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2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.直線與、為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn),則k的取值范圍是()A. B.C. D.2.已知{an}是等差數(shù)列,且a2+a5+a8+a11=48,則a6+a7=()A.12 B.16 C.20 D.243.設(shè),函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),則()A. B.C. D.4.某數(shù)學(xué)競(jìng)賽小組有3名男同學(xué)和2名女同學(xué),現(xiàn)從這5名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽(每人被選到的可能性相同).則選出的2人中恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)的概率為()A. B. C. D.5.已知函數(shù)的圖像如圖所示,則和分別是()A. B. C. D.6.已知等差數(shù)列的公差d>0,則下列四個(gè)命題:①數(shù)列是遞增數(shù)列;②數(shù)列是遞增數(shù)列;③數(shù)列是遞增數(shù)列;④數(shù)列是遞增數(shù)列;其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.47.若,則下列不等式中不正確的是()A. B. C. D.8.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表.其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為:弧田面積(弦矢+矢).弧田,由圓弧和其所對(duì)弦所圍成.公式中“弦”指圓弧所對(duì)的弦長,“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.現(xiàn)有圓心角為,弦長等于的弧田.按照《九章算術(shù)》中弧田面積的經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積為()A. B. C. D.9.已知,,直線,若直線過線段的中點(diǎn),則()A.-5 B.5 C.-4 D.410.已知點(diǎn)和點(diǎn),且,則實(shí)數(shù)的值是()A.或 B.或 C.或 D.或二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.設(shè)函數(shù)的部分圖象如圖所示,則的表達(dá)式______.12.已知數(shù)列滿足:,,則使成立的的最大值為_______13.已知圓C:,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,4),過點(diǎn)N(4,0)作直線交圓C于A,B兩點(diǎn),則的最小值為________14.《九章算術(shù)》是體現(xiàn)我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出著作,其中(方田)章給出的計(jì)算弧田面積的經(jīng)驗(yàn)公式為:弧田面積(弦矢矢2),弧田(如圖陰影部分)由圓弧及其所對(duì)的弦圍成,公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦的長,“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差,現(xiàn)有弧長為米,半徑等于米的弧田,則弧所對(duì)的弦的長是_____米,按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算得到的弧田面積是___________平方米.15.已知中,的對(duì)邊分別為,若,則的周長的取值范圍是__________.16.?dāng)?shù)列滿足:,,則______.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽,當(dāng)時(shí),,且對(duì)任意實(shí)數(shù)m、n,有成立,數(shù)列滿足,且.(1)求的值;(2)若不等式對(duì)一切都成立,求實(shí)數(shù)k的最大值.18.已知函數(shù)的圖象過點(diǎn).(1)求的值;(2)判斷的奇偶性并證明.19.已知函數(shù),其中.解關(guān)于x的不等式;求a的取值范圍,使在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù).20.交通指數(shù)是指交通擁堵指數(shù)的簡(jiǎn)稱,是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念性指數(shù)值,記交通指數(shù)為,其范圍為,分別有五個(gè)級(jí)別:,暢通;,基本暢通;,輕度擁堵;,中度擁堵;,嚴(yán)重?fù)矶?在晚高峰時(shí)段(),從某市交通指揮中心選取了市區(qū)20個(gè)交通路段,依據(jù)其交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如圖所示.(1)求出輕度擁堵、中度擁堵、嚴(yán)重?fù)矶碌穆范蔚膫€(gè)數(shù);(2)用分層抽樣的方法從輕度擁堵、中度擁堵、嚴(yán)重?fù)矶碌穆范沃泄渤槿?個(gè)路段,求依次抽取的三個(gè)級(jí)別路段的個(gè)數(shù);(3)從(2)中抽取的6個(gè)路段中任取2個(gè),求至少有1個(gè)路段為輕度擁堵的概率.21.已知.若三點(diǎn)共線,求實(shí)數(shù)的值.
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】
由直線方程可得直線恒過點(diǎn),利用兩點(diǎn)連線斜率公式可求得臨界值和,從而求得結(jié)果.【詳解】直線恒過點(diǎn)則,本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查利用直線與線段有交點(diǎn)確定直線斜率取值范圍的問題,關(guān)鍵是能夠確定直線恒過的定點(diǎn),從而找到直線與線段有交點(diǎn)的臨界狀態(tài).2、D【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得,則,故選D.3、C【解析】
首先比較自變量與的大小,然后利用單調(diào)性比較函數(shù)值與的大小.【詳解】因?yàn)?,函?shù)在區(qū)間上是增函數(shù),所以.故選C.【點(diǎn)睛】已知函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值大小,可以借助自變量的大小來比較函數(shù)值的大小.4、A【解析】
把5名學(xué)生編號(hào),然后寫出任取2人的所有可能,按要求計(jì)數(shù)后可得概率.【詳解】3名男生編號(hào)為,兩名女生編號(hào)為,任選2人的所有情形為:,,共10種,其中恰有1名男生1名女生的有共6種,所以所求概率為.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型,方法是列舉法.5、C【解析】
通過識(shí)別圖像,先求,再求周期,將代入求即可【詳解】由圖可知:,,將代入得,又,,故故選C【點(diǎn)睛】本題考查通過三角函數(shù)識(shí)圖求解解析式,屬于基礎(chǔ)題6、B【解析】
對(duì)于各個(gè)選項(xiàng)中的數(shù)列,計(jì)算第n+1項(xiàng)與第n項(xiàng)的差,看此差的符號(hào),再根據(jù)遞增數(shù)列的定義得出結(jié)論.【詳解】設(shè)等差數(shù)列,d>0∵對(duì)于①,n+1﹣n=d>0,∴數(shù)列是遞增數(shù)列成立,是真命題.對(duì)于②,數(shù)列,得,,所以不一定是正實(shí)數(shù),即數(shù)列不一定是遞增數(shù)列,是假命題.對(duì)于③,數(shù)列,得,,不一定是正實(shí)數(shù),故是假命題.對(duì)于④,數(shù)列,故數(shù)列是遞增數(shù)列成立,是真命題.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查用定義判斷數(shù)列的單調(diào)性,考查學(xué)生的計(jì)算能力,正確運(yùn)用遞增數(shù)列的定義是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】
,可得,則根據(jù)不等式的性質(zhì)逐一分析選項(xiàng),A:,,所以成立;B:,則,根據(jù)基本不等式以及等號(hào)成立的條件則可判斷;C:且,根據(jù)可乘性可知結(jié)果;D:,根據(jù)乘方性可判斷結(jié)果.【詳解】A:由題意,不等式,可得,則,,所以成立,所以A是正確的;B:由,則,所以,因?yàn)椋缘忍?hào)不成立,所以成立,所以B是正確的;C:由且,根據(jù)不等式的性質(zhì),可得,所以C不正確;D:由,可得,所以D是正確的,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的性質(zhì),不等式等號(hào)成立的條件,熟記不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】
首先根據(jù)圖形計(jì)算出矢,弦,再帶入弧田面積公式即可.【詳解】如圖所示:因?yàn)椋?,為等邊三角?所以,矢,弦..故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形面積公式,同時(shí)考查學(xué)生對(duì)題意的理解,屬于中檔題.9、B【解析】
根據(jù)題意先求出線段的中點(diǎn),然后代入直線方程求出的值.【詳解】因?yàn)?,,所以線段的中點(diǎn)為,因?yàn)橹本€過線段的中點(diǎn),所以,解得.故選【點(diǎn)睛】本題考查了直線過某一點(diǎn)求解參量的問題,較為簡(jiǎn)單.10、A【解析】
直接利用兩點(diǎn)間距離公式得到答案.【詳解】已知點(diǎn)和點(diǎn)故答案選A【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間距離公式,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解析】
根據(jù)圖象的最高點(diǎn)得到,由圖象得到,故得,然后通過代入最高點(diǎn)的坐標(biāo)或運(yùn)用“五點(diǎn)法”得到,進(jìn)而可得函數(shù)的解析式.【詳解】由圖象可得,∴,∴,∴.又點(diǎn)在函數(shù)的圖象上,∴,∴,∴.又,∴.∴.故答案為.【點(diǎn)睛】已知圖象確定函數(shù)解析式的方法(1)由圖象直接得到,即最高點(diǎn)的縱坐標(biāo).(2)由圖象得到函數(shù)的周期,進(jìn)而得到的值.(3)的確定方法有兩種.①運(yùn)用代點(diǎn)法求解,通過把圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式求出的值;②運(yùn)用“五點(diǎn)法”求解,即由函數(shù)最開始與軸的交點(diǎn)(最靠近原點(diǎn))的橫坐標(biāo)為(即令,)確定.12、4【解析】
從得到關(guān)于的通項(xiàng)公式后可得的通項(xiàng)公式,解不等式后可得使成立的的最大值.【詳解】易知為等差數(shù)列,首項(xiàng)為,公差為1,∴,∴,令,∴,∴.故答案為:4【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)的求法及數(shù)列不等式的解,屬于容易題.13、8【解析】
先將所求化為M到AB中點(diǎn)的距離的最小值問題,再求得AB中點(diǎn)的軌跡為圓,利用點(diǎn)M到圓心的距離減去半徑求得結(jié)果.【詳解】設(shè)A、B中點(diǎn)為Q,連接QC,則QC,所以Q的軌跡是以NC為直徑的圓,圓心為P(5,0),半徑為1,又,即求點(diǎn)M到P的距離減去半徑,又,所以,故答案為8【點(diǎn)睛】本題考查了向量的加法運(yùn)算,考查了求圓中弦中點(diǎn)軌跡的幾何方法,考查了點(diǎn)點(diǎn)距公式,考查了分析解決問題的能力,屬于中檔題.14、【解析】
在中,由題意可知:,弧長為,即可以求出,則求得的值,根據(jù)題意可求矢和弦的值及弦長,利用公式可以完成.【詳解】如上圖在中,可得:,可以得:矢=所以:弧田面積(弦矢矢2)=所以填寫(1).(2).【點(diǎn)睛】本題是數(shù)學(xué)文化考題,扇形為載體的新型定義題,求弦長屬于簡(jiǎn)單的解三角形問題,而作為第二空,我們首先知道公式中涉及到了“矢”,所以我們必須把“矢”的定義弄清楚,再借助定義求出它的值,最后只是簡(jiǎn)單代入公式計(jì)算即能完成.15、【解析】中,由余弦定理可得,∵,∴,化簡(jiǎn)可得.∵,∴,解得(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào)).故.再由任意兩邊之和大于第三邊可得,故有,故的周長的取值范圍是,故答案為.點(diǎn)睛:由余弦定理求得,代入已知等式可得,利用基本不等式求得,故.再由三角形任意兩邊之和大于第三邊求得,由此求得△ABC的周長的取值范圍.16、【解析】
可通過賦值法依次進(jìn)行推導(dǎo),找出數(shù)列的周期,進(jìn)而求解【詳解】由,,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,當(dāng)故數(shù)列從開始,以3為周期故故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推公式,能根據(jù)遞推公式找出數(shù)列的規(guī)律是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】
(1)首先令,得:,根據(jù)得到,即是以,的等差數(shù)列,再計(jì)算即可.(2)將題意轉(zhuǎn)化為,設(shè),判斷其單調(diào)性,求出最小值即可得到答案.【詳解】令,得:,.所以.因?yàn)?,所?所以,.所以是以,的等差數(shù)列.所以,.(2)因?yàn)楹愠闪?即恒成立.設(shè),知,且,,即,故為關(guān)于的增函數(shù),.所以,的最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列與函數(shù)的綜合,利用函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵,屬于難題.18、(1),(2)奇函數(shù),證明見解析【解析】
(1)將代入解析式,解方程即可.【詳解】(1)由題知:,解得.(2).,定義域?yàn)椋?,.所以,所以為奇函數(shù).【點(diǎn)睛】本題第一問考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算,第二問考查函數(shù)奇偶的判斷,屬于中檔題.19、(1)見解析;(2).【解析】
由題意可得,對(duì)a討論,可得所求解集;求得,由反比例函數(shù)的單調(diào)性,可得,解不等式即可得到所求范圍.【詳解】的不等式,即為,即為,當(dāng)時(shí),解集為;當(dāng)時(shí),解集為;當(dāng)時(shí),解集為,;,由在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù),可得,解得.即a的范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查分式不等式的解法,注意運(yùn)用分類討論思想方法,考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和運(yùn)用,考查運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.20、(1)輕度擁堵、中度擁堵、嚴(yán)重?fù)矶碌穆范蔚膫€(gè)數(shù)分別為6,9,3;(2)從交通指數(shù)在[4,6),[6,8),[8,10]的路段中分別抽取的個(gè)數(shù)為2,3,1;(3)【解析】
(1)根據(jù)在頻率分布直方圖中,小長方形的面積表示各組的頻率,可以求出頻率,再根據(jù)頻數(shù)等于頻率乘以樣本容量,求出頻數(shù);(2)根據(jù)(1)求出擁堵路段的個(gè)數(shù),求出每層之間的占有比例,然后求出每層的個(gè)數(shù);(3)先求出從(2)中抽取的6個(gè)路段中任取2個(gè),有多少種可能情況,然后求出至少有1個(gè)路段為輕度擁堵有多少種可能情況,根據(jù)古典概型概率公式求出.【詳解】(1)由頻率分布直方圖得,這20個(gè)交通路段中,輕度擁堵的路段有(0.1+0.2)×1×20=6(個(gè)),中度擁堵的路段有(0.25+0.2)×1×20=9(個(gè)),嚴(yán)重?fù)矶碌穆范斡?0.1+0.05)×1×20=3(個(gè)).(2)由(1)知,擁堵路段共有6+9+3=18(個(gè)),按分層抽樣,從18個(gè)路段抽取6個(gè),則抽取的三個(gè)級(jí)別路段的個(gè)數(shù)分別為,,,即從交通指數(shù)在[4,6),[6,8),[8,10]的路段中分別抽取的個(gè)數(shù)為2
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