勾股定理幾種證明方法的探索與思考-畢業(yè)論文

PAGE16勾股定理幾種證明方法的探索與思考PAGE17淮南師范學(xué)院2009屆本科畢業(yè)論文PAGE16PAGE17勾股定理幾種證明方法的探索與思考摘要本文討論了勾股定理的幾種證明方法和勾股定理的一些應(yīng)用。AbstractInthispaper,wediscussseveralmethodsofproofaboutPythagoreanpropositionandapplicationsofPythagoreanproposition.關(guān)鍵詞勾股定理，證明，演繹法KeywordsPythagoreanproposition，proof，deductivemethod引言2002年8月第24屆國際數(shù)學(xué)大會在北京召開，這是從國際數(shù)學(xué)大會舉行以來首次在我國召開，說明了中國的數(shù)學(xué)在國際上的地位。在本次大會上，隨處都能看到一個旋轉(zhuǎn)的紙風(fēng)車，它就是這次大會的標(biāo)志。這個圖形是根據(jù)趙爽《周脾算經(jīng)注》中的“弦圖一”為模板進行設(shè)計[1]的。這個圖案的設(shè)計充分說明了勾股定理在數(shù)學(xué)中的地位。對于勾股定理的由來，各國各民族都有不同的文字記載，但中華民族是最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的民族之一。勾股定理是一壇千年佳釀，另人陶醉神往。它以其簡潔,優(yōu)美的形式，豐富深刻的內(nèi)容，展現(xiàn)了自然界的和諧與唯美。1.勾股定理的證明勾股定理是數(shù)學(xué)中一條有名的定理，它是幾何學(xué)的基礎(chǔ)知識，在《基礎(chǔ)幾何學(xué)》[2]中對它進行了詳細(xì)的介紹。目前勾股定理的證明方法已有500多種，每種證明方法大都把幾何知識與代數(shù)知識相結(jié)合，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的魅力，轉(zhuǎn)化思想的巧妙。1.1拼圖法拼圖是數(shù)學(xué)中經(jīng)常遇到的，它能充分體現(xiàn)出實踐的作用，。下面我們就用拼圖的方法來證明勾股定理。1.1.1拼法一：用四個相同的直角三角形（直角邊長分別為a、b，斜邊長為c），把他們拼成一圖.如圖（1）在圖1中，可以用兩種方法把正方形ABCD的面積表示出來，即：(1)(2)由此可得：化簡后即為：1.1.2拼法二：用四個完全相同的直角三角形（直角邊長分別為a,b,斜邊長為c）,如圖2正方形ABCD的面積也能用兩種方法表示出來，即：（1）（2）由（1）（2）得化簡后可得到：不難發(fā)現(xiàn)拼法一與拼法二都是用四個直角三角形。接下來我們用兩個直角三角形拼一拼。（這種方法是美國的一位總統(tǒng)發(fā)現(xiàn)的）1.1.3拼法三：在1876年一個周末的傍晚，當(dāng)時美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德發(fā)現(xiàn)，附近的一個小凳上有兩個小孩子在談?wù)撝裁?，好奇心?qū)使伽菲爾德問兩個小孩在干什么？其中一個小男孩頭也不抬地說：“請問先生如果直角三角形的兩條直角邊長分別為3和4，那么斜邊長為多少？”伽菲爾德答到：“5呀”。小男孩又問到：“如果兩直角邊長分別為5和7，那么這個直角三角形的斜邊長又是多少？”伽菲爾德不假思索的回答到：“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方?！靶∧泻⒂终f道：’先生，你能說出其中的道理嗎？”伽菲爾德一時語塞。當(dāng)晚他潛心探討小男孩留給他的問題，經(jīng)過反復(fù)的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了一個極其簡捷的證明方法，如圖，就是伽菲爾德的證明方法△ABC與△ECD是一對同樣的三角形,兩直角邊長分別為a和b,斜邊長為c.我們很容易知道△AED也是直角三角形,兩直角邊長為c,梯形ABCD的面積可以用兩種方法表示出:①②有①②兩式可得：化簡后得：從以上三例我們能看到拼圖這種方法的巧妙,但其思路還是離不開數(shù)形結(jié)合。拼法一這種方法是在西方廣為流傳的畢達(dá)哥拉斯等人的基礎(chǔ)上被發(fā)現(xiàn)的.拼法二則是中華民族的發(fā)現(xiàn),在《數(shù)學(xué)史概論.》.[3].一書中對此作了詳細(xì)的說明。用拼圖來證明勾股定理是一種簡單又明了的方法,有好多學(xué)者在這方面都有研究,也有專門的文章出現(xiàn).[3]1.2.1演繹法在許多有關(guān)勾股定理的證明方法中,有一種方法最為古老,而且對后來的影響有比較大,這種方法就是演繹法,是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德發(fā)現(xiàn)的.在他所著的《幾何原本》中給出了這種方法。如圖直角三角形ABC的AC邊長為a，AB邊長為b,斜邊CB長為c.正方形ACGF邊長為a,正方形ABHI邊長為b,正方形CDEB邊長為c.證明過程如下:連接GB,AD,CH,AE,過點A做AK垂直于BE交DE與點K。因為CG=CA,CB=CD,∠GCB=∠ACD.容易知道△ACD≌△GCB，又因為所以①同理：因為所以又因為所以②又①+②可以得到即歐幾里德的這種演繹思想對后來的數(shù)學(xué)發(fā)展起到了很大的作用,更直接的作用是給勾股定理的證明方法提供了一個全新的思路?？聪旅嬉焕紫犬嬛苯侨切蜛BC,（如圖）設(shè)點C為直角頂點,(斜邊長為c,兩直角邊長分別為a,b),分別以直角邊BC,AC為一邊畫正方形BCDE,ACFG,以斜邊AB為一邊畫正方形ABJK.接著連接DF,容易知道△ABC≌△FDC,從而六邊形ABEDFG的面積是以BC為一邊的正方形的面積，AC為一邊的正方形的面積，再加上直角三角形ABC的面積的二倍的總和。即①通過驗證還能知道六邊形ABEDFG的面積是四邊形ABEG面積的兩倍;再接下來,過J引CA的平行線,過K引CB的平行線,設(shè)它們的交點為L,則△ABC≌△JKL(兩角夾一邊).于是,六邊形AKLJBC的面積是以斜邊AB為一邊的正方形面積與直角三角形ABC面積的二倍的總和.即②我們還不難發(fā)現(xiàn),如果把四邊形ABEG繞B點旋轉(zhuǎn)90度后,它恰巧重合于四邊形JBCL.如果把四邊形ABEG繞A點旋轉(zhuǎn)90度后,它恰巧重合于AKLC.由此能說以六邊形ABEDFG面積等于六邊形AKLJBC的面積.即③由①②③式可得即定理即得證:不難發(fā)現(xiàn)這兩種方法與前面的拼圖法有著許多不同之處,在這里注重圖形的轉(zhuǎn)化演繹,所以我們可把它們歸結(jié)為演繹法證明勾股定理.演繹法證明勾股定理一直都是一個重要的思路，不論在西方,還是在中國,都受到了這種思想的影響,在《數(shù)學(xué)史中勾股定理的證明》[5]一文有更詳細(xì)介紹。接下來,我們看這樣一種證法,它融合拼圖與演繹為一體,構(gòu)思相當(dāng)巧妙，如圖⑹圖(6)里的四個完全相同的直角三角形和一個小正方形構(gòu)成了一個大正方形.現(xiàn)在,把其中一個直角三角形命名為ABC(圖8),并設(shè)BC=a，CA=b，AB=c,中間一個正方形的邊長是a-b,大正方形的邊長是c,從而,圖(8)里的大正方形的面積是。把圖(6)中的兩個直角三角形合成一個長方形,這樣,四個直角三角形就合成兩個長方形和圖(6)中間的一個小正方形,.把他們重新拼起來,就可以得到圖(7)，然后,如圖(9)那樣，在該圖中再引一條鉛垂的虛線,標(biāo)上各邊的長.將圖(9)作適當(dāng)?shù)暮喕?能夠恰好成為圖(10)所表示的那樣,由一個邊長為a的正方形,和一個邊長為b的正方形組成.由此我們可以得到：定理得證。1.3.1一種純粹的數(shù)學(xué)與幾何相結(jié)合的方法不難發(fā)現(xiàn),無論采用的拼圖,演繹,或者拼圖與演繹相結(jié)合,最后都是離不開面積相等這種思路.在近500多種證明方法中大都采用了這種思想.但也有許多方法另辟蹊徑,.在《基礎(chǔ)幾何學(xué)》與《幾何的有名定理》[5]兩本書中有這方面的介紹在中學(xué)八年級老教材中,我們見到過這樣一種方法:如圖直角三角形ABC,直角邊AC長為a,直角邊BC長為b,斜邊AB長為c,求證證明如下:過點C作CH⊥AB交AB與點H,對于△BCH與△BAC:∵∠B為公共角,∠BHC=∠BCA=∴△BCH～△BAC∴∴①同理,在△ACH與△ABC中,也有一個公共角A,另有一直角,所以它們也相似，既△ACH～△BAC,所以所以②有①+②可得=即定理得證,這種證明方法不同與以上,拋開面積相等這種思路,是一種純粹的數(shù)學(xué)與幾何相結(jié)合,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的巧妙與獨有魅力。勾股定理的證明方法有不下500多種每種方法都與數(shù)形結(jié)合思想有聯(lián)系。同時對勾股定理的證明也反映了中西方文化的差異[6]。在《幾何的有名定理》一書中對勾股定理有詳細(xì)介紹.2.勾股定理的應(yīng)用勾股定理是數(shù)學(xué)中一條重要的定理,所以它的應(yīng)用相當(dāng)廣泛。它包括定理本身的應(yīng)用，有定理證明方法的應(yīng)用.對證明方法的應(yīng)用,主要是對證明方法中所蘊涵的思想的應(yīng)用。比如,數(shù)形結(jié)合思想,演繹變換(轉(zhuǎn)化思想)[7]等。但是大多時候定理與思想是共同出現(xiàn)。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)這門學(xué)科中一種重要思想,它把代數(shù)與幾何聯(lián)系在一起,往往能起到另人意想不到的效果。2.1勾股定理與方程的聯(lián)系求解。(數(shù)形結(jié)合的方法)例1在一棵樹的20米高處有兩只小松鼠,其中一只爬下樹向離樹40米的池塘，而另一只爬到樹頂后直接撲向池塘。如果兩只松鼠經(jīng)過的路程相等,問這棵樹有多高?分析:根據(jù)題意畫出圖形,在直角三角形中運用勾股定理求解。解:如上圖，D為樹頂,AB=20米,點C為池塘,AC=40米設(shè)BD的長為米,則樹高為(20+)米∵AC+AB=BD+DC∴DC=40+20-x=60-x在直角△ACD中,有勾股定理可得:即:解得=10所以樹高為30米。通過此例我們能看到勾股定理與數(shù)形結(jié)合之間的聯(lián)系,相互包含,而且求解時通常與方程的聯(lián)系也相當(dāng)緊密。我門再看一例與生活有聯(lián)系的實例。圖(1)是一面矩形彩旗完全展平時的尺寸圖(單位:cm),中矩形ABCD是有雙層白布縫制的穿旗桿用的旗褲,矩形DCEF為綢緞面。將穿好彩旗的旗桿垂直插在操場上,旗桿從桿頂?shù)降孛娴母叨葹?20cm,在無風(fēng)的天氣里.彩旗自然下垂,如圖(1)求彩旗下垂時最低處離地面的最小高度h。分析本題是以大家熟悉的紅旗為素材編擬一道具有較強的創(chuàng)新意識的試題,通過本題的解決,可使我們認(rèn)識到數(shù)學(xué)無處不在,彩旗下垂的高度就是矩形DCEF的對角線DE的長度，所以本題需先求出對角線DE的長。解:在RT△DEF中,根據(jù)勾股定理,得因為DF=120,EF=90,所以2所以=DE=150所以h=220-150=70(cm)所以彩旗下垂時的最低處離地面的最小高度是70cm;2.2演繹法的應(yīng)用對于數(shù)形結(jié)合思想隨處可見,不再舉例.下面我來看轉(zhuǎn)化思想;在勾股定理證明方法時,提到了演繹法,其實這種方法里就是轉(zhuǎn)化思想，這種思想在數(shù)學(xué)中也比較重要。在七年級的教材里就出現(xiàn)了這種思想,我來看幾例。例3,如圖,長方體的長為25cm,寬AF為20cm,高為30cm,點B距點C5cm,一只昆蟲,如果要沿著長方體表面從點A爬到點B,需要爬行的最短路程是多少?分析:由于昆蟲是沿著長方體的表面爬行的,故需把長方體展開平面圖形,根據(jù)兩點之間線段最短,昆蟲爬行的路程有兩種可能如圖2、圖3所示,利用勾股定理容易求出圖2,圖3中AB的長度,比較后即可求得昆蟲爬行的最短路程。解:將長方體展開成平面圖形,因為兩點之間線段最短,所以能求的爬行路程是線段AB的長度,根據(jù)點B在圖上的位置,展開后線段AB有兩種可能.即圖2和圖3所示。圖2中,由勾股定理,得.AB=圖3中,由勾股定理,得因為1525<1625,所以昆蟲需要爬行最短路程是cm.這種類型的問題從七年級時就已體現(xiàn),求立體圖形的最短距離,一般需要把立體圖形展開,最終利用勾股定理求兩點的距離,對于轉(zhuǎn)化思想,在生活中也經(jīng)常遇到,如:例4,如圖,林中有兩棵樹,相距12m,一顆樹高為13m,另一棵樹高8m,一只小鳥從一棵書的頂端飛到另一棵樹的頂端,小鳥至少要飛多遠(yuǎn)？分析:本題是一道具有創(chuàng)意的實際問題,當(dāng)小鳥從高樹頂端按直線飛行到另一棵樹的頂點時,所飛行的距離最短,本題涉及到兩點之間線段最短,以及勾股定理的應(yīng)用等知識.分別用AB,CD表示兩棵樹,如圖⑵得到梯形ABCD.過D作AB的垂線可構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理解決。解:如圖2,作DE⊥AB與點E.因為AB=13米,CD=8米,所以AE=5米,由BC=12米,得DE=12米在Rt△ADE中,因為AE=5,DE=12,所以所以AD2=169,所以AD=13米所以一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端,至少要132.3構(gòu)造直角三角形來解題以上兩種應(yīng)用均有側(cè)重點,第一種側(cè)重數(shù)形結(jié)合,第二種側(cè)重思想轉(zhuǎn)換。我們知道構(gòu)造直角三角形來解題是求解平面幾何問題的重要的方法。下面就看這樣一例,它包含數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想于一體。例5已知等邊△ABC的邊長為2，點E是邊BC延長線上的一點，且CE=BC，點D是AB的中點，求DE的長。分析：因為DE與△ABC的各邊都沒有明顯的關(guān)系，所以可以通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形，將DE作為直角三角形的一條邊，利用勾股定理求DE的長。解法1：過點D做DF⊥BE，垂足為點F在Rt在Rt△DFE中，F(xiàn)E=4-=，利用勾股定理可以求得DE的長：DE=解法2，連結(jié)AE，因為AB=BC=CE,所以利用在直角三角形中，若一條邊的中線長等于這條邊的一半，則這條邊所對的角為直角。可得是直角。所以DE是Rt的斜邊。在Rt△ABE中，，，用勾股定理求得在Rt中所以的長為致謝：本論文是在李遠(yuǎn)華老師的悉心關(guān)懷和指導(dǎo)下完成的李老師嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，淵博的專業(yè)知識給了我深刻的印象。提高我獨立檢索資料的能力，初步具備搜集、整理、篩選信息資料的能力，初步掌握科學(xué)研究的基本方法，了解科學(xué)研究論文的寫作技巧與規(guī)范化要求，受到科學(xué)研究的初步訓(xùn)練。實驗期間李老師不僅僅在是在學(xué)術(shù)上辛勤指導(dǎo)，還對我生活予以無微不致的關(guān)懷，使我順利的完成了本論文的研究工作。在此，向各位參考文獻(xiàn)[1]趙爽.周脾算經(jīng)注[2]A、B勃格萊洛夫.基礎(chǔ)幾何學(xué)[M]程永茂李德文（譯）黑龍江科學(xué)技術(shù)出版社.[3]李文林.數(shù)學(xué)史概論[M].高等教育出版社,2005,(4).[4]朱奎詳.在趣味拼圖中感悟勾股定理.中學(xué)生數(shù)學(xué).[J]2006年04期.[5]朱哲.數(shù)學(xué)史中勾股定理的證明《數(shù)學(xué)教學(xué)》[J]2006年3期.[6]失野健太郎.《幾何的有名定理》[M]陳永明（譯）上?？茖W(xué)技術(shù)出版社.[7]王凱.勾股定理與中國古代數(shù)學(xué).邵陽學(xué)院學(xué)報[J].2005年3期.[8]劉頓.勾股定理與數(shù)學(xué)思想.初中生[J].2006年2期.[9]九年義務(wù)教育八年級教科書.幾何[J].人民教育出版社出版.基于C8051F單片機直流電動機反饋控制系統(tǒng)的設(shè)計與研究基于單片機的嵌入式Web服務(wù)器的研究MOTOROLA單片機MC68HC（8）05PV8/A內(nèi)嵌EEPROM的工藝和制程方法及對良率的影響研究基于模糊控制的電阻釬焊單片機溫度控制系統(tǒng)的研制基于MCS-51系列單片機的通用控制模塊的研究基于單片機實現(xiàn)的供暖系統(tǒng)最佳啟停自校正（STR）調(diào)節(jié)器單片機控制的二級倒立擺系統(tǒng)的研究基于增強型51系列單片機的TCP/IP協(xié)議棧的實現(xiàn)基于單片機的蓄電池自動監(jiān)測系統(tǒng)基于32位嵌入式單片機系統(tǒng)的圖像采集與處理技術(shù)的研究基于單片機的作物營養(yǎng)診斷專家系統(tǒng)的研究基于單片機的交流伺服電機運動控制系統(tǒng)研究與開發(fā)基于單片機的泵管內(nèi)壁硬度測試儀的研制基于單片機的自動找平控制系統(tǒng)研究基于C8051F040單片機的嵌入式系統(tǒng)開發(fā)基于單片機的液壓動力系統(tǒng)狀態(tài)監(jiān)測儀開發(fā)模糊Smith智能控制方法的研究及其單片機實現(xiàn)一種基于單片機的軸快流CO〈,2〉激光器的手持控制面板的研制基于雙單片機沖床數(shù)控系統(tǒng)的研究基于CYGNAL單片機的在線間歇式濁度儀的研制基于單片機的噴油泵試驗臺控制器的研制基于單片機的軟起動器的研究和設(shè)計基于單片機控制的高速快走絲電火花線切割機床短循環(huán)走絲方式研究基于單片機的機電產(chǎn)品控制系統(tǒng)開發(fā)基于PIC單片機的智能手機充電器基于單片機的實時內(nèi)核設(shè)計及其應(yīng)用研究基于單片機的遠(yuǎn)程抄表系統(tǒng)的設(shè)計與研究基于單片機的煙氣二氧化硫濃度檢測儀的研制基于微型光譜儀的單片機系統(tǒng)單片機系統(tǒng)軟件構(gòu)件開發(fā)的技術(shù)研究基于單片機的液體點滴速度自動檢測儀的研制基于單片機系統(tǒng)的多功能溫度測量儀的研制基于PIC單片機的電能采集終端的設(shè)計和應(yīng)用基于單片機的光纖光柵解調(diào)儀的研制氣壓式線性摩擦焊機單片機控制系統(tǒng)的研制基于單片機的數(shù)字磁通門傳感器基于單片機的旋轉(zhuǎn)變壓器-數(shù)字轉(zhuǎn)換器的研究基于單片機的光纖Bragg光柵解調(diào)系統(tǒng)的研究單片機控制的便攜式多功能乳腺治療儀的研制基于C8051F020單片機的多生理信號檢測儀基于單片機的電機運動控制系統(tǒng)設(shè)計Pico專用單片機核的可測性設(shè)計研究基于MCS-51單片機的熱量計基于雙單片機的智能遙測微型氣象站MCS-51單片機構(gòu)建機器人的實踐研究基于單片機的輪軌力檢測基于單片機的GPS定位儀的研究與實現(xiàn)基于單片機的電液伺服控制系統(tǒng)用于單片機系統(tǒng)的MMC卡文件系統(tǒng)研制基于單片機的時控和計數(shù)系統(tǒng)性能優(yōu)化的研究基于單片機和CPLD的粗光柵位移測量系統(tǒng)研究單片機控制的后備式方波UPS提升高職學(xué)生單片機應(yīng)用能力的探究基于單片機控制的自動低頻減載裝置研究基于單片機控制的水下焊接電源的研究基于單片機的多通道數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)基于uPSD3234單片機的氚表面污染測量儀的研制基于單片機的紅外測油儀的研究96系列單片機仿真器研究與設(shè)計基于單片機的單晶金剛石刀具刃磨設(shè)備的數(shù)控改造基于單片機的溫度智能控制系統(tǒng)的設(shè)計與實現(xiàn)基于MSP430單片機的電梯門機控制器的研制基于單片機的氣體測漏儀的研究基于三菱M16C/6N系列單片機的CAN/USB協(xié)議轉(zhuǎn)換器基于單片機和DSP的變壓器油色譜在線監(jiān)測技術(shù)研究基于單片機的膛壁溫度報警系統(tǒng)設(shè)計基于AVR單片機的低壓無功補償控制器的設(shè)計基于單片機船舶電力推進電機監(jiān)測系統(tǒng)基于單片機網(wǎng)絡(luò)的振動信號的采集系統(tǒng)基于單片機的大容量數(shù)據(jù)存儲技術(shù)的應(yīng)用研究基于單片機的疊圖機研究與教學(xué)方法實踐基于單片機嵌入式Web服務(wù)器技術(shù)的研究及實現(xiàn)基于AT89S52單片機的通用數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)基于單片機的多道脈沖幅度分析儀研究機器人旋轉(zhuǎn)電弧傳感角焊縫跟蹤單片機控制系統(tǒng)基于單片機的控制系統(tǒng)在PLC虛擬教學(xué)實驗中的應(yīng)用研究基于單片機系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)通信研究與應(yīng)用基于PIC16F877單片機的莫爾斯碼自動譯碼系統(tǒng)設(shè)計與研究基于單片機的模糊控制器在工業(yè)電阻爐上的應(yīng)用研究基于雙單片機沖床數(shù)控系統(tǒng)的研究與開發(fā)基于Cygnal單片機的μC/OS-Ⅱ的研究基于單片機的一體化智能差示掃描量熱儀系統(tǒng)研究基于TCP/IP協(xié)議的單片機與Internet互聯(lián)的研究與實現(xiàn)變頻調(diào)速液壓電梯單片機控制器的研究基于單片機γ-免疫計數(shù)器自動換樣功能的研究與實現(xiàn)基于單片機的倒立擺控制系統(tǒng)設(shè)計與實現(xiàn)單片機嵌入式以太網(wǎng)防盜報警系統(tǒng)基于51單片機的嵌入式Internet系統(tǒng)的設(shè)計與實現(xiàn)單片機監(jiān)測系統(tǒng)在擠壓機上的應(yīng)用MSP430單片機在智能水表系統(tǒng)上的研究與應(yīng)用基于單片機的嵌入式系統(tǒng)中TCP/IP協(xié)議棧的實現(xiàn)與應(yīng)用單片機在高樓恒壓供水系統(tǒng)中的應(yīng)用基于ATmega16單片機的流量控制器的開發(fā)基于MSP430單片機的遠(yuǎn)程抄表系統(tǒng)及智能網(wǎng)絡(luò)水表的設(shè)計基于MSP430單片機具有數(shù)據(jù)存儲與回放功能的嵌入式電子血壓計的設(shè)計基于單片機的氨分解率檢測系統(tǒng)的研究與開發(fā)HYPERLINK