于1的向量，稱(chēng)為單位向量，記為a0；模等于0的向量，稱(chēng)為零向量，記為0或0，零向量的方向是任意的.

當(dāng)兩向量a與b所在的直線(xiàn)平行或垂直時(shí)，稱(chēng)兩向量平行或垂直，記為a∥b和a⊥b.

最后,給出兩向量的夾角的定義.定義7.2設(shè)給定的兩個(gè)向量a和b，將向量a或者b平移，使之有共同的起點(diǎn)，由一向量的正方向轉(zhuǎn)到另一向量的正方向所轉(zhuǎn)過(guò)的最小正角，稱(chēng)為兩向量的夾角，記為（a，b）或（b，a），如圖76所示.可見(jiàn)，兩向量的夾角范圍是0≤（a，b）≤π.7.2.2向量的線(xiàn)性運(yùn)算1向量的和

我們?cè)?jīng)在物理上學(xué)習(xí)過(guò)力的合成與分解，其實(shí)運(yùn)用的就是有關(guān)向量的和或差運(yùn)算，在此基礎(chǔ)上，我們給出向量的加法法則.定義7.3（向量加法的平行四邊形法則）設(shè)兩個(gè)不平行的非零向量a和b，在平面上任取一點(diǎn)O，作OA=a，OB=b，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則向量OC稱(chēng)為向量a和b的和向量，記為a+b，如圖77所示.稱(chēng)這種求兩向量和的方法為平行四邊形法則.

由圖7.7可見(jiàn)，OA=BC，如果將向量a直接平移到BC的位置，我們同樣也能求得OC這個(gè)向量.定義7.4（向量加法的三角形法則）在平面上取一點(diǎn)O，作OB=b，作BC=a，以O(shè)B，BC為鄰邊作三角形OBC，則向量OC稱(chēng)為向量a和b的和向量，如圖78所示.我們稱(chēng)這種求兩向量和的方法為三角形法則.【例1】計(jì)算AB+BC+CD+DE的和向量.解:AB+BC+CD+DE=AC+CD+DE=AD+DE=AE.

由此可見(jiàn)，利用向量的三角形法則來(lái)計(jì)算向量的和是非常方便的.

利用向量的加法法則，可以幫助我們來(lái)求向量的和，但向量的差如何來(lái)求呢？我們還是用向量的加法法則.只要規(guī)定向量的負(fù)向量即可.

如果某一向量與向量b的模相等，且方向與向量b的方向相反，那么稱(chēng)該向量為向量b的負(fù)向量，記為-b.

我們把向量a與向量-b的和向量稱(chēng)為兩向量a和b的差向量，即a+（-b）=a-b，記為a-b，2數(shù)與向量的乘積

我們把數(shù)λ與向量a的乘積λa，稱(chēng)為數(shù)與向量的乘積.它是一個(gè)與向量a平行的向量，該向量的模等于向量a的模的|λ|倍，即|λa|=|λ||a|，

當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a的方向相反；當(dāng)λ=0時(shí)，λa就成了零向量，方向是任意的.另外，數(shù)與向量的乘積有下面一個(gè)重要的結(jié)論：定理7.1設(shè)有非零向量a和b，a∥b的充分必要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b=λa.證:充分性是顯然的.

必要性設(shè)b∥a，取|λ|=|b||a|，當(dāng)a和b同向時(shí)λ取正值；當(dāng)a和b異向時(shí)λ取負(fù)值.于是有b=λa.

再證唯一性設(shè)b=λa，b=μa，兩式相減得（λ-μ）a=0，

即|λ-μ||a|=0，因?yàn)閍是非零向量，所以|λ-μ|=0，

即λ=μ.想一想，當(dāng)定理中的“非零向量”的條件去掉，結(jié)論還成立嗎？

我們把向量的和運(yùn)算及數(shù)與向量的乘積運(yùn)算，稱(chēng)為向量的線(xiàn)性運(yùn)算.

向量的線(xiàn)性運(yùn)算滿(mǎn)足如下的運(yùn)算律：

（1）交換律：a+b=b+a，

（2）結(jié)合律：（a+b）+c=a+（b+c），

λ（ka）=（λk）a（其中λ，k是常數(shù)），

（3）分配律：（λ+k）a=λa+ka，

λ（a+b）=λa+λb（其中λ，k是常數(shù)）.【例2】試用向量的線(xiàn)性運(yùn)算證明：三角形的中位線(xiàn)平行且等于底邊的一半.解:設(shè)M，N分別是AB，AC中點(diǎn)，如圖7.10所示.根據(jù)向量的加法法則，知MN=MA+AN，BC=BA+AC，因M，N分別是AB，AC中點(diǎn)，于是有MA=12BA，AN=12AC，故MN=12（BA+AC）=12BC，所以由數(shù)與向量乘法，得MN∥BC，且|MN|=12|BC|，即命題成立.7.2.3向量的坐標(biāo)表示1向量在軸上的投影

為了便于理解，我們首先給出空間一點(diǎn)在軸u上的投影的概念.定義7.5已知空間中的點(diǎn)A和軸u，過(guò)點(diǎn)A作一平面垂直相交軸u于點(diǎn)A′，稱(chēng)點(diǎn)A′為點(diǎn)A在軸u上的投影，如圖7.11所示.

于是，向量在軸上的投影可以表述為：定義7.6已知向量AB的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B在軸u上投影分別為A′和B′，我們把A′B′在軸u上的數(shù)量稱(chēng)為向量AB在軸u上的投影，如圖712所示.記為PrjuAB=A′B′.如果軸u是數(shù)軸，設(shè)A′，B′在數(shù)軸上的坐標(biāo)分別為u1和u2，那么，A′B′的數(shù)量應(yīng)是A′B′=u2-u1，即PrjuAB=u2-u1.

向量在軸上的投影有下面的性質(zhì)：性質(zhì)1向量AB在軸u上的投影等于向量的模與向量和軸u夾角θ余弦的乘積，即PrjuAB=|AB|cosθ.性質(zhì)2兩個(gè)向量的和向量在軸u上的投影等于各個(gè)向量在軸u上投影的和，即Prju（a+b）=Prjua+Prjub.此性質(zhì)還可以推廣到任意有限個(gè)的情況，即Prju（a1+a2+…+an）=Prjua1+Prjua2+…+Prjuan.性質(zhì)3數(shù)與向量乘積在軸u上的投影等于數(shù)乘以向量在軸u上的投影，即Prju（λa）=λPrjua（其中λ是常數(shù).2向量的坐標(biāo)表示

前面我們學(xué)習(xí)了用向量的平行四邊形法則或三角形法則來(lái)表示向量的和、差運(yùn)算，但要更深入地圖7.13

研究向量以及用向量解決實(shí)際問(wèn)題的話(huà)，還須借助于代數(shù)的方法.為此，我們要引入向量的坐標(biāo)概念，并用向量的坐標(biāo)表示向量的各種運(yùn)算.

在空間直角坐標(biāo)系中，分別引進(jìn)x軸、y軸、z軸正方向上的三個(gè)單位向量i，j，k，稱(chēng)此三個(gè)單位向量為基本單位向量，這樣就建立了一個(gè)空間直角向量坐標(biāo)系，如圖7.13所示.

設(shè)空間中有一任意向量a，將a平移后，使得a的起點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，如圖714所示.圖7.14

若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（ax，ay，az），即a=OM，由點(diǎn)在軸上的投影知，點(diǎn)M在x軸、y軸、z軸上的投影分別為A（ax，0，0）、B（0，ay，0）、C（0，0，az），由向量的加法法則，得a=OM=ON+NM=OA+AN+NM=OA+OB+OC，

又因?yàn)镺A=axi，OB=ayj，OC=azk，于是a=axi+ayj+azk.

上式稱(chēng)為向量a按基本單位向量的分解式；向量axi、ayj、azk分別稱(chēng)為向量a在x軸、y軸、z軸上的分向量.根據(jù)向量在軸上投影的定義，有Prjxa=OA=ax，Prjya=OB=ay，Prjza=OC=az，即ax，ay，az是向量a分別在x軸、y軸、z軸上的投影.由此看來(lái)，向量a與一組有序數(shù)ax，ay，az相對(duì)應(yīng)；反之，給定一組有序數(shù)ax，ay，az按照上述相反的過(guò)程，同樣能確定一個(gè)向量a，這樣，向量a就與一組有序數(shù)ax，ay，az建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.從而有下面的定義：定義7.7設(shè)向量a在x軸、y軸、z軸上的投影分別為ax，ay，az，于是有a=axi+ayj+azk成立，這時(shí)稱(chēng)ax，ay，az為向量a的坐標(biāo)，記為a={ax，ay，az}.另外，上式a={ax，ay，az}又稱(chēng)為向量的坐標(biāo)表達(dá)式.顯然，a={ax，ay，az}與a=axi+ayj+azk是同一向量的兩種不同表達(dá)形式，兩種形式是等價(jià)的【例3】已知兩點(diǎn)M（x1，y1，z1）、N（x2，y2，z2），a=MN，求：（1）向量a在三坐標(biāo)軸上的投影；（2）向量a的坐標(biāo).

解（1）因?yàn)镸，N的橫坐標(biāo)分別是x1，x2，所以Prjxa=x2-x1，同理，可得Prjya=y2-y1，Prjza=z2-z1.（2）由向量的坐標(biāo)定義知a=（x2-x1）i+（y2-y1）j+（z2-z1）k，所以，向量a的坐標(biāo)為{x2-x1，y2-y1，z2-z1}.可見(jiàn)，任一向量的坐標(biāo)等于其終點(diǎn)與起點(diǎn)相應(yīng)坐標(biāo)的差.同時(shí)，若向量a={ax，ay，az}，b={bx，by，bz}及數(shù)λ，則兩向量之間的線(xiàn)性運(yùn)算可以表示為：a±λb={ax±λbx，ay±λby，az±λbz}.3向量的模與方向角（1）向量模的坐標(biāo)表示

設(shè)向量a={ax，ay，az}，把向量a平移，使得向量a的起點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，同時(shí)設(shè)這時(shí)的終點(diǎn)為M，如圖715所示，則M的坐標(biāo)為M（ax，ay，az），由兩點(diǎn)間的距離公式，得|a|=|OM|=（ax-0）^2+（ay-0）^2+（az-0）^2=a^2x+a^2y+a^2z，上式即為向量的模的坐標(biāo)表達(dá)式.同理，我們還可以得到：當(dāng)起點(diǎn)是M（x1，y1，z1），終點(diǎn)是N（x2，y2，z2）的向量MN的模為|MN|=（x2-x1）^2+（y2-y1）^2+（z2-z1）^2.（2）向量的方向角與方向余弦

設(shè)向量a為非零向量，則向量a的方向可由它與三條坐標(biāo)軸正向的夾角α，β，γ來(lái)唯一確定，稱(chēng)角α，β，γ為向量a的方向角.

下面討論方向角的有關(guān)表示和性質(zhì).

設(shè)非零向量a={ax，ay，az}，α，β，γ是它關(guān)于x軸、y軸、z軸的方向角.由向量在軸上的投影性質(zhì)1，知Prjxa=ax=|a|cosα，即cosα=ax|a|=axa2x+a2y+a2z，同理，可得cosβ=ay|a|=aya2x+a2y+a2z，cosγ=az|a|=aza2x+a2y+a2z.這時(shí)稱(chēng)cosα，cosβ，cosγ為向量a的方向余弦或向量a的方向數(shù).顯然，一個(gè)向量的方向余弦滿(mǎn)足：cos2α+cos2β+cos2γ=1.

且a0={cosα，cosβ，cosγ}是a的同方向上的單位向量.【例4】設(shè)有兩點(diǎn)A（1，2，-3），B（-1，1，2），求向量AB的模和方向余弦.解:AB={-1-1，1-2，2-（-3）}={-2，-1，5}，所以該向量的模為|AB|=（-2）2+（-1）2+52=30，于是，向量AB的方向余弦分別為cosα=-230，cosβ=-130，cosγ=530.7.3向量的數(shù)量積與向量積

兩向量間的乘法運(yùn)算分：數(shù)量積和向量積兩種，下面分別討論它們的定義、運(yùn)算及性質(zhì).首先，我們從物理中功的求法，引入兩向量的數(shù)量積的概念.7.3.1兩向量的數(shù)量積引例1如圖7.16所示，一個(gè)物體在恒力F作用下，沿直線(xiàn)從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到了B點(diǎn)，其中A到B的位移是s，力F與位移s的夾角為θ，問(wèn)在該過(guò)程上力F對(duì)物體所做的功是多少？

分析由物理知識(shí)，容易得到W=|F||s|cosθ，F(xiàn)，s是兩個(gè)向量（矢量），而W是一個(gè)數(shù)量（標(biāo)量）.在實(shí)際問(wèn)題中，我們時(shí)常也會(huì)遇到類(lèi)似于計(jì)算功的這種情況，為此，引入兩向量的數(shù)量積的概念.1．?dāng)?shù)量積的定義及性質(zhì)定義7.8設(shè)兩個(gè)向量a和b，它們的模及夾角余弦的乘積稱(chēng)為向量a與b的數(shù)量積（又稱(chēng)點(diǎn)積或內(nèi)積），記為a·b，即a·b=|a||b|cos（a，b），依照此定義，力F對(duì)物體所做的功W可以簡(jiǎn)記為W=F·s.再利用向量在軸上的投影性質(zhì)1，得Prjab=|b|cos（a，b），Prjba=|a|cos（a，b），

所以a·b=|a||b|cos（a，b）=|a|Prjab=|b|Prjba.另外，由數(shù)量積的定義，我們還能得到數(shù)量積具有下面的性質(zhì)：（1）a·a=|a||a|=|a|^2，（2）a·0=0，（3）交換律：a·b=b·a，（4）分配律：（a+b）·c=a·c+b·c，（5）結(jié)合律：（λa）·b=λ（a·b）（其中λ是常數(shù)）.7.4平面與空間直線(xiàn)7.5曲面與空間曲線(xiàn)第八章多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)的概念8.1偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用8.5全微分8.3多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則8.4偏導(dǎo)數(shù)8.2方向?qū)?shù)與梯度8.6多元函數(shù)的極值與最值8.78.1多元函數(shù)的概念和二元函數(shù)的極限與連續(xù)

在前面我們所討論的函數(shù)，自變量的個(gè)數(shù)只有一個(gè)（稱(chēng)一元函數(shù)）.但在許多的實(shí)際問(wèn)題中，常常會(huì)遇到自變量的個(gè)數(shù)不止一個(gè)的情況，我們把這樣的函數(shù)稱(chēng)為多元函數(shù).

從一元函數(shù)到多元函數(shù)，其結(jié)論或定理有時(shí)會(huì)出現(xiàn)質(zhì)的差別，而從二元函數(shù)再到多元函數(shù)，絕大多數(shù)的概念和結(jié)論都可以通過(guò)類(lèi)推就能得到.所以，本章主要以二元函數(shù)為例，講解有關(guān)多元函數(shù)微分學(xué)的一些基礎(chǔ)知識(shí).8.1.1多元函數(shù)的概念1.區(qū)域

在一元函數(shù)中，自變量只有一個(gè)，所以我們把自變量看做是數(shù)軸上的點(diǎn)，并且有相應(yīng)的點(diǎn)的鄰域的概念.當(dāng)自變量的個(gè)數(shù)增加到多個(gè)時(shí)，自變量就不能只局限在數(shù)軸上取值了，而是拓展到平面或空間上了.因此，鄰域的概念也相應(yīng)地“拓展”了，即由原來(lái)的一維空間R1，推廣到了二維空間R2，進(jìn)而到n維空間Rn.下面主要以二維空間R2為例講解鄰域的概念.（1）鄰域定義8.1設(shè)P0（x0，y0）是坐標(biāo)面xOy上的一點(diǎn)，δ是某一正數(shù)，在xOy面上到P0的距離小于δ的點(diǎn)的集合稱(chēng)為點(diǎn)P0的δ鄰域，記為U（P0，δ），即U（P0，δ）={（x，y）|（x-x0）2+（y-y0）2<δ}，其中點(diǎn)P0（x0，y0）稱(chēng)為該鄰域的中心，δ為該鄰域的半徑.

點(diǎn)P0的δ鄰域，在幾何上我們可以理解為，以點(diǎn)P0為圓心，以δ為半徑的圓的內(nèi)部點(diǎn)的集合.如圖8.1所示.

當(dāng)U（P0，δ）內(nèi)不包含中心點(diǎn)P0時(shí)，我們稱(chēng)此鄰域?yàn)镻0的空心（或去心）δ鄰域，記為（P0，δ），即（P0，δ）={（x，y）|0<（x-x0）2+（y-y0）2<δ}.在幾何上，（P0，δ）比U（P0，δ）只少了一個(gè)點(diǎn)P0（x0，y0）.

另外，在討論問(wèn)題時(shí)，若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑，則點(diǎn)P0的鄰域可簡(jiǎn)記為U（P0），它表示點(diǎn)P0的某鄰域.（2）區(qū)域的概念

設(shè)平面上有一個(gè)點(diǎn)集（以點(diǎn)為元素構(gòu)成的集合）A，如果對(duì)于A內(nèi)的任意兩點(diǎn)P1和P2，能用只屬于A內(nèi)的一條折線(xiàn)連結(jié)起來(lái)，則稱(chēng)點(diǎn)集A是連通的.如圖8.2所示.

設(shè)E是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，點(diǎn)P是E內(nèi)的一點(diǎn)（記P∈E），如果存在P的某鄰域U（P），使得U（P）也在E內(nèi)，即U（P）E，如圖8.3所示，那么稱(chēng)點(diǎn)P為點(diǎn)集E的內(nèi)點(diǎn)；如果U（P）既含有E內(nèi)的點(diǎn)，又含有E外的點(diǎn)，那么稱(chēng)點(diǎn)P為區(qū)域E的邊界點(diǎn)；所有邊界點(diǎn)構(gòu)成的集合，稱(chēng)為區(qū)域E的邊界.如果E內(nèi)的點(diǎn)都是E的內(nèi)點(diǎn)，那么點(diǎn)集E稱(chēng)為開(kāi)集；如果點(diǎn)集E的邊界點(diǎn)也屬于點(diǎn)集E，則稱(chēng)E為閉集.定義8.2連通的開(kāi)集稱(chēng)為開(kāi)區(qū)域，簡(jiǎn)稱(chēng)區(qū)域；開(kāi)區(qū)域連同它的邊界點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集，稱(chēng)為閉區(qū)域.例如，點(diǎn)集A={（x，y）|x2+y2≤a2}表示圖84(1)所示的一閉區(qū)域；點(diǎn)集B={（x，y）|x+y>0}表示圖8.4(2)所示的一開(kāi)區(qū)域.

由此我們得到，E的內(nèi)點(diǎn)必屬于E；E的外點(diǎn)必不屬于E；E的邊界點(diǎn)有可能屬于E，也有可能不屬于E.另外，還有一類(lèi)稱(chēng)為聚點(diǎn)的點(diǎn).定義8.3如果對(duì)于任意給定的δ>0，點(diǎn)P的去心鄰域（P0，δ）內(nèi)總有E中的點(diǎn)，則稱(chēng)P是E的聚點(diǎn).

如果一個(gè)區(qū)域D內(nèi)的任意兩個(gè)點(diǎn)之間的距離都不會(huì)超過(guò)某一正數(shù)M，則稱(chēng)區(qū)域D為有界區(qū)域；否則稱(chēng)為無(wú)界區(qū)域.例如，圖8.4(1)是一個(gè)有界區(qū)域；圖8.4(2)是一個(gè)無(wú)界區(qū)域.3多元函數(shù)的概念（1）二元函數(shù)的概念

在幾何上，我們都知道圓柱體的體積V與它的半徑r和高h(yuǎn)存在著V=πr2h的關(guān)系；在物理上，對(duì)于一個(gè)純電阻電路來(lái)講，在電阻R上消耗的功率P與電阻R和電流I存在著P=I2R的關(guān)系.它們雖然分屬不同的學(xué)科，但它們卻表明同樣一種關(guān)系：那就是將一個(gè)量與另外兩個(gè)量形成了某種對(duì)應(yīng)，在數(shù)學(xué)上將其抽象概括，即得到：定義8.4設(shè)有兩個(gè)變量x，y，如果當(dāng)自變量x，y在某一區(qū)域D內(nèi)取一確定的值x，y時(shí)，通過(guò)對(duì)應(yīng)法則f，總有唯一一個(gè)數(shù)值z(mì)與之對(duì)應(yīng)，那么稱(chēng)對(duì)應(yīng)法則f是自變量x，y到z的二元函數(shù).記為z=f（x，y），其中稱(chēng)x，y為自變量；z為因變量；區(qū)域D稱(chēng)為定義域；所有函數(shù)值構(gòu)成的集合稱(chēng)為值域.（2）多元函數(shù)的概念

類(lèi)似地，我們可定義三元函數(shù)u=f（x，y，z），以及三元以上的函數(shù)u=f（x1，x2，…，xk）（k=4，5，…，n），我們把二元或二元以上的函數(shù)稱(chēng)為多元函數(shù).

同一元函數(shù)一樣，多元函數(shù)也有兩要素：對(duì)應(yīng)法則和定義域.

一元函數(shù)和二元函數(shù)在定義域和所代表的圖形上也是有差別的：一元函數(shù)的定義域是數(shù)軸上的點(diǎn)的集合，二元函數(shù)的定義域是平面上點(diǎn)的集合；一元函數(shù)的圖形是平面上的曲線(xiàn)，而二元函數(shù)代表的圖形一般是空間上的曲面，如圖8.5所示.2.二元函數(shù)的連續(xù)性

與一元函數(shù)的連續(xù)類(lèi)似，我們可得到二元函數(shù)的連續(xù)的定義：定義8.6設(shè)二元函數(shù)z=f（x，y）的定義域?yàn)镈，點(diǎn)P（x0，y0）是D的聚點(diǎn)，且P∈D.如果有l(wèi)imx→x0y→y0f（x，y）=f（x0，y0）,則稱(chēng)函數(shù)z=f（x，y）在（x0，y0）點(diǎn)連續(xù),稱(chēng)（x0，y0）是函數(shù)的連續(xù)點(diǎn).另外，我們還可以通過(guò)函數(shù)的自變量和因變量的增量來(lái)定義二元函數(shù)的連續(xù)：

定義8.7設(shè)Δx=x-x0，Δy=y-y0是函數(shù)z=f（x，y）的自變量（x，y）在（x0，y0）處的增量，相應(yīng)地，Δz=f（x0+Δx，y0+Δy）-f（x0，y0）是函數(shù)在（x0，y0）處的全增量.如果有l(wèi)imΔx→0Δy→0Δz=0,則稱(chēng)二元函數(shù)z=f（x，y）在（x0，y0）處連續(xù).設(shè)函數(shù)z=f（x，y）在D上有定義，D內(nèi)的每一點(diǎn)都是函數(shù)定義域的聚點(diǎn).如果函數(shù)z=f（x，y）在D內(nèi)每一點(diǎn)處都連續(xù)，那么稱(chēng)函數(shù)z=f（x，y）在D上是連續(xù)，或者說(shuō)函數(shù)z=f（x，y）在D上是連續(xù)函數(shù).【例3】設(shè)函數(shù)f（x，y）=cosx，證明函數(shù)f（x，y）在R2上是連續(xù)函數(shù).

解:設(shè)P0（x0，y0）∈R2.對(duì)任意ε>0，由于cosx在x0處是連續(xù)的，故存在δ>0，當(dāng)|x-x0|<δ時(shí)，恒有|cosx-cosx0|<ε，上述的δ作為P0（x0，y0）的鄰域U（P0，δ）中的δ，則當(dāng)P（x，y）U（P0，δ）時(shí)，顯然有|x-x0|≤ρ（P，P0）<δ，從而|f（x，y）-f（x0，y0）|=|cosx-cosx0|<ε，即函數(shù)f（x，y）=cosx在P0（x0，y0）點(diǎn)是連續(xù)的，根據(jù)P0（x0，y0）的任意性知，f（x，y）=cosx在R2上是連續(xù)函數(shù).

如果函數(shù)z=f（x，y）在（x0，y0）處不連續(xù)，則稱(chēng)點(diǎn)（x0，y0）是函數(shù)的一個(gè)間斷點(diǎn).對(duì)于連續(xù)函數(shù)，我們?nèi)钥傻玫脚c一元函數(shù)類(lèi)似的一些結(jié)論：（1）有限個(gè)連續(xù)函數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算（作商時(shí)分母不為零）后得到的函數(shù)仍是連續(xù)的；2）連續(xù)函數(shù)進(jìn)行有限次復(fù)合后得到的函數(shù)仍是連續(xù)的.

由于多元基本初等函數(shù)是經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算或有限次的復(fù)合運(yùn)算而形成的，且可以由一個(gè)式子表達(dá)的函數(shù)稱(chēng)為多元初等函數(shù).像z=ln（x2+y2），z=xyx2+y2等，都是二元初等函數(shù).（顯然，所有的多元初等函數(shù)在其定義域區(qū)域內(nèi)都是連續(xù)的.對(duì)于