概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教師:概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教材：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》第三版王松桂等編

科學(xué)出版社參考書：1.《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》浙江大學(xué)盛驟等編高等教育出版社2.《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》魏振軍編中國統(tǒng)計(jì)出版社概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)序言?概率論是研究什么的？概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

人們所觀察到的現(xiàn)象大體上分成兩類：

1.確定性現(xiàn)象或必然現(xiàn)象

事前可以預(yù)知結(jié)果的：即在某些確定的條件滿足時(shí)，某一確定的現(xiàn)象必然會(huì)發(fā)生，或根據(jù)它過去的狀態(tài)，完全可以預(yù)知其將來的發(fā)展?fàn)顟B(tài)。

2.偶然性現(xiàn)象或隨機(jī)現(xiàn)象事前不能預(yù)知結(jié)果：即在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，每次所得到的結(jié)果未必相同，或即使知道它過去的狀態(tài)，也不能肯定它將來的狀態(tài)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

隨機(jī)現(xiàn)象特點(diǎn)：不確定性與統(tǒng)計(jì)規(guī)律性概率論——研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的科學(xué)研究方式：從數(shù)量的側(cè)面研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律（通過數(shù)據(jù)去研究）“八月十五云遮月，正月十五雪打燈”概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論起源

概率統(tǒng)計(jì)是一門古老的學(xué)科，它起源于十七世紀(jì)資本主義上升的初期。物質(zhì)生活的豐富，人們開始重視精神娛樂。在橋牌活動(dòng)中，經(jīng)常要判斷某種花色在對方手中的分配；在擲色子中，要判斷哪點(diǎn)出現(xiàn)的次數(shù)最多。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)正是從研究這類問題開始的。

盡管發(fā)展較早，但形成一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科是在本世紀(jì)三十年代，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫奇洛夫給出了概率的公理化定義后，才得以迅速發(fā)展。隨著計(jì)算機(jī)的問世，六十年代后，形成了許多新的統(tǒng)計(jì)分支：時(shí)間序列分析，統(tǒng)計(jì)推斷等等。目前它幾乎遍及所有的學(xué)科技術(shù)領(lǐng)域。

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一章隨機(jī)事件1.1基本概念1.1.1隨機(jī)試驗(yàn)與事件1.1.2隨機(jī)事件及其運(yùn)算

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.1.1隨機(jī)試驗(yàn)與事件隨機(jī)試驗(yàn)（試驗(yàn)）的特點(diǎn)：1.可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；2.每次試驗(yàn)之前無法確定具體是哪種結(jié)果出現(xiàn)，但能確定所有的可能結(jié)果。試驗(yàn)常用“E”表示概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)E1:擲一顆骰子，觀察所擲的點(diǎn)數(shù)是幾;E2

：工商管理部門抽查產(chǎn)品是否合格；E3:觀察某城市某個(gè)月內(nèi)交通事故發(fā)生的次數(shù);E4

：已知物體長度在a和b之間，測量其長度；E5:對某只燈泡做試驗(yàn),觀察其使用壽命;E6:對某只燈泡做試驗(yàn),觀察其使用壽命是否小于200小時(shí)。（隨機(jī)）試驗(yàn)的例子概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)樣本空間：試驗(yàn)的所有可能結(jié)果所組成的集合稱為樣本空間。記為：樣本點(diǎn):試驗(yàn)的單個(gè)結(jié)果或樣本空間的單元素稱為樣本點(diǎn)。

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)E1:擲一顆骰子，觀察所擲的點(diǎn)數(shù)是幾;E2

：工商管理部門抽查產(chǎn)品是否合格；{合格品，不合格品}E3:觀察某市某月內(nèi)交通事故發(fā)生的次數(shù);E4：物體長度在a和b之間，測量其長度；E5:對某只燈泡做試驗(yàn),觀察其使用壽命;E6:對某只燈泡做試驗(yàn),觀察其使用壽命是否小于200小時(shí)。{小于200小時(shí)，不小于200小時(shí)}（隨機(jī)）試驗(yàn)的例子概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)事件：樣本空間的任意一個(gè)子集稱為隨機(jī)事件,簡稱“事件”.記作A、B、C。任何事件均可表示為樣本空間的某個(gè)子集.基本事件：一個(gè)隨機(jī)事件只含有一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果。事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果是子集A中的元素。兩個(gè)特殊事件:必然事件：樣本空間包含了所有的樣本點(diǎn)，且是自身的一個(gè)子集，在每次試驗(yàn)中總是發(fā)生。不可能事件

：不包含任何的樣本點(diǎn)，也是樣本空間的一個(gè)子集，在每次試驗(yàn)中總不發(fā)生。注意：樣本點(diǎn)和基本事件的區(qū)別。

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

解：

為基本事件

例1.1.1擲一顆色子，用表示所擲點(diǎn)數(shù)。B表示“偶數(shù)點(diǎn)”，C表示“奇數(shù)點(diǎn)”，D表示“四點(diǎn)或四點(diǎn)以上”。寫出樣本空間，指出哪些是基本事件，表示B，C，D。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.1.2、事件的關(guān)系與運(yùn)算

既然事件是一個(gè)集合，因此有關(guān)事件間的關(guān)系、運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則也就按集合間的關(guān)系、運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則來處理。

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

是試驗(yàn)E的樣本空間，A，B，C是事件1.包含關(guān)系：“

事件A發(fā)生必有事件B發(fā)生”記為AB，稱A包含于B。A＝BAB且BA.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)2.和事件：“事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生”，記作AB推廣：n個(gè)事件A1,A2,…,An至少有一個(gè)發(fā)生，記作概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)3.積事件:事件A與事件B同時(shí)發(fā)生，記作

AB＝ABA和B的公共部分推廣：n個(gè)事件A1,A2,…,An同時(shí)發(fā)生，記作

A1A2…An概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

互斥的事件（也稱互不相容事件）：

即事件A與事件B不可能同時(shí)發(fā)生。AB＝

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)4.差事件：A－B稱為A與B的差事件,表示事件A發(fā)

生而事件B不發(fā)生A去除A和B的公共部分概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

互逆的事件：

AB＝,且AB＝

注意：對立一定互斥，互斥不一定對立概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)事件的運(yùn)算1、交換律：AB＝BA，AB＝BA2、結(jié)合律：(AB)C＝A(BC)，

(AB)C＝A(BC)3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)，

(AB)C＝(AC)(BC)4、對偶(DeMorgan)律：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)例：甲、乙、丙三人各向目標(biāo)射擊一發(fā)子彈，以A、B、C分別表示甲、乙、丙命中目標(biāo)，試用A、B、C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)某人向目標(biāo)射擊，以A表示事件“命中目標(biāo)”，P（A）=？考慮事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生可能性的大小的數(shù)字度量—概率。?

1.2事件的概率概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)定義1.2.1

在相同條件下，事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生m次，則稱比值m/n稱為事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率，記為fn(A).

1.2.1事件的頻率頻率的性質(zhì)：(1)非負(fù)性；0

fn(A)1；(2)規(guī)范性：fn()＝1；fn()=0(3)可加性：若AB＝

，則

fn(AB)＝fn(A)＋fn(B).注意：稱為“n次試驗(yàn)發(fā)生的頻率”，是因?yàn)殡S著n的取值不同，fn(A)的值有可能不同。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)歷史上曾有人做過試驗(yàn),試圖證明拋擲勻質(zhì)硬幣時(shí)，出現(xiàn)正反面的機(jī)會(huì)均等。實(shí)驗(yàn)者nnHfn(H)DeMorgan204810610.5181Buffon404020480.5069K.Pearson1200059810.4984K.Pearson24000120120.5005

從表中不難發(fā)現(xiàn)：事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率具有隨機(jī)波動(dòng)性。當(dāng)n較小時(shí)，波動(dòng)的幅度較大；當(dāng)n較大時(shí)，波動(dòng)的幅度較大；最后隨著n的逐漸增大，頻率fn(A)逐漸穩(wěn)定于固定值0.5.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

實(shí)踐證明：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n增大時(shí)，fn(A)逐漸趨向一個(gè)穩(wěn)定值?？蓪⒋朔€(wěn)定值記作P(A)，作為事件A的概率。但是在一定條件下做重復(fù)試驗(yàn)，其結(jié)果可能不同；并且沒有必要，不可能對每個(gè)事件都做大量的試驗(yàn)，從中得到頻率的穩(wěn)定值。

我們從頻率的性質(zhì)出發(fā)，給出度量事件發(fā)生的可能性大小的量—概率的定義及性質(zhì)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.2.2.概率的公理化定義定義1.2.2

若對隨機(jī)試驗(yàn)E所對應(yīng)的樣本空間中的每一事件A，定義一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)與之對應(yīng)，集合函數(shù)P(A)滿足條件：(1)非負(fù)性：

P(A)≥0；(2)規(guī)范性：P()＝1； (3)可列可加性：若事件A1，A2，…,兩兩互斥，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,有

P(A1

A2

…

)＝P(A1)＋P(A2)+….則稱P(A)為事件A的概率。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率的性質(zhì)：(1)

P(Φ)=0

；

(2)有限可加性：設(shè)事件A1，A2，…An

兩兩斥，即AiAj＝

，(ij),i,j＝1,2,…,n,則有

P(A1

A2

…

An)＝P(A1)＋P(A2)+…P(An);(3)互補(bǔ)性：P(A)＝1－P(A);(4)單調(diào)不減性：若事件

，則P(B-A)=P(B)-P(A)，P(B)≥P(A)注意：一般情況下，

P(B-A)=P(B)-P(AB)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(5)加法公式：對任意兩事件A、B，有

P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(AB)該公式可推廣到任意n個(gè)事件A1，A2，…，An的情形；(6)可分性：對任意兩事件A、B，有

P(A)＝P()＋P(AB).

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)某市有甲,乙,丙三種報(bào)紙,訂每種報(bào)紙的人數(shù)分別占全體市民人數(shù)的30%,其中有10%的人同時(shí)定甲,乙兩種報(bào)紙.沒有人同時(shí)訂甲乙或乙丙報(bào)紙.求從該市任選一人,他至少訂有一種報(bào)紙的概率.EX解:設(shè)A,B,C分別表示選到的人訂了甲,乙,丙報(bào)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)例

在110這10個(gè)自然數(shù)中任取一數(shù)，求（1）取到的數(shù)能被2或3整除的概率，（2）取到的數(shù)即不能被2也不能被3整除的概率，（3）取到的數(shù)能被2整除而不能被3整除的概率。解:設(shè)A={取到的數(shù)能被2整除};B={取到的數(shù)能被3整除}故概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)若某試驗(yàn)E滿足：1.有限性：樣本空間

2.等可能性：則稱E為古典概型也叫等可能概型。1.3古典概型概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

古典概型中的概率的求法:試驗(yàn)E的結(jié)果有有限種：樣本點(diǎn)是有限個(gè):1，…,n

Ω={1}∪{2}∪…∪{n}{i}是基本事件，且各自發(fā)生的概率相等。于是，有1=P(Ω)=P({1}∪{2}∪…∪{n})=P({1})+P({2})+…+P({n})=nP({i}),i=1,2,…,n。從而，

P({i})=1/n，i=1,2,…,n.

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

因此，若事件A包含k個(gè)基本事件，即則概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)例1:擲色子兩次，求兩次之和為7的概率。解：

={(1,1),(1,2),……,(1,6)(2,1),…,……,(6,6)}A={(1,6),(6,1),(2,5)(5,2),(3,4),(4,3)}概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)古典概型的兩類基本問題乘法公式：設(shè)完成一件事需分兩步，第一步有n1種方法,第二步有n2種方法，則完成這件事共有n1n2種方法。（也可推廣到分若干步）加法公式：設(shè)完成一件事可有兩種途徑，第一種途徑有n1種方法，第二種途徑有n2種方法，則完成這件事共有n1+n2種方法。（也可推廣到若干途徑）這兩公式的思想貫穿著整個(gè)概率問題的求解。復(fù)習(xí)：排列與組合的基本概念概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1、抽取問題例2：有外觀相同的三極管6只，按電流放大系數(shù)分類，4只屬甲類，2只屬乙類。

求A={抽到兩只甲類三極管}的概率，按下列三種方案抽取三極管兩只：(1).隨機(jī)抽兩只；(2).無放回抽兩只；(3).有放回抽兩只。

解：

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)例3：有外觀相同的三極管6只，按電流放大系數(shù)分類，4只屬甲類，2只屬乙類。不放回抽兩只。求下列事件的概率：B={抽到兩只同類},C={至少抽到一只甲類},D={抽到兩只不同類}。解：B={甲甲}∪{乙乙}（兩種情況互斥）C={乙乙}的補(bǔ)事件，D是B的補(bǔ)事件，

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

例4有外觀相同的三極管6只，按電流放大系數(shù)分類，4只屬甲類，2只屬乙類。有放回抽5次，求E={恰有2次抽到甲}的概率。解：

延伸到一般：設(shè)N件產(chǎn)品中有K件甲類（次品），N-K件乙類（正品）,K<N。有放回抽檢產(chǎn)品n次（n和N無關(guān)）。求事件A={所取產(chǎn)品中恰有k件甲類（次品）}的概率。例1.3.7概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)在實(shí)際中，產(chǎn)品的檢驗(yàn)、疾病的抽查、農(nóng)作物的選種等問題均可化為隨機(jī)抽球問題。我們選擇抽球模型的目的在于是問題的數(shù)學(xué)意義更加突出，而不必過多的交代實(shí)際背景。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)2、分球入盒問題例5：將3個(gè)球隨機(jī)的放入3個(gè)盒子中去，問：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？解:設(shè)A:每盒恰有一球,B:空一盒概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)一般地，把n個(gè)球隨機(jī)地分配到m個(gè)盒子中去(nm)，則每盒至多有一球的概率是：某班級有n個(gè)人(n365)，問至少有兩個(gè)人的生日在同一天的概率有多大？?概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

例6（生日問題）：某人群有n個(gè)人，他們中至少有兩人生日相同的概率有多大？設(shè)每個(gè)人在一年(按365天計(jì))內(nèi)每天出生的可能性都相同，現(xiàn)隨機(jī)地選取n(n≤365)個(gè)人，則他們生日各不相同的概率為

故n個(gè)人中至少有兩人生日相同的概率為1-P(A)。打開書P12，可看到表1.3。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

從上表可以看出:在40人左右的人群里,十有八九會(huì)發(fā)生{兩人或兩人以上生日相同}這一事件。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)3隨機(jī)取數(shù)問題例7

從1到200這200個(gè)自然數(shù)中任取一個(gè),(1)求取到的數(shù)能被6整除的概率(2)求取到的數(shù)能被8整除的概率(3)求取到的數(shù)既能被6整除也能被8整除的概率解:n=200,k(3)=[200/24]=8k(1)=[200/6]=33,k(2)=[200/8]=25(1),(2),(3)的概率分別為:33/200,1/8,1/25概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

在實(shí)際問題中，除了要考慮某事件A的概率P(A)外，還要考慮已知事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率稱為B條件下A的條件概率，記作P(A|B)？

1.4條件概率一般情況下，P(A|B)≠P(A)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)例1.4.1

100件產(chǎn)品中有5件不合格品，而5件不合格品中又有3件是次品，2件是廢品?，F(xiàn)從100件產(chǎn)品中任意抽取一件，假定每件產(chǎn)品被抽到的可能性都相同，求(1).抽到的產(chǎn)品是次品的概率；(2).在抽到的產(chǎn)品是不合格品條件下,產(chǎn)品是

次品的概率。解：設(shè)A={抽到的產(chǎn)品是次品}，

B={抽到的產(chǎn)品是不合格品}。(1).

按古典概型計(jì)算公式，有

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

(2).

由于5件不合格品中有3件是次品，故可得可見，P(A)≠P(A|B)。雖然P(A)

與P(A|B)

不同，但二者之間存在什么關(guān)系呢?先來計(jì)算P(B)和P(AB)。

因?yàn)?00件產(chǎn)品中有5件是不合格品，所以P(B)=5/100。而P(AB)表示事件“抽到的產(chǎn)品是不合格品、又是次品”的概率，再由100件產(chǎn)品中只有3件即是不合格品又是次品，得P(AB)=3/100。通過簡單運(yùn)算，得概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)受此啟發(fā)，定義1.4.1設(shè)A和B是兩個(gè)事件，且P(B)＞0，稱

稱為事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率。顯然，若事件A、B是古典概型的樣本空間中的兩個(gè)事件，其中B含有nB個(gè)樣本點(diǎn),AB含有nAB個(gè)樣本點(diǎn)，則P(A|B)表示AB事件在事件B中所占的比例。這樣就把樣本空間縮小到事件B中考慮。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)?“條件概率”是“概率”嗎？條件概率P(.|B）滿足概率定義中的三個(gè)條件：P(A|B)≥0，對每個(gè)事件A；P(Ω)＝1;(3）設(shè)A1，A2，…,是一列兩兩斥的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,有

P（(A1

A2

…

)|B）＝P(A1|B)＋P(A2|B)+….

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)例1.4.2

有外觀相同的三極管6只，按電流放大系數(shù)分類,4只屬甲類,兩只屬乙類。不放回地抽取三極管兩次,每次只抽一只。求在第一次抽到是甲類A1A2={兩次抽三極管的條件下,第二次又抽到甲類三極管的概率。解:記Ai={第i次抽到的是甲類三極管},i=1,2,

A1A2=

{

兩次抽到的都是甲類三極管},由第2講中的例1.3.3，可知

再由P(A1)=4/6=2/3，得概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

1.4.3

乘法公式設(shè)A、B

，P（A）>0,P(B)>0時(shí)，則

P(AB)＝P(A)P(B|A).P(AB)＝P(B)P(A|B).稱為事件A、B的概率乘法公式。還可推廣到三個(gè)事件的情形：

P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB).

一般地，有下列公式：

P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1).

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

例1.4.3:

一批燈泡共100只，其中10只是次品，其余為正品，作不放回抽取，每次取一只，求:第三次才取到正品的概率。

解：設(shè)Ai={第

i

次取到正品},i=1,2,3。

A

={第三次才取到正品}。則:

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

例

10個(gè)紙團(tuán)有3個(gè)獎(jiǎng)，10個(gè)人各抽1個(gè)（無放回的抽），Ai={第i個(gè)人抽中獎(jiǎng)}。則

(3)B={前2個(gè)人都抽中獎(jiǎng)}

（抽中獎(jiǎng)的概率與次序無關(guān)）(2)A={前2個(gè)人都沒抽中獎(jiǎng)}(4)C={前兩個(gè)人恰有一個(gè)抽中獎(jiǎng)}可見:P(B)+P(C)+P(D)=1概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

把要考慮的事件化為要考慮事件與若干個(gè)兩兩互斥事件的交事件的并來考慮.

(5)D={第2個(gè)人抽中獎(jiǎng)}(第1人可能抽中也可能不中)==(6)E={第3個(gè)人抽中獎(jiǎng)}概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.4.3全概率公式定義1.4.2

事件組B1，B2，…，Bn(n可為)，稱為樣本空間的一個(gè)劃分，若滿足：定理1.4.1設(shè)B1，…,Bn是的一個(gè)劃分，且P(Bi)>0，(i＝1，…，n)，則對任何事件A有

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

它的理論和實(shí)用意義在于:在較復(fù)雜情況下，直接計(jì)算P(A)不容易,但總可以適當(dāng)?shù)貥?gòu)造一組兩兩互斥的Bi,使A伴隨著某個(gè)Bi的出現(xiàn)而出現(xiàn)，且每個(gè)P(ABi

)容易計(jì)算?？捎盟蠵(ABi

)之和計(jì)算P(A).概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)例1.4.5：一批同型號的螺釘由編號為I,II,III的三臺機(jī)器共同生產(chǎn)。各臺機(jī)器生產(chǎn)的螺釘占這批螺釘?shù)谋壤謩e為35%,40%,25%。各臺機(jī)器生產(chǎn)的螺釘?shù)拇纹仿史謩e為3%,2%和1%。求該批螺釘中的次品率。

解：設(shè)A={螺釘是次品},

B1={螺釘由I號機(jī)器生產(chǎn)},

B2={螺釘由II號機(jī)器生產(chǎn)},

B3={螺釘由III號機(jī)器生產(chǎn)}。則概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)P(B1)=0.35，P(B2)=0.40，P(B3)=0.25,P(A|B1)=0.03，P(A|B2)=0.02，P(A|B3)=0.01。由全概率公式，得概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

思考：上例中，若已知取到的是次品，則求是第I臺機(jī)器生產(chǎn)的概率是多少？概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)定理1.4.2設(shè)B1，…,Bn是Ω的一個(gè)劃分，且P(Bi)>0，(i＝1，…，n)，則對任何事件AΩ，有

稱為貝葉斯公式。1.4.4貝葉斯公式概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)條件概率條件概率小結(jié)縮減樣本空間定義式乘法公式全概率公式貝葉斯公式概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.5事件的獨(dú)立性

兩事件獨(dú)立

定義1.5.1設(shè)A、B是兩事件，P(A)≠0,若

P(B)＝P(B|A)則稱事件A與B相互獨(dú)立。表明事件B的發(fā)生不影響A的發(fā)生。等價(jià)于：

P(AB)=P(A|B)P(B)＝P(A)P(B)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)例1：從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記A={抽到K

},B={抽到黑色的牌}。問事件A,B是否獨(dú)立？解：由于P(A)=4/52=1/13,

P(B)=26/52=1/2，

P(AB)=2/52=1/26故,P(AB)=P(A)P(B).這說明事件A,B獨(dú)立。

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)思考：互斥和獨(dú)立之間的聯(lián)系：

若A、B互斥，且P(A)>0,P(B)>0,則A與B不獨(dú)立。P(AB)=0，P(A)≠0,P(B)≠0,P(AB)≠P(A)P(B)

其逆否命題是：若A與B獨(dú)立，且P(A)>0,P(B)>0,則A與B一定不互斥。

請問：能否在樣本空間Ω中找到兩個(gè)事件，它們既相互獨(dú)立又互斥?

所以，Φ與Ω獨(dú)立且互斥。不難發(fā)現(xiàn):

Φ(或Ω)與任何事件都獨(dú)立?？梢愿怕收撆c數(shù)理統(tǒng)計(jì)定理1.5.1以下四件事等價(jià)：(1)事件A、B相互獨(dú)立；(2)事件A、B相互獨(dú)立；(3)事件A、B相互獨(dú)立；(4)事件A、B相互獨(dú)立。證明:

僅證A與B獨(dú)立。P(A

B)=P(A－A

B)=P(A)－P(AB)

=P(A)－P(A)P(B)

=P(A)[1－P(B)]

=P(A)P(B),概率的性質(zhì)A與B獨(dú)立概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)多個(gè)事件相互獨(dú)立定義1.5.2設(shè)A1，A2，…，An是n個(gè)事件，如果對任意k(1kn),任意的1i1i2…

ik

n，具有等式

P(Ai1Ai2…Aik)＝P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik)

則稱n個(gè)事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立。對于三個(gè)事件A,B,C，若

P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C),

P(BC)=P(B)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

個(gè)等式同時(shí)成立，稱事件A,B,C相互獨(dú)立。n個(gè)事件相互獨(dú)立要滿足等式的個(gè)數(shù)為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)事件獨(dú)立性的應(yīng)用在可靠性理論上的應(yīng)用例

如圖，1、2、3、4、5表示繼電器觸點(diǎn),假設(shè)每個(gè)觸點(diǎn)閉合的概率為p,且各繼電器接點(diǎn)閉合與否相互獨(dú)立，求L至R是通路的概率。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)設(shè)A---L至R為通路,Ai---第i個(gè)繼電器通,i=1,2,…5由全概率公式概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)例1.5.2

驗(yàn)收100件產(chǎn)品方案如下，從中任取3件進(jìn)行獨(dú)立測試，如果至少有一件被斷定為次品，則拒絕接收此批產(chǎn)品。設(shè)一件次品經(jīng)測試后被斷定為次品的概率為0.95，一件正品經(jīng)測試后被斷定為正品的概率為0.99，并知這100件產(chǎn)品恰有4件次品。求該批產(chǎn)品能被接收的概率。

解:

設(shè)A={該批產(chǎn)品被接收}，

Bi={取出3件產(chǎn)品中恰有i件是次品}，

i=0,1,2,3。則概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)因三次測試相互獨(dú)立，故

P(A|B0)=0.993，

P(A|B1)=0.992(1-0.95),P(A|B2)=0.99(1-0.95)2,P(A|B3)=(1-0.95)3。

由全概率公式,得概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)例1.5.3

若干人獨(dú)立地向一移動(dòng)目標(biāo)射擊,每人擊中目標(biāo)的概率都是0.6。求至少需要多少人,才能以0.99以上的概率擊中目標(biāo)?解：設(shè)至少需要

n個(gè)人才能以0.99以上的概率擊中目標(biāo)。

令A(yù)={目標(biāo)被擊中},Ai={第i人擊中目標(biāo)},i=1,2,…,n。則A1,A2,…,An相互獨(dú)立。故，

也相互獨(dú)立。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)因

A=A1∪A2∪…∪An，得P(A)=

P(A1∪A2∪…∪An)問題化成了求最小的n,使1-0.4n>0.99。解不等式，得概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一章小結(jié)本章由六個(gè)概念（隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間、事件、概率、條件概率、獨(dú)立性），四個(gè)公式（加法公式、乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式）和一個(gè)概型（古典概型）組成概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章隨機(jī)變量隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量的函數(shù)的分布概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

2.1隨機(jī)變量的定義關(guān)于隨機(jī)變量(及向量)的研究，是概率論的中心內(nèi)容．這是因?yàn)?，對于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們所關(guān)心的往往是與所研究的特定問題有關(guān)的某個(gè)或某些量，而這些量就是隨機(jī)變量．也可以說：隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象，而隨機(jī)變量則是一種動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)，一如數(shù)學(xué)分析中的常量與變量的區(qū)分那樣．變量概念是高等數(shù)學(xué)有別于初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念．同樣，概率論能從計(jì)算一些孤立事件的概念發(fā)展為一個(gè)更高的理論體系，其基礎(chǔ)概念是隨機(jī)變量概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

在實(shí)際問題中，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可用數(shù)量來表示:一方面，有些試驗(yàn)，其結(jié)果與數(shù)有關(guān)(試驗(yàn)結(jié)果就是一個(gè)數(shù))；另一方面，有些試驗(yàn)，其結(jié)果看起來與數(shù)值無關(guān)，但可引進(jìn)一個(gè)變量來表示試驗(yàn)的各種結(jié)果。

即,

試驗(yàn)結(jié)果可以數(shù)量化。從而轉(zhuǎn)化到數(shù)域上去考慮問題,就可以把高數(shù)中的思想概念應(yīng)用過來.

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)定義2.1.1.

設(shè)Ω={ω}是試驗(yàn)的樣本空間，如果對每個(gè)ω∈Ω,總有一個(gè)實(shí)數(shù)X(ω)與之對應(yīng)，則稱Ω上的實(shí)值函數(shù)X(ω)為E的一個(gè)隨機(jī)變量。隨機(jī)變量常用X、Y、Z或、、等表示。顧名思義，隨機(jī)變量就是“其值隨機(jī)會(huì)而定”的變量，正如隨機(jī)事件是“其發(fā)生與否隨機(jī)會(huì)而定”的事件．一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有許多可能的結(jié)果，到底出現(xiàn)哪一個(gè)要看機(jī)會(huì)，即有一定的概率．最簡單的例子如擲骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，它可以取1，…，6等6個(gè)值．到底是哪一個(gè)，要等擲了骰子以后才知道．因此又可以說，隨機(jī)變量就是試驗(yàn)結(jié)果的函數(shù).概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上重大的事件。引入隨機(jī)變量后，對隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究，就由對事件及事件概率的研究擴(kuò)充到對隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)請舉幾個(gè)實(shí)際中隨機(jī)變量的例子

在投籃試驗(yàn)中，用{0}表示投籃未中，{1}表示罰籃命中，{3}表示三分線外遠(yuǎn)投命中，{2}表示三分線內(nèi)投籃命中。2.在擲硬幣試驗(yàn)中，用{1}表示帶國徽或人頭的一面朝上，{0}表示另一面朝上.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)請舉幾個(gè)實(shí)際中隨機(jī)變量的例子

3.一部電梯一年內(nèi)出現(xiàn)故障的次數(shù)…。

用{ωi}={電梯一年內(nèi)發(fā)生i次故障},i=0,1,…

樣本空間Ω={ωi，ｉ=0,1,2,…}

令X(ωi)=i,i=0,1,2…X（ω）的值域?yàn)閧0,1,2，…}4.用X表示單位時(shí)間內(nèi)某信號臺收到呼叫的次數(shù)，則X是一個(gè)隨機(jī)變量。事件

{收到呼叫}?{X≥1}；{沒有收到呼叫}?{X=0}概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)變量所有取值可以逐個(gè)列舉全部可能取值不僅有無窮多，而且不能一一列舉，充滿某些區(qū)間。2.2離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量的分類例如：“取到次品的個(gè)數(shù)”，“收到的呼叫數(shù)”等例如：“電視機(jī)的使用壽命”，實(shí)際中常遇到的“測量誤差”等。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)定義若隨機(jī)變量X取值x1,x2,…,xn,…且取這些值的概率依次為p1,p2,…,pn,…,則稱X為離散型隨機(jī)變量，而稱P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)

為X的分布律或概率分布。可表為

X～P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)，也可用表格形式給出：X

x1 x2

…

xK …

Pk p1 p2 … pk …2.2.1離散型隨機(jī)變量的概率分布概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(1)pk0,k＝1,2,…;(2)

例1

設(shè)袋中有5只球，其中有2只白3只黑。現(xiàn)從中任取3只球(不放回)，求抽得的白球數(shù)X為k的概率。解

k可取值0，1，2

分布律的性質(zhì)用這兩條性質(zhì)判斷一個(gè)數(shù)列是否是概率分布。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)例2

設(shè)隨機(jī)變量

X的概率分布為確定常數(shù)a。解：依據(jù)概率分布的性質(zhì)欲使上述數(shù)列為概率分布，應(yīng)有概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)從中解得這里用到了冪級數(shù)展開式概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

例2.2.1：如上圖所示,電子線路中裝有兩個(gè)并聯(lián)繼電器。設(shè)這兩個(gè)繼電器是否接通具有隨機(jī)性，且彼此獨(dú)立。已知各電器接通的概率為0.8，記X為線路中接通的繼電器的個(gè)數(shù)。求

(1).X

的概率分布；(2).線路接通的概率。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

解：(1).記Ai={第

i個(gè)繼電器接通},i=1,2.因兩個(gè)繼電器是否接通是相互獨(dú)立的,所以A1和A2相互獨(dú)立，且

P(A1)=P(A2)=0.8.下面求

X

的概率分布:首先，X可能取的值為:0,1,2.

P{X=0}

=

P{表示兩個(gè)繼電器都沒接通}概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

P{X=1}

=

P{恰有一個(gè)繼電器接通}P{X=2}

=

P{兩個(gè)繼電器都接通}概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

所以，X的分布律為(2).

因線路是并聯(lián)電路，所以P(線路接通)=P(只要一個(gè)繼電器接通)

=P{X≥1}

=P{X=1}+P{X=2}=0.32+0.64=0.96.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)2.2.2常用的離散型分布1.(0-1)分布，兩點(diǎn)分布

設(shè)

E

是一個(gè)只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn),用Ω={1,2}表示其樣本空間。

P({1})=p,P({2})=1-p.則稱X服從參數(shù)p的（0－1）分布（或兩點(diǎn)分布）,記成X～B(1,p)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)例2.2.2

200件產(chǎn)品中，有196件正品，4件次品，今從中隨機(jī)地抽取一件，若規(guī)定則P{X=1}=196/200=0.98,

P{X=0}=4/200=0.02.故X服從參數(shù)為0.98的兩點(diǎn)分布，即X～B(1,0.98)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)若以X表示n重貝努里試驗(yàn)事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布。

記作X~B（n,p)

其分布律為：2.二項(xiàng)分布定義

設(shè)試驗(yàn)E只有兩個(gè)結(jié)果，記p=P（A），將試驗(yàn)E獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行n次，則稱這n次試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn).概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)例5：某射手每次射擊時(shí)命中10環(huán)的概率為

p,現(xiàn)進(jìn)行

4

次獨(dú)立射擊，求{恰有

k

次命中10環(huán)}的概率。解：用X表示

4

次射擊后,命中10環(huán)的次數(shù),則其中“×”表示未中，“○”表示命中。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)易見：X的概率分布為推廣到n次獨(dú)立射擊，即可得概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)伯努利概型對試驗(yàn)結(jié)果有下述要求：

(1).每次試驗(yàn)條件相同；二項(xiàng)分布描述的是：n重伯努利試驗(yàn)中,事件A發(fā)生的次數(shù)

X

的概率分布。(3).各次試驗(yàn)相互獨(dú)立。(2).每次試驗(yàn)只考慮兩個(gè)互逆結(jié)果

A

或,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)例2.2.4

已知某類產(chǎn)品的次品率為0.2，現(xiàn)從一大批這類產(chǎn)品中隨機(jī)地抽查20件,問恰有k件次品的概率是多少？解:

設(shè)X為20件產(chǎn)品中次品的個(gè)數(shù)，則X~b(20,0.2)，這是不放回抽取，但抽取的數(shù)量比產(chǎn)品的數(shù)量小很多，故可當(dāng)不放回抽取概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)則有20件產(chǎn)品中恰有k件次品的概率分布表教材30頁表2.1概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

下面我們研究二項(xiàng)分布

b(n,p)

和兩點(diǎn)分布b(1,p)之間的一個(gè)重要關(guān)系。

設(shè)試驗(yàn)

E

只有兩個(gè)結(jié)果:A

和

。將試驗(yàn)

E

在相同條件下獨(dú)立地進(jìn)行

n

次，記

X

為

n

次獨(dú)立試驗(yàn)中A出現(xiàn)的次數(shù)。描述第i

次試驗(yàn)的隨機(jī)變量記作Xi,則Xi

～

b(1,p)，且X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立(隨機(jī)變量相互獨(dú)立的嚴(yán)格定義將在第三章講述)。則有X=X1+X2+…

+Xn

.這表明：一個(gè)服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量可以表示成n個(gè)相互獨(dú)立的服從兩點(diǎn)分布的隨機(jī)變量之和。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)設(shè)隨機(jī)變量

X

所有可能取的值為:0,1,2,…,概率分布為：3.泊松分布其中λ>0為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，記為X~P（λ）。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)例某一無線尋呼臺，每分鐘收到尋呼的次數(shù)X服從參數(shù)=3的泊松分布。求：

(1).一分鐘內(nèi)恰好收到3次尋呼的概率；

(2).一分鐘內(nèi)收到2至5次尋呼的概率。.解:

(1).P{X=3}=P(3;3)=(33/3!)e-3≈0.2240；

(2).P{2≤X≤5}=P{X=2}+P{X=3}+P{X=4}+P{X=5}=[(32/2!)+(33/3!)+(34/4!)+(35/5!)]e-3

≈0.7169.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)解:例2.2.6

某一城市每天發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)

X

服從參數(shù)為0.8的泊松分布。求該城市一天內(nèi)發(fā)生

3

次以上火災(zāi)的概率。

P{X≥3}=1-P{X<3}=1-(P{X=0}+P{X=1}+P{X=2})=1-((0.80/0!)+(0.81/1!)+(0.82/2!))e-0.8≈0.0474.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)歷史上，泊松分布是作為二項(xiàng)分布的近似，于1837年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入的。二項(xiàng)分布與泊松分布的關(guān)系

定理(泊松定理):對二項(xiàng)分布

B(n,p),當(dāng)

n充分大,p又很小時(shí),對任意固定的非負(fù)整數(shù)

k，有近似公式概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)泊松定理表明，泊松分布是二項(xiàng)分布的極限分布，當(dāng)n很大，p很小時(shí)，二項(xiàng)分布就可近似地看成是參數(shù)=np的泊松分布概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)例2.2.5某出租汽車公司共有出租車400輛，設(shè)每天每輛出租車出現(xiàn)故障的概率為0.02，求:一天內(nèi)沒有出租車出現(xiàn)故障的概率。解:

將觀察一輛車一天內(nèi)是否出現(xiàn)故障看成一次試驗(yàn)E。因?yàn)槊枯v車是否出現(xiàn)故障與其它車無關(guān),于是,觀察400輛出租車是否出現(xiàn)故障就是做400次伯努利試驗(yàn)。設(shè)

X

表示一天內(nèi)出現(xiàn)故障的出租車數(shù),則X

～

b(400,0.02)。令=np=400×0.02=8，于是,

P{一天內(nèi)沒有出租車出現(xiàn)故障}=P{X=0}=b(0;400,0.02)=

0.98400

=0.000309

≈(80/0!)e-8=0.0003355.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)例設(shè)某國每對夫婦的子女?dāng)?shù)X服從參數(shù)為的泊松分布,且知一對夫婦有不超過1個(gè)孩子的概率為3e-2.求任選一對夫婦,至少有3個(gè)孩子的概率。

解:由題意,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)小結(jié)本節(jié)首先介紹了隨機(jī)變量的基本概念與分類，接著介紹離散型隨機(jī)變量及其概率分布；然后介紹三種常見的離散型概率分布：兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布及其關(guān)系。對于離散型隨機(jī)變量，如果知道了其概率分布，也就知道了它取各個(gè)可能值的概率。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

連續(xù)型隨機(jī)變量

X

所有可能取值充滿若干個(gè)區(qū)間。對這種隨機(jī)變量，不能象離散型隨機(jī)變量那樣,指出其取各個(gè)值的概率，給出概率分布。而是用“概率密度函數(shù)”表示隨機(jī)變量的概率分布。2.3連續(xù)型隨機(jī)變量概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)2.3.1直方圖例2.3.1某工廠生產(chǎn)一種零件，由于生產(chǎn)過程中各種隨機(jī)因素的影響，零件長度不盡相同?，F(xiàn)測得該廠生產(chǎn)的100個(gè)零件長度(單位:mm)如下:129,132,136,145,140,145,147,142,138,144,147,142,137,144,144,134,149,142,137,137,155,128,143,144,148,139,143,142,135,142,148,137,142,144,141,149,132,134,145,132,140,142,130,145,148,143,148,135,136,152,141,146,138,131,138,136,144,142,142,137,141,134,142,133,153,143,145,140,137,142,150,141,139,139,150,139,137,139,140,143,149,136,142,134,146,145,130,136,140,134,142,142,135,131,136,139,137,144,141,136.這100個(gè)數(shù)據(jù)中，最小值是128，最大值是155。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)作頻率直方圖的步驟(1).

先確定作圖區(qū)間[a,b];a=最小數(shù)據(jù)-ε/2，b=最大數(shù)據(jù)+ε/2，ε

是數(shù)據(jù)的精度。本例中

ε

=1,a=127.5,b=155.5。(2).確定數(shù)據(jù)分組數(shù)m=7，

組距d=(b?a)/m，本例d=4，

子區(qū)間端點(diǎn)ti=a+id,i=0,1,···,m；這樣使數(shù)據(jù)不落在區(qū)間的端點(diǎn)上。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(3).

計(jì)算落入各子區(qū)間內(nèi)觀測值頻數(shù)

ni

=#{

xj

∈[ti?1,ti)，j=1,2,···,n}，頻率fi=ni/n，i=1,2,···,m；子區(qū)間頻數(shù)頻率(127.5,131.5)60.06(131.5,135.5)120.12(135.5,139.5)240.24(139.5,143.5)280.28(143.5,147.5)180.18(147.5,151.5)80.08(151.5,155.5)40.04概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(4).以小區(qū)間

[ti-1，ti]為底，yi=fi/d(i=1,2,…,m)為高作一系列小矩形（面積為頻率），組成了頻率直方圖，簡稱直方圖。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)由于概率可以由頻率近似，因此這個(gè)直方圖可近似地刻畫零件長度的概率分布情況。用上述直方圖刻畫隨機(jī)變量X的概率分布情況是比較粗糙的。為更加準(zhǔn)確地刻畫X的概率分布情況，應(yīng)適當(dāng)增加觀測數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù),同時(shí)將數(shù)據(jù)分得更細(xì)一些。當(dāng)數(shù)據(jù)越來越多,分組越來越細(xì)時(shí),直方圖的上方外形輪廓就越來越接近于某一條曲線,這條曲線稱為隨機(jī)變量X的概率密度曲線，可用來準(zhǔn)確地刻畫X的概率分布情況。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)2.3.2概率密度函數(shù)

定義2.3.1若存在非負(fù)可積函數(shù)f(x),使隨機(jī)變量X取值于任一區(qū)間(a,b]的概率可表示成則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這兩條性質(zhì)是判定函數(shù)

f(x)是否為某隨機(jī)變量

X的概率密度函數(shù)的充要條件。密度函數(shù)的性質(zhì)f(x)與

x

軸所圍面積等于1。（非負(fù)性）（歸一性）概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

若x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則=f(x)，(3).對f(x)的進(jìn)一步理解：故,

X的概率密度函數(shù)f(x)在x這一點(diǎn)的值,恰好是X落在區(qū)間[x,x

+△x]上的概率與區(qū)間長度△x之比的極限。這里,如果把概率理解為質(zhì)量，f(x)相當(dāng)于物理學(xué)中的線密度。定積分中值定理平均概率概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(4).連續(xù)型隨機(jī)變量取任意指定值的概率為0.即：a為任意給定值。這是因?yàn)椋焊怕收撆c數(shù)理統(tǒng)計(jì)可見：由P(A)=0,不能推出A=?；◎

對連續(xù)型隨機(jī)變量X,有概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)例

已知隨機(jī)變量X的概率密度為1)試確定k值,2)求P{X0.1}解：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)2.3.3常用的連續(xù)型分布1.均勻分布

若X～f(x)＝則稱X在[a,b]內(nèi)服從均勻分布。記作X~U[a,b]對任意實(shí)數(shù)c,d(a<c<d<b)，都有X落在子區(qū)間[c,d]上的概率僅和區(qū)間長度(d-c)有關(guān)，與位置無關(guān)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)例

長途汽車起點(diǎn)站于每時(shí)的10分、25分、55分發(fā)車，設(shè)乘客不知發(fā)車時(shí)間，于每小時(shí)的任意時(shí)刻隨機(jī)地到達(dá)車站，求乘客候車時(shí)間超過10分鐘的概率1545解：設(shè)A—乘客候車時(shí)間超過10分鐘X—乘客于某時(shí)X分鐘到達(dá)，則XU(0,60)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)2.指數(shù)分布

若X～則稱X服從參數(shù)為>0的指數(shù)分布。指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計(jì)研究中，如元件的壽命服從指數(shù)分布。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)例

電子元件的壽命X(年）服從參數(shù)為3的指數(shù)分布(1)求該電子元件壽命超過2年的概率。(2)已知該電子元件已使用了1.5年，求它還能使用兩年的概率為多少？解概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

正態(tài)分布是實(shí)踐中應(yīng)用最為廣泛，在理論上研究最多的分布之一，故它在概率統(tǒng)計(jì)中占有特別重要的地位。3.正態(tài)分布正態(tài)分布是十九世紀(jì)初，由高斯(Gauss)給出并推廣的一種分布。故，也稱高斯分布。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)正態(tài)分布的定義定義：若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為記作f(x)所確定的曲線叫作正態(tài)曲線。(Normal)其中μ和σ都是常數(shù)，μ任意，σ>0，則稱X服從參數(shù)為μ和σ的正態(tài)分布。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

(1)單峰對稱密度曲線關(guān)于直線x=對稱；

f()＝maxf(x)＝.正態(tài)分布有兩個(gè)特性：另外，當(dāng)x→∞時(shí)，f(x)→0,這說明：曲線f(x)向左右伸展時(shí)，越來越貼近x軸。即f(x)以x軸為漸近線。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

（2）μ決定了圖形的中心位置,σ決定了圖形峰的陡峭程度。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

參數(shù)＝0，2＝1的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作X~N(0,1)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)分布函數(shù)表示為密度函數(shù)表示為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)它的依據(jù)是下面的定理：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。根據(jù)定理2.3.1,只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算問題。定理2.3.1概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)書末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算問題。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表表中給出的是x>0時(shí)，Φ(x)的取值;概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)例2.3.4

假設(shè)某地區(qū)成年男性的身高(單位:cm)X～N(170,7.692),求該地區(qū)成年男性的身高超過

175cm

的概率。解:

根據(jù)假設(shè)X～N(170,7.692)，知事件{X

>175}的概率為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)例

一種電子元件的使用壽命Ｘ（小時(shí)）服從正態(tài)分布Ｎ(100,152),某儀器上裝有3個(gè)這種元件，三個(gè)元件損壞與否是相互獨(dú)立的.求：使用的最初90小時(shí)內(nèi)無一元件損壞的概率.解:設(shè)Y為使用的最初90小時(shí)內(nèi)損壞的元件數(shù),故則Y~B(3,p)，其中正態(tài)分布表概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)解:

設(shè)車門高度為

h

，按設(shè)計(jì)要求P(X≥h)≤0.01，或P(X<h)≥0.99，下面我們來求滿足上式的最小的

h。例2：公共汽車車門的高度是按成年男性與車門頂頭碰頭機(jī)會(huì)在0.01以下來設(shè)計(jì)的。設(shè)某地區(qū)成年男性身高(單位:cm)

X～N(170,7.692),問車門高度應(yīng)如何確定?概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)因?yàn)閄～N(170,7.692),求滿足P(X<h)≥0.99

的最小

h。故，當(dāng)汽車門高度為188厘米時(shí)，可使男子與車門碰頭機(jī)會(huì)不超過0.01。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)2.3.4隨機(jī)變量的分布函數(shù)

分布函數(shù)的概念

定義2.3.2設(shè)X是隨機(jī)變量，對任意實(shí)數(shù)x，事件{Xx}的概率P{Xx}稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。記為F(x)，即

F(x)＝P{Xx}，-∞<x<+∞.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)分布函數(shù)的性質(zhì)

1.單調(diào)不減性：若a<b,則有F(a)≤F(b)且P{a<X≤b}=P{X≤b}-P{X≤a}=F(b)-F(a)它表明隨機(jī)變量落在區(qū)間(a,b]上的概率可以通過分布函數(shù)來計(jì)算。2.歸一性：對任意實(shí)數(shù)x，0F(x)1，且

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)一般地，對離散型隨機(jī)變量

X～P{X=xk}＝pk,k＝1,2,…其分布函數(shù)為

例2.3.5

設(shè)隨機(jī)變量X具分布律如右表解

X012P0.040.320.64試求出X的分布函數(shù)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)即分布函數(shù)是密度函數(shù)的變上限積分。由上式，得：在f(x)的連續(xù)點(diǎn)，有若X是連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x)是X的密度函數(shù)，F(xiàn)(x)是分布函數(shù)，則對任意x∈R，總有概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)解：例2.3.6：

設(shè)隨機(jī)變量，求其分布函數(shù)。當(dāng)

x<a時(shí),有

f(x)=0,F(x)=0；對x≥b,有求連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)即概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)例

設(shè)隨機(jī)變量X

的密度函數(shù)解：求F(x).概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)對

x<-1，有

F(x)=0；對

x>1，有F(x)=1.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)即概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)本講首先介紹連續(xù)型隨機(jī)變量、直方圖、概率密度函數(shù)及性質(zhì)；然后介紹了三種常用的連續(xù)型隨機(jī)變量：均勻分布;指數(shù)分布和正態(tài)分布；最后介紹隨機(jī)變量的分布函數(shù)。分別討論了離散型隨機(jī)變量的概率分布和分布函數(shù)的關(guān)系，連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度和分布函數(shù)的關(guān)系等。小結(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

2.4一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布問題的提出

在實(shí)際中，人們有時(shí)對隨機(jī)變量的函數(shù)更感興趣。如:已知圓軸截面直徑

D

的分布,求截面面積的分布。

一般地，設(shè)隨機(jī)變量X的分布已知，求Y=g(X)(設(shè)g是連續(xù)函數(shù))的分布。

這個(gè)問題無論在理論上還是在實(shí)際中都非常重要。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)2.4.1離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律設(shè)X一個(gè)隨機(jī)變量，分布律為

X～P{X＝xk}＝pk,k＝1,2,…若y＝g(x)是一元單值實(shí)函數(shù)，則Y＝g(X)也是一個(gè)隨機(jī)變量。求Y的分布律.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)解：當(dāng)X

取值-1，0，1，2時(shí)，

Y取對應(yīng)值4，1，0和1。由P{Y=0}=P{X=1}=0.1，P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.3+0.4=0.7，P{Y=4}=P{X=-1}=0.2.例2.4.1

設(shè)隨機(jī)變量X有如下概率分布：求Y=(X–1)2

的概率分布。得Y的概率分布：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)一般地，若X是離散型隨機(jī)變量，概率分布為如果g(x1),g(x2),…,g(xk),…

中有一些是相同的，把它們作適當(dāng)并項(xiàng)即可得到一串互不相同(不妨認(rèn)為從小到大)的

y1,y2,…,yi

,….把yi所對應(yīng)的所有xk(即yi=g(xk))的

pk相加，記成qi,則q1,

q2,

…,qi

,…就是Y=g(X)的概率分布。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)例2.4.2在應(yīng)用上認(rèn)為:單位時(shí)間內(nèi)，一個(gè)地區(qū)發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)服從泊松分布。設(shè)某城市一個(gè)月內(nèi)發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)X～P(5)，試求隨機(jī)變量Y=|X-5|的概率分布。解：由于X的所有可能取值為0,1,2,…,對應(yīng)的概率分布為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及Y=|X-5|可知，Y

的所有可能取值為0,1,2,…。且對每個(gè)i，當(dāng)0<

i≤5時(shí)，有

k=5+i

和k=5-i兩個(gè)

k

值與

i

對應(yīng),使|k-5|=i

;

當(dāng)i=0或

i≥6時(shí)，只有一個(gè)

k

值與

i

對應(yīng)，使|k-5|=i

。于是，Y的概率分布為：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)2.4.2連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)

1、一般方法

若X~f(x),-<x<+,Y=g(X)為隨機(jī)變量X的函數(shù)，則可先求Y的分布函數(shù)

FY(y)

＝P{Yy}＝P{g(X)y}＝

然后再求Y的密度函數(shù)此法也叫“分布函數(shù)法”概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)解：設(shè)Y的分布函數(shù)為FY(y)，則例

設(shè)隨機(jī)變量X有概率密度求Y=2X+8的概率密度。關(guān)于y的變上限積分概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)于是Y的密度函數(shù),利用P44公式(2.4.1):注意到得概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)求導(dǎo)可得:利用P44公式(2.4.1),當(dāng)y>0時(shí),例2.4.7設(shè)X具有概率密度fX(x)，求Y=cX2的密度。(c>0)解：設(shè)Y和X的分布函數(shù)分別為FY(y)和FX(x),注意到Y(jié)=X2≥0，故當(dāng)y≤0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=0；概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

從上例中可以看到,在求P(Y≤y)的過程中,關(guān)鍵的一步是設(shè)法從{g(X)≤y}中解出X,從而得到與{g(X)≤y}等價(jià)的X的不等式。例如:

用{X≤(y-8)/2}代替{2X+8≤y},這樣做是為了利用已知的

X的分布，求出相應(yīng)的Y的分布函數(shù)

FY(y)。

這就是求隨機(jī)變量函數(shù)

Y

=

g(X)

的分布函數(shù)的一種常用方法。用代替{cX2≤

y}