安全系統(tǒng)工程3章

13．2事故樹分析

事故樹就是從結(jié)果到原因描述事件發(fā)生的有向邏輯樹，對(duì)這種樹進(jìn)行演繹分析，尋求防止結(jié)果發(fā)生的對(duì)策，這種方法就稱為事故樹分析法(FaultTreeAnalysts，簡(jiǎn)稱FTA)?！皹洹钡姆治黾夹g(shù)是屬于系統(tǒng)工程的圖論范疇，是一個(gè)無圈(或無回路)的連通圖。從以上事故樹分析的定義來看，事故樹分析是從結(jié)果開始，尋求結(jié)果事件(通稱頂上事件)發(fā)生的原因時(shí)間，是一種逆時(shí)序的分析方法，這與事件樹方法相反。另外事故樹分析是一種演繹的邏輯分析法，將結(jié)果演繹成構(gòu)成這一結(jié)果的多種原因，在按邏輯關(guān)系構(gòu)建，尋求防止結(jié)果發(fā)生的措施。23．2事故樹分析

事故樹分析能對(duì)各種系統(tǒng)的危險(xiǎn)性進(jìn)行辨識(shí)和評(píng)價(jià)，不僅能分析出事故的直接原因，而且能深人地揭示出事故的潛在原因。用它描述事故的因果關(guān)系直觀、明了，思路清晰，邏輯性強(qiáng)，既可定性分析，又可定量分析。現(xiàn)在Matlab等計(jì)算工具都有用于FTA定量分析的子程序(模塊)，其功能非常強(qiáng)大。而且使用方便。事故樹分析已成為系統(tǒng)分析中應(yīng)用最廣泛的方法之一。33．2事故樹分析3．2．1事故樹分析的發(fā)展概況事故樹分析描述了事故發(fā)生和發(fā)展的動(dòng)態(tài)過程，便于找出事故的直接原因和間接原因及原因的組合?？梢杂闷鋵?duì)事故進(jìn)行定性分析，辨明事故原因的主次及未曾考慮到的隱患；也可以進(jìn)行定量分析，預(yù)測(cè)事故發(fā)生的概率。但事故樹分析是教學(xué)和專業(yè)知識(shí)的密切結(jié)合，事故樹的編制和分析需要堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和相當(dāng)?shù)膶I(yè)技能。

3．2事故樹分析

事故樹分析是一種演繹推理法，這種方法把系統(tǒng)可能發(fā)生的某種事故與導(dǎo)致事故發(fā)生的各種原因之間的邏輯關(guān)系用一種稱為事故樹的樹形圖表示，通過對(duì)事故樹的定性與定量分析，找出事故發(fā)生的主要原因。453．2事故樹分析FTA法具有以下特點(diǎn)：

(1)事故樹分析是一種圖形演繹方法，是事故事件在一定條件下的邏輯推理方法。它可以圍繞某特定的事故作層層深入的分析，因而在清晰的事故樹圖形下，表達(dá)系統(tǒng)內(nèi)各事件間的內(nèi)在聯(lián)系，并指出單元故障與系統(tǒng)事故之間的邏輯關(guān)系，便于找出系統(tǒng)的薄弱環(huán)節(jié)。

(2)FTA具有很大的靈活性，不僅可以分析某些單元故障對(duì)系統(tǒng)的影響，還可以對(duì)導(dǎo)致系統(tǒng)事故的特殊原因如人為因素、環(huán)境影響進(jìn)行分析。

(3)進(jìn)行FTA的過程，是一個(gè)對(duì)系統(tǒng)更深入認(rèn)識(shí)的過程，它要求分析人員把握系統(tǒng)內(nèi)各要素間的內(nèi)在聯(lián)系，弄清各種潛在因素對(duì)事故發(fā)生影響的途徑和程度，因而許多問題在分析的過程中就被發(fā)現(xiàn)和解決了，從而提高了系統(tǒng)的安全性。63．2事故樹分析(4)利用事故樹模型可以定量計(jì)算復(fù)雜系統(tǒng)發(fā)生事故的概率，為改善和評(píng)價(jià)系統(tǒng)安全性提供了定量依據(jù)。事故樹分析還存在許多不足之處，主要是：FTA需要花費(fèi)大量的人力、物力和時(shí)間；FTA的難度較大，建樹過程復(fù)雜，需要經(jīng)驗(yàn)豐富的技術(shù)人員參加，即使這樣，也難免發(fā)生遺漏和錯(cuò)誤；FTA只考慮(0，1)狀態(tài)的事件，而大部子系統(tǒng)存在局部正常、局部故障的狀態(tài)，因而建立數(shù)學(xué)模型作結(jié)構(gòu)重要度分析時(shí)，會(huì)產(chǎn)生較大誤差；FTA雖然可以考慮人的因素，但人的失誤很難量化。事故樹分析仍處在發(fā)展和完善中。73．2事故樹分析3．2．2事故樹的基本結(jié)構(gòu)事故樹的基本結(jié)構(gòu)如圖3-9所示。在事故樹中，各事件之間的基本關(guān)系是因果邏輯關(guān)系，通常用邏輯門來表示。樹中以邏輯門為中心，其上層事件是下層事件發(fā)生后所導(dǎo)致的結(jié)果，稱為輸出事件；下層事件是上層事件的原因，稱為輸入事件。所要研究的特定事故被繪制在事故樹的頂端稱為頂上事件，如圖3-9中表示的事件。導(dǎo)致頂上，事件發(fā)生的最初的原因事件繪制于事故樹下部的各分支的終端．稱為基本事件，如圖3—9中Xi所表示的事件。處于頂上事件和基本事件中間的事件稱為中間事件。83．2事故樹分析93．2事故樹分析3．2．3事故樹的符號(hào)及其意義事故樹是由各種符號(hào)和其連接的邏輯門組成的。下面僅將常見的符號(hào)予以介紹和說明。

l.事件苻號(hào)

(1)矩形符號(hào)。見圖3．10a。用它表示頂上事件或中間事件。將事件扼要記人矩形框內(nèi)。必須注意，頂上事件一定要清楚明了，不要太籠統(tǒng)。例如“交通事故”，“爆炸著火事故”，對(duì)此人們無法下手分析，而應(yīng)當(dāng)選擇具體事故。如“機(jī)動(dòng)車追尾”、“機(jī)動(dòng)車與自行車相撞”，“建筑工人從腳手架上墜落死亡”、“道口火車與汽車相撞”等具體事故。

(2)圓形符號(hào)。見圖3．10b。它表示基本事件，可以是人的差錯(cuò)，也可以是設(shè)備．機(jī)械故障、環(huán)境因素等。它表示最基本的事件，不能再繼續(xù)往下分析了。例如．影響駕駛員視野條件的“曲線地段”、“照明不好”，駕駛員本身問題影響行車安全的“酒后開車”、“疲勞駕駛”等原因事故原因扼要記人圓形符號(hào)內(nèi)。103．2事故樹分析(3)屋形符號(hào)。見圖3一10c。它表示正常事件，是系統(tǒng)在正常狀態(tài)下發(fā)生的正常事件。如：“機(jī)車或車輛經(jīng)過道岔”、“因走動(dòng)取下安全帶”等，將事件扼要記入屋形符號(hào)內(nèi)。(4)菱形符號(hào)。見圖3—10d。它表示省略事件，即表示事前不能分析，或者沒有再分析下去的必要的事件。例如，“駕駛員間斷嘹望”、“天氣不好”，“臆測(cè)行車”、“操作不當(dāng)”等，將事件扼要記入菱形符號(hào)內(nèi)。113．2事故樹分析2.邏輯門符號(hào)即連接各個(gè)事件，井表示邏輯關(guān)系的符號(hào)。其中主要有：與門、或門、條件與門、條件或門、以及限制門。

(1)與門符號(hào)。與門連接表示輸入事件B1、B2同時(shí)發(fā)生的情況下，輸出事件A才會(huì)發(fā)生的連接關(guān)系。二者缺一不可，表現(xiàn)為邏輯積的關(guān)系，即A=B1∩B2。在有若干輸入事件時(shí)，也是如此，如圖3-lla所示?！芭c門”用與門電路圖來說明更容易理解，見圖3-11b。123．2事故樹分析當(dāng)B1、B2都接通(B1=l，B2=1)時(shí)，電燈才亮(出現(xiàn)信號(hào))，用布爾代數(shù)表示為X=B1B2=1。當(dāng)B1、B2中有一個(gè)斷開或都斷開(B1=1，B2=0或B1=0，B2=1或B1=0，B2=0)時(shí)，電燈不亮(沒有信號(hào))，用布爾代數(shù)表示為X=B1B2=0(2)或門符號(hào)。表示輸人事件B1或B2中，任何一個(gè)事件發(fā)生都可以使事件A發(fā)生，表現(xiàn)為邏輯和的關(guān)系即A=B1∪B2。在有若干輸入事件時(shí)，情況也是如此。如圖3-12a所示?；蜷T用相對(duì)的邏輯電路來說明更好理解，見圖3-12b。當(dāng)B1、B2斷開(B1=0，B2=0)時(shí)，電燈才不會(huì)亮(沒有信號(hào))，用布爾代數(shù)表示為X=B1+B2=0.當(dāng)B1、B2中由一個(gè)接通或兩個(gè)都接通（B1=1、B2=0或，B1=0，B2=1或B1=1、B2=1）。133．2事故樹分析143．2事故樹分析(3)條件與門符號(hào)。表示只有當(dāng)B1、B2同時(shí)發(fā)生，且滿足條件a的情況下，A才會(huì)發(fā)生，相當(dāng)于三個(gè)輸入事件的與門。即A=B1∩B2∩α。將條件α計(jì)入六邊形內(nèi)，如圖3-13所示。(4)條件或門符號(hào)。表示B1或B2任何一個(gè)事件發(fā)生，且滿足條件?，輸出事件A才會(huì)發(fā)生，將條件?記入六邊形內(nèi)，如圖3-14所示。153．2事故樹分析(5)限制門符號(hào)。它是邏輯上的一種修正符號(hào)，即輸入事件發(fā)生且滿足條件γ時(shí)，才產(chǎn)生輸出事件。相反，如果不滿足，則不發(fā)生輸出事件，條件γ卸載橢圓形符號(hào)內(nèi)，如圖3-15所示。163．2事故樹分析3.轉(zhuǎn)移符號(hào)當(dāng)事故樹規(guī)模很大時(shí)，需要將某些部分畫在別的紙上，這就要用轉(zhuǎn)出和轉(zhuǎn)入符號(hào)，以標(biāo)出向何處轉(zhuǎn)出和從何處轉(zhuǎn)入。轉(zhuǎn)出符號(hào)，它表示向其他部分轉(zhuǎn)出，△內(nèi)記入向何處轉(zhuǎn)出的標(biāo)記，如圖3-16a所示。轉(zhuǎn)人符號(hào)，它表示從其他部分轉(zhuǎn)入，△內(nèi)記人從何處轉(zhuǎn)入的標(biāo)記，如圖3-16b所示。173．2事故樹分析3．2．4事故樹分析程序事故樹分析雖然根據(jù)對(duì)象系統(tǒng)的性質(zhì)、分析目的的不同，分析的程序也不同。但是，一般都有下面的十一個(gè)基本程序。

(1)熟悉系統(tǒng)。要求全面了解系統(tǒng)的整個(gè)情況，包括工作程序、各種重要參數(shù)、作業(yè)情況。必要時(shí)畫出工藝流程圖和布置圖。

(2)調(diào)查事故。要求在過去事故實(shí)例、有關(guān)事故統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)上，盡量廣泛地調(diào)查所能預(yù)想到的事故。包括分析系統(tǒng)已發(fā)生的事故，也包括未來可能發(fā)生的事故．同時(shí)也要調(diào)查外單位和同類系統(tǒng)發(fā)生的事故。183．2事故樹分析

(3)確定頂上事件。所謂頂上事件就是我們要分析的對(duì)象事件——系統(tǒng)失效事件。對(duì)調(diào)查的事故，要分析其嚴(yán)重程度和發(fā)生的概率，從中找出后果嚴(yán)重且發(fā)生概率大的事件作為頂上事件。

(4)確定目標(biāo)。根據(jù)以往的事故記錄和同類系統(tǒng)的事故資料，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，求出事故發(fā)生的概率(或頻率)，然后根據(jù)這一事故的嚴(yán)重程度，確定我們要控制的事故發(fā)生概率的目標(biāo)值。

(5)調(diào)查原因事件。調(diào)查與事故有關(guān)的所有原因事件和各種因素，包括設(shè)備故障、機(jī)械故障、操作者的失誤、管理和指揮錯(cuò)誤、環(huán)境因素等等，盡量詳細(xì)查清原因和影響。

(6)繪制事故樹。這是事故樹分析的核心部分之一。根據(jù)上述資料，從頂上事件開始，按照演繹法，運(yùn)用邏輯推理，一級(jí)一級(jí)地找出所有直接原因事件，直到最基本的原因事件為止。19203．2事故樹分析

(7)定性分析。根據(jù)事故樹結(jié)構(gòu)進(jìn)行化簡(jiǎn)，求出事故樹的最小割集和最小徑集，確定基本事件的結(jié)構(gòu)重要度大小。根據(jù)定性分析的結(jié)論，按輕重緩急分別采取相應(yīng)對(duì)策。

(8)計(jì)算頂上事件發(fā)生概率。首先根據(jù)所調(diào)查的情況和資料，確定所有原因事件的發(fā)生概率，并標(biāo)在事故樹上。根據(jù)這些基本數(shù)據(jù)，求出頂上事件(事故)發(fā)生概率。

(9)分析比較。要根據(jù)可維修系統(tǒng)和不可維修系統(tǒng)分別考慮。對(duì)可維修系統(tǒng)，把求出的概率與通過統(tǒng)計(jì)分析得出率進(jìn)行比較，如果二者不符，則必須重新研究，看原因事件是否齊全，事故樹邏輯關(guān)系是否清楚，基本原因事件的數(shù)值是否設(shè)定得過高或過低等等。對(duì)不可維修系統(tǒng)，求出頂上事件發(fā)生概率即可。213．2事故樹分析(10)定量分析。定量分析包括下列三個(gè)方面的內(nèi)容：1)當(dāng)事故發(fā)生概率超過預(yù)定的目標(biāo)值時(shí)，要研究降低事故發(fā)生概率的所有可能途徑，可從最小割集著手，從中選出最佳方案。2)利用最小徑集，找出根除事故的可能性，從中選出最佳方案。3)求各基本原因事件的臨界重要度系數(shù)，從而對(duì)需要治理的原因事件按臨界重要度系數(shù)大小進(jìn)行排隊(duì)，或編出安全檢查表，以求加強(qiáng)人為控制。(11)制定安全對(duì)策。建造事故樹的目的是查找隱患，找出薄弱環(huán)節(jié)，查出系統(tǒng)的缺陷，然后加以改進(jìn)。在對(duì)事故樹全面分析之后，必須制定安全措施，防止災(zāi)害發(fā)生。安全措施應(yīng)在充分考慮資金、技術(shù)、可靠性等條件之后，選擇最經(jīng)濟(jì)、最合理、最切合實(shí)際的對(duì)策。223．2事故樹分析3．2．5事故樹的編制1.編制程序(1)確定頂上事件。頂上事件就是所要分析的事故。選擇頂上事件，一定要在詳細(xì)了解系統(tǒng)情況、有關(guān)事故的發(fā)生情況和發(fā)生可能、以及事故的嚴(yán)重程度和事故發(fā)生概率等資料的情況下進(jìn)行，而且事先要仔細(xì)尋找造成事故的直接原因和間接原因。然后，根據(jù)事故的嚴(yán)重程度和發(fā)生概率確定要分析的頂上事件，將其扼要地填寫在矩形框內(nèi)。頂上事件也可以是已經(jīng)發(fā)生過的事故。如礦山透水、道口火車與汽車相撞等事故。通過編制事故樹，找出事故原因，制定具體措施，防止事故再次發(fā)生。233．2事故樹分析(2)調(diào)查或分析造成頂上事件的各種原因。頂上事件確定之后，為了編制好事故樹，必須將造成頂上事件的所有直接原因事件找出來，盡可能不要漏掉。直接原因事件可以是機(jī)械故障、人的因素或環(huán)境因素等。要找出直接原因可以采取對(duì)造成頂上事件的原因進(jìn)行調(diào)查，召開有關(guān)人員座談會(huì)，也可根據(jù)以往的一些經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分析，確定造成頂上事件的原因。(3)繪事故樹。在確定頂上事件并找出造成頂上事件的各種原因之后，就可以用相應(yīng)事件符號(hào)和適當(dāng)?shù)倪壿嬮T把它們從上到下分層連接起來，層層向下，直到最基本的原因事件，這樣就構(gòu)成一個(gè)事故樹。243．2事故樹分析在用邏輯門連接上下層之間的事件原因時(shí)，若下層事件必須全部同時(shí)發(fā)生，上層事件才會(huì)發(fā)生時(shí)，就用“與門”連接。邏輯門的連接問題在事故樹中是非常重要的，一定要準(zhǔn)確，它涉及到各種事件之間的邏輯關(guān)系，直接影響著以后的定性分析和定量分析。(4)認(rèn)真審定事故樹。畫成的事故樹圖是邏輯模型事件的表達(dá)。既然是邏輯模型，那么各個(gè)事件之間的邏輯關(guān)系就應(yīng)該相當(dāng)嚴(yán)密、合理。否則在計(jì)算過程中將會(huì)出現(xiàn)許多意想不到的問題。因此，對(duì)事故樹的繪制要十分慎重。在制作過程中，一般要進(jìn)行反復(fù)推敲、修改，除局部更改外，有的甚至要推倒重來，有時(shí)還要反復(fù)進(jìn)行多次，直到符合實(shí)際情況，比較嚴(yán)密為止。252.事故樹編制的注意事項(xiàng)事故樹應(yīng)能反映出系統(tǒng)故障的內(nèi)在聯(lián)系和邏輯關(guān)系，同時(shí)能使人一目了然，形象地掌握這種聯(lián)系與關(guān)系，并據(jù)此進(jìn)行正確的分析，為此，建造事故樹應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)熟悉分析系統(tǒng)。建造事故樹由全面熟悉開始，必須從功能的聯(lián)系人手，充分了解與人員有關(guān)的功能，掌握使用階段的劃分等與人員有關(guān)的功能，包括現(xiàn)有的冗余功能以及安全、保護(hù)功能等。這就要求廣泛地收集與系統(tǒng)相關(guān)的設(shè)計(jì)、運(yùn)行、流程圖、設(shè)備技術(shù)規(guī)范等技術(shù)文件及資料，并進(jìn)行深入細(xì)致的分析研究。(2)循序漸進(jìn)。事故樹的編制過程是一個(gè)逐級(jí)展開的演繹過程。首先，從頂上事件開始分析其發(fā)生的直接原因、判斷邏輯關(guān)系，給出邏輯門；其次，找出邏輯門下的全部輸人事件；再分析引起這些事件發(fā)生的原因、判斷邏輯關(guān)系，給出邏輯門；繼續(xù)逐層分析，直至列出引起頂上事件發(fā)生的全部基本事件和上下邏輯關(guān)系。26(3)選好頂上事件。頂上事件是指系統(tǒng)不希望發(fā)生的故障事件。選好頂上事件有利于使整個(gè)系統(tǒng)故障分析相互聯(lián)系起來，因此，對(duì)系統(tǒng)的任務(wù)、邊界以及功能范圍必須給予明確的定義。頂上事件在大型系統(tǒng)中可能不只一個(gè)，一個(gè)特定的頂上事件可能只是許多系統(tǒng)失效事件之一。頂上事件在很多情況下是用FMEA——故障類型及影響分析、危險(xiǎn)預(yù)先性分析或事件樹分析得出的。

(4)準(zhǔn)確判明各事件間的因果關(guān)系和邏輯關(guān)系。對(duì)系統(tǒng)中各事件問的因果關(guān)系和邏輯關(guān)系必須分析清楚，不能有邏輯上的紊亂及因果矛盾。每一個(gè)故障事件包含的原因事件都是事故事件的輸入，即原因——輸入，結(jié)果——輸出。(5)避免門與門相連。為了保證邏輯關(guān)系的準(zhǔn)確性，事故樹中任何邏輯門的輸出都必須也只能有一個(gè)結(jié)果，不能將邏輯門與其他邏輯門直接相連。273．2事故樹分析3．2．6事故樹的數(shù)學(xué)表達(dá)為了對(duì)事故樹進(jìn)行詳細(xì)的分析，在編制出事故樹模型后，還要利用布爾代數(shù)列出它的數(shù)學(xué)表達(dá)式。布爾代數(shù)是完成事故樹分析的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。布爾代數(shù)是集合論數(shù)學(xué)的組成部分，是一種邏輯運(yùn)算方法，也稱為邏輯代數(shù)。布爾代數(shù)特別適用于描述只能取兩種對(duì)立狀態(tài)的事物變化過程，這正適合于事故樹分析的特點(diǎn)。283．2事故樹分析l.布爾代數(shù)的基本知識(shí)

(1)集合的概念。具有某種共同屬性的事物的全體叫做集合，集合中的事物叫做元素。包含一切元素的集合稱為全集，用符號(hào)Ω表示；不包含任何元素的集合稱為空集，用符號(hào)中Ф表示。集合之間關(guān)系的表示方法如下：

1)集合以大寫字母表示，集合的定義寫在括號(hào)中。

2)集合之間的包含關(guān)系(即從屬關(guān)系)用符號(hào)表示，子集B1包含于全集Ω，記為B1∈Ω。

3)兩個(gè)子集相交之后，相交的部分為兩個(gè)子集的共有元素的集合，稱之為交集。兩個(gè)集合相交的關(guān)系用符號(hào)∩表示，如C1=B1∩B2。

4)兩個(gè)子集相交之后，合并成一個(gè)較大的子集，這兩個(gè)子集中元素的全體構(gòu)成的集合稱之為并集，并集的關(guān)系用符號(hào)∪表示，如C1=B1∪B2。293．2事故樹分析事故樹分析就是研究某一個(gè)事故樹中各基本事件構(gòu)成的各種集合，以及它們之問的邏輯關(guān)系，最后達(dá)到最優(yōu)化處理的一門技術(shù)。

(2)邏輯運(yùn)算。邏輯運(yùn)算的對(duì)象是命題。命題是具有判斷性的語(yǔ)言。成立的命題叫做真命題，其真值等于1；不成立的命題叫做假命題，其真值等于0。這里的真值“l(fā)”和“0”并不是數(shù)字，而是表示兩個(gè)對(duì)立事物的符號(hào)。例如命題“8-3=5”成立，這是真命題，其真值為l；命題“2+3>5”不成立．這是假命題，其真值為0。3．2事故樹分析

邏輯代數(shù)也可進(jìn)行運(yùn)算，其基本運(yùn)算有三種，即邏輯加、邏輯乘、邏輯非。其中邏輯加、邏輯乘用得較普遍。

1)邏輯加。給定兩個(gè)命題A、B，對(duì)它們進(jìn)行邏輯運(yùn)算后構(gòu)成的新命題為S，若A、B兩者有一個(gè)成立或同時(shí)成立，S就成立；否則S不成立。則這種A、B間的邏輯運(yùn)算叫做邏輯加，也叫“或”運(yùn)算。構(gòu)成的新命題s，叫做A、B的邏輯和。記作A∪B=S或記作A+B=S。均讀作“A+B”。邏輯加相當(dāng)于集合運(yùn)算中的“并集”30313．2事故樹分析根據(jù)邏輯加的定義可知：

1+l=1；1+O=1：0+l=1：0+0=02)邏輯乘。給定兩個(gè)命題A、B，對(duì)它們進(jìn)行邏輯運(yùn)算后構(gòu)成新的命題P。若A、B同時(shí)成立，P就成立，否則P不成立。則這種A、B間的邏輯運(yùn)算，叫做邏輯乘，也叫“與”運(yùn)算。構(gòu)成的新命題P叫做A、B的邏輯積。記作A∩B=P，或記作A×B=P，也可記作AB=P，均讀作A乘B。邏輯乘相當(dāng)于集合運(yùn)算中的“交集”。根據(jù)邏輯乘的定義可知：

1×l=l；1×O=0；0×1=0；0×0=03)邏輯非。給定一個(gè)命題A，對(duì)它進(jìn)行邏輯運(yùn)算后，構(gòu)成新的命題為F，若A成立，F(xiàn)就不成立；若A不成立，F(xiàn)就成立。這種對(duì)A所進(jìn)行的邏輯運(yùn)算，叫做命題A的邏輯非，構(gòu)成的新命題F叫做命題A的邏輯非。A的邏輯非記作“A”，讀作“A非”。邏輯非相當(dāng)于集合運(yùn)算的求“補(bǔ)集”。323．2事故樹分析根據(jù)邏輯非的定義，可以知道：

(3)邏輯運(yùn)算的法則。邏輯代數(shù)運(yùn)算的法則很多，有的和代數(shù)運(yùn)算法則一致，有的不一致。我們這里只介紹幾種常用的運(yùn)算法則，以便記憶和運(yùn)用。

對(duì)合律：=A

變換律：A+B=B+A，AB=BA

結(jié)合律：A+(B+C)=(A+B）+C，A(BC)=(AB)C

分配律：A+BC=(A+B)(A+C)，A(B+C)=AB+AC

等冪律：A+A=A，A·A=A

吸收律：A+AB=A，A(A+B)=A333．2事故樹分析在事故樹分析中“A+AB=A”，“A+A=A”和“A.A=A”幾個(gè)法則用得較多。

2.概率論的一些基本知識(shí)在事故樹分析中，我們需要用到概率論的一些基本知識(shí)。例如，概率和與概率積的計(jì)算。為了給出概率和與概率積的計(jì)算公式，必須首先給出下列定義：

(1)相互獨(dú)立事件。一個(gè)事件發(fā)生與否不受其他事件的發(fā)生與否的影響。假定有A、B、C、…N個(gè)事件，其中每一個(gè)事件發(fā)生與否都不受其他事件發(fā)生與否的影響，則稱A、B、C、…N為獨(dú)立事件。

(2)相互排斥事件。不能同時(shí)發(fā)生的事件。一個(gè)事件發(fā)生，其他事件必然不發(fā)生。它們之間互相排斥，互不相容。假定有A、B、C、…N個(gè)事件，A發(fā)生時(shí)，B、C、…N必然不發(fā)生；B發(fā)生時(shí)，A、C、…N事件必須不發(fā)生，則A、B、C、…N事件稱為互斥事件。343．2事故樹分析(3)相容事件。一個(gè)事件發(fā)生與否受其他事件的約束，即在其他事件發(fā)生的條件下才發(fā)生的事件。設(shè)A、B兩事件，B事件只有在A事件發(fā)生的情況下才發(fā)生，反之亦然，則A、B事件稱為相容事件。在事故樹分析中，遇到的基本事件大多數(shù)是獨(dú)立事件。所以下面簡(jiǎn)單介紹n個(gè)獨(dú)立事件的概率和與概率積的計(jì)算公式。

n個(gè)獨(dú)立事件的概率和，其計(jì)算公式是：P（A+B+C+…+N)=1-[1-P(A)][1-P(B)][1一P(C)]…[1一P(N)](3-1)

式中P——獨(dú)立事件的概率。

n個(gè)獨(dú)立事件的概率積，其計(jì)算公式是：

P(ABC…N)=P(A)P(B)P(C)P(N)(3-2)353．2事故樹分析3.事故樹的布爾代數(shù)表達(dá)式將事故樹中連接各事件的邏輯門用相應(yīng)的布爾代數(shù)運(yùn)算表示，就得到了事故樹的布爾代數(shù)表達(dá)式。通常，可以自上而下地將事故樹逐漸展開后，使得到了布爾代數(shù)表達(dá)式。以圖3．18(事故樹結(jié)構(gòu))為例，其布爾代數(shù)表達(dá)式及展開過程如下：36圖3-18某事故樹圖:

T=A1Xt=A2A3Xt=(A4+A5)(X5+X6)Xt=(X1+X2+X3+X4)(X5+X6)Xt此式還可以繼續(xù)化筒至若干基本事件相“乘”后再相“加”的形式。故障樹的布爾代數(shù)表達(dá)式是事故樹的數(shù)學(xué)表述。對(duì)于給出的事故樹可以寫出相應(yīng)的布爾代數(shù)表達(dá)式；相反，給出布爾代數(shù)表達(dá)式就可以繪出相應(yīng)的事故樹。374.事故樹的概率函數(shù)

事故樹的概率函數(shù)是指事故樹中由基本事件概率所組成的頂上事件概率的計(jì)算式。如果事故樹中各基本事件是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，布爾代數(shù)表達(dá)式中各基本事件邏輯“乘”的概率應(yīng)為：

g(x1x2x3…xn)=q1q2…qn=(3-3)

各基本事件邏輯“加”的概率應(yīng)為：

g(x1+x2+…xn)=l-(1-q1)(1-q2)…(1-qn)=(3-4)式中qi——第i個(gè)基本事件的發(fā)生概率；∏——數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)，求概率積。38

如果圖3-18中各基本事件是相互獨(dú)立的，利用上述式(3—1)和式(3—2)，求圖3-18事故樹的概率函數(shù)，代人下式：g(q)=[1-][1-]qi式中qi——控制門事件的發(fā)生概率。393．2事故樹分析3.2.7事故樹的簡(jiǎn)化及意義在事故樹編制完成之后，為了準(zhǔn)確計(jì)算頂上事件發(fā)生的概率，需要化簡(jiǎn)事故樹，消除多余事件，特別是在事故樹的不同位置存在同一基本事件時(shí)，必須利用布爾代數(shù)進(jìn)行整理，然后才能計(jì)算頂上事件的發(fā)生概率，否則就會(huì)造成定性分析或定量分析的錯(cuò)誤。化簡(jiǎn)的方法就是反復(fù)運(yùn)用布爾代數(shù)法則，化簡(jiǎn)的程序是：①代數(shù)式若有括號(hào)應(yīng)先去括號(hào)將函數(shù)展開；②利用冪等法則，歸納相同的項(xiàng)；③充分利用吸收法則直接化簡(jiǎn)。40【例3-5】如圖3-19所示，在該事故樹中3個(gè)基本事件概率為q1=q2=q3=0.1，求頂上事件的發(fā)生概率。解：T=A1A2=X1X2(X1+X2)

按獨(dú)立事件概率和與積的計(jì)算公式，頂上事件發(fā)生概率為：

qT=q1q2[1-(1-q1)(1-q2)]=O.l×0.1[1-(1-0.1)(1-O.1)]=0.0019布爾代數(shù)化簡(jiǎn)：

T=X1X2(X1+X3)(未經(jīng)簡(jiǎn)化形式)=X1X2X1十X1X2X3(應(yīng)用分配律展開)=X1X2+X1X2X3(應(yīng)用等冪律去掉多余的X1)=X1X2(應(yīng)用吸收律去掉多余的X3，達(dá)到最簡(jiǎn)形式)所以：

qT=q1q2=0.0141423．2事故樹分析解：事故樹的結(jié)構(gòu)函數(shù)為：

T=A1+A2=X1X2+(X3+B)=X1X2+[X3+(X1X3)]=X1X2+X3

所以，其等效圖如圖3—22所示。433．2事故樹分析3．2．8事故樹的定性分析事故樹的定性分析是依據(jù)事故樹，對(duì)所有事件只有發(fā)生“1”或不發(fā)生“0”兩種狀態(tài)進(jìn)行分析的方法。定性分析的目的是根據(jù)事故樹的結(jié)構(gòu)查明頂上事件發(fā)生的途徑，確定頂上事件的發(fā)生模式、起因及影響程度，為改善系統(tǒng)安全提供可選擇的措施。事故樹定性分析時(shí)，除編制事故樹，找出導(dǎo)致頂上事件發(fā)生的全部事件之外，還要求出事故樹中基本事件的最小割集和最小徑集，求出各基本事件的結(jié)構(gòu)重要度，了解其對(duì)頂上事件的影響程度。443．2事故樹分析1最小割集及其求法

(1)最小割集的概念。如果事故樹中的全部基本事件都發(fā)生，則頂上事件必然發(fā)生。但是，大多數(shù)情況下并不是一定要所有基本事件都發(fā)生，頂上事件才能發(fā)生，而是只要某些基本事件一起發(fā)生就可以導(dǎo)致頂上事件的發(fā)生。這些由于同時(shí)發(fā)生就能夠?qū)е马斏鲜录l(fā)生的基本事件集合稱為割集。割集中的基本事件之間是邏輯“乘”(或稱為“與”)的關(guān)系。

最小割集是指能夠引起頂上事件發(fā)生的最低數(shù)量的基本事件的集合。最小割集指明了哪些基本事件同時(shí)發(fā)生，就可以引起頂上事件發(fā)生的事故模式。453．2事故樹分析(2)求解方法。求解方法有三種。

1)行列法。行列法是1972年福塞爾提出的方法，所以也稱其為福塞爾法。其理論依據(jù)是：‘‘與門”使割集容量增加，而不增加割集的數(shù)量；“或門”使割集的數(shù)量增加，而不增加割集的容量。這種方法是從頂上事件開始，用下一層事件代替上一層事件，把“與門”連接的事件，按行橫向排列；把“或門，，連接的事件，按列縱向擺開。這樣，逐層向下，直至各基本事件，列出若干行，最后利用布爾代數(shù)化簡(jiǎn)，便得到所求的最小割集。為了說明這種計(jì)算方法，我們以圖3．23所示的事故樹為例，求其最小割集。463．2事故樹分析473．2事故樹分析應(yīng)當(dāng)成列擺開，即：

A1、A2與下一層事件B1、B2、x1、x2、x4的連接均為“與門”，所以成行排列：下面依此類推：483．2事故樹分析

整理上式得下面對(duì)這四組集合用布爾代數(shù)化簡(jiǎn)，根據(jù)A·A=A，則x1·x1=x1，x4·x4=x4，即又根據(jù)A+A·B=A，則x1·x2+x1x2x3=x1·x2493．2事故樹分析于是，就得到三個(gè)最小割集{X1，X2}，{X4，X5}，{X4，X6},按最小割集化簡(jiǎn)后的事故樹，如圖3-24所示。

2)結(jié)構(gòu)法。這種方法的理論根據(jù)是事故樹的結(jié)構(gòu)完全可以用最小割集來表示。下面再來分析圖3-23所示事故樹示意圖：503．2事故樹分析這樣，得到的三個(gè)最小割集{X1，X2}、{X4，X5}、{X4，X6}完全與上例用行列法得到的結(jié)果一致。說明這種方法是正確的。513．2事故樹分析3)布爾代數(shù)化簡(jiǎn)法。這種方法的理論依據(jù)是：上述結(jié)構(gòu)法完全和布爾代數(shù)化簡(jiǎn)事故樹法相似，所不同的只是“U”與“+”的問題。實(shí)質(zhì)上，布爾代數(shù)化簡(jiǎn)法中的“+”和結(jié)構(gòu)式中的“U”是一致的。這樣，用布爾代數(shù)化簡(jiǎn)法，最后求出的若干事件邏輯積的邏輯和，其中，每個(gè)邏輯積就是最小割集?，F(xiàn)在還以圖3-23所示為例，進(jìn)行化簡(jiǎn)：

所得的三個(gè)最小割集{X1，X2}、{X4，X5}、{X4，X6}與第一、第二種算法的結(jié)果相同。總的來說，三種求法都可應(yīng)用，而以第三種算法最為簡(jiǎn)單，較為普遍采用。523．2事故樹分析2.最小徑集的概念及求法

(1)最小徑集的概念。如果事故樹中的全部基本事件都不發(fā)生，則頂上事件一定不會(huì)發(fā)生。但是，如果事故樹中某些基本事件不同時(shí)發(fā)生，則也可以使得頂上事件不發(fā)生。這些不同時(shí)發(fā)生時(shí)，可以使頂上事件不發(fā)生的基本事件集合稱為徑集。徑集中的基本事件之間是邏輯“加”(或稱為“或”)的關(guān)系。

最小徑集是指能夠使得頂上事件不發(fā)生的最低數(shù)量的基本事件的集合。最小經(jīng)集指明了哪些基本事件不同時(shí)發(fā)生，就可以使頂上事件不發(fā)生的安全模式。

(2)最小徑集的求法。求最小徑集是利用它與最小割集的對(duì)偶性，首先作出與事故樹對(duì)偶的成功樹，就是把原來事故樹的“與門”換成“或門”，“或門”換成“與門”，各類事件發(fā)生換成不發(fā)生。然后，利用上節(jié)所述方法，求出成功樹的最小割集經(jīng)對(duì)偶變換后就是事故樹的最小徑集。圖3-25給出了兩種常用的轉(zhuǎn)換方法。533．2事故樹分析

為什么要這樣轉(zhuǎn)換呢?因?yàn)?，?duì)于“與門”連接輸入事件和輸出事件的情況，只要有一個(gè)事件不發(fā)生，輸出事件就可以不發(fā)生，所以，在成功樹中換用“或門”連接輸人事件和輸出事件；而對(duì)于“或門”連接的輸入事件和輸出事件的情況，則必須所有輸入事件均不發(fā)生，輸出事件才不發(fā)生，所以，在成功樹中換用“與門”連接輸入事件和輸出事件。例如圖3-25所示，其中：、、表示事件T，X1，X2不發(fā)生。54例如，圖3-26所示為與圖3-23事故樹對(duì)偶的成功樹。用、分別表示各事件T、A1、A2、B1、B2、C、X1、X2、X3、X4、X5、X6不發(fā)生。553．2事故樹分析用布爾代數(shù)化簡(jiǎn)法，求最小徑集：

這樣，就得到成功樹的四個(gè)最小割集，經(jīng)對(duì)偶變換就是事故樹的四個(gè)最小徑集，即：每一個(gè)邏輯和就是一個(gè)最小徑集，則得到事敵樹的四個(gè)最小徑集為：563．2事故樹分析

同樣，也可以用最小徑集表示事故樹，如圖3-27所示。其中P1，P2，P3，P4分別表示四個(gè)最小徑集。573.判別割(徑)集數(shù)目的方法就一個(gè)具體的系統(tǒng)而言，如果事故樹中的與門多，或門少時(shí)，則最小割集的數(shù)目較少，分析時(shí)從最小割集人手較為簡(jiǎn)便。反之，如果事故樹中的或門多，與門少時(shí)，則最小徑集的數(shù)目較少，分析時(shí)從最小徑集人手較為簡(jiǎn)便。但是，一個(gè)系統(tǒng)往往是很復(fù)雜的，有時(shí)很難根據(jù)與門、或門的數(shù)目判定割、徑集的數(shù)目。下面介紹一種求割、徑集的數(shù)目的公式。求割集數(shù)目公式：求徑集數(shù)目公式：式中i——門的編號(hào)或代碼；58

如圖3-28所示：首先根據(jù)事故樹畫出成功樹，再給各基本事件賦予“1”，然后根據(jù)輸入與輸出事件之間的邏輯門確定“加”或“乘”。割集數(shù)目：M1=1+1+l=3M2=l+1+1=3T=3×3×1=9

徑集數(shù)目：M1=1×l×1=lM2=1×l×l=lT=1+l+1=3593．2事故樹分析從上例可看出，割集數(shù)目比徑集數(shù)目多，此時(shí)用徑集分析要比用割集分析簡(jiǎn)單。如果估算出某事故樹的割、徑集數(shù)目相差不多，一般從分析割集入手較好。這是因?yàn)樽钚「罴囊饬x是導(dǎo)致事故發(fā)生的各種途徑，得出的結(jié)果簡(jiǎn)明、直觀。另外，在作定量分析時(shí)，用最小割集分析，還可采用較多的近似公式，而最小徑集則不能。用上述方法得到的割、徑集數(shù)目，不是最小割、徑集的數(shù)目，而是最小割徑集的上限。只有當(dāng)事故樹中沒有重復(fù)事件時(shí)，得到的割徑集數(shù)目才是最小割、徑集的數(shù)目。4.最小割集和最小徑集在事故樹分析中的作用最小割集和最小徑集在事故樹分析中起著極其重要的作用，其中，尤以最小割集最突出，透徹掌握和靈活運(yùn)用最小割集和最小徑集能使事故樹分析達(dá)到事半功倍的效果，并為有效地控制事故的發(fā)生提供重要依據(jù)。603．2事故樹分析

最小割集和最小徑集的主要作用是：

(1)最小割集表示系統(tǒng)的危險(xiǎn)性。求出最小割集可以掌握事故發(fā)生的各種可能，為事故調(diào)查和事故預(yù)防提供方便。一起事故的發(fā)生，并不都遵循一種固定的模式，如果求出了最小割集，就可以馬上知道，發(fā)生事故的所有可能途徑。例如：求得圖3-23所示事故樹的最小割集為{X1，X2}、{X4，X5}、{X4，X6}，并繪出了它的等效圖。這樣，它就直觀明了地告訴我們，造成頂上事件(事故)發(fā)生的途徑共三種；或者X1，X2同時(shí)發(fā)生；或者X4，X5，同時(shí)發(fā)生；或者X4，X6同時(shí)發(fā)生。這對(duì)全面掌握事故發(fā)生規(guī)律，找出隱藏的事故模式是非常有效的。而且對(duì)事故的預(yù)防工作提供了非常全面的信息。這樣就可防止頭痛醫(yī)頭，腳痛醫(yī)腳、掛一漏萬的問題。613．2事故樹分析(2)最小徑集表示系統(tǒng)的安全性。求出最小徑集我們可以知道，要使事故不發(fā)生有幾種可能方案。例如：從圖3-23所示的等效圖中知道，圖3-27(最小徑集等效表示的圖3-29中的事故樹)共有4個(gè)最小徑集：{X1，X4}，{X2、X4}，{X1，X5，X6}，{X2，X5，X6}。從這個(gè)等效圖的結(jié)構(gòu)看出，只要卡斷“與門”下的任何一個(gè)最小徑集Pi，就可以使頂上事件不發(fā)生。(3)最小割集能直觀地、概略地告訴人們，哪種事故模式最危險(xiǎn)，哪種稍次，哪種可以忽略。例如，某事故樹有三個(gè)最小割集：{X1}、{X1，X3}、{X4，X5，X6}。一般來說，一個(gè)事件的割集比兩個(gè)事件的割集容易發(fā)生；兩個(gè)事件的割集比三個(gè)事件的割集容易發(fā)生。因?yàn)橐粋€(gè)事件的割集只要一個(gè)事件發(fā)生，如X1發(fā)生，頂上事件就會(huì)發(fā)生；而兩個(gè)事件的割集則必須滿足兩個(gè)條件(即X1和X3同時(shí)發(fā)生)才能引起頂上事件發(fā)生，這是顯而易見的。623．2事故樹分析(4)利用最小徑集可以經(jīng)濟(jì)地、有效地選擇采用預(yù)防事故的方案。我們從圖3-27中看出，要消除頂上事件T發(fā)生的可能性，可以有四條途徑，究竟選擇哪條途徑最省事、最經(jīng)濟(jì)呢?從直觀角度看，一般以消除含事件步的最小徑集中的基本事件最省事、最經(jīng)濟(jì)。消除一個(gè)基本事件應(yīng)比消除兩個(gè)或多個(gè)基本事件要省力。

(5)利用最小割集和最小徑集可以直接排出結(jié)構(gòu)重要度順序(詳見結(jié)構(gòu)重要度求解)。

(6)利用最小割集和最小徑集計(jì)算頂上事件的發(fā)生概率和定量分析(詳見頂上事件的發(fā)生概率求解)。633．2事故樹分析5.結(jié)構(gòu)重要度分析結(jié)構(gòu)重要度分析是從事故樹結(jié)構(gòu)上入手分析各基本事件的重要程度。結(jié)構(gòu)重要度分析一般可以采用兩種方法，一種是精確求出結(jié)構(gòu)重要度系數(shù)，一種是用最小割集或用最小徑集排出結(jié)構(gòu)重要度順序。

(l)求各基本事件的結(jié)構(gòu)重要度系數(shù)。在事故樹分析中，各個(gè)事件都是兩種狀態(tài)，一種狀態(tài)是發(fā)生，即Xi=1；一種狀態(tài)是不發(fā)生，即Xi=0。各個(gè)基本事件狀態(tài)的不同組合，又構(gòu)成頂上事件的不同狀態(tài)，即Φ(X)=1或Φ(X)=0。在某個(gè)基本事件Xi的狀態(tài)由0變成l(即0i→li)，其他基本事件的狀態(tài)保持不變，頂上事件的狀態(tài)變化可能有三種情況：643．2事故樹分析653．2事故樹分析第一種情況和第三種情況都不能說明Xi的狀態(tài)變化對(duì)頂上事件的發(fā)生起什么作用，唯有第二種情況說明Xi的作用，即當(dāng)基本事件Xi的狀態(tài)，從0變到1，其他基本事件的狀度保持不變，頂上事件的狀態(tài)Φ(0i，X)=0變到Φ(1i，X)=1，也就說明，這個(gè)基本事件Xi的狀態(tài)變化對(duì)頂上事件的發(fā)生與否起了作用。我們把所有這樣的情況累加起來乘以一個(gè)系數(shù)1/(2n-1)，定義為結(jié)構(gòu)重要度系數(shù)(n是該事故樹的基本事件的個(gè)數(shù))?，F(xiàn)在，我們以圖3-29所示為例，求出各基本事件的結(jié)構(gòu)重要度系數(shù)。圖3-29所示事故樹共有五個(gè)基本事件，其狀態(tài)組合和頂上事件的狀態(tài)如表3-1所示。66673．2事故樹分析

以基本事件X1為例，我們可以從表3-l查出，基本事件X1發(fā)生(即X1=1)，不管其他基本事件發(fā)生與否，頂上事件也發(fā)生(即Φ(X)=1)的組合共12個(gè)，即編號(hào)18，20，2l，22，23，24，26，28，29，30，3l，32。這12個(gè)組合中的基本事件X1的狀態(tài)由發(fā)生變?yōu)椴话l(fā)生時(shí)，即X1=0其頂上事件也不發(fā)生(即Φ(x)=0)的組合，共7個(gè)組合，即編號(hào)18(10001)，20(10011)，2l(10100)，22(10101)，26(1l001)，29(1l100)，30(11101)。也就是說，在12個(gè)組臺(tái)當(dāng)中，有5個(gè)組合不隨基本事件X1，的狀態(tài)由發(fā)生變?yōu)椴话l(fā)生的變化而改變頂上事件的狀態(tài)，即X1=0時(shí)，頂上事件也發(fā)生，編號(hào)為23，24，28，3l，32的5個(gè)組臺(tái)就是這類情況。上面7個(gè)組合就是前面講的第二種情況的個(gè)數(shù)。我們用7再乘一個(gè)系數(shù)=l／16，就得出基本事件X1的結(jié)構(gòu)重要度系數(shù)7／16，用公式表示為：683．2事故樹分析同樣．我們可以逐個(gè)求出事件2～5的結(jié)構(gòu)重要度系數(shù)為：因而，基本事件結(jié)構(gòu)重要度排序如下如果不考慮基本事件的發(fā)生概率，僅從基本事件在事故樹結(jié)構(gòu)中所在位置來看，事件X1、X3最重要，其次是X4、X5最不重要的是基本事件X2。下面用簡(jiǎn)易辦法確定各基本事件的結(jié)構(gòu)重要度系數(shù)：

X1的結(jié)構(gòu)重要度系數(shù)：從表4-3中可知，X1=1，Φ(X)=1的個(gè)數(shù)是12個(gè)，而X1=0時(shí)，Φ(X)=1的個(gè)數(shù)是5個(gè)(即編號(hào)為7，8，12，15，16)，那么：693．2事故樹分析X2的結(jié)構(gòu)重要度系數(shù)：從表4-3可知，X2=1，Φ(X)=1的個(gè)數(shù)是9個(gè)，而X2=0時(shí)，Φ(X)=1的個(gè)數(shù)是8個(gè)(即編號(hào)7，8，18，20，21，22，23，24)，那么

X3的結(jié)構(gòu)重要度系數(shù)：從表3-1中可知X3=1，Φ（X）=1的個(gè)數(shù)是12個(gè)，而X3=0時(shí)，Φ(X)=1的個(gè)數(shù)是5個(gè)(即編號(hào)12，18，20，26，28)，那么：

X4的結(jié)構(gòu)重要度系數(shù)：從表3-1中可知X4=1，Φ(X)=1的個(gè)數(shù)是11個(gè)，而X4=0時(shí)，Φ(X)=1的個(gè)數(shù)是6個(gè)(即編號(hào)18，21，22，26，29，30)，那么：

X5的結(jié)構(gòu)重要度系數(shù)：從表4-3中可知，X5=l，Φ(X)=1的個(gè)數(shù)是11個(gè)，而X5=0時(shí)，Φ(X)=1的個(gè)數(shù)是6個(gè)(即編號(hào)7，15，21，23，29．31)，那么：703．2事故樹分析結(jié)構(gòu)重要度分析屬于定性分析，要排出各基本事件的結(jié)構(gòu)重要度順序，不一定非求出結(jié)構(gòu)重要度系數(shù)不可。如果事故樹結(jié)構(gòu)很復(fù)雜，基本事件很多，列出的表就很龐大，基本事件狀態(tài)值的組臺(tái)很多(共2n個(gè))，這就給求結(jié)構(gòu)重要度系數(shù)帶來很大困難。因此，一般用最小割集或最小徑集來排列各種基本事件的結(jié)構(gòu)重要度順序。這樣較簡(jiǎn)單，而效果一致。

(2)用最小割集或最小徑集進(jìn)行結(jié)構(gòu)重要度分析。

1)最小割集或最小徑集排列法。這種直接排序方法的基本原則如下：①頻率。當(dāng)最小割集中的基本事件個(gè)數(shù)不等時(shí)，基本事件步的割集中的基本事件少比基本事件多的割集中的基本事件結(jié)構(gòu)重要度大。713．2事故樹分析例如，某事故樹的最小割集為：{X1，X2，X3，X4}，{X5，X6}，{X7}，{X8}。從其結(jié)構(gòu)情況看，第三、四兩個(gè)最小割集都只有一個(gè)基本事件，所以X7和X8的結(jié)構(gòu)重要度最大；其次是X5，X6因?yàn)樗鼈冊(cè)趦蓚€(gè)事件的最小割集中；最不重要的是X1，X2，X3，X4，因?yàn)樗鼈兯诘淖钚「罴谢臼录疃?。這樣，我們就可以很快排出各基本事件的結(jié)構(gòu)重要度順序：

②頻數(shù)。當(dāng)最小割集中基本事件的個(gè)數(shù)相等時(shí)，重復(fù)在各最小割集中出現(xiàn)的基本事件，比只在一個(gè)最小割集中出現(xiàn)的基本事件結(jié)構(gòu)重要度大；重復(fù)次數(shù)多的比重復(fù)次數(shù)少的結(jié)構(gòu)重要度大。723．2事故樹分析

例如，某事故樹有8個(gè)最小割集：{X1，X5，X7，X8}，{X1，X6，X7，X8}，{X2，X5，X7，X8}，{X2，X6，X7，X8}，{X3，X5，X7，X8}，{X3，X6，X7，X8}，{X4，X5，X7，X8}，{X4，X6，X7，X8}。在這8個(gè)最小割集中，X7和X8均出現(xiàn)過8次；X5和X6均各出現(xiàn)過4次；X1，X2，X3，X4均各出現(xiàn)過2次。這樣，盡管8個(gè)最小割集基本事件個(gè)數(shù)都相等(4個(gè))，但由于各基本事件在其中出現(xiàn)的次數(shù)不同，我們?nèi)钥梢耘懦銎浣Y(jié)構(gòu)重要度順序：③看頻率又看頻數(shù)。在基本事件少的最小割集中出現(xiàn)次數(shù)少的事件與基本事件多的最小割集中出現(xiàn)次數(shù)多的相比較，一般前者大于后者。例如，某事故樹的最小割集為：{X1}，{X2，X3}，{X2，X4}，{X2，X5}其結(jié)構(gòu)重要度順序?yàn)椋荷鲜鲈瓌t，用最小徑集同樣適用。我們也可以用兩種方法互相檢驗(yàn)結(jié)果的正確性。

2)簡(jiǎn)易算法。給每一最小割集都賦予l，而最小割集中每個(gè)基本事件都得相同的一份，然后每個(gè)基本事件積累得分，按其得分多少，排出結(jié)構(gòu)重要度的順序。733．2事故樹分析【例3-7】某事故村最小割集K1={x5，x6，x7，x8}；K2={x3，x4}；K3={x1}；K4={x2}試確定各基本事件的結(jié)構(gòu)重要度。解：x5=x6=x7=x8=1/4x3=x4=1/2x1=x2=l(3)用最小割集或最小徑集進(jìn)行結(jié)構(gòu)重要度分析3個(gè)公式。公式一：式中k——最小割集總數(shù)；kj——第j個(gè)最小割集；

nj——第j個(gè)最小剖集的基本事件數(shù)。743．2事故樹分析公式二：式中nj-1——為第i個(gè)基本事件所在Kj中各基本事件總數(shù)減1；

IΦ（i）——第i個(gè)基本事件的結(jié)構(gòu)重要度系數(shù)。公式三：式中IΦ（i）——第i個(gè)基本事件的結(jié)構(gòu)重要度系數(shù)；

nj——第i個(gè)基本事件所在Kj的基本事件總數(shù)；

nj-1——為2的指數(shù)。753．2事故樹分析【例3-8】已知某事故樹的最小割集K1={x1，x2，x3}；如K2={x1，x2，x4}。利用上述三個(gè)近似式求IΦ（i）。解：(1)利用近似計(jì)算式(3-5)求解則各基本事件結(jié)構(gòu)重要度序數(shù)排列如下：763．2事故樹分析(2)利用式(3-6)求解:773．2事故樹分析【例3-9】已知某事故樹的最小割集K1={x1，x2}；K2={x3，x4，x5}；K3={x3，x4，x6}。利用上述三個(gè)近似式求IΦ（i）。解：(1)利用近似計(jì)算式(3-5)求解則各基本事件結(jié)構(gòu)重要度序數(shù)排列如下：783．2事故樹分析(2)利用式(3-6)求解793．2事故樹分析(3)利用式(3-7)求解:

用三個(gè)不同公式求出的排序結(jié)果不一樣，就其正確性(精度大小)而言，用式(3-7)求出的是正確的。803．2事故樹分析

由上述兩例計(jì)算可見，利用近似公式求解結(jié)構(gòu)重要度排序時(shí)，可能出現(xiàn)誤差。因此，在選公式時(shí)，應(yīng)酌情選用。一般說來，對(duì)于最小割集中的基本原因個(gè)數(shù)(nj)相同時(shí)，利用三個(gè)公式均可得到正確的排序；若最小割集(最小徑集)間的階數(shù)差別較大時(shí)，式(3-6)、式(3-7)就可以保證排列順序的正確；若最小割集(最小徑集)間的階數(shù)差別僅為1或2階時(shí)，使用式(3-5)、式(3-6)就可能產(chǎn)生較大的誤差。在上述三個(gè)近似計(jì)算公式中，式(3-7)的所求精度最高(說明：上述三個(gè)公式同樣適用于最小徑集的使用，把Kj改成Pj即可)。分析結(jié)構(gòu)重要度，排出各種基本事件的結(jié)構(gòu)重要度順序，可以從結(jié)構(gòu)上了解各基本事件對(duì)頂上事件的發(fā)生影響程度如何，以便按重要度順序安排防護(hù)措施，加強(qiáng)控制，也可以依此順序編寫安全檢查表。81(4)系統(tǒng)薄弱環(huán)節(jié)預(yù)測(cè)。對(duì)于最小割集來說，它與頂上事件用或門相連，顯然最小割集的個(gè)數(shù)越少越安全，越多越危險(xiǎn)。而每個(gè)最小割集中的基本事件與第二層事件為與門連接，因此割集中的基本事件越多越有利，基本事件少的割集就是系統(tǒng)的薄弱環(huán)節(jié)。對(duì)于最小徑集來說，恰好與最小割集相反，徑集數(shù)越多越安全，基本事件多的徑集是系統(tǒng)的薄弱環(huán)節(jié)。可以從以下四條途徑來改善系統(tǒng)的安全性：1)減少最小割集數(shù)，首先應(yīng)消除那些含基本事件最少的割集。2)增加割集中的基本事件數(shù)，首先應(yīng)給含基本事件少、又不能清除的割集增加基本事件。3)增加新的最小徑集，也可以設(shè)法將原有基本事件較多的徑集分成兩個(gè)或多個(gè)徑集。4)減少?gòu)郊械幕臼录?shù)，首先應(yīng)著眼于減少含基本事件多的徑集。823．2事故樹分析事故樹中或門越多，得到的最小割集就越多，這個(gè)系統(tǒng)也就越不安全。對(duì)于這樣的事故樹最好從求最小徑集著手，找出包含基本事件較多的最小徑集，然后設(shè)法減少其基本事件樹，或者增加最小徑集數(shù)，以提高系統(tǒng)的安全程度。

事故樹中與門越多，得到的最小割集的個(gè)數(shù)就較少，這個(gè)系統(tǒng)的安全性就越高。對(duì)于這樣的事故樹最好從求最小割集著手，找出少事件的最小割集，消除它或者設(shè)法增加它的基本事件數(shù)，以提高系統(tǒng)的安全性。

83【例3-l0】某觸電傷亡事故樹如圖3—30所示，用事故樹定性分析方法寫出此事故樹的所有最小割集和最小徑集，并給出分析結(jié)論。84解：事故樹定性分析結(jié)果：(1)全部最小割集如表3-2所示。85(2)全部最小徑集見表3-3所示。(3)基本事件結(jié)構(gòu)重要度近似值見表3-4所示。863．2事故樹分析(4)分析結(jié)論

1)從事故樹的結(jié)構(gòu)上看，“或門”比較多，說明在人員操作不當(dāng)、或者設(shè)備連接不好、或者設(shè)備質(zhì)量不怠的情況下，觸電事故很容易發(fā)生。

2)從事故樹的最小割集和最小徑集看，割集數(shù)目很大，最小徑集數(shù)目小，也說明觸電事故容易發(fā)生，同時(shí)預(yù)防的途徑較少。

3)從結(jié)構(gòu)重要度上看，C1、X7、X8的系數(shù)最大，其次是X9、X10、X11，說明要預(yù)防觸電事故，應(yīng)重點(diǎn)預(yù)防C1、X7、X8和X9、X10、X11。即電設(shè)備一定要良好接地，保持干凈，而且漏電保護(hù)裝置要良好。87課堂作業(yè)與互動(dòng)求最小割集，最小徑集，分析各基本事件重要度。893．2事故樹分析3．2．9事故樹定量分析在給定基本事件發(fā)生概率的情況下，求出頂上事件發(fā)生的概率，這樣我們就可以根據(jù)所得結(jié)果與預(yù)定的目標(biāo)值進(jìn)行比較。如果計(jì)算值超出了目標(biāo)值，就應(yīng)采取必要的系統(tǒng)改進(jìn)措施，使其降至目標(biāo)值以下。其次是計(jì)算每個(gè)基本事件對(duì)頂上事件發(fā)生概率的影響程度，以便更切合實(shí)際地確定各基本事件對(duì)預(yù)防事故發(fā)生的重要性，使我們更清楚地認(rèn)識(shí)到要改進(jìn)系統(tǒng)應(yīng)重點(diǎn)從何處著手。

3．2事故樹分析

l.基本事件的發(fā)生概率進(jìn)行定量分析，首先要知道系統(tǒng)各元件發(fā)生故障的頻率或概率?；臼录l(fā)生概率主要包括物的故障系數(shù)和人的失誤概率兩個(gè)方面。由于取得各基本事件發(fā)生概率值是非常困難的，要通過大量反復(fù)的試驗(yàn)、觀測(cè)、分析和檢驗(yàn)才能得到，而其準(zhǔn)確性也受到環(huán)境和應(yīng)用條件的影響。90913．2事故樹分析研究基本事件的發(fā)生概率，是為了對(duì)事故樹進(jìn)行定量分析。通過定量分析，使人們得出能夠比較的概念，為系統(tǒng)安全評(píng)價(jià)提供必要的數(shù)據(jù)，為選擇最優(yōu)安全措施提供依據(jù)。事故樹定量分析是在定性分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。定量分析有兩個(gè)目的，首先是在求出各基本事件概率的情況下，計(jì)算頂上事件的發(fā)生概率，并根據(jù)所獲得的結(jié)果與預(yù)定的目標(biāo)進(jìn)行比較。如果事故的發(fā)生概率及其造成的損失為社會(huì)所認(rèn)可，則不必投人更多的人力、物力進(jìn)一步治理。如果超出了目標(biāo)值，就應(yīng)采取必要的系統(tǒng)改進(jìn)措施，使其降至目標(biāo)值以下。另一個(gè)目的是，計(jì)算出概率重要系數(shù)和臨界重要系數(shù)。以便使我們了解，要改善系統(tǒng)應(yīng)從何處人手，以及根據(jù)重要程度的不同，按輕重緩急，安排人力、物力，分別采取對(duì)策，或按主次順序編制安全檢查表，以加強(qiáng)人的控制，使系統(tǒng)處于最佳安全狀態(tài)。923．2事故樹分析要計(jì)算物的故障概率，首先必須取得物的故障率。所謂物的故障率，是指設(shè)備或系統(tǒng)的單元(部件或元件)工作時(shí)間的單位時(shí)間(或周期)的失效或故障的概率，它是單元平均故障間隔期的倒數(shù)，若物的故障率為，則有：一般由廠家給出，或通過實(shí)驗(yàn)室得出。它是元件從運(yùn)行到故障發(fā)生時(shí)所經(jīng)歷時(shí)間ti的算術(shù)平均值，即：

式中，n為所測(cè)元件的個(gè)數(shù)。若元件在實(shí)驗(yàn)室條件下測(cè)出的故障率為，亦即故障率數(shù)據(jù)庫(kù)儲(chǔ)存的數(shù)據(jù)。實(shí)際應(yīng)用時(shí)，還必須考慮比實(shí)驗(yàn)室條件惡劣的現(xiàn)場(chǎng)因素，適當(dāng)選擇使用條件系數(shù)K值933．2事故樹分析那么，實(shí)際使用的故障率為：有了故障率，就可以計(jì)算元件的故障發(fā)生概率q。對(duì)一般可修復(fù)系統(tǒng)，即系統(tǒng)故障修復(fù)后仍投入正常運(yùn)行的系統(tǒng)，單元的故障發(fā)生概率為：式中μ為可維修度，是反映單元維修難易程度的量度，是所需平均修復(fù)時(shí)間(從故障起到投人運(yùn)行的平均時(shí)間)的倒數(shù)，即，因?yàn)?，故?/p>

q=因此，單元的故障發(fā)生率近似為，單元故障率與單元平均修復(fù)時(shí)間的積。943．2事故樹分析現(xiàn)在，許多工業(yè)發(fā)達(dá)的國(guó)家都建立了故障率數(shù)據(jù)庫(kù)，而且若干國(guó)家，如北美和西歐某些國(guó)家已聯(lián)合建庫(kù)，用計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)和檢索，為系統(tǒng)安全和可靠性分析提供了良好的條件。從我國(guó)開展安全系統(tǒng)工程和可靠性工程的發(fā)展趨勢(shì)看，也應(yīng)該建立數(shù)據(jù)庫(kù)，儲(chǔ)存事故資料。但是，安全系統(tǒng)工程的應(yīng)用，事故樹分析的應(yīng)用，并不是從建立故障率數(shù)據(jù)庫(kù)才開始的，我們現(xiàn)在所面臨的是在沒有數(shù)據(jù)庫(kù)的情況下來評(píng)價(jià)故障率，這就存在如何求取故障率的問題。在目前情況下，可以通過長(zhǎng)期的運(yùn)行經(jīng)驗(yàn)，或若干系統(tǒng)平行的運(yùn)行過程，粗略地估計(jì)元件平均故障間隔期，其倒數(shù)就是所觀測(cè)對(duì)象的故障率。例如，某元件現(xiàn)場(chǎng)使用條件下的平均故障率間隔期為4000h，則其故障率為2.5x10--4／h。若系統(tǒng)運(yùn)行是周期性的，亦可將周期化為小時(shí)。953．2事故樹分析人的失誤是另一種基本事件。人的失誤大概有五種情況：(1)忘記做某項(xiàng)工作。(2)做錯(cuò)了某項(xiàng)工作。(3)采取了不應(yīng)采取的某項(xiàng)步驟。(4)沒有按規(guī)定完成某項(xiàng)工作。(5)沒有在預(yù)定時(shí)間內(nèi)完成某項(xiàng)工作。人的失誤原因特別復(fù)雜，因此，估算人的失誤概率非常困難，許多專家進(jìn)行了大量的研究，但目前還沒有較好地確定人的失誤率的方法。1961年。斯溫(swain)和羅克(Rock)曾提出了“人的失誤率預(yù)測(cè)法”(THERP)．這是一種比較常見的方法，這種方法的分析步驟如下：963．2事故樹分析(1)調(diào)查被分析者的操作程序。(2)把整個(gè)程序分成各個(gè)操作步驟。(3)把操作步驟再分成單個(gè)動(dòng)作。(4)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或?qū)嶒?yàn)得出每個(gè)動(dòng)作的可靠度。(5)求出各個(gè)動(dòng)作的可靠度之積。得到每個(gè)操作步驟的可靠度。如果各個(gè)動(dòng)作有相容事件，則按條件概率計(jì)算。(6)求出各操作步驟的可靠度之積，得到整個(gè)程序的可靠度。(7)求出整個(gè)程序的不可靠度(1減可靠度)，便得到FTA所需要的人的失誤概率。人的失誤概率受多種因素影響，如作業(yè)的緊迫程度、單調(diào)性、不安全感；人的生理狀況；教育、訓(xùn)練情況；以及社會(huì)影響和環(huán)境因素等等。因此，仍然需要用修正系數(shù)K修正人的失誤概率。973．2事故樹分析R.L布朗寧，經(jīng)過大量的觀測(cè)研究后認(rèn)為，人員進(jìn)行重復(fù)操作時(shí)，失誤率為10-2～10-3，并推薦取10-2。2.頂上事件發(fā)生概率的計(jì)算各基本事件的發(fā)生概率，各基本事件又是獨(dú)立事件時(shí)，就可以計(jì)算頂上事件的發(fā)生概率。目前，計(jì)算頂上事件發(fā)生概率的方法有若干種，下面介紹較簡(jiǎn)單的幾種。(1)求事故樹的基本事件概率積之和。頂上事件狀態(tài)Φ(X)=l的所有基本事件的狀態(tài)組合，球各個(gè)基本事件狀態(tài)(Xi=l或0)的概率積之和，用公式表達(dá)為：式中Q——頂上事件發(fā)生概率函數(shù)；

Φ（X）——頂E事件狀態(tài)值，=0或=l；∑——求n個(gè)事件的概率積；

Xi——第i個(gè)基本事件的狀態(tài)值，=O或=l;qi——第i個(gè)基本事件的發(fā)生概率。以圖3-3l的簡(jiǎn)單事故樹為例，利用式(3-12)求頂上事件r的發(fā)生概率。98以圖3-3l的簡(jiǎn)單事故樹為例，利用式(3-12)求頂上事件T的發(fā)生概率。設(shè)X1，X2，X3，均為獨(dú)立事件，其概率均為0.1，頂上事件的發(fā)生概率為：993．2事故樹分析(2)求各基本事件概率和。在定性分析中，給出了最小割集的求法．以及用最小割集表示的事故樹等效圖，利用等效囝再來推出最小割集求頂上事件發(fā)生概率的公式。仍以圖3-3l簡(jiǎn)單事故樹示意圖為例，其最小割集為{X1，X2}、{X1，X3}，用最小割集表示的等效圖如圖3-32所示。這樣可以把其看作由兩個(gè)事件K1、K2、…Ki組成的事故樹。按照求概率和的計(jì)算公式，K1+K2的概率為：

Q=1-（1-qK1）（1-qK2）(3-13)因?yàn)閮蓚€(gè)最小割集中都有X1，利用此式直接代入進(jìn)行概率計(jì)算，必然造成重復(fù)計(jì)算X1的發(fā)生概率。因此，要將上式展開，消去其中重復(fù)的概率因子，否則將得出錯(cuò)誤的結(jié)果。1003．2事故樹分析1013．2事故樹分析

以上兩種方法計(jì)算結(jié)果是一致的。(3)直接分步算法。對(duì)給定的事故樹，若已知其結(jié)構(gòu)函數(shù)和基本事件的發(fā)生概率，從原則上來講，應(yīng)用容斥原理中的邏輯加與邏輯乘的概率計(jì)算公式，就可以求得頂上事件發(fā)生的概率。設(shè)基本事件X1，X2，…Xn的發(fā)生概率分別為q1，q2…qn則這些事件的邏輯加與邏輯乘的故障計(jì)算公式如下：邏輯加(或門連接的事件)的概率計(jì)算公式：式中g(shù)——頂上事件(或門事件)發(fā)生的概率函數(shù)；

P0——或門事件的概率；

qi——第i個(gè)基本事件的概率；n——輸入事件數(shù)。102

【例3-ll】如圖3-33所示的事故樹，已知各基本事件的概率，求頂上事件發(fā)生的概率。q1=0.01，q2=0.01，q3=0.02，q4=0.02，q5=0.03，q6=0.03，q7=0.04，q8=0.04。103解：①求M3的概率，因?yàn)槭腔蜷T連接，故按式(3-14)求得：PM3=1-(1-0.03)(1-0.04)(1-0.04)=1-0.839395=0.10605②求M2的概率，因?yàn)槭桥c門連接，按式(3-15)求得：

PM2=0.02×0.10605×0.02×0.03=0.00000127③求M1的概率，因?yàn)槭桥c門連接，按式(3-15)求得：

PM1=0.01×0.01=0.0001④求T的概率，因?yàn)槭腔蜷T連接，故按式(3-15)求得：

PT=1-(1-0.001)(1.0.00000127)=0.001(4)利用最小割集計(jì)算頂上事件發(fā)生的概率。如果各最小割集中彼此沒有重復(fù)的基本事件，則可以先求各個(gè)最小割集的概率，即最小割集所包含的基本事件的交(邏輯與)集，然后求所有最小割集的并(邏輯或)集概率，即得頂上事件的發(fā)生概率。104由于與門的結(jié)構(gòu)函數(shù)為：

或門的結(jié)構(gòu)函數(shù)為：式中xi——第i個(gè)基本事件；

n——基本事件數(shù)。根據(jù)最小割集的定義，如果在割集中任意去掉一個(gè)基本事件，就不成為割集。換句話說，也就是要求最小割集中全部基本事件都發(fā)生，該最小割集才存在，即：

Gr=(3-18)式中Gr——第i個(gè)最小割集；

I——第i個(gè)最小割集中的基本事件。在事故樹中，一般有多個(gè)最小割集，只要存在一個(gè)最小割集，頂上事件就會(huì)發(fā)生，因此，事故樹的結(jié)構(gòu)函數(shù)為：105Φ(x)=Ｕi=1NGGi(3-19)

式中NG——系統(tǒng)中最小割集數(shù)；其他符號(hào)意義同前。因此，若各個(gè)最小割集中彼此沒有重復(fù)的基本事件，可按下式計(jì)算頂上事件的發(fā)生概率：

(3-20)式中NG——系統(tǒng)中最小割集數(shù)；

r——最小割集數(shù)序數(shù)；

i——基本事件序數(shù)；

xi∈Gr——第i個(gè)基本事件屬于第r個(gè)最小割集；

qi——第i個(gè)基本事件的概率。106【例3-12】設(shè)某事故有3個(gè)最小割集：{X1，X2}，{X3，X4，X5}，{X6，X7}。各基本事件發(fā)生概率分別為：q1，q2，…q7求頂上事件發(fā)生概率。解：根據(jù)事故樹的3個(gè)最小割集，可做出用最小割集表示的等效圖，見圖3-34。1073個(gè)最小割集的概率，由各個(gè)最小割集所包含的基本事件的邏輯與分別求出：頂上事件的發(fā)生概率，即求所有最小割集的邏輯或，得：從結(jié)果可看出，頂上事件發(fā)生概率等于各個(gè)最小割集的概率積的和。用式(3-20)計(jì)算事故樹頂上事件的概率，要求各最小割集中沒有重復(fù)的基本事件，也就是最小割集之間是完全不相交的。若事故樹各基本事件中有重復(fù)事件，則上式不成立。108例如：某事故樹共有3個(gè)最小割集，分別為：則該事故樹的結(jié)構(gòu)函數(shù)式為：頂上事件發(fā)生概率為：109式中，qG1qG2是G1G2交集的概率，即x1x2x3x4，根據(jù)布爾代數(shù)等冪律，有

x1x2x3x4=x1x2x3x4

故

qG1qG2=q1q2q3q4同理：所以頂上事件的發(fā)生概率為：由此，若最小割集中有重復(fù)事件時(shí)，必須將式(3-20)展開，用布爾代數(shù)消除每個(gè)概率積中的重復(fù)事件得：式中r，s——最小割集序數(shù)：

——求N項(xiàng)代數(shù)和；

xiGr——屬于第r個(gè)晟小割集的第i個(gè)基本事件：

——表示屬于任意兩個(gè)不同最小割集的基本事件概率和；110

(5)利用最小徑集計(jì)算頂上事件發(fā)生的概率。如果各最小徑集中彼此沒有重復(fù)的基本事件，則可以先求各個(gè)最小徑集的概率，即最小徑集所包含的基本事件的井(邏輯或)集，然后求所有最小徑集的交(邏輯與)集概率．即得頂上事件的發(fā)生概率。因此可按下式計(jì)算：式中Np——系統(tǒng)中最小徑集數(shù)；r——最小徑集序數(shù)；

i——基本事件序數(shù)；xipr——第i個(gè)基本事件屬于r個(gè)最小徑集；

qi——第i個(gè)基本事件的概率。111【例3-13】設(shè)某事故樹有三個(gè)最小徑集：P1={x1，x2}，P。={x3，x4，x5}，P3={x6，x7}。各基本事件發(fā)生的概率分別為：q1，q2，….q7，求頂上事件發(fā)生的概率。解：根據(jù)事故樹的三個(gè)最小徑集，做出用最小徑集表示的等效圖，如圖3-35所示。112

三個(gè)最小徑集的概率，可由各個(gè)最小徑集