贏在微點高中數(shù)學(xué)必修第一冊版大字號版分第四章

第四 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函公元前五世紀,古希臘有一個數(shù)學(xué)學(xué)派名叫學(xué)派,該學(xué)派中的一個成員希考慮了一個問題:1的正方形其對角線長度是多少呢?他發(fā)現(xiàn)這一長度既不能用整數(shù)表示,也不能用分數(shù)來表示,希通過對有理數(shù)指數(shù)冪????(a>0,n如果xn=a,那么x叫做a的n次,其中n>1,且n∈N*。nn ②????????=1=? ???? 正數(shù)a的n次一定有兩個嗎提示:不一定。當(dāng)n為偶數(shù)時,正數(shù)a的n次有兩個,且互為相反數(shù),當(dāng)n為奇數(shù)時,正數(shù)a的n次只有一個且仍為等式????=??????成立的條件是什么??

??

8 提示:要求a>0,實際應(yīng)用時,只要√??有意義即可,如:(-2)3=√(?2)=23類型一n次的概【例1】(1)(多選)√(?????)2+5√(?????)5的值可能 解析若a≥b,則原式=a-b+a-b=2(a-b),a<b,則原式=b-a+a-b=0化簡:(√???1)2+√(1???)2+3√(1???)3=a-1解 由(√???1)2知a-1≥0,a≥1。故原式=a-1+|1-a|+1-a=a-1若√(???5)(??2?25)=(5-x)√??+5,x[-5,5]解 因為√(???5)(??2?25)=√(???5)2(??+5)=(5-x)√??+5,所以{??+5≥0,所以-5≤x≤5。所以實數(shù)x的取值???5≤ ②16的4次是④√(??+x<2,則8√(??2)8+(3√??√2)3=2-√2。(填序號)解 √(????)2=|x+y|,④正確;x-2<0,故8√(??2)8+(3√??√2)3=|x-2|+x-√2=2-x+x-√2=2-√2,⑤正確。類型二根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化2】把下列根式化成分數(shù)指數(shù)冪的形式,a>0,b>05

4 (1)√??

;(3)√;(4)√(???)5 (1)√??=??5 3=2=??32√42√

1=(??3)4=??=(??3)4=????=???? 2 (4)√(???)6=√??6=??2=a3 1 指數(shù)的概念從整數(shù)指數(shù)擴充到實數(shù)指數(shù)后,當(dāng)a≤0時,????有時有意義,有時無意義,如(-1)3=√?1=-1,但(-1)2

取任何實數(shù)時,????都有意義,所以規(guī)定a>0。當(dāng)被開方數(shù)中有負數(shù)時, 5352√??(√??

7 (1)√8√2=√23·22=(22)6=212

。??=√??·??1=√??3=(3。 2 b3·3√??2=b3·??2=??11

3 33

=

= = 43

9

=???5√??(

√??

√??

類型三有理數(shù)指數(shù)冪的運算3】計算下列各式13 1

)+2-2×(2

2-? 7 ?0.0643-

)+[(-2)3]?3+16-8 1 (3)()4

1?23

0.1(???? ( (1)原式=1+1×42-(1)2=1+1-1=16( 610原式=0.4-1-1+(-2)-4+2-3=5-1+1+1=27 16814242

33 原式

·??2·???2·???2·??2=a0b0= 1 1【變式訓(xùn)練】(1)化簡(a3??2)2÷(??2??4)(a>0,b>0)的結(jié)果

31解 原式=??2??4=a1

3(2)化簡3

(a>0,b>0)=??8???8

1

()·()()·()

解析√??

√??

(·??2=(

·

·??2)=

·??

·??2·

·??2

111 11 3

1

2+

42

4)2=??8??8【典例】計算:√5?2√6+√5+2√6【分析】將5-2√65+2√6

【解】原式=√(√3?√2)2+√(√3+√2)2=|√3-√2|+|√3+√2|=√3-√2+√3+√2=2√3對于形如√??±2√??(m>0,n>0)的雙重根式,a>b>0,a+b=m,ab=n時,有√??±2√??=√??±√??【變式訓(xùn)練】(1)求值:√4?√15+√4+√15 原式 (2)求值:√5+2√6+√7?4√3-√6?4√2解√5+2√6+√7?4√3-√6?4√2=√(√3+√2)2+√(√3?2)2-√(2?√2)2=√3+√2+2-√3-(2-√2)=2√21.已知√(?????)2=a-b,

?解析由a-2≥0,a-4≠0,a≥2,a≠45.計算(11111111) 1 原式1?)(1+)(1+2)(1+1 21 1 1 1 2 4 8 2 4 8 21 21 1 1 (1?4)(1+ 121 1 1(1?)(1+) 28=

23 23? ? D.??2=- 23 2 1 2解

,所以成立的是??3=√??2 B.√(3?π)2=3-π解 若xy≠0,那么等式√??2??3=-xy√??成立的條件是 ??2??3>

??<解 因為xy≠0,所以x≠0,y≠0。由{?????>0,得??>

??>0a>0,將√??1

2 解 =a2÷(a·??3)2=??2?6=??6。故選C?！??a1a移到根號內(nèi)等于 1√ 解 由題知a<0,所以a√=-??·(?)=-√1√ 3?6.(3-2x)4中x的取值范圍 B.(?∞,3)∪(3, C.(?∞, D.(3, 解析(3- = ,要使該式有意義,需3-2x>0,即x<3

A.√(?2)2=- B.√3 33

(??) 解析對于A,a=16,b=81,4√??=2,4√??=3,式子左邊為(2-3)4=1,16-81=-65,右邊≠左邊,不成立;B,n次4√??4=|a|-|b|恒成立,故C對;4√(??+??)4=|a+b|,故D不成立,故選BC?；?(√???1)2+√(1???)2+3√(1???)3a-1解 由(√???1)2知a-1≥0,a≥1。故原式=a-1+|1-a|+1-a=a-1 已知3??+b=1,則9??×3??=32

解 2

=32??+???223 (1)(?38

3+(0.002)?2-10(√5-2)-1+(√2- 3 (2)√??2√???3·√(???5)?2·(???2)132 3

1

327 3

(1)原式=(-1)?3

)

)

+1=(

+5002-10(√5+2)+1=+10√5-10√5- 3

13 ((?已知集合A={-a,√??2,4},B=-3√??3,??,2b,且A=B,則a+b=3解 由集合中元素的互異性,可知-a≠√??2,a≠0,所以a>0,所以A={-a,a,4},B={-a,1,2b},又A=B,所以a=1,4=2b,即a+b=3f(x)=4??,0<a<1,f(a)+f(1-a)的值,f(

)+f(

)+f(

)+…+f(1000

+

=

+4??

4??+

1

1

1

1

4

f(

)+f(

)+f(

)+…+f(1000)=f(

)+f(1

+f(

)+f(999)+f(

)+f(998)1

1

1

1

1

1

1

1

1

1)f(500)+f(501)=500)1

1

參照P108探究中5√2的意義,試說明無理數(shù)指數(shù)冪2√3也是一個一般地,aα(a>0,α為無理數(shù))是一個確定的實數(shù)。這樣,ax(a>0)x的取值范圍從整數(shù)1.2√5是一個實數(shù)嗎提示:根據(jù)無理數(shù)指數(shù)冪的概念,2√5類型一無理數(shù)指數(shù)冪的運算1】計算下列各式的值π (2)??6??6???33 (3)(π√323

√3 (1)原式=(22×33 π7π(2)原式=??6+6?3=a0=1(3)原式

)π√3)π

2√3=(π3

(【變式訓(xùn)練】(1)計算3π×1π+(22√2)√2+1√5的值 (3 (解析3π×1π+(22√2)√2+1√5=(31)π+22√2×√2+1=1π+24+1=18(

①(

π3②(??3???6)12=m2π√3?√3 √3 解 2 =(π2

=π π?π

原式=(??36)=(??6)=m類型二條件求值 2】已知??2+???2=3,求下列各式的值3(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3)??2???21??2??? (1)將??2+???2=3兩邊平方,得a+a-1+2=9,故a+a-1=7將得故1 ?1原式=(??2)?(??1??2???1 1?1=(??2???2)(??+??2??2+??1??2???【變式訓(xùn)練】(1)x=1,y=2,求√??+√??-√???√?? √???√??解√??+√??-√???√??=(√??+√??)2-(√???√??)2=4√????

3√1×41×4所以原式=23=-24√=-8√31 ?2(2)a,bx2-6x+4=0的兩實數(shù)根,a>b>0,求√???√??{ 因為a,b是方程x2-6x+4=0的兩實數(shù)根,所以??+??={????=)a>b>0,所以√??>√??)

??+??+2√????6+2√4所以√???√??=√1=√5 5類型三指數(shù)冪等式的證明3】a,b,c都是正數(shù),3a=4b=6c,求證:2=2+1

????證明令3a=4b=6c=t,則3=????,2=??2??,6=????

113×2=6,所以????·??2??=????,即+=,所以2=2+1

??2?????? 對于正整數(shù)a,b,c(a≤b≤c)和非零實數(shù)x,y,z,w,若ax=by=cz=70w≠1,1=1+1+1,求a,b,c的值?????? 因為ax=70w,????=70??≠1 1 同理????=70??,????=70??

所以????·????·????=70??·70??·7 11即(abc)??=70??++又1=1+1+1,所以abc=70??????a,b,c是正整數(shù),a,b,c1,1<a≤b≤c。又70=2×5×7,所以a=2,b=5,c=7。1.3

C.3

3

1解 13

2計算(2√2)?√2的結(jié)果 2 22

-1解析(2√)

2

2=2=23.計算2√32√3?√24.10x=3,10y=4,102x-y94解析102x-y=(10??)2329410??=4421?????-??+???2??2??21 1

2 (1)原式=(22)√2+1·23?2√2·(21 1 1(2)原式=(??2+??2)(??2???2)-1 11

=??2-??2-(??2-??2)=0 C.(√??- D.(-??2√2)5=-解析??2√2??3√2=??5√2,故A錯誤;(-a2)3=-a2×3=-a6,(-a3)2=a6,故B錯誤;當(dāng)a=4時,(√??-2)0無意義,故C錯誤;(-??2√2)5=-??10√2,故D正確。π化簡??6??3的值 π 解 原式=??6+3π?π=???6計算(3√23√2√2)3√2的值 A.2 B.2C.2 D.2解 原式=(3√2×23)3√2=36×22=2916設(shè)a=4√24,b=3√12,c=√6,則a,b,c的大小關(guān)系是 解析a12=243<b12=124<c12=66,a<b<c 9

解 1A.-√??=(-33341C.???4=√()

2=??(???) 1

33 1441解 A錯,-√??=-??2(x≥0),而(-x)2=√???(x≤0);B錯,√??2=-??3(y<0);C正確,???4==()=√()(x>0);D 1

確√(???)2]4=??2×3×4=??2(x>0)。故選CD已知函數(shù)f(x)=π???π???,g(x)=π??+π???,則f(x),g(x)滿 解 A正確,f(-x)=π????π??=-f(x),g(-x)=π???+π??=g(x),所以f(-x)+g(-x)=g(x)-f(x);B不正確,f(x)-g(x)=π???π???-π??+π???=?2π???=- x;C正確,f(2x)=π2???π?2??=2·π???π???·π??+π???=2f(x)g(x);D不正確,[f(x)]2

2=π???π???+π??+π???π???π???- π???π???-=2π??·?2π???=-1。故選AC =解析1(a=3,b=384,a[??(

3×2n-31??

1384

1

解析a[()]

)3

=3×22x+2-x=5,4x+4-x232x-2-x√21解析4x+4-x=(2x+2-x)2-2=52-2=23,因為(2x-2-x)2=(2x+2-x)2-4=21,2x-2-x=±√21 1 1(1)(-??3???3)(3???2??3)(- (2)2??4(-3??4??36??2??3) 1 1

11

12 (1)(-??3???3)(3???2??3)(-2??6??3)=[-1×3×(-2)]??3?2+6???3+3+3=6x0y1=6y (2)2??4(-3??4??3)÷(-6??2??11 1+ ?

42??3f(x)=????+?????(a>0,a≠1,a為常數(shù),x∈R)2((2)f(1)=3,f(2),f1(2 2所以f(-m)=?????+????=62(2)因為f(1)=3,所以??+???1=3,所以a+a-2所以f(2)=??2+???2=(??+???1)2?2=17 1 因為(??2+???2)=a+a-1+2=8,所以1f(1)=??2+??2=√2 解析由29=16+8+4+1=24+23+22+20,可得“國”3,B同;②在A系列紙中,以前一個序號的紙張的兩條長邊中點連線為折線對折裁剪分開后,可以得到兩張后面序號大小的紙,比如1張A0紙對裁后可以得到2張A1紙,1張A1紙對裁后可以得到2張A2紙,依此類推。這是因為A系列紙張么A4紙的長度約為 解析設(shè)A4x厘米,A3紙的長度為√2x厘米,以此類推可以得到:118.9=(√2)4=4,x≈29.7,C 習(xí)題回放)(1)n=1,2,3,10,100,1000,10000,100000,…時,用計算工具計算(1+1)??(n∈N*)的值(2)n越來越大時,(1+1)??的底數(shù)越來越小,而指數(shù)越來越大,那么(1+1)??是否也會越來越大?有沒有最大值 (1)(1+11=2;(1+1)2=9=2.25;(1+1)3=43≈2.370 ( (1+(1+

)=1.110≈2.593 =1.01100≈2.704(1+

1 =1.0011000≈2.7161(1 10(1

10 =1.000110000≈2.718100 =1.00001100000≈2.7183100(2)由(1)知,當(dāng)n越來越大時,(1+1)??的值也會越來越大,將一張紙連續(xù)對折,xyy=2x(x∈N*)。對S(1)xS=1x(x∈N*)。這就2y=ax(a>0,a≠1)叫做指數(shù)函數(shù),x是自變量,R。1.(1)a>0,a≠1?提示:(1)①a=0,x>0時,ax0,沒有研究的必要;x≤0時,ax②a<0,y=(-4)x,x=1,1,…,2③a=1,y=1x是一個常量,沒有研究的價值。為了避免上述各種情況,所以確定a>0,且a≠1。(2)①a>0,a≠1;②ax1;③x1。2.(1)函數(shù)y=24是指數(shù)函數(shù)嗎?(2)y=ax一定是指數(shù)函數(shù)嗎?類型一指數(shù)函數(shù)的概念1】(1)給出下列函數(shù)④y=(-4)x;⑤y=πx;⑥y=4??2;⑦y=xx解析②不是指數(shù)函數(shù),因為底數(shù)不能是自變量;對于③,-4x是-14x的乘積,故③不是指數(shù)函數(shù);對于④,底數(shù)-4<0,故④不是指數(shù)函數(shù);對于⑥,x,xx2,故⑥不是指數(shù)函數(shù);對于⑦,x不是常數(shù),故⑦不是指(2)若函數(shù)y=(2a-1)x(x是自變量)是指數(shù)函數(shù),則a的取值范圍是 C.(1, D.[1, 解 依題意得2a-1>0,且2a-1≠1,解得a>1,且a≠12指數(shù)函數(shù)且【變式訓(xùn)練】(1)給出下列函數(shù):①y=2·3x;②y=3x+1;③y=3x;④y=x3;⑤y=(-2)x(填所有正確解析①中,3x2,故①不是指數(shù)函數(shù);②中,y=3x+1x+1,x,故②不是指數(shù)函數(shù);③中,3x的1,冪的指數(shù)是自變量x,且只有3x一項,故③是指數(shù)函數(shù);④中,y=x3的底數(shù)為自變量,指數(shù)為常數(shù),故④不是指數(shù)函(2)若函數(shù)f(x)=(a2-3a+3)ax是指數(shù)函數(shù),則 A.a=1或a=2 解 由指數(shù)函數(shù)的定義得??2?3??+3=1,解 ,類型二指數(shù)函數(shù)的解析式

??>0a≠

【例2】(1)指數(shù)函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過點(?2,1),那么 4 解析設(shè)f(x)=ax(a>0,a≠1),y=f(x)的圖象經(jīng)過點(?21),a-2=1,a=2,f(x)=2x,f(4)f(2)=24×22=64 (2) 卷)已知函數(shù)f(x)=1,則對任意實數(shù)x,有 C3解析由f(x)=1f(-x)=1=2??f(-x)+f(x)=2??+1=1

(【變式訓(xùn)練】(1)若函數(shù)f(x)=(1???3)·ax是指數(shù)函數(shù),則f1的值 ( 解 因為函數(shù)f(x)=(1???3)·ax是指數(shù)函數(shù),所以1a-3=1,a>0,a≠1,解得a=8,所以f(x)=8x,所以f(1)=√8=2√2。故 (2)f(x)是指數(shù)函數(shù),f3)=√5,f(x)=5x 解析設(shè)f(x)=ax(a>0,a≠1),類型三指數(shù)函數(shù)的實際應(yīng)用

,得???2=52?2=5?2,所以a=5,所以f(x)=5x3】(1)20202010年翻了一番,2011年起,年都增長p%。下面給出了依據(jù)“到2020年城鄉(xiāng)居民人均收入比2010年翻一番”列出的關(guān)于p的四個關(guān)系式中正確的 解析2010a,2011p%。則可多得利息多少萬元?(0.01萬元)(1.094≈1.4116,1.095≈1.5386) 由此可見,按年利率9%每年按復(fù)利計算一次要比按年利率10%單利計算投資更有利,53.86 某種細菌經(jīng)60分鐘培養(yǎng),可繁殖為原來的2倍,且知該細菌的繁殖規(guī)律為y=10ekt,其中k為常數(shù),t表示時間(單位:小時),y表示細菌個數(shù),10個細菌經(jīng)過7小時培養(yǎng),細菌能達到的個數(shù)為 B.1 C.2 D.5解析由題意可得,y=10ekt中,t=1時,y=20,20=10ek,ek=2,y=10ekt=10·2tt=7,則可得此時的細菌數(shù)為y=10×27=1280。下列各函數(shù)中,是指數(shù)函數(shù)的是(D) 11( (3解 碳14的半衰期為5730年,那么碳14的年衰變率 1A.

15(

(C.15(

D.1455 1(解 設(shè)年衰變率為x,則x5730=1,則x=15730。故選C( f(x)的圖象經(jīng)過點(2,4),f(1)+f1)3√2 解析設(shè)f(x)=ax(a>0,a≠1),f(x)經(jīng)點(2,4),4=a2a>0a≠1,a=2,f(x)=2x

1f()+f(?)=22+2?=√2+= 2 √2√(??+1)(??+1)-1解 設(shè)年平均增長率為x,原生產(chǎn)總值為a,則a(1+x)2=a(1+p)(1+q),解得x=√(??+1)(??+1)-1解(1)當(dāng)x=1時,y=100+100×1.2%=100(1+1.2%);當(dāng)當(dāng)…當(dāng)10112.7 y=2

(( (解 對于A,函數(shù)y=π中,a=π>1,是指數(shù)函數(shù);對于B,函數(shù)y=(-8)x中,a=-8<0,不是指數(shù)函數(shù);對于C,函數(shù)y=2x-1=1·2x,( 是指數(shù)函數(shù);對于D,y=x2,是冪函數(shù),若指數(shù)函數(shù)f(x)的圖象過點(4,81),則f(x)的解析式為 11((2

解析設(shè)f(x)=ax(a>0,a≠1),a4=81,a=3,f(x)=3x 解 點(a,27)在函數(shù)y=(√3)的圖象上,所以27=(√3),即3=32,所以=3,解得a=6,所以√??=√6。故選A2 3 解析由3某種細菌在培養(yǎng)過程中,每15min一次(由1個成2個),這種細菌由1個成4096個需要經(jīng)過A.12 B.4 C.3 D.2解析設(shè)共了x次,則有2x=4096,所以2x=212,即x=12。因為每15min一次,所以共15×12=180(min),即3h。故選C。某產(chǎn)品計劃每年成本降低p%,若三年后成本為a元,則現(xiàn)在成本為

3解 設(shè)現(xiàn)在成本為x元,則x(1-p%)3=a,所以 3 解 設(shè)指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a>0,且a≠1),則下列等式中不正確的有 解

=

??(??),B正確;f(nx)=anx=(ax)n,nf(x)=nax≠(ax)n,C 確;[f(xy)]n=(axy)n,[f(x)]n[f(y)]n=(ax)n(ay)n=(ax+y)n≠(axy)n,DCD。(f(x)=1????,a為常數(shù),且函數(shù)的圖象過點(-1,2),a1,g(x)=4-x-2,g(x)=f(x),x1(2解 因為函數(shù)的圖象過點(-1,2),所以1???=2,所以a=1,所以f(x)=1??,g(x)=f(x)可變形為4-x-2-x-2=0,解得2-x=2,所

( ( 2??,??> 若f(a)+f(1)=0,則實數(shù)a的值為-3??+1,??≤0 由已知,得f(1)=2。因為f(a)+f(1)=0,所以f(a)=-2,而當(dāng)x>0時f(x)=2x>1,所以a>0不成立,故a<0,即f(a)=a+1=-2,所以a=-3。 因為函數(shù)y=2(a-1)x是刻畫指數(shù)衰減變化規(guī)律的模型,所以0<a-1<1,解得1<a<2。 (1)由a2+a-5=1,可得a=2或a=-3(舍去),所以f(x)=2x。的定義域是且所以牛奶保鮮時間因儲藏溫度的不同而不同,yxy=kerx(k,r為常數(shù))0℃的冰箱中,100h,5℃的冰箱中,80h,10℃的冰箱中的保鮮時間是多少? e??e??×0=e

??=

=

解得{

454=√55y=100)555所以當(dāng)x=10時,y=100×(√)5

某校甲、乙兩某年1月份的營業(yè)額相等, 甲、乙兩的營業(yè)額相不能確定甲、乙哪個的營業(yè)額較解 設(shè)甲、乙兩1月份的營業(yè)額均為m,甲的營業(yè)額每月增加a(a>0),乙的營業(yè)額每月增加的百分率1x。由題意,可得m+8a=m(1+x)8,則5月份甲的營業(yè)額y1=m+4a,乙的營業(yè)額y2=m(1+x)4=√??(??+8??),因為12??2=(m+4a)2-m(m+8a)=16a2>0,所以y1>y2,故該年5月份甲的營業(yè)額較高2y=f(x),x∈R,f(0)=3,??(1)=1,??(2)=1,…,??(??)=1,n∈N*,y=f(x)

2??(1)

??(???1) 當(dāng)x增加1時函數(shù)值都以1的衰減率衰減2所以函數(shù)f(x)=k2

((f(0)=3,11(所以 (2

第1指數(shù)函數(shù)的圖象和性xy=2xy=(1)的圖象,2歸納、抽象出且Ry軸右側(cè),圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小;y軸左側(cè),y軸的左側(cè)還是右側(cè),x=1時,y的值等于底數(shù)去理解,如圖。y=axy=

(y=ax(a>0,a≠1)((提示:a>0,a≠1時,((y=2x,y=3x,y=2

??,y=3

當(dāng)類型一指數(shù)函數(shù)的圖象【例1】如圖所示的是指數(shù)函數(shù)①y=ax;②y=bx;③y=cx;④y=dx的圖象,則a,b,c,d與1的 解 由圖象①②a,b1時,圖象上升,且底數(shù)越大,y軸;當(dāng)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于0且小于1時,圖象下降,且底數(shù)越小,圖象越靠近y軸。 解析1>n>m>0可知,兩曲線應(yīng)為遞減的曲線,A,B項,n>mC。命題方向2:指數(shù)函數(shù)的圖象變換2】y=f(x)=2x的圖象,作出下列各函數(shù)的圖象: 此外,y=a|x|y軸對稱;y=|ax-b|y=ax-bx軸上及其上方的部分不動,把x軸下方的部分翻折到x軸上方得到。【變式訓(xùn)練】(1)為了得到函數(shù)y=2x-3-1的圖象,只需把函數(shù)y=2x圖象上所有的 解 (2)f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的圖象如圖,f(3)=3√3-3 由題圖可知,f(x)=ax+b的圖象是由y=ax的圖象向下平移3個單位長度得到的,故b=-3,又f(x)=ax-3過點(2,0),代入得a2-3=0,所以a=±√3,又a>0且a≠1,所以a=√3,f(x)=(√3)x-3,f(3)=(√3)3-3=3√3-3。3】(1)y=ax-3+3(a>0,a≠1)(3,4) 解法一:因為指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖象過定點(0,1),所以在函數(shù)y=ax-3+3(a>0,且a≠1)中,令x-3=0,得x=3,得y=1+3=4,即函數(shù)y=ax-3+3(a>0,且a≠1)的圖象過定點(3,4)。解法二:將原函數(shù)解析式變形,y-3=ax-3,y-3x-3的指數(shù)函數(shù),x-3=0時,y-3=1,x=3,y=4,所以原函數(shù)的m=0}解 畫出y=|2x-1|的圖象(如圖),則y=m與y=|2x-1|的圖象只有1個交點滿足m≥1或m=0(1)y=ax(a>0,a≠1)的圖象恒過點(0,1),因此當(dāng)我們討論與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)圖象過定點的問題時,只需令指數(shù)為0,解出x,從而得出相應(yīng)的y,即可求出定點的坐標(biāo)。(2)在運用圖象求解問題時,要注意漸近線y=0與指數(shù)【變式訓(xùn)練】(1)f(x)=2ax+1-3(a>0,a≠1)(-1,-1)解 (2)3(2)中,y=my=|2x-1|2個交點,m的取值范圍是(0,1) 畫出函數(shù)y=|2x-1|與y=m的圖象(圖略),由圖象可知,m的取值范圍是0<m<1。類型二指數(shù)函數(shù)的定義域與值域4】1 (1)由x-1≠0,得x≠1由1≠0,y≠1。故所求函數(shù)值域為{y|y>0y≠1}(2)5x-1≥0,x≥15故所求函數(shù)定義域為{??|??≥由√5???1≥0,y≥12x>0,2x+1>1

1}5y=af(x)f(x)x的集合。(2)y=af(x)f(x)的值域,再由單調(diào)性得出af(x)的值域,若a>0且a≠1,要對a進行分類討論。 1(y=1(3y=√1?2?? 定義域為1-2x≥0,x≤0 函數(shù)y=5x-1的圖象可以看作函數(shù)y=5x的圖象向下平移1個單位長度得到的,結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì),即可得出函數(shù)的大致圖象是C選項。 A.(0, 3 解 若函數(shù)y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的圖象經(jīng)過二、三、四象限,一定有 A.0<a<1且b<0 B.a>0且b>0C.0<a<1且 解 如圖所示,圖象與y軸的交點在y軸的負半軸上(縱截距小于零),即a0+b-1<0,且0<a<1,所以0<a<1,且b<0解 1y=2??-1;(2)y=() 31

(1)要使y=2??-1有意義,需x≠0,則2??>0且2??≠1,故2??-1>-1且2??-1≠0,故函數(shù)y=2??-1的定義域為{x|x≠0},函數(shù)的值域為1y=()3

12x2≥0,2x2-2≥-2,0<()3

1y=(3

解 從曲線的變化趨勢,可以得到函數(shù)f(x)為減函數(shù),從而有0<a<1;又當(dāng)x=0時,f(x)<1,即a-b<1=a0,所以-b>0,即b<0。 解析當(dāng)a>1時,f(x)=ax單調(diào)遞增,x=0時,g(0)=a>1,此時兩函數(shù)的圖象大致為選項A函數(shù)y=2??-1的定義域 解 要使y=2??-1有意義,只

???1有意義,即x≠0

D.[?

,解 。故選下列函數(shù)中,值域為(0,+∞)的是 1 B.y=(3C.y=√(1)??? D.y=√1?2 1解 A中,y=52???的定義域為{x|x≠2},故值域為(0,1)∪(1,+∞);B中,y=(3

中,y=√(1)???1的定義域為(-∞,0],故值域為[0,+∞);D中,y=√1?2??的定義域為(-∞,0],故值域為[0,1)。綜上可知,2((0,+∞)y=11???(3y=-2

(的圖(y=2

((y=2

(((y=1???y(2(y=1???(2解 某數(shù)學(xué)課外小組對函數(shù)f(x)=2|x-1|的圖象與性質(zhì)進行了探究,得到的下列四個結(jié)論中正確的有 畫出f(x)=2|x-1|的圖象如圖。對于A,根據(jù)f(x)的圖象可知,函數(shù)f(x)的值域為[1,+∞),A錯誤;對于B,根據(jù)f(x)的圖象可知,函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1)上單調(diào)遞減,在[1,+∞)上單調(diào)遞增,B錯誤;對于C,根據(jù)f(x)的圖象可知,函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,C正確;對于D,因為y=-a2≤0,所以函數(shù)f(x)的圖象與直線y=-a2(a∈R)不可能有交點,D正確。故選CD。f(x)=√3

(27(-∞,-2](解 令3

(得所以( 指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)的圖象恒過(0,1)點,而要得到函數(shù)f(x)=ax-1+4(a>0,且a≠1)的圖象,可將指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)的圖象向右平移1個單位長度,再向上平移4個單位長度。則(0,1)點平移后得到點(1,5),所以所求點P的已知(1)???5≤2x,y=x2-4x+111,+∞) (解 由 ≤2x,得2-x+5≤2x,所以-x+5≤x,解得x≥5。又y=x2-4x+1=(x-2)2-3在[2,+∞)上為增函數(shù),所以y≥1-3=-11(2(y=3x的圖象,y=(3

y=3

((2y=3-(x+1)+2=31(y=2(3

((y=√1

1()12 (1)因為x應(yīng)滿足x-4≠0,所以1因為1≠0,所以11y=2???4的值域為{y|y>0,y≠1}R因為|x|≥0,y=2?|??|=3|??|≥3( ( ( (((((1-2

??≥0,所以2

??≤1=12所以x≥0,所以(((

((又因為2

??>0,0<2

0≤1-2

(<1,(

解析令y=(2x-1)ex=0,x=1,x軸有唯一的交點,C、D;x→-∞時,ex→0,y→0,B2故選A { (1)由圖①知f(x)的圖象過點(2,0),(0,-2),所以??2+??={??+??=a>0,a≠1,a=√3,b=-3(2)由圖②f(x)單調(diào)遞減,f(0)<0,a0+b<0,b<-1故知則或m的取值范圍為[3,+∞)∪{0}

第2指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)類型一指數(shù)式的大小比較1】 因為故因為故因為故取中間值因為故也可取中間值即【變式訓(xùn)練】(1)下列大小關(guān)系正確的是 解析0.43<0.40=1=π0=30<30.4(2)設(shè)a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,則a,b,c的大小關(guān)系是 因為1.50.6>1.50=1,0.60.6<0.60=1,故1.50.6>0.60.6,又函數(shù)y=0.6x在R上是減函數(shù),且1.5>0.6,所以0.61.5<0.60.6,故0.61.5<0.60.6<1.50.6。即b<a<c。類型二解指數(shù)不等式(2】(1)3x≥1?0.5,x(3 因 =30.5,所以由 可得( ( y=3x為增函數(shù),x≥0.5 ①當(dāng)0<a<1時,函數(shù)y=ax是減函數(shù),則由a-5x>ax+7可得-5x<x+7,解得x>-7。6②a>1時,y=ax是增函數(shù)a-5x>ax+7可得-5x>x+7,x<-76綜上,0<a<1時,x>-7;a>1時,x<-7 指數(shù)不等式且當(dāng)當(dāng)?shù)字笖?shù)式的形式,要首先進行變形將不等式兩邊的底數(shù)進行統(tǒng)一,此時常用到以下結(jié)論:1=a0(a>0,a≠1),a-x=

(1()?7,??<【變式訓(xùn)練】(1)f(x)={√??,??≥0

??<

??≥解 由題意,知f(a)<1等價于{1 或 (2)解不等式:((

()?7<2

√??<1 因為(2

=(2-1)???2=22???所以原不等式等價于22???2≤2xy=2x是R上的增函數(shù),2-x2+x-2≥0,x≤-2所以原不等式的解集是{x|x≥1,x≤-2}。類型三指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性3】y=2

((( 設(shè)u(x)=x2-6x+17,則y=1??(??)(2((1)y=1??(??),u(x)=x2-6x+17的定義域為(2

1(2

R因為所以1??(??)≤1( ( (又1??(??)>0,故函數(shù)的值域為(0,1]( 函數(shù)且有從而1??(??1)>1( (

1(21

,y=(2

(1)y=af(x)型的函數(shù),a>1時,y=af(x)f(x)的單調(diào)性相同;0<a<1時,y=af(x)f(x)的單調(diào)性相反。(2)對于y=f(ax)型的函數(shù),一般將ax視作一個整體或用換元法,令u=ax,結(jié)合u=ax>0及f(u)的單調(diào)性進行討論。【變式訓(xùn)練】(1)y=2√???2+2??+3 設(shè)t(x)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,x=1,u(x)=√???2+2??+易知在[1,3]上單調(diào)遞減,y=2uR上單調(diào)遞增所以函數(shù)y=2√???2+2??+3在[-1,1)上單調(diào)遞增,在[1,3] 設(shè)t=2x,x∈R,則t>0,此時有y=(t-1)2+2,t>0。當(dāng)由x≥0t=2x在[0,+∞)上單調(diào)遞增,所以原函數(shù)在[0,+∞)上單調(diào)遞增。y=f(ax)的值域,u=axu的取值范圍,y=f(u)的值域,y=f(ax)的【典例】y=a2x+2ax-1(a>0,a≠1)在[-1,1]上有最大值,14,a【解】設(shè)t=ax,y=(t+1)2-2,t=-1①a>1,x∈[-1,1],t=ax在[-1,1]上單調(diào)遞增,0<1≤t≤a。由二次函數(shù)的圖象知,t∈[1??]時,

,

故當(dāng)所以或②0<a<1,x∈[-1,1],t=ax在[-1,1]上單調(diào)遞減,0<a≤t≤1。由二次函數(shù)的圖象知,y=(t+1)2-2

]上為增函數(shù),t=時,ymax=a+2a-1=14,a=a=-(舍去) 綜上所述,a=1a=33這類問題要注意換元法的使用。本題設(shè)?? 已知x∈[-2,3],求函數(shù)f(x)=1-1+1??4 f(x)=1-1+1=(2-x)2-2-x+1=(2????1)2+34?? 82-x=1,x=1時,f(x)取得最小值 2-x=4,x=-2時,f(x)13 3解 ((f(x)=2

解 因為f(x)=2

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為2(1(y=()2A.

1[, B.(?∞, C.(0, 2

1

1 1 解析令t(x)=2x-x2=-(x-1)2+1≤1。因為函數(shù)y=()為減函數(shù),所以()≤( ,即y≥ y=ax在區(qū)間[-1,1]上的最大值和最小值的和為5,a12 解 指數(shù)函數(shù)y=ax在區(qū)間[-1,1]上的最大值和最小值的和為5,當(dāng)a>1時,可得ymin=1,ymax=a,那么1+a=5,解得a=2, 0<a<1時,ymax=1,ymin=a,那么1+a=5,a=1,a的值可能是12

1 3(1)(3

2和()2 1.22,1.42,1.42 (1)因為1?2>1,3?2<1,所以1?2>3?2( (

( ( 因為所以所以 1y=??2在[0,+∞)上是增函數(shù),且1.2<1.4,1.22<1.421 y=1.4為增函數(shù),且<2,1.42<1.4,1.22<1.42<1.42 若12??+1<18?2??,則實數(shù)a的取值范圍 ( ( A.(7, 4 D.(?∞,((解 函數(shù)y=4

??R上為減函數(shù),2a+1>8-2a,a>7。故選A4

1

解析1

=(5

=(-3)5<0,b>a>c函數(shù)y=3??的單調(diào)遞減區(qū)間 B.(- 解析設(shè)u=,y=3,u=在(-∞,0)和(0,+∞)上是減函數(shù),y=3在R上是增函數(shù),y=3??的單調(diào)遞減區(qū)間是 函數(shù)f(x)=2???2??? 2解 因為f(-x)=2????2??=-2???2???=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù),又因為y=2x是增函數(shù),y=2-x為減函數(shù),故f(x)=2???2???為增函數(shù) B 由偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=2x-4(x≥0),可得f(x)=f(|x|)=2|x|-4,則f(x-2)=f(|x-2|)=2|x-2|-4,要使f(|x-2|)>0,只需2|x-2|-4>0,即|x-2|>2,解得x<0或x>4。故選D。 D.13>1()( 解 因為所以

1313(3

12=((

44=1

114(144

12=((

1,33 11,所以13<14,D81

()( 已知函數(shù)f(x)=1?2??,則下面結(jié)論正確的 D.?x1,x2∈R,x1≠x2,有??(??1)???(??2)<0解 對于A,f(x)=1?2??,則f(-x)=1?2???=2???1=-f(x),所以f(x)的圖象關(guān)于原點對稱;對于B,f(1)=-1,f(-1)=1≠f(1),故f(x)的圖

y軸對稱;C,f(x)=1?2??=-1+

-1+2∈(-1,1),故f(x)的值域為(-1,1);

D,f(x)=1?2??=-1+2,在定義域上單調(diào)遞減,故?x,x∈R,且x≠x,有??(??1)???(??2)<0

1 1

(y=2|??+1|R,(0,1](3解 由于|x+1|≥0,而0<2<1,所以y有最大值1,所以值域為(0,1]((2

>24-x(1,21

1

1解 原不等式可化為(2

>(2

,y=()是減函數(shù),x2-2x-2<x-4,x2-3x+2<0,1<x<22y=b·ax在[b,2]6,a2 由指數(shù)函數(shù)定義知,b=1,故a+a2=6,解得a=2,或a=-3,又因為a>0,所以a=2。111.(1)y=()3

(2)y=4

(+((+2

1(3

(1),737即函數(shù)的值域為 41[37,3 ((2)t=1>0,y=t2+t+1=(??+1)+3在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以其值域為(1,+∞)( 112.已知函數(shù)f(x)=( 311 (1)當(dāng)a=-1時,f(x)=( 3令(g(x)在(-2,+∞)上單調(diào)遞減,y=(3

R上是減函數(shù)所以即((2)h(x)=ax2-4x+3,f(x)=1(3f(x)3,h(x)應(yīng)有最小值-1??>因此必有{12???16=?1,解得f(x)3時,a113.

??+1???>1???+

( (

( ( 解 不等式可變?yōu)?/p>

??-1???>

??-1???,f(x)=

??-1???,f(x)>f(y),f(x)R上是減函數(shù),x<y()(

()(

()( 14.(多選)已知實數(shù)a,b滿足等式1??=1??,則下列關(guān)系式中可能成立的 ( ( 解 畫出函數(shù)y=1和y=

??的圖象,a,b滿足等式1??=1??a,b的大小關(guān)系,如圖所示,a,b( (

( ( 為正數(shù),a>b>0;a,b為負數(shù),a<b<0;a=b=0,則1??=1??=1,AB( ( 15.Rf(x)=?2??+?? (1)由題設(shè),f(0)=?1+??=0,所以2所以f(x)=1?2??在R上是減函數(shù),證明如下x1,x2∈R,f(x)-f(x)=1?2??2- 11+2??22(2??1?2??2)因為x1<x2所以0<2??1<2??2所以2??1-2??2<0,(1+2??1)(1+2??2所以即R(2)f(t2-2t)+f(2t2-k)<0,f(t2-2t)<-f(2t2-k)。因為f(x)是奇函數(shù),所以f(t2-2t)<f(k-2t2),知所以3t2-2t-k>0t∈R恒成立,所以Δ=4+12k<0,得k<-1。31年,84%”1,x年,y=0.84xx,y。反過來,如果我們測得剩留的質(zhì)量為0.5,可得0.84x=0.5,如果求x呢?已知底數(shù)和冪值求指通常,以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù),并把log10N記為lgN。另外,在科技、經(jīng)濟以及社會生活中經(jīng)常使用以無e=2.71828…為底數(shù)的對數(shù),e為底的對數(shù)稱為自然對數(shù),logeN記作lnN。ax=N叫做指數(shù)式,x=logaN叫做對數(shù)式,a,x,N的同一種數(shù)量關(guān)系,只是表達形式不同a1=a(a>0),logaa=1。(2)因為(-3)2=9,所以log(-3)9=2。(3)2x=3,log32=x。對數(shù)恒等式??log????=b(a>0,且a≠1,b>0)是如何推出的提示:因為ax=b,x=logab,所以??log????=b類型一對數(shù)的定義1】(1)y=log(x-2)(4-x)中,x(2,3)∪(3,4???2>解 由{???2≠1,得2<x<3或3<x<44???> ①由54=625,得log5625=4②log216=4,24=16③10-2=0.01,lg0.01=-2④由log√5125=6,得(√5)6=125 ((1)43=64;(2)lna=b;(3)1??=n;(4)lg1000=3(2 (1)因為43=64,所以log464=3lna=b,eb=a1因為()2

=n,所以log1n=m2lg1000=3,103=1000類型二對數(shù)的運算2】x3(3)lg1=x;(4)-lne-1

(√2?1) 3 x=27?3=(33)?3=3-2=9所以即1所 4=24,所以1=2,即x=11 lg1=x,10x=10-3,x=-31因為-lne-3=x,所以-x=lne-e-x=e-3,x=3因為 (√2?1)所以(√2-1)x= =1=√2-1,所以x=1

√ 計算:(1)log927;(2)lo??4√ (1)設(shè)x=log927,則9x=27,32x=33,所以x=32 √(2)x=log4381,則√3)=81,34=3,x=16√ 3(3)3

625,則√54)x=625,53??=54,所以x=34類型三對數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用3】x的值:(1)log2(log5x)=0;(2)log3(lgx)=1; (1)因為所以所以(2)log3(lgx)=1,lg所以x=103=1000。5對數(shù)恒等式??log????=N【變式訓(xùn)練】(1)若3log3(2??+1)=27,x=13解 由題知3log3(2??+1)=2x+1=27,解得x=13(2)logπ(log3(lnx))=0,xe3解 由題知log3(lnx)=1,lnx=3,得x=e3 A.100=1與lg1=01111111?B.162=log16=- 41D.lne=1解 選項C中應(yīng)為log39=2與32=9,其他選項均正確 解 求值:lg1000=3;lg0.001=3解 因為103=1000,所以lg1000=3;因為10-3=0.001,所以lg0.001=-31=2 。=24

1解析由log2x=3,x=23=8,所以???2=4(2)ln[log2(lgx)]=0。 log2(lgx)=1,lgx=21=2,x=102=100 根據(jù)對數(shù)的定義,得0和負數(shù)沒有對數(shù),所以選項A,B不可以求對數(shù),又-x2≤0,所以選項D沒有對數(shù),因為π>0,所以選項C可以求對數(shù)。 a>1且 2

??>解析loga(-2a+1)a需滿足{??≠?2??+1>

0<a<12 解析由logx16=2,x2=16=(±4)2,x>0,x≠1,x=4已知log√381=x,則x等 解 由題意得(√3)x=81,即32=34,則x=8方程2log3??=1的解 49

3 解 因為2log3??=2-2,所以log3x=-2,所以x=3-2=19 解析loga3=m,am=3,loga5=n,an=5,a2m+n=(am)2·an=32×5=45。 C.5252D.3log3(?5)=-5解 對于A,由對數(shù)的概念知,負數(shù)和0沒有對數(shù),故A正確;對于B,指數(shù)式(-1)2=1沒有相應(yīng)的對數(shù)式,故B錯誤;對C,5252,C正確;對于D,顯然3log3(?5)=-5不成立,故DAC log√2x=3,xlog1=-2,x169若??log31=1,則944x+4-x=10,3

2 2 解析由logx=3,x=(√2)3=2√2,A正確;logx=-,得???=,則(???)?=x,x=(2-4)?=26=64,B正確; 3 16 2=1log1=-2,x-2=1,x=2x=-2,則C不正確;4x=t,t+1=10,t=3t=1,4x=14x=3,x=log13 ?? 3x=log43,Dalog1=-2,a=8a41 2

1 解 因為loga=-,所以???3=,所以a=()2=42=84 1=2 。=24

1

1解 因為log7[log3(log2x)]=0,所以log3(log2x)=1,所以log2x=3,所以23=x,所以???2=(23)?2= =2 8

√82√211.2log24-() +(√2-1)lg1-3 23(解 原式=1-[2]3+lg10-2+(√2-1)0=1-9-2+1=-3( 4((1)24=16;(2)1??=0.(2log5125=3;(4)lga=-1.5 23log2(log3(log4x))=0,log4(log2y)=1,求√??·??4 因為log4x=3,x=43=64。由log4(log2y)=1,知log2y=4,所以y=24=16。

p=壓力,它的單位是“帕斯卡”(Pa,1Pa=1N/m2),p(Pa)h(m)p=p受力面 kh(k=0.000126m-1),p0A1,A2p1,p2,且??1=1,A1,A2??2的海拔高度的差約為(參考數(shù)據(jù):ln A.550 B.1818C.5500 D.8732解析A,Ah,h,則??1=??0e????1=e???(?1??2)=1,所以-k(h-h)=ln1=-ln2,h-h≈0.6931 1

1

120.000500(m)C

得

??=2,所以log2=??由

33(3)由63=2,得2??=6,log26=

log??=logM-log logab=log????(a>0,a≠1;b>0;c>0,c≠1)①logab·logba=1,即1=logba, ②lognMm=??logNM,此表示底數(shù)變?yōu)樵瓉淼膎次方,真數(shù)變?yōu)樵瓉淼膍次方,所得的對數(shù)值等于原來對數(shù)值的??倍 三項的乘積式積的對數(shù)運算性質(zhì)可以推廣到真數(shù)是提示:logab=lg??,logab=ln?? 類型一對數(shù)運算性質(zhì)的應(yīng)用【例1】 4

8

3

2解 4 計算:(lg2)2+lg2×lg5+lg5=1解 原式=lg2(lg2+lg5)+lg5=lg2+lg5=1lg2=a,lg3=b,lg12=b+3a-15解 lg12=lg12-lg5=lg(3×22)-(1-lg5=lg3+lg22-1+lg=lg3+3lg2-1=b+3a-1的和(差),即的正用;(3)“湊”:將同底數(shù)的對數(shù)湊成特殊值計算,如利用lg2+lg5=1,進行計算或化簡。 7+log 2(lg√2)2+lg√2×lg5+√(lg√2)2?lg2+1 (1)原式=log√7+log212-log2√42-2√2=log222=log1=-322√2(2)原式=lg√2(2lg√2+lg5)+√(lg√2?=lg√2(lg2+lg5)+1-lg=lg√2+1-lg√2=1。類型二換底的應(yīng)用2】 (1)原式=lg9×lg32=2lg3×5lg2=10lg8lg273lg23lg3(2)原式=(lg3lg3lg2=lg3+lg3)×lg2lg3×lg2lg3×lg2=1+1=5 lg8 lg32lg2lg33lg2lg323 (1)log23×log36×log68; (1)原式=log23×log26×log28=log28=3原式

1

)×log23+2 =(3log3)×(5log2)=5log2×log3 =5log23×1=5 log23類型三對數(shù)運算的實際應(yīng)用【例3】2022年,中國航天再一次開啟“超級模式”,五星一次次閃耀太空,神舟十號、神舟十四號……中國航天人在浩瀚的星辰大海乘風(fēng)破浪,逐夢。宇航員在飛船中執(zhí)行20%的水中雜質(zhì),5%,則至少需要過濾的次數(shù)為(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.301) 解 設(shè)過濾的次數(shù)為n(n∈N*),原來水中雜質(zhì)為1,則(1-20%)n<5%,即0.8n<1,所以lg0.8n<lg1,所以nlg0.8<- 20,n>?lg20=lg20=1+lg2≈13.4,n∈N*,n14。所以至少需要過濾的次數(shù)為14,Clg0.81?3lg2

,斯噪聲功率N的大小,其中??叫做信噪比。按照,若不改變帶寬W,而將信噪比??從1000提升至5000,則C大 增加了(提示:lg2≈0.301 解 將信噪比??從1000提升至5000,C大約增加lg5lg2lg5lg2

lg1 )=log25001?log21

lg2

lg2 ≈0.233,C23%B

log21

lg1

log????=logax-解 解 原式=log48=log16=log24=4。故選C2 2

解 原式=lg2×lg25=lg2×2lg5=1lg5lg4lg5log8492解析

3log32

222log223=

=log27計算:(1)3log72-log79+2log7(3(2)(lg2)2+lg2×lg500+lg125 8(2)原式=lg2(lg2+lg500)+3lg=lg2×lg1000+3lg5=3lg2+3lg=3(lg2+lg5)=3lg10=3 2解 已知3a=2,那么log38-2log36用a可表示為 解 計算lg2-lg1-eln2等 5 2

解 原式=lg(2÷1)-2=-15已知log3x=m,log3y=n,則log√??用m,n可表示 3√√??33√A.1m- B.2m- C.√??- D.1m-

1

解析log3 =log3√x-log3√??·√??log=3??2log-3(y·??3)2=log

x-logy=m-n√y

計算(1log4+log3)(log312- 11 11解析2

2

2log32)=1B 2

解 因為log34·log48·log8m=lg4·lg8·lg??=lg??=2,所以lgm=2lg3,所以m=9

lg3lg4

已知f(x)=log5x,則對任意的a,b∈(0,+∞),下列關(guān)系成立的是 C.f?? D.f??=f(a)-( ( 解 因為f(x)=log5x,a,b∈(0,+∞),所以f(ab)=log5(ab)=log5a+log5b=f(a)+f(b),f??=log??=log5a-log5b=f(a)-f(b) B.2+1=lg20

( ?? ?? ?? ????解析a=log210,b=log510,1+1=1+1=lg2+lg5=1,A正確;2+1=2+1=lg4+lg5=lg20,B??

??

確;1+2=1+2=lg2+lg25=lg50,故C,D????log210lg√5+lg√201 原式=lg√100=lg10=1。10.若lgx+lgy=2lg(x-2y),則??=4。

??>0,??>解 因為lgx+lgy=2lg(x-2y),所以{???2??> 由xy=(x-2y)2,知x2-5xy+4y2=0,所以x=y或x=4y。又x>0,y>0且2y>0,x=y,x=4y,則??=4

????=(???2??)2 =1的解是x=1

??>解析log2x+log2(x+1)=1,log2[x(x+1)]=1,x(x+1)=2,x=1x=-2。又{??1>0,x>0??+1≠計算2log32-log32+log3 3 (1)原式=log34-log32+log38=log39=239223

因為10b=3,所以b=lg3,所以 2 lg(3×22)lg3+2lg22的亮度為Ek(k=1,2)。已知的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,則與天狼星的亮度的比值為 C.lg 解 -1.45-(-26.7)=5lg??1,25.25=5lg??1,lg??1=10.1,所以??1=1010.1。故選A

22

2

識,20192020的位數(shù)。(參考數(shù)據(jù):lg2 解法一:設(shè)10k<20192020<10k+1,k∈N*,兩邊取常用對數(shù),得k<lg20192020<k+1,因此k<2020lg2019<k+1,lg26675.1<k<6k∈N*,k=6201920206677解法二:20192020=N,2020lg2019=lglg21<100.1<10,N6677,201920206677“龍骨”實際上是一頭距今已有1億至8000萬年歷史的巨龍的肋骨經(jīng)過發(fā)掘、整理、還原模型,專家推斷這條巨龍活著的時候,體重應(yīng)該在60噸左 10y=lgey=ln類型一對數(shù)函數(shù)的概念【例1 (1)對數(shù)函數(shù)自變量x的系數(shù)為1,故此函數(shù)不是對數(shù)函數(shù)。log2x1,且(1)1。(2)01的常數(shù)。(3)x【變式訓(xùn)練】(1)下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是 D.y=lg解 f(x)=(a2-a+1)log(a+1)x是對數(shù)函數(shù),a1解析a2-a+1=1,a=01a+1>0,a+1≠1,a=1

15解

1)=log21=log22-5=-5 類型二對數(shù)函數(shù)的定義域2】求下列函數(shù)的定義域y=lg(2+?????2) (2)要使函數(shù)式有意義,需{4???>0,x<4,x≠3,y=ln(4???)的定義域為(-∞,3)∪(3,4)???3≠{(3)要使函數(shù)式有意義,需滿足2+?????2>{|??|???≠

即{??2????2<0,解得-1<x<0,因此函數(shù)y=lg(2+?????2)的定義域為(-1,0)|??|≠

且不為 函數(shù)f(x)=1+lg(10-x)的定義域為(1,10){解 由題意可得???1>0,解得1<x<10,故函數(shù)f(x)的定義域為(1,10){10???>類型三對數(shù)函數(shù)的實際應(yīng)用3【例3 鮭魚每年都要逆流而上,游回產(chǎn)地產(chǎn)卵,經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速可以表示為函數(shù)v=1log??,單位3 3 (1)由v=1log??可知3 當(dāng)θ=900時,v=1log3900=1log39=1(m/s) 100900個單位時,1m/s v2-v1=1,即1log??2-1log??1=1,得??2 100

對數(shù)運算是求指數(shù)的運算,因此要建立對數(shù)函數(shù)模型,y,利用指數(shù)與對數(shù)的互化得到對數(shù)函數(shù)解析 (2022卷)在會上,國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù),為實現(xiàn)綠色作出了貢獻。如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和lgP的關(guān)系,其中T表示溫度,單位是K;P表示壓強,單位是bar。下列結(jié)論中正確的是 T=220,P=1026T=270,P=128T=300,P=9987T=360,P=729 A選項,lgP=lg1026>3,T=220,由圖處于固態(tài);B選項,lgP=lg128>2,T=270,由圖處于液態(tài);C選項,lgP=lg9987≈3.999,T=300,由圖處于固態(tài);D選項,lgP=lg729>2,T=360,由圖處于超臨界狀態(tài)。故選D。 A.y=logxa(x>0,且x≠1)3解 已知對數(shù)函數(shù)的圖象過點M(9,2),則此對數(shù)函數(shù)的解析式為 解析設(shè)y=logax,loga9=2,a=3,y=log3x 解析由1-x>0x<1 銷售人員的方案,在銷售額為x萬元時,y萬元。若公司擬定的方案 ,則他的銷售額應(yīng)為128萬元解 (1)要使函數(shù)式有意義,需{???1>log2(???1)≠x>1,x≠2故函數(shù) 要使函數(shù)式有意義,16-4x>0,x<2。故函數(shù)y=log2(16-4x)的定義域是{x|x<2}。3???>要使函數(shù)式有意義,需{??1>0,1<x<3,x≠2???1≠故函數(shù)且 若函數(shù)f(x)=(a2+a-5)logx為對數(shù)函數(shù),則f1等 (8 D.-( 因為函數(shù)f(x)為對數(shù)函數(shù),所以logax的系數(shù)為1,即a2+a-5=1,解得a=2或-3。因為底數(shù)大于0,所以a=2,所以f(x)=log2x,所以f1=-3(8 解 因為f(1)=loga(1+1)=1,所以a1=2,則a=2。故選C函數(shù)f(x)=lg(x-1)+√4???的定義域為 {1<x≤4解 由題意得???1{1<x≤44???≥ C.(- 3???≥解 若要函數(shù)有意義,則{??+1>2≠log2(??+{設(shè)函數(shù)f(x)=??2+1,??≤1,則f(f(10))的值 {lg??,??>A.lg 解 你的數(shù)學(xué)水平x與y之間的函數(shù)關(guān)系式正確的是 根據(jù)題意x=(1+0.005)y,所以y=log1.005x,故選B。 解

y=lg 解 (0,+∞)ACD。41

2),f(x)=log1x21解析設(shè)f(x)=logax,loga=2,a=,f(x)=log1x f(x)=loga(x+2),若其圖象過點(6,3),f(xlog2(x+2f(305解 ③y=ln④y=log(??2+??)x(x>0,a是常數(shù))解 a2+a=(??+1)2-1,當(dāng)a=-1時,底數(shù)小于0,故④不是對數(shù)函數(shù)。故填③ (1)a的值 所以知由解得某公司制定了一個激勵銷售人員的方案:當(dāng)銷售利潤不超過10萬元時,按銷售利潤的15%進行;當(dāng)銷售利潤超過10萬元時,若超出A萬元,則超出部分按2log5(A+1)進行。記獎金為y(單位:萬元),銷售利潤為x(單位:萬元)。{ (1)由題意知y=0.15??,0≤??≤{1.5+2log5(???9??>10由題意知log5(x-9)=2,x-9=52,x=34。所以的銷售利潤是34萬元。設(shè)函數(shù)f(x)=f1lgx+1,則f(10)的值 ( D.解 因為

1lgx+1,x換成1,f1=f(x)lg1+1。由以上兩式,f(x)=

,所以f(10)=1+lg10=1(

(

(1)由題意,得{1+??+1>9?3??+1≤a≥10a的取值范圍為[10 (2)由題意,x2+ax+1>0在R上恒成立則a的取值范圍為(-2,2)第1對數(shù)函數(shù)的圖象和性①②從圖①上看,y=log2xy=lo??1x的圖象有什么關(guān)系2且R為什么對數(shù)函數(shù)且y=log2xy=log1xx軸對稱。一般地,y=logax(a>0,a≠1)y=log1x(a>0,a≠1) x軸對稱提示:log1x=-logax,y=logax(a>0,a≠1)y=log1x(a>0,a≠1)x 類型一對數(shù)函數(shù)的圖象問題【例1】(1)如圖,若C1,C2為函數(shù)y=logax和y=logbx的圖象, 解 作直線y=1,則直線與C1,C2的交點的橫坐標(biāo)分別為a,b,0<b<a<1 第二步:y=log2xx1個單位長度,y=log2(x+1)的圖象,如圖②所示第三步:y=log2(x+1)xx軸的對稱變換,y=|log2(x+1)|的圖象,如圖③所 地,當(dāng)?shù)讛?shù)與1的大小關(guān)系不確定時應(yīng)注意分類討論?！咀兪接?xùn)練】(1)函數(shù)f(x)=loga(2x-3)-4(a>0,且a≠1)的圖象恒過點 解析令2x-3=1,x=2,f(2)=loga1-4=-4,f(x)=loga(2x-3)-4的圖象恒過點(2,-4)。故選D 因為函數(shù)y=ln(1-x)的定義域為{x|x<1},故可排除選項A,B;又y=1-x在(-∞,1)上為減函數(shù),y=lnx為增函數(shù),所以復(fù)合函數(shù)y=ln(1-x)在(-∞,1)上為減函數(shù),排除選項D。故選C。類型二比較對數(shù)值的大小2】比較下列各組對數(shù)值的大小log14log12 2log13 log10.3 4 (1)因為y=log1x在(0,+∞)上單調(diào)遞減,且<,所以log1>log1 5 2 2因為當(dāng)x∈(1,+∞)時,y=log1x的圖象在y=log1x圖象的上方,所以log13>log13 由對數(shù)的性質(zhì)知log10.3>0>log13,所以log10.3>log13 a>1時,y=logax在(0,+∞)上是增函數(shù),當(dāng)函數(shù)所以(1),,2,,(3)則利用圖的置關(guān)系底的大小系決或利換化同后再進比。4)底和真數(shù)都不相同1,01【變式訓(xùn)練】(1)已知實數(shù)a=log5,b=10,c=log0.4,則a,b,c的大小關(guān)系 ( 2 解 由題知,a=log5>1,b=10=1,c=log0.4<0,故c<b<a ( 2(2)已知log1m<log1n<0, 1解 因為0<<1,log1m<log1n<0,所以m>