第一章 有限差分法

關(guān)于第一章有限差分法第1頁(yè)，講稿共42頁(yè)，2023年5月2日，星期三介紹

有限差分方法是一種微分方法，自上世紀(jì)五十年代以來(lái)得到了廣泛的應(yīng)用，該方法概念清晰，方法簡(jiǎn)單，直觀。雖然其與變分法相結(jié)合所形成的有限元法更有效，但有限差分還是以其固有特點(diǎn)在數(shù)值計(jì)算中有其重要地位，是應(yīng)用最多的一種數(shù)值方法。為求解由偏微分方程定解問題所構(gòu)造的數(shù)學(xué)模型，有限差分法是將定解區(qū)域（場(chǎng)區(qū)）離散化為網(wǎng)格離散節(jié)點(diǎn)的集合。并以各離散點(diǎn)上函數(shù)的差商來(lái)近似該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)，使待求的偏微分方程定解問題轉(zhuǎn)化為一組相應(yīng)的差分方程。根據(jù)差分方程組解出各離散點(diǎn)處的待求函數(shù)值——離散解。

第2頁(yè)，講稿共42頁(yè)，2023年5月2日，星期三1、差分與差商

用差分代替微分，是有限差分法的基本出發(fā)點(diǎn)。這一點(diǎn)由微分原理保證的，當(dāng)自變量的差分趨于零時(shí)，差分變成微分

第3頁(yè)，講稿共42頁(yè)，2023年5月2日，星期三差分與差商

前向差分后向差分中心差分

第4頁(yè)，講稿共42頁(yè)，2023年5月2日，星期三差分與差商

通過泰勒公式分析上面差分精度，在點(diǎn)上的一階導(dǎo)數(shù)的逼近度可由泰勒公式展開

兩式相減第5頁(yè)，講稿共42頁(yè)，2023年5月2日，星期三差分與差商

前向、后向差分截?cái)嘤?，具有h的一階精度，而中心差分法截?cái)嘤?，具有h的二階精度，中心差分的精度比較高。函數(shù)f（x）的二階導(dǎo)數(shù)前向差分前向差分第6頁(yè)，講稿共42頁(yè)，2023年5月2日，星期三差分與差商

對(duì)偏導(dǎo)數(shù)，可仿照上述方法，將表示為：第7頁(yè)，講稿共42頁(yè)，2023年5月2日，星期三差分格式

二維Possion方程差分格式有限差分法的網(wǎng)格劃分，通常采用完全有規(guī)律的分布方式，這樣可使每個(gè)離散點(diǎn)上得到相同形式的差分方程，有效的提高解題速度。對(duì)能填滿平面域的三種規(guī)則網(wǎng)格（正方形，正三角形和正六邊形）的劃分方式，經(jīng)常采用的是正方形網(wǎng)格劃分，第8頁(yè)，講稿共42頁(yè)，2023年5月2日，星期三差分格式

一階偏導(dǎo)數(shù)差分格式可采用待定系數(shù)的方法，提高差分格式的精度，它的思路：1、3結(jié)點(diǎn)與0結(jié)點(diǎn)在x方向的差分用泰勒公式展開，它們各自占有一定的權(quán)系數(shù)，以截?cái)嗾`差來(lái)計(jì)算系數(shù)

第9頁(yè)，講稿共42頁(yè)，2023年5月2日，星期三差分格式

忽略h3以上的高次冪的項(xiàng)，并且令項(xiàng)的系數(shù)為零，這樣處理可以保證得到的差分格式誤差為h3量級(jí)。系數(shù)為零的條件

求出二階精度精度為一階偏導(dǎo)數(shù)差分格式

第10頁(yè)，講稿共42頁(yè)，2023年5月2日，星期三差分格式

二階偏導(dǎo)數(shù)的差分格式

令方程右邊的一階偏導(dǎo)數(shù)的系數(shù)為0，得到系數(shù)間的表達(dá)式代入上式得到精度為O(h3)的二階偏導(dǎo)數(shù)的差分格式

第11頁(yè)，講稿共42頁(yè)，2023年5月2日，星期三差分格式

當(dāng)時(shí)，上式可以簡(jiǎn)化為Possion方程五點(diǎn)差分格式第12頁(yè)，講稿共42頁(yè)，2023年5月2日，星期三不同媒質(zhì)分界面上的差分格式

分界面與網(wǎng)格線重合的情況兩式中和是假設(shè)“虛”電位，可以利用分界面上場(chǎng)量遵循的邊界條件，削去它們

第13頁(yè)，講稿共42頁(yè)，2023年5月2日，星期三不同媒質(zhì)分界面上的差分格式

其次，假設(shè)在分界面上沒有自由電荷中心差分格式表示把前面關(guān)于和式子代入上式第14頁(yè)，講稿共42頁(yè)，2023年5月2日，星期三不同媒質(zhì)分界面上的差分格式

分界面與網(wǎng)格線呈對(duì)角線的情況兩式中和是假設(shè)“虛”電位，可以利用分界面上場(chǎng)量遵循的邊界條件，削去它們

第15頁(yè)，講稿共42頁(yè)，2023年5月2日，星期三不同媒質(zhì)分界面上的差分格式

其次，假設(shè)在分界面上沒有自由電荷對(duì)M、N結(jié)點(diǎn)應(yīng)用線性插值

第16頁(yè)，講稿共42頁(yè)，2023年5月2日，星期三不同媒質(zhì)分界面上的差分格式

把前面的＋和＋代入上式，得網(wǎng)格線呈對(duì)角線的差分格式：第17頁(yè)，講稿共42頁(yè)，2023年5月2日，星期三定解條件的離散化第一類邊界條件的差分離散化應(yīng)用多元函數(shù)的泰勒公式，結(jié)點(diǎn)1、3的位函數(shù)值和可通過表示為以h和h1分別與以上兩式相乘且相加，削去一階偏導(dǎo)項(xiàng)，然后截?cái)嗯ch的二次項(xiàng)，便得到關(guān)于結(jié)點(diǎn)0的二階偏導(dǎo)數(shù)的差分格式第18頁(yè)，講稿共42頁(yè)，2023年5月2日，星期三定解條件的離散化同理，在0結(jié)點(diǎn)處關(guān)于y方向的二階偏導(dǎo)的差分格式代入給定的泊松方程，得到通常第一類邊界條件的差分格式

第19頁(yè)，講稿共42頁(yè)，2023年5月2日，星期三定解條件的離散化第三類邊界條件的差分離散化第一種情況，當(dāng)結(jié)點(diǎn)剛好著落于邊界線L上時(shí)，這還取決于邊界結(jié)點(diǎn)處的外法線與網(wǎng)格線重合，

第20頁(yè)，講稿共42頁(yè)，2023年5月2日，星期三定解條件的離散化外法線與網(wǎng)格線不重合情況，邊界結(jié)點(diǎn)上的外向法向方向與水平夾角為ā，其法向?qū)?shù)顯然是在x和y方向的導(dǎo)數(shù)在法向的投影組合，

第21頁(yè)，講稿共42頁(yè)，2023年5月2日，星期三定解條件的離散化第二種情況，當(dāng)結(jié)點(diǎn)不落于邊界線L上時(shí)，只需要引入于結(jié)點(diǎn)0相關(guān)的邊界結(jié)點(diǎn)O‘，點(diǎn)的外方向n作為結(jié)點(diǎn)0處的“外方向n”，且近似地認(rèn)為邊界條件中給定的函數(shù)和均在O’點(diǎn)上的取值。這樣，此種情況下的第三類邊界條件的離散格式于式相似，

第22頁(yè)，講稿共42頁(yè)，2023年5月2日，星期三定解條件的離散化第二類邊界條件的差分離散化第二類齊次邊界條件為第三類邊界條件的特殊情況，即。我們這里討論最常見的一種情況

加一層虛擬邊界上面也是對(duì)稱邊界條件的離散公式第23頁(yè)，講稿共42頁(yè)，2023年5月2日，星期三有限差分法的求解

綜上所述，對(duì)場(chǎng)域D內(nèi)各結(jié)點(diǎn)（包括所有場(chǎng)域內(nèi)結(jié)點(diǎn)和邊界結(jié)點(diǎn)）逐一列出對(duì)應(yīng)的差分計(jì)算格式，即構(gòu)成以這些離散結(jié)點(diǎn)上的位函數(shù)為待求量的差分方程組（代數(shù)方程組）。求解這些代數(shù)方程組，得到場(chǎng)域中的電位值計(jì)算步驟通常是：離散場(chǎng)域，采用一定的網(wǎng)格剖分方式離散化計(jì)算區(qū)域。離散化場(chǎng)方程，即基于差分原理的應(yīng)用，對(duì)場(chǎng)域內(nèi)場(chǎng)的偏微分方程以及定解條件進(jìn)行差分化處理，得到方程的差分格式。計(jì)算離散解，建立的差分格式（與原定解問題對(duì)立的離散數(shù)學(xué)模型—代數(shù)方程組），選用合適的代數(shù)方程組解法，編寫相應(yīng)的計(jì)算程序，算出待求的結(jié)點(diǎn)上場(chǎng)值。第24頁(yè)，講稿共42頁(yè)，2023年5月2日，星期三有限差分法的求解

第25頁(yè)，講稿共42頁(yè)，2023年5月2日，星期三有限差分法格式特點(diǎn)仔細(xì)分析離散的差分方程組，例如泊松方程，從離散方程式不難看出，該方程組的系數(shù)一般是有規(guī)律的，且方程都很簡(jiǎn)單，每個(gè)方程的項(xiàng)數(shù)不多（待求量最多不超過5項(xiàng)）

各離散結(jié)點(diǎn)上的方程組形式（結(jié)點(diǎn)順序按坐標(biāo)先從y軸增加、再x軸增加（從下到上、從左到右，即先列后行）排列

第26頁(yè)，講稿共42頁(yè)，2023年5月2日，星期三有限差分法格式特點(diǎn)第27頁(yè)，講稿共42頁(yè)，2023年5月2日，星期三有限差分法格式特點(diǎn)寫成矩陣方程形式第28頁(yè)，講稿共42頁(yè)，2023年5月2日，星期三有限差分法格式特點(diǎn)可以看出系數(shù)矩陣由如下特點(diǎn)：系數(shù)矩陣是稀疏矩陣，只有少數(shù)元素不為零。系數(shù)矩陣在一定邊界條件下（邊界與結(jié)點(diǎn)重合且場(chǎng)域邊界類型都一樣），是對(duì)稱正定矩陣。系數(shù)矩陣是的方陣，大小為場(chǎng)域中離散結(jié)點(diǎn)的總數(shù)目Nx*Ny。第29頁(yè)，講稿共42頁(yè)，2023年5月2日，星期三超松弛迭代法求解具有稀疏系數(shù)矩陣的大型差分方程組，其中最優(yōu)的就是超松弛迭代法（SuccessiveOverRelaxation，SOR）。為了說明SOR方法，首先介紹雅可比法和高斯-賽德爾法

雅可比法（Jacobi）就是要使迭代值能精確的滿足前一次各點(diǎn)的電位值所能表示的差分方程第30頁(yè)，講稿共42頁(yè)，2023年5月2日，星期三超松弛迭代法高斯-賽德爾法是雅可比法的改進(jìn)方法，主要針對(duì)減少內(nèi)存消耗，只需存儲(chǔ)一組完整的數(shù)組。它采取的措施是對(duì)每一次迭代盡量采用最新計(jì)算的值來(lái)替換上一次迭代的舊值。結(jié)果收斂速度比雅可比法快一倍。第31頁(yè)，講稿共42頁(yè)，2023年5月2日，星期三超松弛迭代法逐次超松弛法是對(duì)高斯-賽德爾法的改進(jìn)，該方法的核心是借助于一收斂因子w作用到高斯-賽德爾迭代公式。當(dāng)時(shí)w＝1，就回到高斯-賽德爾法。當(dāng)w>2時(shí)，迭代過程變得及其不穩(wěn)定。只有1<w<2，才能提高收斂速度。

第32頁(yè)，講稿共42頁(yè)，2023年5月2日，星期三超松弛迭代法正方形第一類邊界條件時(shí)長(zhǎng)方形第一類邊界條件時(shí)第33頁(yè)，講稿共42頁(yè)，2023年5月2日，星期三場(chǎng)強(qiáng)與電、磁積分量的計(jì)算通過上述差分方程組的求解，在獲得場(chǎng)域內(nèi)各結(jié)點(diǎn)上待求位函數(shù)后，往往還需求場(chǎng)中的場(chǎng)強(qiáng)分布，以及其他有關(guān)的積分特性（如磁通量和磁導(dǎo)、電導(dǎo)、電容等磁路及電路參數(shù)等）。

第34頁(yè)，講稿共42頁(yè)，2023年5月2日，星期三場(chǎng)強(qiáng)與電、磁積分量的計(jì)算無(wú)論是靜電場(chǎng)、恒定電流場(chǎng)或恒定磁場(chǎng)，其通量可一般地表示為所分析的靜電場(chǎng)中的電容C、恒定電流場(chǎng)中的電導(dǎo)G或恒定磁場(chǎng)中的磁導(dǎo)等電路或磁路參數(shù)P就可按下式計(jì)算第35頁(yè)，講稿共42頁(yè)，2023年5月2日，星期三典型算例分析

設(shè)長(zhǎng)直接地金屬槽的橫截面如圖所示，其側(cè)壁與底面電位均為零，頂蓋電位的相對(duì)值為10。試求槽中間電位分布第36頁(yè)，講稿共42頁(yè)，2023年5月2日，星期三典型算例分析

※、場(chǎng)問題分析。直角坐標(biāo)系，槽內(nèi)電位函數(shù)滿足Laplace方程，構(gòu)成如下的第一類邊值問題

第37頁(yè)，講稿共42頁(yè)，2023年5月2日，星期三典型算例分析

※、離散場(chǎng)域。用簡(jiǎn)潔的正方形網(wǎng)格對(duì)場(chǎng)域D各方向進(jìn)行等分剖分p，q※、場(chǎng)域內(nèi)差分格式。采用Laplace五點(diǎn)差分格式

第38頁(yè)，講稿共42頁(yè)，2023年5月2日，星期三典型算例分析

※、超松弛迭代計(jì)算。用超松弛迭代法計(jì)算差分方程

※、邊界條件。