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文檔簡介
第八章
線性動態(tài)網(wǎng)絡(luò)復頻域分析第八章
線性動態(tài)網(wǎng)絡(luò)復頻域分析8.1
拉普拉斯變換及其重要性質(zhì)8.2
拉普拉斯反變換的部分分式法8.3
兩類約束的復頻域形式8.4
復頻域分析法8.5
網(wǎng)絡(luò)函數(shù)及其應用線性動態(tài)網(wǎng)絡(luò)復頻域分析法(也稱運算法)是數(shù)學中的拉普拉斯變換(簡稱拉氏變換)將線性動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的時域微分方程轉(zhuǎn)換為復頻域代數(shù)方程的求解方法．步驟；首先把時域形式的兩類約束、激勵函數(shù)通過拉氏變換轉(zhuǎn)換為復頻域形式，同時引入復頻域阻抗、導納等概念，建立復頻域的電路模型;其次選用分析線性網(wǎng)絡(luò)的各種方法求出響應的象函數(shù)；最后經(jīng)拉氏反變換求出響應的時域函數(shù)．本節(jié)介紹拉普拉斯變換及其重要性質(zhì)．8.1
拉普拉斯變換及其重要性質(zhì)一．從傅立葉變換到拉普拉斯變換對函數(shù)f(t)取積分￥-￥f
(t
)e
-
jw
t
dt
(8
-
1)F
(w
)
=(8
-
2)F
(w
)e
jw
t
dw
1
2pf
(t
)
=￥-￥稱為傅立葉反變換．傅氏變換要求滿足狄里赫利條件，而且要求函稱為傅立葉正變換．對F
(w
)取相反的變換數(shù)絕對可積，即￥-￥f
(t
)e-jwt
dt
<￥
，雖然實際信號一般滿足狄里赫利條件，但是最常用到的階躍信號1(t)和正弦信號
Am
sin
wt 1(t
)等都不滿足絕對可積條件．因此，要對它進行改進．0考慮t<0
時，f(t)=0
將(8-1)式修正為￥f
(t
)e-jw
t
dt
(8
-
3)F
(w
)
=(8-3)稱為單邊傅氏變換．為保證f(t)絕對可積，將它乘以e-s
t，其中σ為正實數(shù)．再將函數(shù)
f
(t
)e-s
取t單邊傅氏變換，有￥￥f
(t
)e-(s
+jw
)t
dt0-
0-f
(t
)eF
(s)
=-s
te-jw
t
dt
=令s
=s
+jw
，s
稱為復頻率，則上式寫為￥0-F
(s)
=f
(t
)e-st
dt
(8
-
4)式(8-4)稱為拉氏正變換．F(s)稱為f(t)的象函數(shù)．拉氏變換記為￥-￥-s
tF
(s
+
jw
)e
jw
t
dwf
(t
)e
=
1
2p因
f
(t
)e-s
t
的傅氏變換是F(s)，則(8
-
5)F
(s
+
jw
)es
te
jw
t
dw
1
2pf
(t
)
=￥-￥等式兩邊同時乘以，得es
t將式(8-5)進行變量代換，得
1
2pjf
(t
)
=s
+jws
-jwF
(s)es
t
ds
(8
-
6)式(8-6)稱為拉氏反變換．f(t)稱為F(s)的原函數(shù)．從上面的分析可知，拉氏變換是傅氏變換的推廣，而傅氏變換是拉氏變換的特例．求1(t
)，d(t
)和e-at
1(t
)的象函數(shù)．例解NoImage[
]￥-st0-L
1(t
)
=1(t
)e
dt
=L
[d(t
)]=￥-st0-d(t
)e￥0-1(t
)
=-a
t
-st-a
tL
[e
]常見函數(shù)的象函數(shù)見表8-1.dt
=se
-
s-st1=0-￥￥0-d(t
)dt
=
1s
+
as
+
a-
e
e
e
dt
=(
s+a
)t
1
=￥0-表8-1常見函數(shù)的象函數(shù)象函數(shù)原函數(shù)象函數(shù)原函數(shù)1s1(t
)1d(t
)AsA1s
+
ae-at
1(t
)sdd(t
)dt
1
s2t 1(t
)1sn+11
t
n
1(t
)(n為正整數(shù))n!1(s
+
a)2te-at
1(t
)1(s+
a)n+11
t
ne-at
1(t
)n!s(s
+
a)2(1
-
at
)e-at
1(t
)
w
s2
+w
2sin
w
t 1(t
)
s
s2
+
w
2cosw
t 1(t
)
w
(s
+a)2
+w
2e-at
sin
w
t 1(t
)(s
+
a)e-at
cosw
t 1(t
)(s
+
a)2
+
w
2若二．拉氏變換的重要性質(zhì)線性性質(zhì)(linear
combination
theorem),
，a,b是常數(shù),則微分性質(zhì)(differentiation
theorem)若
,
則積分性質(zhì)(integration
theorem)若
,
則延遲性質(zhì)(time-shift
theorem)若
,
則矩形脈沖f(t)如圖所示，求其象函數(shù)。例解f(t)t010t0f
(t
)
=
1(t
)
-
1(t
-
t
)f(t)可表示為：1s-t0
s(1
-
e
)-t0
s1
1=
-
e
=s
s將上式兩邊取拉氏變換，F(xiàn)
(s)
=
L
[f
(t
)]8.2
拉普拉斯反變換(
inverse
Laplace
transform
)拉普拉斯反變換可以根據(jù)定義式求解；也可以查表8-1，直接寫出原函數(shù)。但多數(shù)情況下，象函數(shù)不能直接從表上查到。在集總參數(shù)電路中，響應的象函數(shù)往往是s
的有理分式，若將其展開成部分分式的形式，就能比較容易地求出其象函數(shù)了，這種方法叫做部分分式法。0m-1b
sF2
(s)F1
(s)
amms
+
a
sF
(s)
=
=n n-1n n-1
0m-1+
b
s
+
+
b+
+
a設(shè)象函數(shù)F(s)為:1.象函數(shù)是真分式(1)F2(s)=0
只含單根,F(s)可展開簡單部分分式之和.1k1
=[F(s)(s
-
s1
)]
s=s1(s
-
s
)2k2kns
-
sn
s
-
s++F(s)(s
-
s1
)
=
k1
+所以：k2
=[F(s)(s
-
s2
)]
s=s2……s
t s
t
s
tf
(t
)
=
(k1e
1
+
k2e
2
+
+
kne
n
)1(t
)待定系統(tǒng)ki
的另一種求解方法：則因為例解求
F
(s)
=
2s
+
3
的原函數(shù)
f(t)。s2
+
5s
+
6s2
+5s
+6
=0
，根為：s1
=-2,令s2
=
-3s
2
+
5s
+
6F
(s)=
2s
+
3
=則所以，f
(t
)
=
(-1e-2t
+
3e-3t
)1(t
)=
-1s
+
32s
+
3=s=-2=
3s
+
22s
+
3=s=-3例解
令求F
(s)=的原函數(shù)f(t)。s2
+
2s
+
5ss2
+2s
+5
=0
，根為：s1,2
=
-1
–
j21]
=
-1+
j2
=
1
(2
+
j)s=-1+j2s
+1+
j2
j4
4k
=[s=
0.5
+
j0.25
=
0.559—
26.6]
==
0.5
-
j0.25
=
0.559—
-
26.62s=-1-j2s
+1-
j2k
=[sF
(s)
=
0.559—
26.6
+
0.559—
-
26.6 s
+
1
-
j
2
s
+
1
+
j
2f
(t
)
=
0.559—
26.6
e(-1+j2)
t
+
0.559—
-
26.6
e(-1-j2)
t=
0.559e
j26.6
e(-1+j2)
t
+
0.559e
-
j26.6
e(-1-j2)
t=
2
·
0.559e-t
cos(2t
+
26.6
)本題還可先將分母配方，再求原函數(shù)：=(s
+
1)2
+
22F
(s)
=ss
2
+
2s
+
5s2f
(t
)
=
e-
t
cos
2
t
-
1
e-
t
sin
2
t=
2
·
0.559e-t
cos(2t
+
26.6
)2=
1
e-
t
(2
cos
2
t
-
sin
2
t
)22
+
(-1)2
e-
t
(cos
26.6
cos
2
t
-
sin
26.6
sin
2
t
)2=
1 s
+
1
1
2=
-(s
+
1)2
+
22
2
(s
+
1)2
+
22由表8-1，得：結(jié)論：若當F(s)=0
的根有共軛復根，對應的待定系數(shù)為時，，則與共軛復根部分對應原函數(shù)是：(2)若F(s)=0
包含重根……則其中：例解求的原函數(shù)f(t)。s(s
+
2)2F
(s)
=
s
+
8
把F(s)分解為部分分式為：f
(t
)
=
[2
-(2
+
3
t
)e-2
t
]1(t
)所以=
2(s
+
2)2 s
+
8
=s=0=
-3s=-2ss
+
8=
s=-2d
s
+
8
=ds
s=
-2s=-2s2s
-(s
+
8)=2.象函數(shù)不是真分式若F(s)不是真分式，則需將F(s)分解為整式加上真分式的形式，再求函數(shù)。例解求的原函數(shù)f(t)。s2
+
5s
+
6s3
+
7s2
+
18s
+
15F
(s)
= s
+
2
s3
+
7s2
+
18s
+
15s3
+
5s2
+
6ss2
+
5s
+
6－)2s2
+12s
+
152s2
+10s
+
12－)2s
+
3s
2
+
5s
+
6s
3
+
7s
2
+
18s
+
15F
(s)
=f
(t
)
=
d￠(t
)
+
2d(t
)
-[e-2t
-
3e-3
t
]1(t
)故=s+2
+2s+3s2+5s+68.3
兩類約束的復頻域形式(inverse
Laplace
transform
)一、復頻域(complex
frequency)形式的元件電路模型1.
電阻元件u(t)(a)自身約束條件將上式兩邊取拉普拉斯變換,則i(t)R
RI(s)U(s)(b)元件的電路模型如圖(b)所示.2.
電感元件自身約束條件將上式兩邊取拉氏變換,根據(jù)拉氏變換的微分性質(zhì),有元件的電路模型如圖(b)和(c)所示.Li
(t)LuL(t)(a)LI
(s)
sLUL(s)(b)LiL(0-)或iL(0-)/sIL(s)1/sLUL(s)(c)sL
復頻域感抗(運算感抗)3.
電容元件自身約束條件將上式兩邊取拉氏變換,根據(jù)拉氏變換的微分性質(zhì),有元件的電路模型如圖(b)和(c)所示.或1/sC復頻域容抗(運算容抗)CCi
(t)uC(t)(a)IC(s)U
(s)sCCuC(0-)
C(c)IC(s)UC(s)(b)二、復頻域形式的基爾霍夫定律三、復頻域形式的歐姆定律CsuI
(s)
+sC(0
)C
-1-U
(s)
=
RI
(s)
+
sLI
(s)
-
Li(0
)
+susC(0
)C
-1-U
(s)
=
(
R
+
sL
+
)I
(s)
-
Li(0
)
+Z(s)I(s)
=su
(0
)sCR+
sL+
1su
(0
)C
-C
--U(s)
+
Li(0
)--U(s)
+
Li(0
)-=此時,Z(s)稱為電路的復頻域阻抗sC令Z
(s)=R
+sL
+1(complex frequency-domain impedance)，或稱為運算阻抗。Y(s)稱做復頻域?qū)Ъ{(complexfrequency-domain
admittance
，也叫做運算導納.若是零狀態(tài)電路，則或Z(s)I(s)
=
U(s)
=U(s)Y(s)Z(s)復頻域阻抗(運算阻抗)8.4
復頻域分析法復頻域分析法的求解步驟：計算uC(0-)和iL(0-)；畫運算電路圖；(3)(3)
基于運算電路圖，選用適當?shù)姆椒ㄇ箜憫南蠛瘮?shù)。(4)(4)
對響應的象函數(shù)取拉氏反變換求響應的原函數(shù).已知：R=1Ω，L=0.2H，C=0.5F，US=10V，換路前電路穩(wěn)態(tài)，t=0
時開關(guān)閉合，求t≥0
時的i1(t).例解tS11.
求初值:=10AiL(0-)
=SRU-uC
(0
)
=
02.
運算電路圖上圖所示.Ls10s
+21+
221·
2Z(s)
=
0.2s
+
s
=
0.2(s
+2s
+10)s10s3.
選擇適當?shù)姆椒ㄇ蠼?10s
+2IL(s)
=
Z(s)=s(s2
+2s
+10)10(s2
+7s
+10)令s(s2+2s+10)=0則:s
=01s2,3=－1±j310(s2
+7s
+10)
K1
K2
K3IL(s)
=
s(s2
+2s
+10)
=
s
+
s
+1-
j3
+
s
+1+
j3=10=
8.33—
-90=
8.33—
90s
s
+1-
j3
s
+1+
j3I
(s)
=
10
+
8.33—
-90
+
8.33—
90L所以4.
對上式取拉氏反變換.iL(t)
=
(10+2·8.33e-t
cos(3t
-90
)A (t
?
0)=
(10+16.66e-t
sin3t)A (t
?
0)已知：U=120V，R1=15Ω
，L=1H，R=25Ω，例解1.
求初值:iL(0-)
=SRU=
75V15+25=
3A
uC
(0-)
=120·25C=1000μF，換路前電路穩(wěn)態(tài)，t=0
時開關(guān)閉合，求t≥0
時的iL(t).IL(s)2.
運算電路圖上圖所示.IL(s)I2(s)3.
選擇適當?shù)姆椒ㄇ蠼?sss75
(25+
s)I
(s)-25I
(s)
=
120+3)I2(s)
=
--25I1(s)
+(25+210001IL
(s)
=
s3
+40s2
+1000s3s2
+16s
+4800解得令s3+40s2
s=0則:s1=0,s2,3=－20±j24.5I1(s)s3
+40s2
+1000sI
(s)
==
1
+
2
+
3
s
+20+
j24.5s
s
+20-
j24.53s2
+16s
+4800
K
K
KL=
4.8=
0.918—
-168=
0.918—168s
s
+20-
j24.5
s
+20+
j24.5I
(s)
=
4.8
+
0.918—
-168
+
0.918—168L所以4.
對上式取拉氏反變換.iL(t)
=(4.8+2·0.918e-20t
cos(24.5t
-168
) (t
?
0)=(4.8+1.836e-20t
cos(24.5t
-168
)A (t
?
0)在電路中，已知R1=1Ω,L1=1H,
R2=1Ω,
L2=4H,開關(guān)
K
原是閉合的,
電路已經(jīng)穩(wěn)定,t=0時把開關(guān)打開.
求
t≥0
時的
i(t),
uL1(t)
和
uL2(t).例解1122LL1L21.
求初值:iL1(0-
)
=
0iL2(0-)
=100A2.
運算電路圖上圖所示.3.
選擇適當?shù)姆椒ㄇ蠼?L100+400I
(s)
=
s
=
80s
+20=
302+5s s(s
+0.4)=
50
,(t
?
0)iL(t)
=(50+30e-0.4t
)A(t
?
0)iL(t)
=(50+30e-0.4t
)As(s
+0.4)I
(s)
=
80s
+20LL1故U
(s)
=
80s
+20
=
80-(s
+0.4)
s
+0.41248UL2(s)
=
4sIL(s)
-400
=
-80-
s
+0.4(t
?
0)uL1(t)
=
80d(t)
-12e-0.4t
VuL2(t)
=
-80d(t)
-48e-0.4t
V(t
?
0)1122LL1L2iL(t)
=(50+30e-0.4t
)A (t
?
0)(t
?
0)uL1(t)
=
80d(t)
-12e-0.4t
V(t
?
0)uL2(t)
=
-80d(t)
-48e-0.4t
V分析:
1.
從結(jié)構(gòu)上看此電路為躍變電路,
從所得結(jié)果2.
中看有δ(t).2.
在計算之初,并未考慮電路是否躍變.用復頻域法計算躍變電路,只計算0-時刻值即可.方便.8.5
網(wǎng)絡(luò)函數(shù)及其應用一、網(wǎng)絡(luò)函數(shù)網(wǎng)絡(luò)零狀態(tài)響應的象函數(shù)R(s)與激勵對象函數(shù)E(s)之比，用H(s)表示，叫網(wǎng)絡(luò)函數(shù).E(s)H
(s)
=
R(s)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的六種類型:US(s)I1(s)NU1(s)IS(s)NUS
(s)輸入導納H
(s)=I1
(s)IS
(s)輸入阻抗H
(s)=U1
(s)策動點函數(shù)US
(s)轉(zhuǎn)移電壓比H
(s)=U
2
(s)IS
(s)轉(zhuǎn)移電流比H
(s)=I
2
(s)US(s)NU2(s)IS(s)NI2(s)US
(s)轉(zhuǎn)移導納H
(s)=I
2
(s)IS
(s)轉(zhuǎn)移阻抗H
(s)=U
2
(s)IS(s)NU2(s)US(s)NI2(s)例圖求為低通濾波器電路。若激勵是e(t)，響應是
i1(t)、u2(t)，試求網(wǎng)絡(luò)函數(shù).解212運算電路圖如圖所示。1整理后得：s
2
R2
LC
+
s(
R1
R2C
+
L)
+
(
R1
+
R2
)sR2C
+
1H
(s)
=22111
-1R2
+1
sC
R2
·
sC
=
Y
(s)
=
R1
+
sL
+I1
(s)H
(s)
=E(s)2211E(s)H
(s)
=
U
2
(s)s
2
R2
LC
+
s(
R1
R2C
+
L)
+
(
R1
+
R2
)R2=又R2
+
sCsCRsCRsCR1·
1+
1·
121R
+
sL
+22=二、網(wǎng)絡(luò)函數(shù)與沖擊響應若網(wǎng)絡(luò)的激勵是δ(t)，其零狀態(tài)響應是沖激響應h(t)。此時，網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為：即或三、從網(wǎng)絡(luò)函數(shù)看電路的動態(tài)特性以二階電路為例說明，進而可以推廣到一般情況。dtdt
2d2
uC
duCa0
+
a1
+
a2
uC
=
e(t
)(1)
其對應的特征方程為：(2)
將微分方程兩邊取拉氏變換，有則，網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為：比較特征方程和網(wǎng)絡(luò)函數(shù)可以看出，網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的分母為零，即為特征方程。四、網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的零極度點及其分布n n-1
1
0b
sn
+
b
sn-1
+
+
b s
+
bH
(s)
=
=D(s)N
(s)
am
sm
+
am
-1
sm
-1
+
+
a1
s
+
a0(s
-
s1
)(s
-
s2
)(s
-
sn
)H
0
(s
-
Z1
)(s
-
Z
2
)(s
-
Zm
)=其中bnH
=
am0分子為零得到的根Z1,Z2,…,Zm
為網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的零點.分母為零得到的根s1,s2,…,sm
為網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點。下面討論極點分布對動態(tài)過程的影響。ajw0th(t)s
=σ1>00th(t)s
=σ2<00th(t)0th(t)s
=
j
ω3s=0s
=
-j
ω3σ4s
=
σ4+
jω4s
=
σ4
-
jω4jω4-jω40th(t)5s
=σ
+
jωs
=σ5+
jω5σ5jω5-jω50t5h(t)t五、卷積定理在復頻域分析中的應用時域分析時的卷積定理：r(t
)
=
0
e(l)h(t
-
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