甘肅蘭州中考數(shù)學(xué)解析

2019年甘肅省蘭州市初中畢業(yè)、升學(xué)考試數(shù)學(xué)一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共48分．不需寫出解答過程，請把最后結(jié)果填在題后括號內(nèi)．1．（2019甘肅省蘭州市，1，4分）－2019的相反數(shù)是 A. B.2019 C.-2019 D.【答案】B【解析】解：－2019的相反數(shù)是2019，故選B.【知識點(diǎn)】相反數(shù)2．（2019甘肅省蘭州市，2，4分）如圖，直線a,b被直線c所截，a∥b，∠=80°，則∠2= A.130° B.120° C.110° D.100°【答案】D【解析】解：∵a∥b，∴∠3=∠1=80°，∠2+∠3=180°，∴∠2=100°，故選D.【知識點(diǎn)】對頂角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)3．（2019甘肅省蘭州市，3，4分）計(jì)算：－= A. B. C.3 D.【答案】A【解析】解：原式=，故選A.【知識點(diǎn)】二次根式的化簡，二次根式的運(yùn)算4．（2019甘肅省蘭州市，4，4分）剪紙是中國特有的民間藝術(shù)，在如圖所示的四個(gè)剪紙圖案中，既是軸對稱又是中心對稱圖形的是【答案】C【解析】解：既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是C，故選C.【知識點(diǎn)】軸對稱圖形，中心對稱圖象5．（2019甘肅省蘭州市，5，4分）x=1是關(guān)于x的一元二次方程的解，則2a+4b= A.-2 B.-3 D.-6【答案】A【解析】解：把x=1代入x2+ax+2b=0，得：1+a+2b=0，∴a+2b=-1，∴2a+4b=2（a+2b）=-2，故選A.【知識點(diǎn)】一元二次方程的解，整體代入6．（2019甘肅省蘭州市，6，4分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠A=40°，則∠C= A.110° B.120° C.135° D.140°【答案】D【解析】解：根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，∴∠A+∠C=180°，∵∠A=40°，∴∠C=140°，故選D.【知識點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)7．（2019甘肅省蘭州市，7，4分）化簡：= A.a-1 B.a+1 C. D.【答案】A【解析】解：原式=，故選A.【知識點(diǎn)】分式的加減，分式的約分8．（2019甘肅省蘭州市，8，4分）已知△ABC≈△A′B′C′，AB=8，則= A.2 B. C.3 D.【答案】B【解析】解：∵△ABC∽△A′B′C′，∴，故選B.【知識點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)9．（2019甘肅省蘭州市，9，4分）《九章算術(shù)》是中國古代數(shù)學(xué)著作之一，書中有這樣的一個(gè)問題：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕輕，互換一只，恰好一樣重.問：每只雀、燕的重量各為多少？設(shè)一只雀的重量為x斤，一只燕的重量為y斤，則可列方程組為 A. B. C. D.【答案】C【解析】解：根據(jù)題意，得，故選C.【知識點(diǎn)】二元一次方程組的應(yīng)用10．（2019甘肅省蘭州市，10，4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將四邊形ABCD先向下平移，再向右平移得到四邊形A1B1C1D1,已知A（-3，5），B（-4，3），A1（3，3），則B1的坐標(biāo)為 A.（1，2） B.（2，1） C.（1，4） D.（4，1）【答案】B【解析】解：∵A（－3，5），A1（3，3），∴四邊形ABCD向右平移6個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位，∵點(diǎn)B（－4，3），∴點(diǎn)B1（2，1），故選B.【知識點(diǎn)】圖形的平移11．（2019甘肅省蘭州市，11，4分）已知點(diǎn)A（1，y1），B（2，y2）在拋物線上，則下列結(jié)論正確的是A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)題意，可得：拋物線開口向下，對稱軸為x=－1，∴在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而減小，∵－1＜1＜2，∴2＞y1＞y2，故選A.【知識點(diǎn)】二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)12．（2019甘肅省蘭州市，12，4分）如圖，邊長為的正方形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O，將正方形ABCD沿直線DF折疊，點(diǎn)C落在對角線BD上的點(diǎn)E處，折痕DF交AC于點(diǎn)M，則OM= A. B. C. D.【答案】D【思路分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，OC=OD，AC⊥BD，根據(jù)折疊，DF⊥EC，CD=DE=，利用△ODM≌△OCE，得OM=EF，求出OD的長，根據(jù)OE=DE－OD即可.【解題過程】在正方形ABCD中，OC=OD，AC⊥BD，由折疊可知，DF⊥EC，CD=DE=，∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，又∵OC=OD，∠DOM=∠COE=90°，∴△ODM≌△OCE（ASA），∴OM=EF，在Rt△BCD中，BD=，∴OD=1，∴OE=DE－OD=，∴OM=，故選D.【知識點(diǎn)】正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．不需寫出解答過程，請把最后結(jié)果填在題中橫線上．13．（2019甘肅省蘭州市，13，4分）因式分解：.【答案】a（a+1）2【解析】解：原式=a（a2+2a+1）=a（a+1）2，故答案為：a（a+1）2.【知識點(diǎn)】提公因式法分解因式，公式法分解因式14．（2019甘肅省蘭州市，14，4分）在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，則∠B=.【答案】70【解析】解：∵AB=AC，∴∠B+∠C，∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=40°，∴∠B=∠C=70°，故答案為：70°.【知識點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和15．（2019甘肅省蘭州市，15，4分）如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，，則k=.【答案】6【解析】解：∵S矩形OABC=6，∴OAAB=6，∴k=xy=6，故答案為：6.【知識點(diǎn)】反比例函數(shù)中k的幾何意義16．（2019甘肅省蘭州市，16，4分）如圖，矩形ABCD，∠BAC=60°，以點(diǎn)A為圓心，以任意長為半徑作弧分別交AB，AC于點(diǎn)M,N兩點(diǎn)，再分別以點(diǎn)M,N為圓心，以大于MN的長作半徑作弧交于點(diǎn)P，作射線AP交BC于點(diǎn)E，若BE=1，則矩形ABCD的面積等于.【答案】【思路分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，求出∠BCA，∠EAC的度數(shù)，利用銳角三角函數(shù)，求出AE，AB的值，進(jìn)而可得矩形ABCD的面積.【解題過程】解：在矩形ABCD中，∠BAC=60°，∴∠B=90°，∠BCA=30°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠EAC=30°，∵在Rt△ABE中，BE=1，∴AE==2，AB=，∵∠EAC=∠ECA=30°，∴EC=AE=2，∴S矩形ABCD=ABBC=.【知識點(diǎn)】矩形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，矩形的面積，銳角三角函數(shù)三、解答題（本大題共9小題，滿分102分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（2019甘肅省蘭州市，17，5分）計(jì)算：.【思路分析】根據(jù)絕對值、零指數(shù)冪、有理數(shù)的乘方、特殊角的函數(shù)值，將各式化簡，在合并即可.【解題過程】解：原式=2－1+4－1=4.【知識點(diǎn)】絕對值、零指數(shù)冪、有理數(shù)的乘方、特殊角的函數(shù)值18．（2019甘肅省蘭州市，18，5分）化簡：.【思路分析】根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，平方差公式，去掉括號，再合并同類項(xiàng)即可.【解題過程】解：原式===.【知識點(diǎn)】單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，平方差公式19．（2019甘肅省蘭州市，19，5分）解不等式組：.【思路分析】分別求出兩個(gè)不等式的解集，再找出兩個(gè)解集的公共部分即可得解.【解題過程】解：，解不等式①，得：x<6，解不等式②，得：x＞2，∴不等式組的解集為：2＜x＜6.【知識點(diǎn)】解一元一次不等式組20．（2019甘肅省蘭州市，20，6分）如圖，AB=DE,BF=EC,∠B=∠E，求證：AC∥DF.【思路分析】利用BF=EC，易得BC=EF，根據(jù)SAS可得△ABC≌△DEF，進(jìn)而可得∠ACB=∠CFE，即可得證.【解題過程】證明：∵BC=EF，∴BC+FC=EC+FC，即BC=EF，又∵AB=DE∠B=∠E，∴△ABC≌△DEF，∴∠ACB=∠CFE，∴AC∥DF.【知識點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的判定21．（2019甘肅省蘭州市，21，6分）2019年5月，以“尋根國學(xué)，傳承文明”為主題的蘭州市第三屆“國學(xué)少年強(qiáng)--國學(xué)知識挑戰(zhàn)賽”總決賽拉開序幕.小明晉級了總決賽，比賽過程分兩個(gè)環(huán)節(jié)，參賽選手須在每個(gè)環(huán)節(jié)中各選一道題目.第一環(huán)節(jié)：寫字注音、成語故事、國學(xué)常識、成語接龍（分別用A1，A2，A3，A4表示）；第二環(huán)節(jié)：成語聽寫、詩詞對句、經(jīng)典誦讀（分別用B1，B2，B3表示）.（1）請用樹狀圖或列表的方法表示小明參加總決賽抽取題目的所有可能結(jié)果；（2）求小明參加總決賽抽取題目是成語題目（成語故事、成語接龍、成語聽寫）的概率.【思路分析】（1）直接利用樹狀圖表示出所有12種等可能的結(jié)果即可；（2）找出小明參加總決賽抽取題目是成語題目的結(jié)果數(shù)，根據(jù)概率公式計(jì)算即可.【解題過程】解：（1）畫樹狀圖為：共有12種等可能的結(jié)果數(shù)；（2）小明參加總決賽抽取題目是成語題目的結(jié)果數(shù)為2，所以小明參加總決賽抽取題目是成語題目（成語故事、成語接龍、成語聽寫）的概率==．【知識點(diǎn)】用樹狀圖與列表法求概率22．（2019甘肅省蘭州市，22，7分）如圖AC=8，分別以A、C為圓心，以長度5為半徑作弧，兩條弧分別相交于點(diǎn)B和D.依次連接A、B、C、D，連接BD交AC于點(diǎn)O.（1）判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由;（2）求BD的長.【思路分析】（1）利用線段垂直平分線的性質(zhì)，易得AB=BC，AD=DC，利用HL證明△ABO≌△ADO，從而可證四邊形ABCD是菱形；（2）利用菱形的性質(zhì)，求得OA的長，再利用勾股定理，求得BO的長，進(jìn)而可得BD的長.【解題過程】解：（1）四邊形ABCD是菱形，理由：∵BD垂直平分AC，∴AB=BC，AD=DC，BD⊥AC，∴∠AOB=∠AOD=90°，∵AO=AO，AB=AD，∴△ABO≌△ADO（HL），∴AB=AD，∴AB=BC=CD=DA，∴四邊形ABCD是菱形；（2）∵四邊形ABCD是菱形，AC=8，∴OA=AC=4，BD=2BO，∵AB=5，∴BO==3，∴BD=6.【知識點(diǎn)】垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)和判定，勾股定理23．（2019甘肅省蘭州市，23，7分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過等邊三角形BOC的頂點(diǎn)B，OC=2，點(diǎn)A在反比例函數(shù)圖象上，連接AC，OA.（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）若四邊形ACBO的面積是，求點(diǎn)A的坐標(biāo).【思路分析】【解題過程】解：（1）作BD⊥OC于D，∵△BOC是等邊三角形，∴OB=OC=2，OD=OC=1，∴BD==，∴S△OBD=OD×BD=，S△OBD=|k|，∴|k|=，∵反比例函數(shù)的圖象在第一三象限，的圖象在一三象限，∴k=，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為；（2）∵S△OBC=OC?BD=×2×=，∴S△AOC==，∵S△AOC=OC?yA=，∴yA=，把y=代入，求得x=，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，）．【知識點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)和判定，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，反比例函數(shù)的解析式24．（2019甘肅省蘭州市，24，7分）為了解某校八年級學(xué)生一門課程的學(xué)習(xí)情況，小佳和小麗分別對八年級1班和2班本門課程的期末成績進(jìn)行了調(diào)查分析.小佳對八年級1班全班學(xué)生（25名）的成績進(jìn)行分析，過程如下：收集、整理數(shù)據(jù)：分析數(shù)據(jù)：小麗用同樣的方法對八年級2班全班學(xué)生（25名）的成績進(jìn)行分析，數(shù)據(jù)如下：根據(jù)以上信息，解決下列問題：（1）已知八年級1班學(xué)生的成績在80≤x＜90這一組的數(shù)據(jù)如下：85，87，88，80，82，85，83，85，87，85根據(jù)上述數(shù)據(jù)，將表二補(bǔ)充完整；（2）你認(rèn)為哪個(gè)班級的成績更為優(yōu)異？請說明理由.【思路分析】（1）根據(jù)中位數(shù)的定義找出第13個(gè)數(shù)，然后確定80≤x＜90這一組中最小的數(shù)即可；（2）從平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和方差的意義可判斷八年級1班學(xué)生的成績更為優(yōu)異.【解題過程】解：（1）共有25個(gè)數(shù)據(jù)，第13個(gè)數(shù)落在80≤x＜90這一組中，此組最小的數(shù)為第13個(gè)數(shù)，所以八年級1班學(xué)生的成績的中位數(shù)為80；故答案為80；（2）八年級1班學(xué)生的成績更為優(yōu)異．理由如下：八年級1班學(xué)生的成績的平均數(shù)比2班高，1班的中位數(shù)比2班的中位數(shù)大，并且1班的眾數(shù)為85，比2班的眾數(shù)大，1班的方差比2班小，比較穩(wěn)定.【知識點(diǎn)】中位數(shù)和眾數(shù)，算術(shù)平均數(shù)，方差25．（2019甘肅省蘭州市，25，7分）某數(shù)學(xué)課題研究小組針對蘭州市住房窗戶“如何設(shè)計(jì)遮陽蓬”這一課題進(jìn)行了探究，過程如下：問題提出：如圖1是某住戶窗戶上方安裝的遮陽蓬，要求設(shè)計(jì)的遮陽蓬能最大限度地遮住夏天炎熱的陽光，又能最大限度地使冬天溫暖的陽光射入室內(nèi).方案設(shè)計(jì)：如圖2，該數(shù)學(xué)課題研究小組通過調(diào)查研究設(shè)計(jì)了垂直于墻面AC的遮陽蓬CD.數(shù)據(jù)收集：通過查閱相關(guān)資料和實(shí)際測量：蘭州市一年中，夏至日這一天的正午時(shí)刻太陽光線DA與遮陽蓬CD的夾角∠ADC最大（∠°）；冬至日這一天的正午時(shí)刻，太陽光線DB與遮陽蓬CD的夾角∠BDC最?。ā稀悖?窗戶的高度AB=2m.問題解決：根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù)，求遮陽蓬CD的長.°≈°≈°≈°≈°≈°≈4.49）【思路分析】根據(jù)正切的定義，分別用CD表示出BC、AC，根據(jù)題意列式計(jì)算即可．【解題過程】解：在Rt△DCB中，tan∠BDC=，則BC=CD?tan∠BDC≈0.59CD，在Rt△DCA中，tan∠ADC=，則AC=CD?tan∠ADC≈4.49CD，由題意得，AC-BC=AB，即4.49CD-0.59CD=2，解得，CD≈0.5m，答：遮陽蓬CD的長約為0.5m．【知識點(diǎn)】解直角三角形及其應(yīng)用26．（2019甘肅省蘭州市，26，9分）如圖，在△ABC中，AB=AC=6cm，BC=8cm，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，BE=DE，將∠BDE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度（），角的兩邊分別交直線AB于M、N兩點(diǎn)，設(shè)B、M兩點(diǎn)間的距離為xcm，M,N兩點(diǎn)間的距離為ycm.小濤根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究.下面是小濤的探究過程，請補(bǔ)充完整.（1）列表：下表的已知數(shù)據(jù)是B,M兩點(diǎn)間的距離x進(jìn)行取點(diǎn)、畫圖、測量,分別得到了y與x的幾組對應(yīng)值：請你通過計(jì)算，補(bǔ)全表格；（2）描點(diǎn)、連線，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出表格中各組數(shù)值所對應(yīng)的點(diǎn)（x，y）,并畫出函數(shù)y關(guān)于x的圖象.（3）探究性質(zhì)：隨著自變量x的不斷增大，函數(shù)y的變化趨勢：.（4）解決問題：當(dāng)MN=2BM時(shí)，BM的長度大約是cm.（保留兩位小數(shù)）.【思路分析】【解題過程】解：（1）①當(dāng)x=BM=0時(shí)，連接AD，則AD⊥BC，BD=CD=BC=4，cos∠ABD===cosα，則sinα=，則y=MN=BN==3；②x=BM=，在△MBD中，BD=4，BM=，cos∠B==cosα，tanα=，過點(diǎn)M作MH⊥BD于點(diǎn)H，則BH=BMcosα=，則EH=，MD2=HD2+EH2=，則BD2=BM2+MD2，故∠BMD=90°，則y=MN=MDtanα=（DBsinα）tanα=；（2）描點(diǎn)出如下圖象，從圖象可以看出：0≤x≤1.25時(shí)，y隨x最大而減小，當(dāng)1.25＜x≤4.10時(shí)，y隨x最大而增大；（3）MN=2BM，即y=2x，在上圖中作直線y=2x，直線與曲線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：2.68和7.45，故答案為：2.68或7.45．【知識點(diǎn)】27．（2019甘肅省蘭州市，27，10分）通過對下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決第27題、第28題.【模型呈現(xiàn)】如右圖，在Rt△ABC，∠ACB=90°，將斜邊AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AD，過點(diǎn)B作DE⊥AC于點(diǎn)E，可以推理得到△ABC≌△DAE，進(jìn)而得到AC=DE，BC=AE，我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型成為“K型”.推理過程如下：【模型應(yīng)用】27.（10分）如圖，在Rt△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ACB=90°，BC=2，將斜邊AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到AD，過AD作DE⊥AC于點(diǎn)E，∠DAE=∠ABC，DE=1，連接DO交⊙O于點(diǎn)F.（1）求證：AD是⊙O的切線；（2）連接FC交AB于點(diǎn)G，連接FB.求證：.【思路分析】（1）根據(jù)圓的直徑所對的圓周角是直角，可得∠ABC+∠BAC=90°，根據(jù)等量代換，可得∠DAE+∠BAC=90°，進(jìn)而易證AD是⊙O的切線；（2）延長DO交BC于點(diǎn)H，連接OC，利用AAS證明△DEA≌△ACB，再根據(jù)勾股定理，求出AD，AB的值，根據(jù)兩邊成比例，且夾角相等，易證△DAO∽△AED，再證明DH⊥BC，利用等腰三角形的性質(zhì)，可得∠BOH=∠BOC，又根據(jù)∠BFG=∠BOC，可得∠FOG=∠BFG，進(jìn)而可證△FGO∽△BGF，即可得證.【解題過程】證明：（1）∵⊙O為Rt△ABC的外接圓，∴O為斜邊AB中點(diǎn)，AB為直徑，∵∠ACB=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，∵∠DAE=∠ABC，∴∠DAE+∠BAC=90°，∴∠BAD=180°-（∠DAE+∠BAC）=90°，∴AD⊥AB，∴AD是⊙O的切線；（2）延長DO交BC于點(diǎn)H，連接OC，∵DE⊥AC于點(diǎn)E，∴∠DEA=90°，∵AB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到AD，∴AB=AD，在△DEA與△ACB中，，∴△DEA≌△ACB（AAS），∴AE=BC=2，AC=DE=1，∴AD=AB=，∵O為AB中點(diǎn)，∴AO=AB=，∴，∵∠DAO=∠AED=90°，∴△DAO∽△AED，∴∠ADO=∠EAD，∴DO∥EA，∴∠OHB=∠ACB=90°，即DH⊥BC，∵OB=OC，∴OH平分∠BOC，即∠BOH=∠BOC，∵∠FOG=∠BOH，∠BFG=∠BOC，∴∠FOG=∠BFG，∵∠FGO=∠BGF，∴△FGO∽△BGF，∴，∴FG2=GO?GB.【知識點(diǎn)】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)，與圓有關(guān)的位置關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)和判定，相似的性質(zhì)和判定，平移、旋轉(zhuǎn)與對稱28．（2019甘肅省蘭州市，28，12分）【模型遷移】二次函數(shù)的圖象交x軸于點(diǎn)（-1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿AB方向運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)M作MN⊥x軸交直線BC于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)D，連接AC，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）連接BD，當(dāng)t=時(shí)，求△DNB的面積；（3）在直線MN上存在一點(diǎn)P，當(dāng)△PBC是以∠BPC為直角的等腰直角三角形時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；（4）當(dāng)t=時(shí)，在直線MN上存在一點(diǎn)Q，使得∠AQC+∠OAC=90°,求點(diǎn)Q的坐標(biāo).【思路分析】（1）將點(diǎn)A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx+2即可求出解析式；（2）利用待定系數(shù)法求出