湖南省婁底市雙峰縣第七中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

湖南省婁底市雙峰縣第七中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.由y=x，y=，x=2及x軸所圍成的平面圖形的面積是（）A．ln2+1 B．2﹣ln2 C．ln2﹣ D．ln2+參考答案：D【考點(diǎn)】定積分在求面積中的應(yīng)用．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】利用定積分的幾何意義，首先表示平面圖形，然后計算定積分．【解答】解：由題意，由y=x，y=，x=2及x軸所圍成的平面圖形如圖，其面積是；故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了定積分的應(yīng)用；關(guān)鍵是將曲邊梯形的面積正確利用定積分表示，然后正確計算．2.曲線的長度為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D3.函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）.（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B4.若正實(shí)數(shù)滿足，則()A.有最大值4

B．有最小值C.有最大值

D．有最小值參考答案：C5.集合P＝{－1,0,1}，Q＝{y|y＝cosx，x∈R}，則P∩Q＝()A．P

B．Q

C．{－1,1}

D．[0,1]參考答案：A略6.

函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A．

B．

C．

D．參考答案：B7.一條光線從點(diǎn)（﹣2，﹣3）射出，經(jīng)y軸反射后與圓（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，則反射光線所在直線的斜率為(

)A．﹣或﹣ B．﹣或﹣ C．﹣或﹣ D．﹣或﹣參考答案：D【考點(diǎn)】圓的切線方程；直線的斜率．【專題】計算題；直線與圓．【分析】點(diǎn)A（﹣2，﹣3）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為A′（2，﹣3），可設(shè)反射光線所在直線的方程為：y+3=k（x﹣2），利用直線與圓相切的性質(zhì)即可得出．【解答】解：點(diǎn)A（﹣2，﹣3）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為A′（2，﹣3），故可設(shè)反射光線所在直線的方程為：y+3=k（x﹣2），化為kx﹣y﹣2k﹣3=0．∵反射光線與圓（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，∴圓心（﹣3，2）到直線的距離d==1，化為24k2+50k+24=0，∴k=或﹣．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了反射光線的性質(zhì)、直線與圓相切的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、點(diǎn)斜式、對稱點(diǎn)，考查了計算能力，屬于中檔題．8.已知與夾角θ=120°，則向量在向量上的投影為（）A．﹣2 B．2 C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】向量的投影；平面向量數(shù)量積的含義與物理意義．【分析】根據(jù)投影的定義，應(yīng)用公式||cos＜，＞=求解．【解答】解：，上的投影為，故選A．9.若，則點(diǎn)位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：B略10.若函數(shù)f（x）=的最大值為f（﹣1），則實(shí)數(shù)a的取值范圍（）A．[0，2e2] B．[0，2e3] C．（0，2e2] D．（0，2e3]參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義．【分析】求得f（﹣1），由題意可得alnx﹣x2﹣2≤﹣2+a在x＞0恒成立，討論x的范圍，分x=e，0＜x＜e，x＞e，運(yùn)用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得最值，進(jìn)而得到a的范圍．【解答】解：由f（﹣1）=﹣2+a，可得alnx﹣x2﹣2≤﹣2+a在x＞0恒成立，即為a（1﹣lnx）≥﹣x2，當(dāng)x=e時，0＞﹣e2顯然成立；當(dāng)0＜x＜e時，有1﹣lnx＞0，可得a≥，設(shè)g（x）=，0＜x＜e，g′（x）==，由0＜x＜e時，2lnx＜2＜3，則g′（x）＜0，g（x）在（0，e）遞減，且g（x）＜0，可得a≥0；當(dāng)x＞e時，有1﹣lnx＜0，可得a≤，設(shè)g（x）=，x＞e，g′（x）==，由e＜x＜e時，g′（x）＜0，g（x）在（e，e）遞減，由x＞e時，g′（x）＞0，g（x）在（e，+∞）遞增，即有g(shù)（x）在x=e處取得極小值，且為最小值2e3，可得a≤2e3，綜上可得0≤a≤2e3．故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為_________.參考答案：【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B12【答案解析】1

據(jù)題意知f′（1）=-f（1）=-+2=∴f(1)+f′(1)=-+=1

故答案為1【思路點(diǎn)撥】利用函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是切線的斜率求出f′（1）；將切點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程求出f（1），求出它們的和．12.已知函數(shù)，若方程有兩個不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 。參考答案：圖象如圖所示。的實(shí)根即是可以看做是兩個函數(shù)在圖像上的交點(diǎn)個數(shù)。g（x）的圖像是恒過點(diǎn)（0,1）的直線，臨界值是圖中經(jīng)過B，D兩點(diǎn)的割線和過C的切線。計算出斜率值即可。13.數(shù)列{an}中，an=(3n+2)×()n（n∈N*），則an中最大的項(xiàng)是第

項(xiàng)參考答案：答案：914.設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)z=（a2+2b2）x+y的最大值為8，則2a+b的最小值為

．參考答案：考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．解答： 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由z=（a2+2b2）x+y得y=﹣（a2+2b2）x+z，由圖象可知當(dāng)y=﹣（a2+2b2）x+z，經(jīng)過點(diǎn)A時，目標(biāo)函數(shù)的截距最大，此時z最大，由，解得，即A（1，4），則a2+2b2+4=8，即a2+2b2=4，即，設(shè)a=2sinθ，b=cosθ，則2a+b=4sinθ+cosθ=3sin（θ+α），其中α為參數(shù)，則當(dāng)sin（θ+α）=﹣1時，2a+b有最小值為，故答案為：點(diǎn)評：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合以及三角換元法是解決本題的關(guān)鍵．15.若，則

參考答案：略16.若函數(shù)在［－1，2］上的最大值為4，最小值為，且函數(shù)在上是增函數(shù)，則a＝＿＿＿.參考答案：17.已知正三棱柱的底面正三角形邊長為2，側(cè)棱長為3，則它的體積

．參考答案：正三棱柱的底面面積為，所以體積為。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)，其中.(Ⅰ)函數(shù)的圖象能否與x軸相切？若能，求出實(shí)數(shù)a，若不能，請說明理由；(Ⅱ)求最大的整數(shù)a，使得對任意，不等式恒成立.參考答案：解：(Ⅰ)由于.假設(shè)函數(shù)的圖象與軸相切于點(diǎn)，則有，即.顯然代入方程中得，.∵，∴無解．故無論取何值，函數(shù)的圖象都不能與軸相切.(Ⅱ)依題意，恒成立.設(shè)，則上式等價于，要使對任意恒成立，即使在上單調(diào)遞增，∴在上恒成立.則，∴在上成立的必要條件是：.下面證明：當(dāng)時，恒成立.設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴，即.那么，當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴恒成立.因此，的最大整數(shù)值為3.19.（本小題滿分12分）在數(shù)列中，其前項(xiàng)和為，滿足.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（Ⅱ）設(shè)（為正整數(shù)）,求數(shù)列的前項(xiàng)和.參考答案：（Ⅰ）;（Ⅱ）(Ⅰ)由題設(shè)得:,所以所以

……………2分當(dāng)時，,數(shù)列是為首項(xiàng)、公差為的等差數(shù)列故.……………5分（Ⅱ）由(Ⅰ)知:

……………6分

……………9分設(shè)則兩式相減得：整理得：

……………11分所以

……………12分

20.（本小題滿分12分）某市統(tǒng)計局就本地居民的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分布直方圖（每個分組包括左端點(diǎn)，不包括右端點(diǎn)，如第一組表示收入在[1000，1500)

單位：元）（1）估計居民月收入在[1500，2000)的概率；（2）根據(jù)頻率分布直方圖算出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（3）若將頻率視為概率，從本地隨機(jī)抽取3位居民（看作有放回的抽樣），求月收入在[2500，3500)的居民數(shù)X的分布和數(shù)學(xué)期望。

參考答案：解：（Ⅰ）依題意及頻率分布直方圖知，居民月收入在的概率約為．

……2分（Ⅱ）頻率分布直方圖知，中位數(shù)在，設(shè)中位數(shù)為，則，

解得．

……6分（Ⅲ）居民月收入在的概率為.由題意知，～，

……8分因此，，，，故隨機(jī)變量X的分布列為01230.2160.4320.2880.064……10分的數(shù)學(xué)期望為.……12分21.（13分）已知點(diǎn)分別是射線，上的動點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且的面積為定值2．（I）求線段中點(diǎn)的軌跡的方程；（II）過點(diǎn)作直線，與曲線交于不同的兩點(diǎn)，與射線分別交于點(diǎn)，若點(diǎn)恰為線段的兩個三等分點(diǎn)，求此時直線的方程．參考答案：解析：（I）由題可設(shè)，，，其中.則

1分∵的面積為定值2，∴.

2分，消去，得：．

4分由于，∴，所以點(diǎn)的軌跡方程為（）．5分（II）依題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為．由消去得：，

6分設(shè)點(diǎn)、、、的橫坐標(biāo)分別是、、、，∴由得

8分解之得：．∴.

9分由消去得：，由消去得：，∴.

10分由于為的三等分點(diǎn)，∴.

11分解之得.

12分經(jīng)檢驗(yàn)，此時恰為的三等分點(diǎn)，故所求直線方程為.13分22.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，AB=1，，E為PD中點(diǎn)，PA=1．（I）求證：PB∥平面AEC；（Ⅱ）在棱PC上是否存在點(diǎn)M，使得直線PC⊥平面BMD？若存在，求出點(diǎn)M的位置；若不存在，說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】LW：直線與平面垂直的判定；LS：直線與平面平行的判定．【分析】（I）連接BD，交AC于點(diǎn)O，連接EO，由ABCD為菱形，可得：O為BD中點(diǎn)，利用中位線的性質(zhì)可證EO∥PB，利用線面平行的判定即可證明PB∥平面AEC；（Ⅱ）若在棱PC上存在點(diǎn)M，使得直線PC⊥平面BMD，只需PC⊥BM即可．若PC⊥BM，由于PC⊥BO，可得PC⊥OM，由△COM∽△PAC，可得，根據(jù)已知可求CM的值，即可得解．【解答】解：（I）證明：如圖，連接BD，交AC于點(diǎn)O，連接EO，∵ABCD為菱形，可得：O為BD中點(diǎn)，又∵E為PD中點(diǎn)，∴EO∥PB，∵EO?平面AEC，PB?平面AEC，∴PB∥平面AEC；解：（Ⅱ）