2023年寧夏回族自治區(qū)六盤山高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．右邊莖葉圖記錄了甲、乙兩組各十名學(xué)生在高考前體檢中的體重（單位：）.記甲組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)分別為，乙組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)分別為，則（）A． B．C． D．2．在正方體中，直線與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．3．為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（）A．向左平移 B．向右平移C．向左平移 D．向右平移4．設(shè)x，y滿足約束條件，則z=x-y的取值范圍是A．[–3,0] B．[–3,2] C．[0,2] D．[0,3]5．向正方形ABCD內(nèi)任投一點(diǎn)P，則“的面積大于正方形ABCD面積的”的概率是（）A． B． C． D．6．已知、是球的球面上的兩點(diǎn)，，點(diǎn)為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐體積的最大值為，則球的表面積為()A． B． C． D．7．甲、乙、丙、丁四名運(yùn)動(dòng)員參加奧運(yùn)會(huì)射擊項(xiàng)目選拔賽，四人的平均成績和方差如下表所示，從這四個(gè)人中選擇一人參加奧運(yùn)會(huì)射擊項(xiàng)目比賽，最佳人選是（）人數(shù)據(jù)甲乙丙丁平均數(shù)8.68.98.98.2方差3.53.52.15.6A．甲 B．乙 C．丙 D．丁8．在直三棱柱（側(cè)棱垂直于底面）中，若，，，則其外接球的表面積為（）A． B． C． D．9．對(duì)某班學(xué)生一次英語測試的成績分析，各分?jǐn)?shù)段的分布如下圖（分?jǐn)?shù)取整數(shù)），由此，估計(jì)這次測驗(yàn)的優(yōu)秀率（不小于80分）為（）A．92% B．24% C．56% D．76%10．設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則公比（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，，則______．12．設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為_____13．魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分（即榫卯結(jié)構(gòu)）嚙合，十分巧妙，外觀看是嚴(yán)絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對(duì)稱．從外表上看，六根等長的正四棱柱體分成三組，經(jīng)榫卯起來，如圖3，若正四棱柱體的高為，底面正方形的邊長為，現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積的最小值為__________．（容器壁的厚度忽略不計(jì)）14．已知的三邊分別是，且面積，則角__________.15．若角的終邊過點(diǎn)，則______.16．已知圓錐如圖所示，底面半徑為，母線長為，則此圓錐的外接球的表面積為___．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，（），求數(shù)列的通項(xiàng)公式.18．在中，、、分別是內(nèi)角、、的對(duì)邊，且.（1）求角的大?。唬?）若，的面積為，求的周長．19．已知{an}是等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且2bn＝b1（1+Sn），bn≠0，又a2b2＝4，a7+b3＝1．（1）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（2）令cn＝anbn（n∈N*），求{cn}的前n項(xiàng)和Tn20．已知數(shù)列滿足，．（1）證明：是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．21．王某2017年12月31日向銀行貸款元，銀行貸款年利率為，若此貸款分十年還清（2027年12月31日還清），每年年底等額還款（每次還款金額相同），設(shè)第年末還款后此人在銀行的欠款額為元.（1）設(shè)每年的還款額為元，請(qǐng)用表示出；（2）求每年的還款額（精確到元）.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】甲組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為x1＝64，乙組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為x2＝66，則x1<x2；甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為y1＝＝65，乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為y2＝＝66.5，則y1<y2.2、C【解析】

由題，連接，設(shè)其交平面于點(diǎn)易知平面，即（或其補(bǔ)角）為與平面所成的角，再利用等體積法求得AO的長度，即可求得的長度，可得結(jié)果.【詳解】設(shè)正方體的邊長為1，如圖，連接，設(shè)其交平面于點(diǎn)，則易知，，又，所以平面，即得平面.在三棱錐中，由等體積法知，，即，解得，所以.連接，則（或其補(bǔ)角）為與平面所成的角.在中，.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中線面角的求法，作出線面角是解題的關(guān)鍵，求高的長度會(huì)用到等體積法，屬于中檔題.3、B【解析】

利用的圖象變換規(guī)律，即可求解，得出結(jié)論．【詳解】由題意，函數(shù)，，又由，故把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)，向右平移個(gè)單位長度，可得的圖象，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換規(guī)律，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象變換是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4、B【解析】作出約束條件表示的可行域，如圖中陰影部分所示.目標(biāo)函數(shù)即，易知直線在軸上的截距最大時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最小值；在軸上的截距最小時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，即在點(diǎn)處取得最小值，為；在點(diǎn)處取得最大值，為.故的取值范圍是[–3,2].所以選B.【名師點(diǎn)睛】線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解題.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無誤地作出可行域；二，畫目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí)，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯(cuò)；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)處或邊界上取得.5、C【解析】

由題意，求出滿足題意的點(diǎn)所在區(qū)域的面積，利用面積比求概率.【詳解】由題意，設(shè)正方形的邊長為1，則正方形的面積為1，要使的面積大于正方形面積的，需要到的距離大于，即點(diǎn)所在區(qū)域面積為，由幾何概型得，的面積大于正方形面積的的概率為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型的概率求法，解題的關(guān)鍵是明確概率模型，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

當(dāng)點(diǎn)位于垂直于面的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最大，利用三棱錐體積的最大值為，求出半徑，即可求出球的表面積．【詳解】如圖所示，當(dāng)點(diǎn)位于垂直于面的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最大，設(shè)球的半徑為，此時(shí)，.因此，球的表面積為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查球的半徑與表面積的計(jì)算，確定點(diǎn)的位置是關(guān)鍵，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.7、C【解析】

甲，乙，丙，丁四個(gè)人中乙和丙的平均數(shù)最大且相等，甲，乙，丙，丁四個(gè)人中丙的方差最小，說明丙的成績最穩(wěn)定，得到丙是最佳人選．【詳解】甲，乙，丙，丁四個(gè)人中乙和丙的平均數(shù)最大且相等，甲，乙，丙，丁四個(gè)人中丙的方差最小，說明丙的成績最穩(wěn)定，綜合平均數(shù)和方差兩個(gè)方面說明丙成績即高又穩(wěn)定，丙是最佳人選，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)和方差的實(shí)際應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)處理能力，求解時(shí)注意方差越小數(shù)據(jù)越穩(wěn)定.8、A【解析】

根據(jù)題意，將直三棱柱擴(kuò)充為長方體，其體對(duì)角線為其外接球的直徑，可得半徑，即可求出外接球的表面積．【詳解】∵，，∠ABC=90°，∴將直三棱柱擴(kuò)充為長、寬、高為2、2、3的長方體,其體對(duì)角線為其外接球的直徑,長度為，∴其外接球的半徑為,表面積為=17π.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體外接球，通常將幾何體進(jìn)行割補(bǔ)成長方體，幾何體外接球等同于長方體外接球，利用長方體外接球直徑等于體對(duì)角線長求出半徑，再求出球的體積和表面積即可，屬于簡單題.9、C【解析】試題分析：．故C正確．考點(diǎn)：頻率分布直方圖．10、D【解析】

根據(jù)題意，求得，結(jié)合，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，，即，，所以，又由，因?yàn)?，所?故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，合理運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由，然后利用兩角差的正切公式可計(jì)算出的值.【詳解】.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用兩角差的正切公式求值，解題的關(guān)鍵就是弄清所求角與已知角之間的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、1．【解析】

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【詳解】解：由實(shí)數(shù)滿足作出可行域如圖，

由圖形可知：．

令，化為，

由圖可知，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最小，有最小值為1．

故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．13、【解析】表面積最小的球形容器可以看成長、寬、高分別為1、2、6的長方體的外接球．設(shè)其半徑為R,，所以該球形容器的表面積的最小值為．【點(diǎn)睛】將表面積最小的球形容器，看成其中兩個(gè)正四棱柱的外接球，求其半徑，進(jìn)而求體積．14、【解析】試題分析：由，可得，整理得，即，所以.考點(diǎn)：余弦定理；三角形的面積公式.15、-2【解析】

由正切函數(shù)定義計(jì)算.【詳解】根據(jù)正切函數(shù)定義：.故答案為－2.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義，掌握三角函數(shù)定義是解題基礎(chǔ).16、【解析】

根據(jù)圓錐的底面和外接球的截面性質(zhì)可得外接球的球心在上，再根據(jù)勾股定理可得求的半徑．【詳解】由圓錐的底面和外接球的截面性質(zhì)可得外接球的球心在上，設(shè)球心為，球的半徑為，則，圓，因?yàn)?所以，所以，，則有.解得，則.【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何體的外接球，關(guān)鍵是會(huì)找到球心求出半徑，通常結(jié)合勾股定理求．屬于難題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）利用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【詳解】解：（1）①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，②①減②得經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，成立故（2）（）……將上述式相加可得【點(diǎn)睛】本題考查作差法求數(shù)列的通項(xiàng)公式以及累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.18、(1)(2)【解析】

（1）由正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡已知等式可得，由，可求，結(jié)合范圍，可求．（2）利用三角形的面積公式可求，進(jìn)而根據(jù)余弦定理可得，即可計(jì)算得解的周長的值．【詳解】解：（1）∵，∴由正弦定理可得：，即，∵，∴，∵，∴．（2）∵，，的面積為，，∴，∴由余弦定理可得：，∴解得：，∴的周長.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形的面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．19、（2）an＝n；bn＝2n﹣2（2）Tn＝（n﹣2）?2n+2【解析】

（2）運(yùn)用數(shù)列的遞推式，以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得bn，{an}是公差為的等差數(shù)列，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得首項(xiàng)和公差，可得所求通項(xiàng)公式；

（2）求得，由數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可得到所求和．【詳解】（2）2bn＝b2（2+Sn），bn≠0，n＝2時(shí)，2b2＝b2（2+S2）＝b2（2+b2），解得b2＝2，n≥2時(shí)，2bn﹣2＝2+Sn﹣2，且2bn＝2+Sn，相減可得2bn﹣2bn﹣2＝Sn﹣Sn﹣2＝bn，即bn＝2bn﹣2，可得bn＝2n﹣2，設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，a2b2＝4，a7+b3＝2即為a2+d＝2，a2+6d＝7，解得a2＝d＝2，可得an＝n；（2）cn＝anbn＝n?2n﹣2，前n項(xiàng)和，，兩式相減可得﹣Tn＝2+2+4+…+2n﹣2﹣n2nn2n，化簡可得Tn＝（n﹣2）2n+2．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的遞推式和數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題．20、（1）見解析；（2）．【解析】

（1）由題設(shè)，化簡得，即可證得數(shù)列為等比數(shù)列．（2）由（1），根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求得，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可求得數(shù)列的前n項(xiàng)和．【詳解】（1）由題意，數(shù)列滿足，所以又因?yàn)?，所以，即，所以是?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．（2）由（1），根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得，即，所以，即．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的定義，以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等比數(shù)列的定義，以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的公式，準(zhǔn)確