第一章 集合與常用邏輯用語(yǔ) 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)梳理高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

5/5新教材人教A版2019版數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第一章知識(shí)點(diǎn)清單目錄第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)1.1集合的概念1.2集合間的基本關(guān)系1.3集合的基本運(yùn)算1.4充分條件與必要條件1.5全稱量詞與存在量詞1.1集合的概念一、元素與集合的相關(guān)概念1.元素：一般地，把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，常用小寫(xiě)拉丁字母a，b，c，…表示.2.集合：把一些元素組成的總體叫做集合（簡(jiǎn)稱為集），常用大寫(xiě)拉丁字母A，B，C，…表示.3.集合相等：只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個(gè)集合是相等的.4.集合中元素的特性（1）確定性：集合中的元素必須是確定的.（2）互異性：集合中的元素一定是不同的，相同對(duì)象歸入同一集合只能算作一個(gè)元素（3）無(wú)序性：構(gòu)成集合的元素?zé)o先后順序之分.二、元素與集合的關(guān)系1.屬于：如果a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于集合A，記作a2.不屬于：如果a不是集合A中的元素，就說(shuō)a不屬于集合A，記作a三、常用數(shù)集及其記法（1）N（2）N（3）Z（4）Q（5）R四、集合的表示方法1.列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)“{}”括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法.2.描述法：把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|五、集合中元素特性的運(yùn)用1.確定性的運(yùn)用：元素在集合中，元素就滿足集合的限制條件，由此可以列出方程或不等式，可以解出字母的所有可能值或取值范圍.2.互異性的運(yùn)用：在表示集合時(shí)，相同的對(duì)象只能算一個(gè)元素，在求解集合問(wèn)題時(shí)互異性是檢驗(yàn)的依據(jù).3.無(wú)序性的運(yùn)用：研究元素與集合的關(guān)系時(shí)，無(wú)序性是分類討論思想的應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn).六、集合的表示1.方法的選擇：元素個(gè)數(shù)少或者元素個(gè)數(shù)多但是有規(guī)律時(shí)可考慮列舉法；元素個(gè)數(shù)多且有公共屬性或者不宜列舉時(shí)考慮描述法.2.用列舉法表示集合時(shí)的省略：元素個(gè)數(shù)多或元素個(gè)數(shù)無(wú)限時(shí)，在不發(fā)生誤解的情況下，可按照規(guī)律列出幾個(gè)元素作為代表，其他元素用省略號(hào)表示.如“從1到1000的所有自然數(shù)”可以表示為{1，2，3，…，1000}，自然數(shù)集N可以表示為{0，1，2，3，…}.3.用描述法表示集合時(shí)的注意事項(xiàng)（1）寫(xiě)清楚集合中的代表元素及其范圍，如數(shù)或點(diǎn)等；（2）用于描述共同屬性內(nèi)容的語(yǔ)言要力求簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確；（3）所有描述的內(nèi)容都要寫(xiě)在“{}”內(nèi)，且“{}”內(nèi)不能出現(xiàn)“所有”“全體”等詞語(yǔ).七、集合中參數(shù)問(wèn)題的解法求解含參數(shù)的集合問(wèn)題時(shí)，若參數(shù)的取值對(duì)解題有影響，則需對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論.1.對(duì)參數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確的邏輯劃分.如在研究方程ax+b=0時(shí)，若a≠0，則此方程是一元一次方程，按一元一次方程求解即可；若a=0，則此方程不是一元一次方程2.求參數(shù)值的問(wèn)題：先利用條件列出含參數(shù)的等式，再解方程（組）求值，最后檢驗(yàn)參數(shù)的值是否符合題意.解題時(shí)要注意：（1）列等式時(shí)要考慮到元素的無(wú)序性，元素的無(wú)序性主要體現(xiàn)在：①給出的對(duì)象屬于某集合，則它可能等于集合中的任一元素；②給出的兩集合相等，則其中的元素不一定按順序?qū)?yīng)相等.（2）求出參數(shù)后要代入檢驗(yàn)，所求參數(shù)的值不僅要適合所有條件，還要滿足同一集合中的元素互不相等.3.求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題：先利用條件列出不等式（組），再解不等式（組）得到參數(shù)的取值范圍.16/161.2集合間的基本關(guān)系一、子集、集合相等、真子集1.子集（1）概念：如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B

的子集，記作A?B（或B?A），讀作“A包含于B”（或“B包含A”）（2）圖示：（3）性質(zhì)：任何一個(gè)集合是它本身的子集，即A?A；對(duì)于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么A?C2.集合相等（1）概念：如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)

元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等，記作A=B（2）圖示：（3）性質(zhì)：A?B，且B?A?A=B；A=B，且B=C，則A=C3.真子集（1）概念：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就稱集合A是集合B的真子集，記作A?B（或B?A）（2）圖示：（3）性質(zhì)：A?B，且B?C，則A?C；A?B，且A≠B，則A?B二、空集1.定義：不含任何元素的集合叫做空集2.符號(hào)：?3.規(guī)定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集三、Venn圖1.在數(shù)學(xué)中，經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn圖.Venn圖可以直觀地表示集合間的關(guān)系.常見(jiàn)數(shù)集間的關(guān)系如圖所示.?四、集合間關(guān)系的判斷1.判斷集合間關(guān)系的方法（1）列舉法：對(duì)于能用列舉法表示的集合，先用列舉法將兩個(gè)（或多個(gè)）集合表示出來(lái)，再通過(guò)對(duì)比兩個(gè)（或多個(gè)）集合中的元素來(lái)判斷其關(guān)系.（2）元素特征法：弄清集合中元素的限制條件，再利用限制條件來(lái)判斷集合間的關(guān)系.（3）圖示法：利用數(shù)軸或Venn圖表示集合，可直觀地判斷兩個(gè)（或多個(gè)）集合間的關(guān)系.五、探究已知集合的子集個(gè)數(shù)1.假設(shè)集合A中含有n（n∈N*）個(gè)元素，則：（1）A的子集個(gè)數(shù)是2n；（2）A的非空子集個(gè)數(shù)是2n-1；（3）A的真子集個(gè)數(shù)是2n-1；（4）A的非空真子集個(gè)數(shù)是2n-2.2.含有限制條件的子集問(wèn)題，一般可根據(jù)條件列出所有適合題意的子集，采用列舉法解決.特別地，設(shè)有限集合A，B中分別含有m個(gè)，n個(gè)元素（m，n∈N*，m≤n），且A?C?B，則符合條件的有限集C的個(gè)數(shù)為2n-m.六、根據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)的值或取值范圍的方法1.若集合是有限集，則根據(jù)集合間的關(guān)系，列出方程（組）求解，解題時(shí)還要注意考慮集合中元素的互異性.2.若集合是用不等式描述的，則通常借助數(shù)軸進(jìn)行分析，將各個(gè)集合在數(shù)軸上表示

出來(lái)，以形定數(shù)，還要注意驗(yàn)證端點(diǎn)值是否符合題意.3.涉及“A?B”或“A?B”的問(wèn)題，若集合A中含有參數(shù)，通常要分A=?和A≠?兩種情況進(jìn)行討論，其中A=?的情況容易被忽略，應(yīng)引起足夠的重視.1.3集合的基本運(yùn)算一、并集與交集1.并集（1）文字語(yǔ)言：由所有屬于集合A或(并集中的“或”有三層意思：屬于A不屬于B，不屬于A屬于B，既屬于A又屬于B)屬于集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作A∪B(讀作“A并B（2）符號(hào)語(yǔ)言：A（3）圖形語(yǔ)言：（4）運(yùn)算性質(zhì)：A∪B=B∪A?(A∪2.交集（1）文字語(yǔ)言：由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的交集，記作A∩B(讀作“A交（2）符號(hào)語(yǔ)言：A（3）圖形語(yǔ)言：（4）運(yùn)算性質(zhì)：A∩B=B∩(A∩B)二、全集與補(bǔ)集1.全集：一般地，如果一個(gè)集合含有所研究問(wèn)題中涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集

合為全集，通常記作U.2.補(bǔ)集（1）文字語(yǔ)言：對(duì)于一個(gè)集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集，簡(jiǎn)稱為集合A的補(bǔ)集，記作?UA（2）符號(hào)語(yǔ)言：?UA={x|x∈U，且x?A}（3）圖形語(yǔ)言：（4）運(yùn)算性質(zhì)：?UA?U，?UU=?，?U?=U，?U(?UA)=A，A∪(?UA)=U，A∩(?UA)=?3.德·摩根定律（1）?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB)；（2）?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).1.4充分條件與必要條件一、充分條件和必要條件1.定義：一般地，“若p，則q”為真命題，是指由p通過(guò)推理可以得出q。這時(shí)，我們就說(shuō)，由p可推出q，記作：p?q。①p是q的充分條件；②q是p2從集合角度理解：p?q或二、充要條件1.充要條件：一般地，如果既有p?q，又有q?此時(shí)，我們說(shuō)，p是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱充要條件。①顯然，如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件。概括的說(shuō)，如果p?那么p與q互為充要條件。2.從邏輯關(guān)系上看：條件p與結(jié)論q的關(guān)系結(jié)論p?q但q?pP是q成立的充分不必要條件p?q但p?qP是q成立的必要不充分條件p?q但q?pP是q成立的充要條件p?q但q?pP是q成立的既不充分也不必要條件1.5全稱量詞與存在量詞一、全稱量詞與全稱量詞命題1.全稱量詞：短語(yǔ)“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“?”表示。2.全稱量詞命題：含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題.全稱量詞命題“對(duì)M中任意一個(gè)x，p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為?x∈M，p(x)二、存在量詞與存在量詞命題1.存在量詞：短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“?”表示。2.存在量詞命題：含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題.存在量詞命題“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為?x∈M，p(x)三、命題的否定1.將一個(gè)命題的結(jié)論換成原來(lái)結(jié)論的反面，條件不變，得到一個(gè)新的命題，這個(gè)命題就是原來(lái)命題的否定.四、全稱量詞命題和存在量詞命題的否定命題類型命題的符號(hào)表示命題的否定的符號(hào)表示命題的否定的類型全稱量詞命題P：?x∈M，p(x)?p：?x∈M，?p(x)存在量詞命題存在量詞命題P：?x∈M，p(x)?p：?x∈M，?p(x)全稱量詞命題五、全稱量詞命題、存在量詞命題及其否定的真假判斷1.判斷一個(gè)命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，關(guān)鍵是看命題中含有的量詞是全稱量詞還是存在量詞.特別要注意有些全稱量詞命題中全稱量詞省略的情形.2.全稱(存在)量詞命題的否定是將其全稱量詞(存在量詞)改為存在量詞(全稱量詞)，并把結(jié)論否定，即“改量詞，否結(jié)論”.對(duì)于命題的否定，要注意一些常見(jiàn)否定詞語(yǔ)的使用，下面是常用的正面敘述詞語(yǔ)和它的否定詞語(yǔ).原詞語(yǔ)等于(=)小于(<)都是至少有一個(gè)至多有一個(gè)至多有n個(gè)否定詞語(yǔ)不等于(≠)不小于(≥)不都是一個(gè)也沒(méi)有至少有兩個(gè)至少有(n+1)個(gè)3.要判定全稱量詞命題“?x∈M，p(x)”是真命題，需要對(duì)集合M中的每個(gè)元素x，驗(yàn)證p(x)成立;但要判定該命題是假命題，只需找出集合M中的一個(gè)x=x0，使p(x0)不成立即可要判定存在量詞命題“?x∈M，p(x)”是真命題，只需在集合M中找到一個(gè)x=x0，使p(x0)成立即可;否則，這一命題就是假命題，需要對(duì)集合M中的每個(gè)元素x，驗(yàn)證p(x)不成立4.命題與命題的否定的真假相反.當(dāng)命題的否定的真假不易判斷時(shí)，可以通過(guò)判斷原命題的真假來(lái)得出命題的否定的真假.六、全稱量詞命題和存在量詞命題及其否定中的求參問(wèn)題解決含有量詞的命題求參問(wèn)題的思路(1)全稱量詞命題求參數(shù)范圍的問(wèn)題一般為“恒成立”問(wèn)題，存在量詞命題求參數(shù)范圍的問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為“有解”問(wèn)題.解決問(wèn)題時(shí)，可構(gòu)造函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合求參數(shù)的取值范圍，也可用分離參數(shù)法求參數(shù)的取值范圍.(2)對(duì)于命題p的有些問(wèn)題，正面解決很難或者很復(fù)雜，這時(shí)我們可以考慮它的反面，即把與