高等數(shù)學（上下冊）PPT完整全套教學課件

第一章集合與函數(shù)

集合1.1映射與函數(shù)1.2

建立函數(shù)關(guān)系式1.3第1章集合與函數(shù)第2章函數(shù)的極限與連續(xù)第3章函數(shù)的導數(shù)與微分第4章微分中值定理與導數(shù)的應(yīng)用第5章不定積分第6章定積分第7章空間解析幾何與向量代數(shù)第8章多元函數(shù)微分學第9章多元函數(shù)積分學第10章曲線積分與曲面積分第11章無窮級數(shù)第12章常微分方程1.1.1集合的概念所謂集合，按集合論的奠基者康托爾（Cantor）所述：“集合”為我們的感覺或思維中確定的個別對象的匯總。通俗地說，集合就是指具有某種屬性的對象的全體，所確定的每一個對象稱為集合的“元素”。

集合（簡稱集）的例子很多.例如，自然數(shù)的全體構(gòu)成一個集合；整數(shù)的全體構(gòu)成一個集合；實數(shù)的全體也構(gòu)成一個集合.通常我們把自然數(shù)的全體構(gòu)成的集合記作N={0，1，2，3，…}，整數(shù)的全體構(gòu)成的集合記作Z={0，±1，±2，…}，實數(shù)的全體構(gòu)成的集合記作R.

習慣上，我們用大寫字母A，B，C…表示集合，而用小寫字母a，b，c，…表示元素.

通常我們用列舉法或性質(zhì)描述法來表示一個集合.列舉法表示一個集合的形式為A={a，b，c，…}.

用性質(zhì)描述法表示一個集合的形式為A={x|x具有的性質(zhì)}.

例如，上面的自然數(shù)集N={0，1，2，3，…}，整數(shù)集Z={0，±1，±2，…}等都是用列舉法表示的集合；而對于X={xx<0，x∈R}，A={xx3-1=0}等都是用性質(zhì)描述法表示的集合.

集合的表示方法便于我們表示一個具有某種性質(zhì)的集合.例如，為了表示以正實數(shù)為元素的集合，我們可記為X={x|x>0}.

為了表示介于a與b之間的所有實數(shù)為元素的集合，我們可記為Y={xa<x<b}.

同樣，為了表示以圓x^2+y^2=1上的點為元素的集合可表示為A={（x，y）x^2+y^2=1}.注集合的元素不僅可以是抽象的數(shù)，也可以是一些具體的實物.例如，將某班級看作一個集合，其元素可取為該班的學生；若將某公司看作一個集合，它所屬的工廠就可作為元素.

如果a是集合A的元素，則記作a∈A，讀作a屬于A；如果a不是A的元素，則記作aA，讀作a不屬于A.一個集合，若它只含有限個元素，則稱為有限集；不是有限集的集合稱為無限集.

不包含任何元素的集合，稱為空集，記作.

例如：若A={x|x>0且x<0}，則A是空集，于是記為A=.【例1】用集合符號表示下列集合：（1）方程x^2-3x+2=0的根的集合；（2）小于10的全體正整數(shù)的集合；（3）直線x+y=1上的點的集合.

解（1）A={1，2}；

（2）A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}；

（3）A={（x，y）x+y=1}.1.1.2集合的運算1集合的并

設(shè)集合A和B，由A和B的所有元素構(gòu)成的集合，稱為A與B的并集，記作A∪B，讀作A并B即A∪B={x|x∈A或x∈B}.顯然有（1）A包含于（A∪B）（2）B包含于（A∪B）（3）A∪A=A（4）A∪U=U（5）A∪○=A.2集合的交

設(shè)集合A和B，由A和B的所有公共元素構(gòu)成的集合稱為A與B的交集，記作A∩B，讀作A交B即A∩B={x|x∈A且x∈B}.顯然有（1（A∩B包含于A（2）（A∩B）包含于B（3）A∩U=A（4）A∩A=A（5）A∩=.3集合的補

設(shè)全集U中所有不屬于A的元素構(gòu)成的集合，稱為A的補集，記作A，讀作A的補集即A={xx∈U且xA}.4集合的差

設(shè)集合A和B，由屬于A，而不屬于B的所有元素構(gòu)成的集合稱為A與B的差集，記為A-B，讀作A與B的差集即A-B={xIx∈A且xB}.【例2】利用集合的運算表示下列集合，并求出集合的元素的個數(shù).

設(shè)某班有100名學生，有70名學生會講漢語，以集合A表示這些學生；有75名學生會講英語，以集合B表示這些學生；有50名學生兩種語言都會講，以集合C表示這些學生.求：（1）只會講漢語的學生的集合及人數(shù)；（2）只會講英語的學生的集合及人數(shù)；（3）兩種語言中至少會其中一種的學生的集合及人數(shù)；（4）兩種語言都不會講的學生的集合及人數(shù).解（1）只會講漢語的學生的集合A-C.人數(shù)為70-50=20（人）.

（2）只會講英語的學生的集合B-C,人數(shù)為75-50=25（人）.

（3）兩種語言中至少會其中一種的學生的集合A∪B,人數(shù)為20+25+50=95（人）.

（4）兩種語言都不會講的學生的集合A∪B,人數(shù)為1００－９５＝５（人）.【例3】如果A={x|0<x<5}，B={x|3<x<6}，求：（1）A∪B；（2）A∩B；（3）A-B；（4）B-A.解（1）A∪B={x|0<x<6};（2）A∩B={x|3<x<5};（3）A-B={x|0<x≤3};（4）B-A={x|5≤x<6}.1．1．3區(qū)間和鄰域

上面我們給出了集合的定義及其一些運算規(guī)律，下面我們再來認識實數(shù)集R中兩類重要的數(shù)集：區(qū)間和鄰域.1區(qū)間

通俗地講，區(qū)間就是介于兩實數(shù)a與b之間的一切實數(shù)，其中a，b稱為區(qū)間的兩個端點；當a<b時，則稱a為左端點，b為右端點.區(qū)間可分為有限區(qū)間和無限區(qū)間.有限區(qū)間設(shè)a，b∈R且a<b,（1）閉區(qū)間：若A={xa≤x≤b}，則集合A稱為以a，b為端點的閉區(qū)間，記為［a，b］，即［a，b］={xa≤x≤b}.（2）開區(qū)間：若A={xa<x<b}，則集合A稱為以a，b為端點的開區(qū)間，記為（a，b），即（a，b）={xa<x<b}.

（3）左半開區(qū)間：若A={xa<x≤b}，則集合A稱為以a，b為端點的左半開區(qū)間，記為（a，b］，即（a，b］={xa<x≤b}.（4）右半開區(qū)間：若A={xa≤x<b}，則集合A稱為以a，b為端點的右半開區(qū)間，記為［a，b），即［a，b）={xa≤x<b}.無限區(qū)間就是a與b兩端點中至少有一個端點是負無窮大或正無窮大.

為了表示正無窮大或負無窮大，我們引入記號“+∞”表示正無窮大，“-∞”表示負無窮大，則無限區(qū)間可分為：（1）（a，+∞）={xx>a};

（2）［a，+∞）={xx≥a};

（3）（-∞，b）={xx<b};

（4）（-∞，b］={xx≤b};

（5）（-∞，+∞）={x-∞<x<+∞}=R.1.2映射與函數(shù)1．2．1映射的概念定義1.2設(shè)X、Y是兩個非空集合，如果存在一個法則f，使得對X中每個元素x，按法則f，在Y中有唯一確定的元素與之對應(yīng)，則稱f為從X到Y(jié)

的映射，記作f：X→Y,其中y稱為元素x的像，并記作f（x），即：y=f（x），而元素x稱為元素y的一個原像；集合X稱為映射f的定義域，記作Df，即Df=X；X中所有元素的像組成的集合稱為映射的值域，記作Rf，即Rf=f（X）={f（x）|x∈X}.

從上述映射的定義中，需要注意的是：（1）構(gòu)成映射必須具備以下三個要素：集合X，集合Y，對應(yīng)法則f，使對每個x∈X，有唯一確定的y=f（x）與之對應(yīng).（2）對每個x∈X，元素x的像y是唯一的；而對每個y∈Rf，元素y的原像不一定是唯一的；映射f的值域Rf是Y的一個子集RfY，即，不一定Rf=Y.5兩函數(shù)和（差）的定義域，應(yīng)是兩函數(shù)定義域的公共部分；6分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集；7

求復(fù)合函數(shù)的定義域時，一般是由外層向里層逐步求.1．2．3函數(shù)的幾種特性下面所討論的函數(shù)的定義域都假設(shè)為D.1奇偶性

如果函數(shù)f（x）的定義域D關(guān)于原點對稱，對于任意x∈D都有f（-x）=f（x），則稱函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；

如果函數(shù)f（x）的定義域D關(guān)于原點對稱，對于任意x∈D都有f（-x）=-f（x），則稱函數(shù)f（x）為奇函數(shù).1.3建立函數(shù)關(guān)系式第二章函數(shù)的極限與連續(xù)

函數(shù)的極限2.1函數(shù)的連續(xù)性2.5極限的運算法則2.3兩個重要極限2.4無窮小量與無窮大量2.22.1函數(shù)的極限

函數(shù)概念刻畫了變量之間的關(guān)系，而極限概念著重刻畫了變量的變化趨勢.極限是學習微積分的基礎(chǔ)和工具.2．1．1數(shù)列的極限

先說明數(shù)列的概念.如果按照某一法則，對每個n∈N+，對應(yīng)著一個確定的實數(shù)xn，這些實數(shù)xn按照下標n從小到大排列得到的一個序列x1，x2，x3，…，xn，…,就叫做數(shù)列，簡記為數(shù)列{xn}.

數(shù)列中的每一個數(shù)叫做數(shù)列的項，第n項xn叫做數(shù)列的一般項.數(shù)列x1，x2，…，xn…,可以看作自變量為正整數(shù)的函數(shù)f（n），其中f（n）=xn，因此，數(shù)列的極限是一類特殊函數(shù)的極限，為了便于學習函數(shù)極限，我們先給出數(shù)列極限的定義.2.2無窮小量與無窮大量2．2．1無窮小量1無窮小量的定義定義2.5極限為零的變量稱為無窮小量，簡稱無窮小.特別地，以零為極限的數(shù)列{xn}稱為n→∞時的無窮小.由定義可知當x→0時，x、tanx等，都是無窮?。划攛→∞時，1/x、1/x^2等也是無窮小.注（1）零是唯一的可以看作是無窮小的常數(shù).（2）不要把無窮小與很小的數(shù)混為一談.因為無窮小是這樣的函數(shù)，在x→x0（或x→∞）的過程中，這函數(shù)的絕對值能小于任意給定的正數(shù)ε，而很小的數(shù)如百萬分之一，就不能小于給定的正數(shù)ε（可以取千萬分之一）.(3）一般來說，無窮小是相對于自變量的某個變化趨勢而言的.2.3極限的運算法則2.4兩個重要極限

通過上面三節(jié)的學習，我們知道了一些求極限的方法，如運用極限的定義和運算法則.除此之外，我們還經(jīng)常遇到下面要討論的兩個重要極限.本節(jié)給出判定極限存在的兩個準則，并依據(jù)它們給出兩個重要極限.2．4．1判定極限存在的兩個準則準則1（夾逼準則）如果數(shù)列{xn}、{yn}及{zn}滿足下列條件：（1）從某項起，即n0∈N，當n＞n0時，有yn≤xn≤zn，（2）limn→∞yn=a，limn→∞zn=a，

那么數(shù)列{xn}的極限存在，且limn→∞xn=a.準則2單調(diào)有界數(shù)列必有極限.

在本章2.1節(jié)中，我們已經(jīng)看到有界數(shù)列不一定有極限，但準則2指出，單調(diào)且有界的數(shù)列必有極限.2．4．2兩個重要極限公式2.5函數(shù)的連續(xù)性

連續(xù)性是函數(shù)的重要性態(tài)之一，它反映了自然界中的許多現(xiàn)象，例如氣溫，物體運動的路程等都隨著時間的改變而發(fā)生連續(xù)變化，當時間的改變量很小時，則該時刻氣溫的溫度，物體運動的路程的改變量也很小.在數(shù)學上，我們就可以用函數(shù)的連續(xù)性來表達這一性質(zhì).

下面我們先給出變量的增量（或稱改變量）的概念，再引入函數(shù)連續(xù)的概念.

設(shè)y=f（x）在x0的某個鄰域內(nèi)有定義，當自變量從x0變動到x時，稱Δx=x-x0為自變量的增量（或改變量），對應(yīng)函數(shù)值從f（x0）變動到f（x0+Δx），稱Δy=f（x0+Δx）-f（x0）為函數(shù)的增量（或改變量）.變量的增量可以是正數(shù)、負數(shù)或零.

關(guān)于函數(shù)的左連續(xù)和右連續(xù)有下面的一個定理：定理2.8函數(shù)f（x）在點x0處連續(xù)的充分必要條件是函數(shù)f（x）在該點左連續(xù)且右連續(xù).

如果函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)每一點都連續(xù)，則稱函數(shù)y=f（x）在（a，b）內(nèi)連續(xù)，區(qū)間（a，b）稱為連續(xù)區(qū)間.如果函數(shù)y=f（x）在（a，b）內(nèi)連續(xù)，且該函數(shù)在左端點處右連續(xù)，在右端點處左連續(xù)，則稱函數(shù)f（x）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù).函數(shù)f（x）在它的定義域內(nèi)的每一點都連續(xù)，則稱f（x）為連續(xù)函數(shù).

從幾何直觀上，區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的圖象是一條不間斷的曲線.2.5.4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有一些非常重要的性質(zhì)，下面僅給出定理的敘述，不做證明.定理2.13（最值存在定理）閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必能取到最大值和最小值.即若f（x）在［a，b］上連續(xù)，則在［a，b］上至少存在一點ξ1和一點ξ2，對于［a，b］上任一點x，均滿足：f（ξ1）≤f（x）≤f（ξ2），稱f（ξ1）為f（x）在［a，b］上的最小值，f（ξ2）為f（x）在［a，b］上的最大值.

注:如果定理2.13中“閉區(qū)間”和“連續(xù)”的條件不具備時，結(jié)論可能不成立.如函數(shù)y=x在開區(qū)間（0，1）內(nèi)連續(xù)，但它既無最大值也無最小值.推論1（有界定理）閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有界.定理2.14（介值定理）閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必能取到介于最大值和最小值之間的一切值，即函數(shù)f（x）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，c是介于f（x）的最大值M和最小值m之間的一個值，則至少存在一點ξ∈［a，b］，使得f（ξ）=c.

推論2（零點存在定理）若f（x）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，且f（a）·f（b）<0，則至少存在一點ξ∈（a，b），使得f（ξ）=0.這個定理也叫做根的存在定理，常用來判斷方程是否存有根.【例14】證明方程x^5-3x^3+1=0在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有一個根.

證明:令f（x）=x^5-3x^3+1，則f（x）顯然在［0，1］上連續(xù)，并且有f（0）=1>0；f（1）=-1<0,則由零點存在定理可知，在（0，1）內(nèi)至少存在一點ξ，使得f（ξ）=0，即ξ^5-3ξ^3+1=0，ξ∈（0，1）,這說明方程x^5-3x^3+1=0在（0，1）內(nèi)至少有一個根.第三章函數(shù)的導數(shù)與微分導數(shù)的概念3.1反函數(shù)及復(fù)合函數(shù)求導法則3.3函數(shù)和、差、積、商求導3.2隱函數(shù)的求導3.4函數(shù)的微分3.6高階導數(shù)3.53.1導數(shù)的概念

微分學是微積分學的兩大部分之一，它又分一元函數(shù)微分學和多元函數(shù)微分學兩個部分.本章討論的是一元函數(shù)微分學，多元函數(shù)微分學我們將會在本書（下冊）第8章中學習.

一元函數(shù)微分學中最基本的概念是導數(shù)和微分，導數(shù)反映了函數(shù)相對于自變量的變化快慢程度，微分則指明了當自變量有微小變化時，函數(shù)大體上變化多少.3.1導數(shù)的概念3.1.1引例

在歷史上，導數(shù)的概念主要起源于兩個著名的問題：一個是求非勻變速直線運動的瞬時速度問題；另一個是求曲線的切線問題.1變速直線運動的瞬時速度問題3.2函數(shù)和、差、積、商求導法則3.3反函數(shù)及復(fù)合函數(shù)求導法則3.4隱函數(shù)以及參數(shù)方程的求導3.4.1隱函數(shù)的求導方法

以前我們所遇到的函數(shù)如y=x^2+1，y=sinx+ln（x+cosx）等都是顯函數(shù)，其特點是式子左端是因變量，右端是僅關(guān)于自變量的表達式.而一個函數(shù)的對應(yīng)法則可以有多種多樣的表達方式，所謂隱函數(shù)是指給定方程F（x，y）=0中每當x取某一區(qū)間內(nèi)任一值時，按照方程F（x，y）=0總可以解得唯一的y值與其對應(yīng)，這樣就稱F（x，y）=0在該區(qū)間內(nèi)確定了一個關(guān)于x的隱函數(shù).

前面我們已經(jīng)知道，把一個隱函數(shù)化為顯函數(shù)，叫作隱函數(shù)的顯化.另外我們還知道有一些隱函數(shù)不易顯化或很難顯化，這樣我們就需考慮直接由方程入手來計算其所決定的隱函數(shù)導數(shù)的方法.下面由幾個具體的例子來說明它的求法.3.5高階導數(shù)3.6函數(shù)的微分

在自然科學與工程技術(shù)中，常遇到這樣一類問題：在運動變化過程中，當自變量有微小增量Δx時，需要計算相應(yīng)的函數(shù)改變量Δy.

對于一個一般的函數(shù)y=f（x），Δy與Δx之間的關(guān)系比較復(fù)雜，這一點不利于計算Δy相應(yīng)于自變量Δx的增量.能否有較簡單的關(guān)于Δx的線性關(guān)系去近似代替Δy的復(fù)雜關(guān)系呢？近似后所產(chǎn)生的誤差又是怎樣的呢？現(xiàn)在我們以可導函數(shù)y=f（x）來研究這個問題.3.6.1微分的概念第四章微分中值定理及導數(shù)應(yīng)用微分中值定理4.1圖像的描繪4.5函數(shù)的極值與最值4.3曲線的凹凸性與拐點4.4函數(shù)的單調(diào)性4.2曲率4.64.1微分中值定理

導數(shù)反映的是函數(shù)在某一點處的局部性質(zhì)，本章我們將學習微分學基本定理，在微分中值定理的基礎(chǔ)上進一步從局部性質(zhì)去推斷函數(shù)在某個區(qū)間上的整體性態(tài).4.1.1微分中值定理

引理（費馬定理）設(shè)函數(shù)y=f（x）在（a，b）內(nèi)有定義，且在（a，b）內(nèi)的點ξ處取得最大（小）值；另外y=f（x）在ξ處可導，則必有f′（ξ）=0.1羅爾定理定理4.1設(shè)函數(shù)f（x）滿足：（1）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導；（3）f（a）=f（b）.則至少存在一點ξ∈（a,b），使得f′（ξ）=0.證明：由條件（1）知，f（x）在［a，b］上存在最大值M和最小值m.

特殊地，若M=m時，則f（x）為常值函數(shù)，此時結(jié)論總成立；一般地，若M>m時，則由條件（3）f（a）=f（b）知，M和m中至少有一個在區(qū)間（a，b）內(nèi)部取得（不妨設(shè)為M），根據(jù)費馬定理得，至少存在一點ξ，使得f′（ξ）=0.【例1】設(shè)f（x）=（x－1）（x－2）（x－3）（x－4），不求導數(shù)證明f′（x）=0有且僅有三個實根.證明：顯見f（x）=0有四個實根x=1，2，3，4.考察區(qū)間［1，2］，［2，3］，［3，4］，這三個區(qū)間顯然滿足羅爾定理的三個條件，于是得f′（x）=0在其內(nèi)各至少有一個實根，所以方程f′（x）=0至少有三個實根；另一方面，f′（x）是一個三次多項式，在實數(shù)范圍內(nèi)至多有三個實根.

綜上可知，f′（x）=0有且僅有三個實根.4.2函數(shù)的單調(diào)性

單調(diào)性是函數(shù)的重要特性，這一節(jié)將討論怎樣用導數(shù)這一工具來判斷函數(shù)的單調(diào)性.首先觀察下面的兩圖（見圖4.5），注意觀察曲線的單調(diào)性與其上切線的走向和切線斜率的符號.

容易看出，曲線的單調(diào)性跟其上任一點處的切線走向密切相關(guān)，直觀上不難理解如下的函數(shù)單調(diào)性判定定理.定理4.6設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間I上可導，如果在區(qū)間I上滿足：（1）在I上f′（x）>0，那么函數(shù)f（x）在I上單調(diào)增加；（2）在I上f′（x）<0，那么函數(shù)f（x）在I上單調(diào)減少.證明：在區(qū)間I上任意取兩點x1，x2（x1<x2），考察區(qū)間［x1，x2］滿足拉格朗日中值定理，所以在（x1，x2）內(nèi)至少存在一點ξ，使得f（x2）－f（x1）=f′（ξ）（x2－x1）（x1<ξ<x2），因為x1<x2，所以在區(qū)間I上f′（x）>0時，f（x2）－f（x1）>0，函數(shù)f（x）在I上單調(diào)增加；同理f′（x）<0時，函數(shù)f（x）在I上單調(diào)減少.【例1】證明函數(shù)f（x）=sinx－x+x36在區(qū)間［0，+∞）上是單調(diào)增加的.

證明：函數(shù)f（x）的一階導數(shù)是f′（x）=cosx－1+x22，因為二階導數(shù)f″（x）=x－sinx>0（x>0），所以f′（x）單調(diào)增加.即f′（x）>f′（0），又因f′（0）=0，所以f′（x）>0（x>0），從而得f（x）在區(qū)間［0，+∞）上是單調(diào)增加.4.3函數(shù)的極值與最值4.3.1極值定義4.1設(shè)f（x）在U（x0）內(nèi)有定義，則對于U（x0）內(nèi)異于x0的點x都滿足：f（x）<f（x0）

則稱函數(shù)f（x）在x0處取得極大值，x0稱作極大值點；反之，若有f（x）>f（x0）都成立，則稱f（x）在x0處取得極小值，x0稱作極小值點.函數(shù)的極大值和極小值統(tǒng)稱為極值，使函數(shù)取得極值的點稱作極值點.

關(guān)于函數(shù)極值應(yīng)注意如下幾點：（1）函數(shù)極值的概念是局部性的，函數(shù)的極大值和極小值之間并無確定的大小關(guān)系；（2）由極值的定義知，函數(shù)的極值只能在區(qū)間內(nèi)部取得，不能取在區(qū)間端點上.下面來討論函數(shù)極值的求法.

由費馬定理知，對于可導函數(shù)，在函數(shù)的極值點處函數(shù)的導數(shù)為零.這就是函數(shù)極值存在的必要條件.今后我們稱使得函數(shù)導數(shù)為零的點為函數(shù)的駐點.則函數(shù)極值存在的必要條件又可以敘述為：定理4.7（極值存在的必要條件）可導函數(shù)y=f（x）在x0點取得極值，則點x0一定是其駐點，即f′（x0）=0.據(jù)此定理，為我們尋求函數(shù)的極值點劃定了一定的范圍.但是，函數(shù)的駐點不一定是函數(shù)的極值點.例如，x=0是函數(shù)y=x3的駐點但不是極值點.那么駐點具備什么樣的條件才是函數(shù)的極值點呢？

從幾何直觀上容易理解，如果曲線通過某點時先增后減，則對應(yīng)于該點取得極大值；反之，如果先減后增，則對應(yīng)于該點取得極小值.利用上節(jié)的結(jié)論容易得到判定函數(shù)極值點的方法.

極值存在的判定定理有多個，在這里我們只介紹兩個常用的定理.定理4.8（極值存在的第一充分條件）設(shè)函數(shù)f（x）在x0處連續(xù)，在U（0）內(nèi)可導，如果滿足：（1）當x<x0時，f′（x0）>0；當x>x0時，f′（x0）<0，那么f（x）在x0處取得極大值；（2）當x<x0時，f′（x0）<0；當x>x0時，f′（x0）>0，那么f（x）在x0處取得極小值；（3）當f′（x）的符號不發(fā)生改變時，則f（x）在點x0處不取得極值.

以上的討論僅限于可導函數(shù)，對于含有不可導點的函數(shù)來說，不可導點也可能成為函數(shù)的極值點，例如，函數(shù)y=|x|在x=0處取得極小值，但卻不可導.我們有時稱導數(shù)不存在的點為可能極值點.

綜合以上討論，我們可按如下步驟求函數(shù)的極值：

（1）確定函數(shù)的定義域；

（2）求出函數(shù)的駐點和不可導的點；

（3）利用充分條件依次判斷這些點是否是函數(shù)的極值點.4.3.2最值

在生產(chǎn)實踐和工程技術(shù)中經(jīng)常會遇到最值問題：在一定條件下，怎樣才能使得成本最低、利潤最高、原材料最省等等.這類問題在數(shù)學上有時可歸結(jié)為求某一函數(shù)（通常稱為目標函數(shù)）的最大值最小值問題，在這一段中，我們就來討論函數(shù)的最值問題.

設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)、（a，b）內(nèi)可導，且至多有有限個極值點.根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，f（x）在［a，b］上一定存在最值，而且，如果函數(shù)的最值是在區(qū)間內(nèi)部取得，那么其最值點也一定是函數(shù)的極值點，因而也一定是函數(shù)的駐點（由假設(shè)）.當然，函數(shù)的最值點也可能取在區(qū)間的端點上.因此，我們可以按照如下的步驟來求函數(shù)的最值：4.4曲線的凹凸性與拐點

在前面兩節(jié)，我們討論學習了函數(shù)單調(diào)性和極值的判定方法，這些對于我們研究函數(shù)性態(tài)作出函數(shù)圖形有很大的幫助，在本節(jié)中我們就函數(shù)的單調(diào)性作更細致的研究.

我們首先還是來觀察下面的兩條曲線，如圖4.6所示，看一看它們單調(diào)增加的方式有什么不同.

一個很明顯的區(qū)別是：雖然它們都是單調(diào)遞增的，但是一個是向上“鼓鼓”地增；另一個是向下“鼓鼓”地增，它們遞增的方式是不同的.那么如何判定函數(shù)的單調(diào)變化方式呢？我們先引入如下定義.4.5圖像的描繪4.6曲率第五章不定積分不定積分的概念和性質(zhì)5.1有理數(shù)積分法5.5換元積分法5.3分部積分法5.4不定積分基本公式5.2積分表的使用方法5.65.1不定積分的概念和性質(zhì)

在前面第3章中，我們經(jīng)常會遇到求已知函數(shù)的導數(shù)（或微分）問題.同樣在問題研究中有時也會遇到與此相反的問題，即知道了一個函數(shù)的導數(shù)（或微分），如何求出這個函數(shù).該問題的解決就需要用到積分學的一個基本知識：不定積分.

在微分學中研究的一個基本問題是：已知一個函數(shù)怎么樣將它的導數(shù)（或微分）求出來；而在我們將要學習的積分學中的基本問題是：根據(jù)所給函數(shù)的導數(shù)（或微分）如何來求它原來的函數(shù)，這就是“原函數(shù)”的概念.5.1.1原函數(shù)首先，我們給出原函數(shù)的定義.定義5.1設(shè)函數(shù)F（x）是定義在區(qū)間I上的可導函數(shù)，如果滿足F′（x）=f（x），則我們稱在區(qū)間I上，F(xiàn)（x）是f（x）的一個原函數(shù).

例如，在（-∞，+∞）上，因為（sinx）′=cosx，所以在（-∞，+∞）內(nèi)sinx是cosx的一個原函數(shù).另外，我們還會發(fā)現(xiàn)，像sinx+1、sinx-3等等，同樣也是cosx的原函數(shù)，由此可見，一個函數(shù)的原函數(shù)并不唯一.

那么如何去尋找一個函數(shù)的所有原函數(shù)呢？它們之間是否存在著某些聯(lián)系呢？這是我們下面需要討論的問題.5.2不定積分基本公式5.3換元積分法5.4分部積分法5.5有理函數(shù)的積分5.6積分表的使用方法

在前幾節(jié)里，我們主要討論了一些簡單函數(shù)的不定積分求法.而在實際應(yīng)用或?qū)嵺`工作中，我們也許會遇到一些比較繁雜函數(shù)的不定積分求解問題，為了迅速而準確的計算它們，我們對一些常見函數(shù)的積分匯編成表格：不定積分表，供大家在實際計算中應(yīng)用.

此表共分15大類，共計153個公式（見教材后附“積分表”）.當我們需要計算某個不定積分時，可以找到相應(yīng)的類型，將被積函數(shù)與表中的被積函數(shù)相對照，確定出公式中的各個系數(shù)，然后將各系數(shù)代到結(jié)果中去即可.但要注意的一點是：有時被積函數(shù)在系數(shù)不同的條件下有不同的結(jié)果，這就要求我們需要驗證系數(shù)滿足的條件后，再代到相應(yīng)的公式中去.第六章定積分

定積分的概念6.1反常積分的審斂法γ函數(shù)6.5定積分的計算6.3廣義積分6.4微積分基本公式6.2定積分的應(yīng)用6.66.1定積分的概念

在積分學中，定積分是另一個基本問題.我們從幾何與力學問題引出定積分的定義，然后討論它的性質(zhì)與計算方法.可以說，只有定積分才能將微積分思想得以真正的完整的體現(xiàn).

為了便于理解，我們首先從這樣兩個例子講起.6.1.1引例引例1面積問題.設(shè)函數(shù)y=f（x）≥0在區(qū)間［a，b］上是連續(xù)的，如圖6.1所示，求由曲線y=f（x），x=a，x=b以及x軸所圍成圖形（該圖形稱為曲邊梯形）的面積A.分析該圖形的面積沒有現(xiàn)成的計算公式，如果用傳統(tǒng)的計算思想和方法去求解顯然是行不通的.微積分卻突破了原先的思維，

提出了一種全新的思維方式：化整為零取近似；聚零為整求極限.

下面，運用這種思想和方法來求曲邊梯形的面積.6.1.4定積分的性質(zhì)

為了計算和理論上的需要，我們在此介紹一下定積分的性質(zhì).這些性質(zhì)都可以利用定積分的定義、極限的性質(zhì)和運算法則推導得出.另外，下列性質(zhì)中的函數(shù)在其積分區(qū)間上都假定是可積的，積分上下限在沒有特別指明的情況下，下限不一定比上限小.6.2微積分基本公式

從上節(jié)的例子可以看出，若利用定義去計算定積分是比較煩瑣的；若利用它的幾何意義來計算定積分，雖然簡單但是卻很有限.那么，對于一般的定積分而言，有沒有一種簡單而有效的方法呢？微積分基本公式就是求定積分最簡練的方法.6.2.1積分上限函數(shù)定義6.2設(shè)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上可積，對任意x∈［a，b］，y=f（x）在［a，x］上可積，且它的值與x構(gòu)成一種對應(yīng)關(guān)系，記作6.3定積分的計算

微積分基本公式將定積分的計算與不定積分聯(lián)系起來，于是定積分的計算也有換元和分部積分兩種基本方法.6.3.1換元積分法定理6.3如果兩定積分∫baf（x）dx和∫βαf（φ（t））φ′（t）dt滿足下列條件：（1）f（x）在區(qū)間［a，b］上連續(xù)；（2）φ（t）在區(qū)間［α，β］上有連續(xù)的導數(shù)，且φ（α）=a，φ（β）=b；（3）f（φ（t））在區(qū)間［α，β］上連續(xù)，則∫baf（x）dx=∫βαf（φ（t））φ′（t）dt.

對上述定理的說明：

定理中的三個條件是為了保證函數(shù)f（x）和f（φ（t））在相應(yīng)區(qū)間上連續(xù)，從而使得它們的積分存在.另外，定理還指出，定積分在換元的同時要換限，即原來的上限對應(yīng)現(xiàn)在的上限，原來的下限要對應(yīng)現(xiàn)在的下限.

下面通過幾個例子，熟悉換元積分法的用法.6.4廣義積分

在前面討論定積分時，被積函數(shù)要么在閉區(qū)間上是連續(xù)的，要么在區(qū)間上只有有限個間斷點且是有界的函數(shù).而在實際問題中，如果當被積函數(shù)不滿足這些條件時，我們又如何去研究類似積分問題呢？本節(jié)將介紹兩類類似于定積分的情況：無窮區(qū)間上的積分和無界函數(shù)的積分，這兩種情況下的積分稱為廣義積分，相應(yīng)的前面所討論的定積分通常稱為常義積分.6.4.1無窮區(qū)間上的廣義積分

先看這樣一個例子：

引例：求由x軸，y軸以及曲線y=e-x所圍的，延伸到無窮遠處的圖形的面積A，如圖6.11所示.6.5反常積分的審斂法6.6定積分的應(yīng)用

在本節(jié)中，我們主要利用微元法討論定積分在幾何和物理上的一些應(yīng)用.6.6.1微元法

在利用定積分的定義計算量F=f（x）在區(qū)間［a，b］上的值時，根據(jù)定積分的定義，我們一般會從四個步驟來進行分析計算：分割、近似表示、求和式、取極限.其中第二步是關(guān)鍵的一步，因為最后的被積表達式的形式就是在這一步中被確定的，第三、四步只不過是對被積函數(shù)在區(qū)間［a，b］上的無限累加.于是，求量F可以簡化成二步：（1）在區(qū)間［a，b］上任取一代表區(qū)間［x，x+Δx］，然后定出在該代表區(qū)間上量F的微元dF=f（x）dx.（2）將量微元dF在區(qū)間［a，b］上積分（即對dF無限累加），從而得到F=∫baf（x）dx，

以上求量F的方法稱為微元法.對微元法的應(yīng)用需注意如下兩點：（1）在代表區(qū)間［x，x+Δx］上確定微元時，一般本著“以常代變”、“以直代曲”、“以勻代不勻”的思路來分析問題中的數(shù)量關(guān)系，從而得到dF=f（x）dx的關(guān)系式.（2）微元dF=f（x）dx的表達一定要準確，即dF與實際函數(shù)的改變量ΔF的誤差是關(guān)于Δx的高階無窮?。é-dF=o（Δx）），否則積分求得的值不是量F.下面就利用微元法來討論定積分在幾何和物理上的一些應(yīng)用.第七章空間解析幾何與向量代數(shù)空間直角坐標系7.1曲面與空間曲線7.5向量的數(shù)量積和向量積7.3平面與空間直線7.4向量代數(shù)7.27.1空間直角坐標系

在平面解析幾何中，通過建立平面直角坐標系把平面上的點與有序?qū)崝?shù)對建立了一一對應(yīng)關(guān)系，從而將平面上的圖形與代數(shù)方程聯(lián)系起來，進而用代數(shù)的方法研究幾何問題.空間解析幾何也是依照類似的方法建立起空間中的點與有序數(shù)組間的一一對應(yīng)關(guān)系，從而將空間圖形與代數(shù)方程聯(lián)系起來，并用代數(shù)的方法研究空間幾何問題.定義7.1在空間中任取一點O，過點O作三條兩兩垂直的數(shù)軸，其中點O稱為坐標原點.三條數(shù)軸分別是x軸（橫軸）、y軸（縱軸）、z軸（豎軸），它們?nèi)唛g的方向符合右手定則，即右手握住z軸，并攏的四指由x軸的正方向自然彎曲指向y軸的正方向，這時拇指所指的方向就是z軸的正方向，

如圖7.1所示.把這三條數(shù)軸統(tǒng)稱為坐標軸.我們把由坐標原點O及符合右手定則的這三條坐標軸，稱為一個空間坐標系.如圖7.2所示.

將平面xOy，yOz，zOx稱為坐標平面.三個坐標面將整個空間分成了八個部分，每一部分稱為一個卦限.由x軸、y軸、z軸的正向所圍成的空間稱為第Ⅰ卦限；在xOy面上方其余三個卦限按逆時針方向依次規(guī)定為第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限；在xOy面下方與第Ⅰ卦限所對的是第Ⅴ卦限；其余仍按逆時針方向依次規(guī)定為第Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限.如圖7.3所示.

建立坐標系之后，我們就可以將空間中的點與數(shù)對應(yīng)起來了.7.1.2空間中點的坐標7.2向量代數(shù)

向量是解決數(shù)學、物理及工程技術(shù)等問題的有力工具，本節(jié)主要向大家介紹向量的相關(guān)概念及向量的線性運算.7.2.1向量的概念

在日常生活中，我們常會遇到兩種類型的量，一類是只有大小的量，如長度、面積、溫度、質(zhì)量等；另一類是不僅有大小而且有方向，如力、速度、位移等，我們把前者的量稱為數(shù)量或標量；后者的量稱為向量或失量.在幾何上我們曾經(jīng)學習過有向線段，它是一條既有長度又有方向的線段，于是，我們可以用有向線段來表示向量：即用有向線段的長度表示向量的大?。挥邢蚓€段的方向表示向量的方向.

例如，以A為起點，B為終點的向量可記為AB.同時，向量也可以用黑體或粗體字母來表示，例如，向量a，b，c等；另外，在書寫上，我們還可以用在字母上方標注向右的箭頭的形式表示向量，例如，向量a，b，c等.

在數(shù)學上我們所討論的向量一般指的是自由向量，即只考慮其大小和方向，忽略向量所在的位置的向量.如果兩向量a，b的大小和方向相等，則稱兩向量是相等或相同的向量，記為a=b.

向量的大小稱為向量的模，例如，向量AB的?？捎洖閨AB|，向量a的模記為|a|.其中模等于1的向量，稱為單位向量，記為a0；模等于0的向量，稱為零向量，記為0或0，零向量的方向是任意的.

當兩向量a與b所在的直線平行或垂直時，稱兩向量平行或垂直，記為a∥b和a⊥b.

最后,給出兩向量的夾角的定義.定義7.2設(shè)給定的兩個向量a和b，將向量a或者b平移，使之有共同的起點，由一向量的正方向轉(zhuǎn)到另一向量的正方向所轉(zhuǎn)過的最小正角，稱為兩向量的夾角，記為（a，b）或（b，a），如圖76所示.可見，兩向量的夾角范圍是0≤（a，b）≤π.7.2.2向量的線性運算1向量的和

我們曾經(jīng)在物理上學習過力的合成與分解，其實運用的就是有關(guān)向量的和或差運算，在此基礎(chǔ)上，我們給出向量的加法法則.定義7.3（向量加法的平行四邊形法則）設(shè)兩個不平行的非零向量a和b，在平面上任取一點O，作OA=a，OB=b，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則向量OC稱為向量a和b的和向量，記為a+b，如圖77所示.稱這種求兩向量和的方法為平行四邊形法則.

由圖7.7可見，OA=BC，如果將向量a直接平移到BC的位置，我們同樣也能求得OC這個向量.定義7.4（向量加法的三角形法則）在平面上取一點O，作OB=b，作BC=a，以O(shè)B，BC為鄰邊作三角形OBC，則向量OC稱為向量a和b的和向量，如圖78所示.我們稱這種求兩向量和的方法為三角形法則.【例1】計算AB+BC+CD+DE的和向量.解:AB+BC+CD+DE=AC+CD+DE=AD+DE=AE.

由此可見，利用向量的三角形法則來計算向量的和是非常方便的.

利用向量的加法法則，可以幫助我們來求向量的和，但向量的差如何來求呢？我們還是用向量的加法法則.只要規(guī)定向量的負向量即可.

如果某一向量與向量b的模相等，且方向與向量b的方向相反，那么稱該向量為向量b的負向量，記為-b.

我們把向量a與向量-b的和向量稱為兩向量a和b的差向量，即a+（-b）=a-b，記為a-b，2數(shù)與向量的乘積

我們把數(shù)λ與向量a的乘積λa，稱為數(shù)與向量的乘積.它是一個與向量a平行的向量，該向量的模等于向量a的模的|λ|倍，即|λa|=|λ||a|，

當λ>0時，λa與a的方向相同；當λ<0時，λa與a的方向相反；當λ=0時，λa就成了零向量，方向是任意的.另外，數(shù)與向量的乘積有下面一個重要的結(jié)論：定理7.1設(shè)有非零向量a和b，a∥b的充分必要條件是存在唯一一個實數(shù)λ，使得b=λa.證:充分性是顯然的.

必要性設(shè)b∥a，取|λ|=|b||a|，當a和b同向時λ取正值；當a和b異向時λ取負值.于是有b=λa.

再證唯一性設(shè)b=λa，b=μa，兩式相減得（λ-μ）a=0，

即|λ-μ||a|=0，因為a是非零向量，所以|λ-μ|=0，

即λ=μ.想一想，當定理中的“非零向量”的條件去掉，結(jié)論還成立嗎？

我們把向量的和運算及數(shù)與向量的乘積運算，稱為向量的線性運算.

向量的線性運算滿足如下的運算律：

（1）交換律：a+b=b+a，

（2）結(jié)合律：（a+b）+c=a+（b+c），

λ（ka）=（λk）a（其中λ，k是常數(shù)），

（3）分配律：（λ+k）a=λa+ka，

λ（a+b）=λa+λb（其中λ，k是常數(shù)）.【例2】試用向量的線性運算證明：三角形的中位線平行且等于底邊的一半.解:設(shè)M，N分別是AB，AC中點，如圖7.10所示.根據(jù)向量的加法法則，知MN=MA+AN，BC=BA+AC，因M，N分別是AB，AC中點，于是有MA=12BA，AN=12AC，故MN=12（BA+AC）=12BC，所以由數(shù)與向量乘法，得MN∥BC，且|MN|=12|BC|，即命題成立.7.2.3向量的坐標表示1向量在軸上的投影

為了便于理解，我們首先給出空間一點在軸u上的投影的概念.定義7.5已知空間中的點A和軸u，過點A作一平面垂直相交軸u于點A′，稱點A′為點A在軸u上的投影，如圖7.11所示.

于是，向量在軸上的投影可以表述為：定義7.6已知向量AB的起點A和終點B在軸u上投影分別為A′和B′，我們把A′B′在軸u上的數(shù)量稱為向量AB在軸u上的投影，如圖712所示.記為PrjuAB=A′B′.如果軸u是數(shù)軸，設(shè)A′，B′在數(shù)軸上的坐標分別為u1和u2，那么，A′B′的數(shù)量應(yīng)是A′B′=u2-u1，即PrjuAB=u2-u1.

向量在軸上的投影有下面的性質(zhì)：性質(zhì)1向量AB在軸u上的投影等于向量的模與向量和軸u夾角θ余弦的乘積，即PrjuAB=|AB|cosθ.性質(zhì)2兩個向量的和向量在軸u上的投影等于各個向量在軸u上投影的和，即Prju（a+b）=Prjua+Prjub.此性質(zhì)還可以推廣到任意有限個的情況，即Prju（a1+a2+…+an）=Prjua1+Prjua2+…+Prjuan.性質(zhì)3數(shù)與向量乘積在軸u上的投影等于數(shù)乘以向量在軸u上的投影，即Prju（λa）=λPrjua（其中λ是常數(shù).2向量的坐標表示

前面我們學習了用向量的平行四邊形法則或三角形法則來表示向量的和、差運算，但要更深入地圖7.13

研究向量以及用向量解決實際問題的話，還須借助于代數(shù)的方法.為此，我們要引入向量的坐標概念，并用向量的坐標表示向量的各種運算.

在空間直角坐標系中，分別引進x軸、y軸、z軸正方向上的三個單位向量i，j，k，稱此三個單位向量為基本單位向量，這樣就建立了一個空間直角向量坐標系，如圖7.13所示.

設(shè)空間中有一任意向量a，將a平移后，使得a的起點與坐標原點O重合，如圖714所示.圖7.14

若點M的坐標為（ax，ay，az），即a=OM，由點在軸上的投影知，點M在x軸、y軸、z軸上的投影分別為A（ax，0，0）、B（0，ay，0）、C（0，0，az），由向量的加法法則，得a=OM=ON+NM=OA+AN+NM=OA+OB+OC，

又因為OA=axi，OB=ayj，OC=azk，于是a=axi+ayj+azk.

上式稱為向量a按基本單位向量的分解式；向量axi、ayj、azk分別稱為向量a在x軸、y軸、z軸上的分向量.根據(jù)向量在軸上投影的定義，有Prjxa=OA=ax，Prjya=OB=ay，Prjza=OC=az，即ax，ay，az是向量a分別在x軸、y軸、z軸上的投影.由此看來，向量a與一組有序數(shù)ax，ay，az相對應(yīng)；反之，給定一組有序數(shù)ax，ay，az按照上述相反的過程，同樣能確定一個向量a，這樣，向量a就與一組有序數(shù)ax，ay，az建立了一一對應(yīng)關(guān)系.從而有下面的定義：定義7.7設(shè)向量a在x軸、y軸、z軸上的投影分別為ax，ay，az，于是有a=axi+ayj+azk成立，這時稱ax，ay，az為向量a的坐標，記為a={ax，ay，az}.另外，上式a={ax，ay，az}又稱為向量的坐標表達式.顯然，a={ax，ay，az}與a=axi+ayj+azk是同一向量的兩種不同表達形式，兩種形式是等價的【例3】已知兩點M（x1，y1，z1）、N（x2，y2，z2），a=MN，求：（1）向量a在三坐標軸上的投影；（2）向量a的坐標.

解（1）因為M，N的橫坐標分別是x1，x2，所以Prjxa=x2-x1，同理，可得Prjya=y2-y1，Prjza=z2-z1.（2）由向量的坐標定義知a=（x2-x1）i+（y2-y1）j+（z2-z1）k，所以，向量a的坐標為{x2-x1，y2-y1，z2-z1}.可見，任一向量的坐標等于其終點與起點相應(yīng)坐標的差.同時，若向量a={ax，ay，az}，b={bx，by，bz}及數(shù)λ，則兩向量之間的線性運算可以表示為：a±λb={ax±λbx，ay±λby，az±λbz}.3向量的模與方向角（1）向量模的坐標表示

設(shè)向量a={ax，ay，az}，把向量a平移，使得向量a的起點與坐標原點O重合，同時設(shè)這時的終點為M，如圖715所示，則M的坐標為M（ax，ay，az），由兩點間的距離公式，得|a|=|OM|=（ax-0）^2+（ay-0）^2+（az-0）^2=a^2x+a^2y+a^2z，上式即為向量的模的坐標表達式.同理，我們還可以得到：當起點是M（x1，y1，z1），終點是N（x2，y2，z2）的向量MN的模為|MN|=（x2-x1）^2+（y2-y1）^2+（z2-z1）^2.（2）向量的方向角與方向余弦

設(shè)向量a為非零向量，則向量a的方向可由它與三條坐標軸正向的夾角α，β，γ來唯一確定，稱角α，β，γ為向量a的方向角.

下面討論方向角的有關(guān)表示和性質(zhì).

設(shè)非零向量a={ax，ay，az}，α，β，γ是它關(guān)于x軸、y軸、z軸的方向角.由向量在軸上的投影性質(zhì)1，知Prjxa=ax=|a|cosα，即cosα=ax|a|=axa2x+a2y+a2z，同理，可得cosβ=ay|a|=aya2x+a2y+a2z，cosγ=az|a|=aza2x+a2y+a2z.這時稱cosα，cosβ，cosγ為向量a的方向余弦或向量a的方向數(shù).顯然，一個向量的方向余弦滿足：cos2α+cos2β+cos2γ=1.

且a0={cosα，cosβ，cosγ}是a的同方向上的單位向量.【例4】設(shè)有兩點A（1，2，-3），B（-1，1，2），求向量AB的模和方向余弦.解:AB={-1-1，1-2，2-（-3）}={-2，-1，5}，所以該向量的模為|AB|=（-2）2+（-1）2+52=30，于是，向量AB的方向余弦分別為cosα=-230，cosβ=-130，cosγ=530.7.3向量的數(shù)量積與向量積

兩向量間的乘法運算分：數(shù)量積和向量積兩種，下面分別討論它們的定義、運算及性質(zhì).首先，我們從物理中功的求法，引入兩向量的數(shù)量積的概念.7.3.1兩向量的數(shù)量積引例1如圖7.16所示，一個物體在恒力F作用下，沿直線從A點運動到了B點，其中A到B的位移是s，力F與位移s的夾角為θ，問在該過程上力F對物體所做的功是多少？

分析由物理知識，容易得到W=|F||s|cosθ，F(xiàn)，s是兩個向量（矢量），而W是一個數(shù)量（標量）.在實際問題中，我們時常也會遇到類似于計算功的這種情況，為此，引入兩向量的數(shù)量積的概念.1．數(shù)量積的定義及性質(zhì)定義7.8設(shè)兩個向量a和b，它們的模及夾角余弦的乘積稱為向量a與b的數(shù)量積（又稱點積或內(nèi)積），記為a·b，即a·b=|a||b|cos（a，b），依照此定義，力F對物體所做的功W可以簡記為W=F·s.再利用向量在軸上的投影性質(zhì)1，得Prjab=|b|cos（a，b），Prjba=|a|cos（a，b），

所以a·b=|a||b|cos（a，b）=|a|Prjab=|b|Prjba.另外，由數(shù)量積的定義，我們還能得到數(shù)量積具有下面的性質(zhì)：（1）a·a=|a||a|=|a|^2，（2）a·0=0，（3）交換律：a·b=b·a，（4）分配律：（a+b）·c=a·c+b·c，（5）結(jié)合律：（λa）·b=λ（a·b）（其中λ是常數(shù)）.7.4平面與空間直線7.5曲面與空間曲線第八章多元函數(shù)微分學多元函數(shù)的概念8.1偏導數(shù)在幾何上的應(yīng)用8.5全微分8.3多元復(fù)合函數(shù)求導法則8.4偏導數(shù)8.2方向?qū)?shù)與梯度8.6多元函數(shù)的極值與最值8.78.1多元函數(shù)的概念和二元函數(shù)的極限與連續(xù)

在前面我們所討論的函數(shù)，自變量的個數(shù)只有一個（稱一元函數(shù)）.但在許多的實際問題中，常常會遇到自變量的個數(shù)不止一個的情況，我們把這樣的函數(shù)稱為多元函數(shù).

從一元函數(shù)到多元函數(shù)，其結(jié)論或定理有時會出現(xiàn)質(zhì)的差別，而從二元函數(shù)再到多元函數(shù)，絕大多數(shù)的概念和結(jié)論都可以通過類推就能得到.所以，本章主要以二元函數(shù)為例，講解有關(guān)多元函數(shù)微分學的一些基礎(chǔ)知識.8.1.1多元函數(shù)的概念1.區(qū)域

在一元函數(shù)中，自變量只有一個，所以我們把自變量看做是數(shù)軸上的點，并且有相應(yīng)的點的鄰域的概念.當自變量的個數(shù)增加到多個時，自變量就不能只局限在數(shù)軸上取值了，而是拓展到平面或空間上了.因此，鄰域的概念也相應(yīng)地“拓展”了，即由原來的一維空間R1，推廣到了二維空間R2，進而到n維空間Rn.下面主要以二維空間R2為例講解鄰域的概念.（1）鄰域定義8.1設(shè)P0（x0，y0）是坐標面xOy上的一點，δ是某一正數(shù)，在xOy面上到P0的距離小于δ的點的集合稱為點P0的δ鄰域，記為U（P0，δ），即U（P0，δ）={（x，y）|（x-x0）2+（y-y0）2<δ}，其中點P0（x0，y0）稱為該鄰域的中心，δ為該鄰域的半徑.

點P0的δ鄰域，在幾何上我們可以理解為，以點P0為圓心，以δ為半徑的圓的內(nèi)部點的集合.如圖8.1所示.

當U（P0，δ）內(nèi)不包含中心點P0時，我們稱此鄰域為P0的空心（或去心）δ鄰域，記為（P0，δ），即（P0，δ）={（x，y）|0<（x-x0）2+（y-y0）2<δ}.在幾何上，（P0，δ）比U（P0，δ）只少了一個點P0（x0，y0）.

另外，在討論問題時，若不需要強調(diào)鄰域半徑，則點P0的鄰域可簡記為U（P0），它表示點P0的某鄰域.（2）區(qū)域的概念

設(shè)平面上有一個點集（以點為元素構(gòu)成的集合）A，如果對于A內(nèi)的任意兩點P1和P2，能用只屬于A內(nèi)的一條折線連結(jié)起來，則稱點集A是連通的.如圖8.2所示.

設(shè)E是平面上的一個點集，點P是E內(nèi)的一點（記P∈E），如果存在P的某鄰域U（P），使得U（P）也在E內(nèi)，即U（P）E，如圖8.3所示，那么稱點P為點集E的內(nèi)點；如果U（P）既含有E內(nèi)的點，又含有E外的點，那么稱點P為區(qū)域E的邊界點；所有邊界點構(gòu)成的集合，稱為區(qū)域E的邊界.如果E內(nèi)的點都是E的內(nèi)點，那么點集E稱為開集；如果點集E的邊界點也屬于點集E，則稱E為閉集.定義8.2連通的開集稱為開區(qū)域，簡稱區(qū)域；開區(qū)域連同它的邊界點構(gòu)成的點集，稱為閉區(qū)域.例如，點集A={（x，y）|x2+y2≤a2}表示圖84(1)所示的一閉區(qū)域；點集B={（x，y）|x+y>0}表示圖8.4(2)所示的一開區(qū)域.

由此我們得到，E的內(nèi)點必屬于E；E的外點必不屬于E；E的邊界點有可能屬于E，也有可能不屬于E.另外，還有一類稱為聚點的點.定義8.3如果對于任意給定的δ>0，點P的去心鄰域（P0，δ）內(nèi)總有E中的點，則稱P是E的聚點.

如果一個區(qū)域D內(nèi)的任意兩個點之間的距離都不會超過某一正數(shù)M，則稱區(qū)域D為有界區(qū)域；否則稱為無界區(qū)域.例如，圖8.4(1)是一個有界區(qū)域；圖8.4(2)是一個無界區(qū)域.3多元函數(shù)的概念（1）二元函數(shù)的概念

在幾何上，我們都知道圓柱體的體積V與它的半徑r和高h存在著V=πr2h的關(guān)系；在物理上，對于一個純電阻電路來講，在電阻R上消耗的功率P與電阻R和電流I存在著P=I2R的關(guān)系.它們雖然分屬不同的學科，但它們卻表明同樣一種關(guān)系：那就是將一個量與另外兩個量形成了某種對應(yīng)，在數(shù)學上將其抽象概括，即得到：定義8.4設(shè)有兩個變量x，y，如果當自變量x，y在某一區(qū)域D內(nèi)取一確定的值x，y時，通過對應(yīng)法則f，總有唯一一個數(shù)值z與之對應(yīng)，那么稱對應(yīng)法則f是自變量x，y到z的二元函數(shù).記為z=f（x，y），其中稱x，y為自變量；z為因變量；區(qū)域D稱為定義域；所有函數(shù)值構(gòu)成的集合稱為值域.（2）多元函數(shù)的概念

類似地，我們可定義三元函數(shù)u=f（x，y，z），以及三元以上的函數(shù)u=f（x1，x2，…，xk）（k=4，5，…，n），我們把二元或二元以上的函數(shù)稱為多元函數(shù).

同一元函數(shù)一樣，多元函數(shù)也有兩要素：對應(yīng)法則和定義域.

一元函數(shù)和二元函數(shù)在定義域和所代表的圖形上也是有差別的：一元函數(shù)的定義域是數(shù)軸上的點的集合，二元函數(shù)的定義域是平面上點的集合；一元函數(shù)的圖形是平面上的曲線，而二元函數(shù)代表的圖形一般是空間上的曲面，如圖8.5所示.2.二元函數(shù)的連續(xù)性

與一元函數(shù)的連續(xù)類似，我們可得到二元函數(shù)的連續(xù)的定義：定義8.6設(shè)二元函數(shù)z=f（x，y）的定義域為D，點P（x0，y0）是D的聚點，且P∈D.如果有l(wèi)imx→x0y→y0f（x，y）=f（x0，y0）,則稱函數(shù)z=f（x，y）在（x0，y0）點連續(xù),稱（x0，y0）是函數(shù)的連續(xù)點.另外，我們還可以通過函數(shù)的自變量和因變量的增量來定義二元函數(shù)的連續(xù)：

定義8.7設(shè)Δx=x-x0，Δy=y-y0是函數(shù)z=f（x，y）的自變量（x，y）在（x0，y0）處的增量，相應(yīng)地，Δz=f（x0+Δx，y0+Δy）-f（x0，y0）是函數(shù)在（x0，y0）處的全增量.如果有l(wèi)imΔx→0Δy→0Δz=0,則稱二元函數(shù)z=f（x，y）在（x0，y0）處連續(xù).設(shè)函數(shù)z=f（x，y）在D上有定義，D內(nèi)的每一點都是函數(shù)定義域的聚點.如果函數(shù)z=f（x，y）在D內(nèi)每一點處都連續(xù)，那么稱函數(shù)z=f（x，y）在D上是連續(xù)，或者說函數(shù)z=f（x，y）在D上是連續(xù)函數(shù).【例3】設(shè)函數(shù)f（x，y）=cosx，證明函數(shù)f（x，y）在R2上是連續(xù)函數(shù).

解:設(shè)P0（x0，y0）∈R2.對任意ε>0，由于cosx在x0處是連續(xù)的，故存在δ>0，當|x-x0|<δ時，恒有|cosx-cosx0|<ε，上述的δ作為P0（x0，y0）的鄰域U（P0，δ）中的δ，則當P（x，y）U（P0，δ）時，顯然有|x-x0|≤ρ（P，P0）<δ，從而|f（x，y）-f（x0，y0）|=|cosx-cosx0|<ε，即函數(shù)f（x，y）=cosx在P0（x0，y0）點是連續(xù)的，根據(jù)P0（x0，y0）的任意性知，f（x，y）=cosx在R2上是連續(xù)函數(shù).

如果函數(shù)z=f（x，y）在（x0，y0）處不連續(xù)，則稱點（x0，y0）是函數(shù)的一個間斷點.對于連續(xù)函數(shù)，我們?nèi)钥傻玫脚c一元函數(shù)類似的一些結(jié)論：（1）有限個連續(xù)函數(shù)進行四則運算（作商時分母不為零）后得到的函數(shù)仍是連續(xù)的；2）連續(xù)函數(shù)進行有限次復(fù)合后得到的函數(shù)仍是連續(xù)的.

由于多元基本初等函數(shù)是經(jīng)過有限次的四則運算或有限次的復(fù)合運算而形成的，且可以由一個式子表達的函數(shù)稱為多元初等函數(shù).像z=ln（x2+y2），z=xyx2+y2等，都是二元初等函數(shù).（顯然，所有的多元初等函數(shù)在其定義域區(qū)域內(nèi)都是連續(xù)的.對于