運算方法和運算器數(shù)據(jù)的表示方法課件

關(guān)于運算方法和運算器數(shù)據(jù)的表示方法第1頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三第二章運算方法和運算器2.1數(shù)據(jù)表示2.1.1概述一、什么叫數(shù)據(jù)表示是指能由計算機硬件直接識別的數(shù)據(jù)類型，如定點數(shù)、浮點數(shù)等。而所謂“由硬件直接識別”意味著某種數(shù)據(jù)類型可以用計算機硬件直接表示出來，并能由計算機指令直接調(diào)用該數(shù)據(jù)類型。第2頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三二、數(shù)據(jù)的表示方法數(shù)值數(shù)據(jù):能進行算術(shù)運算能得到明確數(shù)值概念的數(shù)字數(shù)據(jù)。非數(shù)值數(shù)據(jù):以數(shù)字數(shù)據(jù)形式進入計算機的聲音、圖像、文字等信息。第3頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三2.1.2數(shù)值數(shù)據(jù)的表示法一、進位計數(shù)制（簡稱進制）及相互轉(zhuǎn)換1、進制的概念

r進制：有0，…，r-1共r個單位數(shù)（unit）；逢r進一。任何一個r進制數(shù)N可以表示為：第4頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三2.1.2數(shù)值數(shù)據(jù)的表示法若r=2，二進制數(shù)，各位的權(quán)是以2為底的冪；若r=8，八進制數(shù)，各位的權(quán)是以8為底的冪，有八個數(shù)碼：0、1、2、3、4、5、6、7；若r=10，十進制數(shù)，各位的權(quán)是以10為底的冪；若r=16，是十六進制數(shù)，其各位的權(quán)是以16為底的冪，有16個數(shù)碼：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F。為了明確表示一個數(shù)所采用的進位計數(shù)制，可以該數(shù)的后面加上下標(B)、(Q)、(D)、(H)，分別表示該數(shù)為二進制、八進制、十進制和十六進制第5頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三2.1.2數(shù)值數(shù)據(jù)的表示法2、為什么計算機中采用二進制（1）運算簡單；（2）易于物理實現(xiàn)（容易找到合適的器件）；（3）易于表示邏輯值的真與假（布爾代數(shù)）。第6頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三2.1.2數(shù)值數(shù)據(jù)的表示法3、進制轉(zhuǎn)換r進制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)：各位按權(quán)展開求和；例1.分別把二進制數(shù)1011.01和十六進制數(shù)F0.C用十進制表示十進制數(shù)轉(zhuǎn)換為r進制數(shù)：整數(shù)部分和小數(shù)部分分別進行轉(zhuǎn)換第7頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三十進制數(shù)轉(zhuǎn)換為r進制數(shù)整數(shù)部分的轉(zhuǎn)換步驟：①把r寫成十進制數(shù)；②將N除以r，記錄商和余數(shù)，并用r進制表示余數(shù)，這余數(shù)便是用r進制表示的數(shù)的最低位數(shù)字；③把上次的商進行②中所述除以r取余的運算，用r進制表示余數(shù)；重復(fù)這種運算直到商為0，這時的余數(shù)即為十進制數(shù)N用r進制表示時的最高位數(shù)字。例2.把十進制數(shù)103用二進制表示例3.把十進制數(shù)506用十六進制表示第8頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三十進制數(shù)轉(zhuǎn)換為r進制數(shù)小數(shù)部分的轉(zhuǎn)換步驟：①把r寫成十進制數(shù)；②將N乘以r，記錄積的整數(shù)部分和小數(shù)部分，并用r進制表示整數(shù)部分，該整數(shù)即為轉(zhuǎn)換后r進制小數(shù)的最高位；③把上次積的小數(shù)部分進行②中所述乘以r取整的運算，用r進制表示積的整數(shù)部分；重復(fù)這種運算直到積的小數(shù)部分為0，或者達到所要求的位數(shù)，這時的整數(shù)部分即為十進制數(shù)N轉(zhuǎn)換成r進制小數(shù)的最低位。例4.把十進制0.8125用八進制表示第9頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三二進制與八進制、

十六進制的相互轉(zhuǎn)換從二進制轉(zhuǎn)換成十六進制時，從小數(shù)點位置開始，整數(shù)部分向左，小數(shù)部分向右，每四位二進制數(shù)為一組用一位十六進制的數(shù)字來表示，不足四位的用0補足，就是相應(yīng)十六進制的表示。從二進制轉(zhuǎn)換成八進制時，從小數(shù)點位置開始，整數(shù)部分向左，小數(shù)部分向右，每三位二進制數(shù)為一組用一位八進制的數(shù)字來表示，不足三位的用0補足，就是相應(yīng)八進制的表示。例5.把二進制11011010111.11101用十六進制表示例6.把八進制數(shù)62.31用二進制表示第10頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三2.1.2數(shù)值數(shù)據(jù)的表示法二、數(shù)的機器碼表示（一）符號數(shù)、機器數(shù)、真值1、真值：帶有正、負號的數(shù)據(jù)；2、機器數(shù)：符號位數(shù)值化了的數(shù)；（因為計算機只認識0和1，不認識+和-）例：1101若為原碼機器數(shù)，則其真值為–5或-101，后者往往也叫符號數(shù)。第11頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三二、數(shù)的機器碼表示（二）定點數(shù)與浮點數(shù)1、定點數(shù)（Fix-PointNumber）（1）含義：定點、浮點的“點”都指二進制數(shù)中的小數(shù)點。定點指小數(shù)點位置固定。（2）常見的兩種定點數(shù)：定點整數(shù)（Integer）定點小數(shù)（Fraction）第12頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三1、定點數(shù)符號位

數(shù)值部分小數(shù)點位置小數(shù)點位置符號位

數(shù)值部分注意小數(shù)點均為隱含表示。定點整數(shù)（Integer）：小數(shù)點固定于最低位右邊

Dn-1Dn-2………D0●定點小數(shù)（Fraction）：小數(shù)點固定于最高有效位左邊

Dn-1●Dn-2………D0第13頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三（3）定點數(shù)常見的機器碼編碼形式定點、浮點表示解決的是小數(shù)點的表示方法；而編碼解決的是符號位如何數(shù)值化的問題。但編碼后會對運算帶來什么樣的影響？于是先后使用了符號位編碼時數(shù)值位不變、符號位編碼時數(shù)值位按一定規(guī)律變化的幾種不同的編碼方法。這就是應(yīng)該了解的原碼、反碼、補碼、移碼等編碼方案。數(shù)X的原碼記作[X]原，反碼記作[X]反，補碼記作[X]補。第14頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三定點整數(shù)-原碼定義：對于一個二進制數(shù)而言，若用最高位表示數(shù)的符號（常以0表示正數(shù)，以1表示負數(shù)），其余各位表示數(shù)值的本身，則稱為該二進制數(shù)的原碼表示法。(1)設(shè)某二進制數(shù)為X=+Xn-2Xn-3...X1X0B，即為正數(shù)則：[X]原=0Xn-2Xn-3...X1X0B=X注意：[+0]原=00...00B（共n位）=0(2)設(shè)某二進制數(shù)為X=-Xn-2Xn-3...X1X0B，即為負數(shù)則：[X]原=1Xn-2Xn-3...X1X0B=100...00B+Xn-2Xn-3...X1X0B=2n-1-X注意：[-0]原=10...00B（共n位）數(shù)的表示范圍：-2n-1+1≤X≤2n-1-1第15頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三則原碼表示的定義是：

x2n-1–x=2n-1+|x|-2n-1+1≤x≤00≤x≤2n-1-1[x]原

=第16頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三定點整數(shù)-反碼定義：正數(shù)反碼與原碼相同。負數(shù)反碼等于其原碼符號位不變其余位取反。(1)設(shè)某二進制數(shù)為X=+Xn-2Xn-3...X1X0B，即為正數(shù)則：[X]反

=[X]原

=0Xn-2Xn-3...X1X0B=X注意：[+0]反=[+0]原=00...00B（共n位）=0(2)設(shè)某二進制數(shù)為X=-Xn-2Xn-3...X1X0B，即為負數(shù)則：[X]反+|X|=2n-1所以[X]反

=2n-1+X注意：[-0]反

=11...11B（共n位）反碼數(shù)的表示范圍:-2n-1+1≤X≤2n-1-1第17頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三

x(2n–1)+x-2n-1+1≤x≤00≤x≤2n-1-1[x]反

=反碼表示的定義是：第18頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三概念

對時:（假設(shè)對為1時）

?一是將時針退10-9=1；

?一是將時針向前撥

10+3=1

這兩種方法都能對準到1時。結(jié)論：負數(shù)用補碼表示時,可以把減法轉(zhuǎn)化為加法。定點整數(shù)-補碼

由此可以看出，減9和加3是等價的，就是說3是(-9)對12的補碼，可以用數(shù)學公式表示：

-9＝+3（mod12）第19頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三模的概念計算機中運算器、寄存器、計數(shù)器都有一定的位數(shù)，不可能容納無限大的任意數(shù)。當運算結(jié)果超出實際的最大表示范圍，就會發(fā)生溢出，此時所產(chǎn)生的溢出量就是模（module）。

?定點小數(shù)的溢出量為2，即以2為模；

?一個字長為n位的定點整數(shù)的溢出量為2n，即以2n為模。第20頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三定點整數(shù)-補碼定義：假定某機器的字長為n位，那么它的模就是2n，它是一個n+1位數(shù)100...0B,由于計算機只能表示n位數(shù)，因此數(shù)2n在計算機中只能以n個零表示，而該數(shù)最左邊的1自動丟失。由以上例子及討論所得：[X]補＝2n

＋X對于正數(shù)X，[X]補＝[X]原＝[X]反

=X對于負數(shù)X，[X]補＝2n＋X＝0－|X|對于＋0：[＋0]補＝2n＋0＝0+0＝0

對于－0：[－0]補＝2n＋（－0）＝0－0＝0總結(jié)：已經(jīng)解決了正負零問題（歸一化）。數(shù)的表示范圍：-2n-1≤X≤2n-1-1第21頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三

x2n+x=2n–|x|

-2n-1

≤

x

≤00≤

x

≤

2n-1-1[x]補

=（mod2n）補碼表示的定義是：第22頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三[例]以定點整數(shù)為例,說明各種編碼表示的范圍。真值真值原碼反碼補碼移碼+127+1+00-1-127-128+0111,1111+0000,00010000,00000000,0000-0000,0001-0111,1111-1000,00000111,11110000,00010000,00001000,00001000,00011111,1111不能表示0111,11110000,00010000,00001111,11111111,11101000,0000不能表示0111,11110000,00010000,00000000,00001111,11111000,00011000,00001111,11111000,00011000,00001000,00000111,11110000,00010000,0000第23頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三定點小數(shù)-原碼NsN1N2…Nn定義：[X]

原

=例：X=0.10110;-0.10110;0.0000[X]原

=010110;110110;0000010000

結(jié)論：原碼為符號位加數(shù)的絕對值，0正1負

原碼零有兩個編碼，+0和-0編碼不同

原碼難以用于加減運算，但乘除方便X1-X-1<X≤0

0≤X<1第24頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三定點小數(shù)-反碼NsN1N2…Nn定義：[X]反=

例：X=0.10110；-0.10110；0.0000[X]反=010110；101001；0000011111

結(jié)論：反碼為符號位跟數(shù)每一位的反，0正1負

反碼零有二個編碼，分+0和-0

反碼難以用于加減運算X

(2-2-n)+X

-1<X≤00≤X<1第25頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三定點小數(shù)-補碼NsN1N2…Nn

定義：[X]補

=例：X=0.10110；-0.10110；0.0000[X]補

=010110；101010；00000結(jié)論：補碼最高一位是符號位，0正1負

補碼表示為2*符號位+數(shù)的真值

補碼零只有一個編碼，故能表示-1

補碼能很好地用于加減（乘除）運算X2+X

-1≤X≤0MOD20≤X<1第26頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三（3）定點數(shù)常見的機器碼編碼形式例：X=-0.101101，Y=+101101[X]原=1.101101，[Y]原=0101101[X]反=1.010010，[Y]反=0101101[X]補=1.010011，[Y]補=0101101三種編碼方案簡要比較：正數(shù)相同，負數(shù)有別。補碼中“0”有唯一的機器表示；補碼的最大優(yōu)點在于其符號位可以與數(shù)值位共同參與運算而易于得到正確的補碼結(jié)果。移碼我們放在浮點數(shù)的內(nèi)容中去了解。（4）定點數(shù)的表示范圍表示數(shù)的范圍非常有限-引入浮點數(shù)第27頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三2、浮點數(shù)（1）浮點數(shù)的一般形式N=（R的E次冪）xM其中，N：要表示的浮點數(shù)；

R（Radix）：基數(shù)，常取2則N=2E*M；

M（Mantissa）：尾數(shù)，一般為定點小數(shù)；

E（Exponent）：階碼，一般為定點整數(shù)?？梢姡粋€浮點數(shù)在機器中是用兩個定點數(shù)表示第28頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三浮點數(shù)的規(guī)格化:為充分利用尾數(shù)的有效位數(shù),提高數(shù)據(jù)的表示精度,修改階碼同時左右移小數(shù)點,使尾數(shù):1/2≤|M|<1浮點數(shù)與定點數(shù)的比較定點數(shù):表示方法簡單直觀,但表示數(shù)的范圍小.浮點數(shù):表示的范圍遠比定點數(shù)大;運算過程中隨時對中間結(jié)果的浮點數(shù)規(guī)格化,所以不易丟失有效數(shù)據(jù),提高了運算的精度,但浮點運算教復(fù)雜.EsE1E2….EmMsM1M2….Mn階符階碼數(shù)符尾數(shù)第29頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三例1:寫出二進制-110.0011在計算機中的浮點數(shù)形式.設(shè)階碼取4位補碼,尾數(shù)是8位原碼

解:-110.0011=-0.1100011*2+3

浮點數(shù)形式為001111100011階符尾符浮點數(shù)舉例第30頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三浮點數(shù)舉例

例2:計算機浮點數(shù)格式如下,

寫出x=0.0001101B的規(guī)格化形式,

階碼為4位補碼,尾數(shù)是8位原碼

x=0.0001101=0.1101*2-3[-3]補=[-011]補=[1011]補=1101B

規(guī)格化浮點數(shù)形式是１１０１０１１０１０００第31頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三（2）移碼的說明移碼，又名增碼、余碼，是原碼、反碼、補碼后的又一種編碼形式，通常用于表示浮點數(shù)的階碼。若定點整數(shù)移碼形式為x0x1x2…xn時，移碼的定義為：

[x]移=2n+X,

-2n≤X<2n

其中，X--真值，n--X數(shù)值位的位數(shù)。移碼(增碼)0-128+127負數(shù)正數(shù)機器數(shù)第32頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三例：X=+10101，Y=-10101。n=5（數(shù)值位的位數(shù)）

[X]移=100000+10101=110101[Y]移=100000-10101=001011第33頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三三、BCD碼1、BCD編碼：BinaryCodedDecimal，即二進制編碼的十進制數(shù)，種類有很多，如Gray碼、余3碼、8421BCD碼等。8421BCD碼：用四位二進制數(shù)表示一位十進制數(shù)0-9。

0000-0，0001-1，…，1001-92、編碼目的：以機器能表示與識別的二進制形式存在，又比純二進制數(shù)（purebinary）更接近日常所習慣的十進制數(shù)。第34頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三2.1.3非數(shù)值數(shù)據(jù)的表示-除數(shù)值數(shù)據(jù)以外的如文字、符號、圖象、語言等。一、字符數(shù)據(jù)字符指字母、符號、控制字符等。按什么樣的規(guī)則把字符表示成0、1形式是人為確定的。具體方案有多種，其中流行的是ASCII碼，即AmericanStandardCodeforInformationInterchange，含四類128種字符。二、邏輯數(shù)據(jù)不帶符號的一位二進制數(shù)。只有0，1兩個值，代表兩種成對的邏輯概念。不同于數(shù)學中0和1的數(shù)值概念。對邏輯數(shù)據(jù)可以