離散型隨機(jī)變量的期望

關(guān)于離散型隨機(jī)變量的期望第1頁(yè)，講稿共19頁(yè)，2023年5月2日，星期三教學(xué)要求:1.使學(xué)生了解離散型隨機(jī)變量的期望的意義,會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出期望.⒉理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”，以及“若ξ～B（n,p），則Eξ=np”.能熟練地應(yīng)用它們求相應(yīng)的離散型隨機(jī)變量的期望.教學(xué)重點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望的概念教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出期望第2頁(yè)，講稿共19頁(yè)，2023年5月2日，星期三1.隨機(jī)變量：如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量隨機(jī)變量常用希臘字母ξ、η等表示;

2.離散型隨機(jī)變量:對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量

3．連續(xù)型隨機(jī)變量:

對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量

4.離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系:

離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；但是離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機(jī)變量的結(jié)果不可以一一列出一、復(fù)習(xí)引入：第3頁(yè)，講稿共19頁(yè)，2023年5月2日，星期三

若ξ是隨機(jī)變量，η=ａξ＋ｂ,ａ,ｂ是常數(shù)，則η也是隨機(jī)變量并且不改變其屬性（離散型、連續(xù)型）

5.分布列:設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ可能取得值為x1，x2，…，x3，…，ξ取每一個(gè)值xi（i=1，2，…）的概率為P(ξ=xi)=pi，則稱表:ξx1x2…xi…PP1P2…Pi…為隨機(jī)變量ξ的概率分布，簡(jiǎn)稱ξ的分布列6.分布列的兩個(gè)性質(zhì)：⑴Pi≥0，(i＝1，2，…)；⑵P1+P2+…=1．第4頁(yè)，講稿共19頁(yè)，2023年5月2日，星期三7.[離散型隨機(jī)變量的二項(xiàng)分布]:在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件發(fā)生的次數(shù)ξ是一個(gè)隨機(jī)變量．如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率是:于是得到隨機(jī)變量ξ的概率分布如下：ξ01…k…nP……

稱這樣的隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布，記作ξ～B(n，p)，其中n，p為參數(shù)，并記＝b(k；n，p)．第5頁(yè)，講稿共19頁(yè)，2023年5月2日，星期三8.離散型隨機(jī)變量的幾何分布：在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，某事件第一次發(fā)生時(shí)，所作試驗(yàn)的次數(shù)ξ也是一個(gè)正整數(shù)的離散型隨機(jī)變量．“ξ=k”表示在第k次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí)事件第一次發(fā)生.如果把k次試驗(yàn)時(shí)事件A發(fā)生記為Ak,事件A不發(fā)生記為,P(Ak)=p,P()=q,(q=1-p)那么:（k＝0,1,2,…，)于是得到隨機(jī)變量ξ的概率分布如下ξ123…k…Pppqpq2…qk-1p…稱這樣的隨機(jī)變量ξ服從幾何分布記作g(k，p)=qk-1p,其中k=0,1,2,3,…,q=1-p第6頁(yè)，講稿共19頁(yè)，2023年5月2日，星期三

對(duì)于離散型隨機(jī)變量，確定了它的分布列，就掌握了隨機(jī)變量取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律,同時(shí)可以方便的得出隨機(jī)變量的某些指定的概率，但分布列的用途遠(yuǎn)不止于此。

在實(shí)際問(wèn)題中，我們還常常希望通過(guò)數(shù)字來(lái)反映隨機(jī)變量的某個(gè)方面的特征，最常用的有期望與方差二、新知引入：第7頁(yè)，講稿共19頁(yè)，2023年5月2日，星期三[引例]：例如:已知某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下：ξ45678910P0.020.040.060.090.280.290.22

根據(jù)這個(gè)射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列，我們很容易得到下面的信息:故在n次射擊的總環(huán)數(shù)大約為在n次射擊中，預(yù)計(jì)有大約0.02n次的4環(huán)

在n次射擊中，預(yù)計(jì)有大約0.04n次的5環(huán),同理可得其它……第8頁(yè)，講稿共19頁(yè)，2023年5月2日，星期三從而，預(yù)計(jì)n次射擊的平均環(huán)數(shù)約為這是一個(gè)由射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列得到的，只與射擊環(huán)數(shù)的可能取值及其相應(yīng)的概率有關(guān)的常數(shù)，它反映了射手射擊的平均水平．故在n次射擊的總環(huán)數(shù)大約為新知探究

在n次射擊之前，可以根據(jù)這個(gè)分布列估計(jì)n次射擊的平均環(huán)數(shù)．這就是我們今天要學(xué)習(xí)的離散型隨機(jī)變量的期望.第9頁(yè)，講稿共19頁(yè)，2023年5月2日，星期三期望的定義

類似地，對(duì)任一射手，若已知其射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列，即已知各個(gè)P（ξ=i)(i=0,1,2,,…10），則可預(yù)計(jì)他任意n次射擊的平均環(huán)數(shù)是Eξ=0×P（ξ=0）+1×P（ξ=1）+…+10×P（ξ=10）稱Eξ為此射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的期望，它刻劃了隨機(jī)變量ξ所取的平均值，從一個(gè)方面反映了射手的射擊水平。若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為ξx1x2…xi…Pp1p2…pi…則稱Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ的數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)、均值，又稱期望。第10頁(yè)，講稿共19頁(yè)，2023年5月2日，星期三[例題1]籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分。已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7，求他罰球1次的得分ξ的期望。[例題2]隨機(jī)拋擲一個(gè)骰子，求所得骰子的點(diǎn)數(shù)ξ的期望。知識(shí)應(yīng)用[點(diǎn)拔]:據(jù)隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望的概念及計(jì)算公式,知其值為隨機(jī)變量的所有取值與其相應(yīng)概率積的和,故需先求其分布列.<生做:答:(1)Eξ=0.7;(2)Eξ=3.5>第11頁(yè)，講稿共19頁(yè)，2023年5月2日，星期三例3

有一批數(shù)量很大的產(chǎn)品，其次品率是15%。對(duì)這批產(chǎn)品進(jìn)行抽查，每次抽出1件，如果抽出次品，則抽查終止，否則繼續(xù)抽查，直到抽出次品，但抽查次數(shù)最多不超過(guò)10次。求抽查次數(shù)ξ的期望。（結(jié)果保留三個(gè)有效數(shù)字）解：抽查次數(shù)ξ取1~10的整數(shù)，從這批數(shù)量很大的產(chǎn)品中每次抽取一件檢驗(yàn)的試驗(yàn)可以認(rèn)為是彼此獨(dú)立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前k-1次取出正品而第k次（k=1，2，…9）取出次品的概率P(ξ=k）=g(k,0.15)=0.85k-1×0.15，（k=1，2，…9）；需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率P（ξ=10）=0.859第12頁(yè)，講稿共19頁(yè)，2023年5月2日，星期三[知識(shí)探索]：若ξ為上述離散型隨機(jī)變量，則η=aξ+b的分布列怎樣？Eη呢？

因?yàn)镻（η=axi+b）=P（ξ=xi），i=1，2，3…所以，η的分布列為ηax1+bax2+b…axn+b…Pp1p2…pn…

于是Eη=（ax1+b)p1+（ax2+b)p2+…+（axn+b)pn+…=a（x1p1+x2p2+…+xnpn+…）+b（p1+p2+…+pn+…）=aEξ+b[性質(zhì)1]E（aξ+b）=aEξ+b數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量的一個(gè)特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.第13頁(yè)，講稿共19頁(yè)，2023年5月2日，星期三[例4](補(bǔ)充)．某城市出租汽車的起步價(jià)為10元，行駛路程不超出4km時(shí)租車費(fèi)為10元，若行駛路程超出4km，則按每超出lkm加收2元計(jì)費(fèi)(超出不足lkm的部分按lkm計(jì)).從這個(gè)城市的民航機(jī)場(chǎng)到某賓館的路程為15km．某司機(jī)經(jīng)常駕車在機(jī)場(chǎng)與此賓館之間接送旅客，由于行車路線的不同以及途中停車時(shí)間要轉(zhuǎn)換成行車路程(這個(gè)城市規(guī)定，每停車5分鐘按lkm路程計(jì)費(fèi))，這個(gè)司機(jī)一次接送旅客的行車路程ξ是一個(gè)隨機(jī)變量．設(shè)他所收租車費(fèi)為η(Ⅰ)求租車費(fèi)η關(guān)于行車路程ξ的關(guān)系式(Ⅱ)若隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ15161718P0.10.50.30.1求所收租車費(fèi)η的數(shù)學(xué)期望．(Ⅲ)已知某旅客實(shí)付租車費(fèi)38元，而出租汽車實(shí)際行駛了15km，問(wèn)出租車在途中因故停車?yán)塾?jì)最多幾分鐘?第14頁(yè)，講稿共19頁(yè)，2023年5月2日，星期三[解]：(Ⅰ)依題意得η=2(ξ-4)十10，即η=2ξ+2；∵η=2ξ+2故Eη=2Eξ+2=34.8（元）5×(18-15)=15

(Ⅲ)由38=2ξ+2，得ξ=18，所以出租車在途中因故停車?yán)塾?jì)最多15分鐘故所收租車費(fèi)η的數(shù)學(xué)期望為34.8元．第15頁(yè)，講稿共19頁(yè)，2023年5月2日，星期三③根據(jù)分布列，由期望的定義求出Eξ

公式E（aξ+b）=aEξ+b，以及服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的期望Eξ=np知識(shí)歸納(1)離散型隨機(jī)變量的期望，反映了隨機(jī)變量取值的平均水平；(2)求離散型隨機(jī)變量ξ的期望的基本步驟：①理解ξ的意義，寫(xiě)出ξ可能取的全部值；②求ξ取各個(gè)值的概率，寫(xiě)出分布列；練習(xí)：P141~6。作業(yè)：習(xí)題1.2P161~6第16頁(yè)，講稿共19頁(yè)，2023年5月2日，星期三[練習(xí)]袋中有