第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4 3 4 3 1概念

4.3

對

數(shù)成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854聯(lián)系微信fjmath加入百度網(wǎng)盤群3500G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存，自動更新，永不過期核心知識目標(biāo)核心素養(yǎng)目標(biāo)1.理解對數(shù)的概念和基本性質(zhì),知道自然對數(shù)和常用對數(shù).

2.理解并掌握對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和對數(shù)的換底公式.3.能運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和對數(shù)的換底公式進(jìn)行化簡、求值和證明.4.通過閱讀材料,了解對數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史以及對簡化運(yùn)算的作用.1.通過對數(shù)的概念和基本性質(zhì)的學(xué)習(xí),達(dá)成數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng).2.通過對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和對數(shù)的換底公式的應(yīng)用,發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).4.3.1

對數(shù)的概念知識探究·素養(yǎng)啟迪課堂探究·素養(yǎng)培育知識探究·素養(yǎng)啟迪情境導(dǎo)入對數(shù)的概念,首先是由蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾(J.Napier,1550～1617)提出的.那時候天文學(xué)是熱門學(xué)科.可是由于數(shù)學(xué)的局限性,天文學(xué)家不得不花費(fèi)很大精力去計算那些繁雜的“天文數(shù)字”,浪費(fèi)了若干年甚至畢生的寶貴時間.納皮爾也是一位天文愛好者,他感到,“沒有什么會比數(shù)學(xué)的演算更加令人煩惱……諸如一些大數(shù)的乘、除、平方、立方、開方……因此我開始考慮……怎樣才能排除這些障礙.”經(jīng)過20年潛心研究大數(shù)的計算技術(shù),他終于獨(dú)立發(fā)明了對數(shù),并于1614年出版的名著《奇妙的對數(shù)定律說明書》中闡明了對數(shù)原理,后人稱為納皮爾對數(shù).探究:對數(shù)主要作用是什么?提示:簡化運(yùn)算.知識探究1.對數(shù)的概念實(shí)例某種細(xì)胞分裂時,由1個分裂成2個,2個分裂成4個,….[問題1-1]那么1個這樣的細(xì)胞分裂x次得到細(xì)胞個數(shù)N是多少?分裂多少次得到細(xì)胞個數(shù)為8個,256個呢?提示:N=2x,3次,8次.[問題1-2]如果已知細(xì)胞分裂后的個數(shù)N,如何求分裂次數(shù)呢?提示:由2x=N可知當(dāng)N已知時,x的值即為分裂次數(shù).,其中a(2)ax=N?x=

.(3)常用對數(shù):以10為底,記作lg

N.自然對數(shù):以無理數(shù)e≈2.718

28…為底,記作ln

N.梳理1 對數(shù)的概念

(1)若ax=N(a>0,且a≠1),則x叫做以a為底N的對數(shù),記作x=

logaN叫做對數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù).logaN2.對數(shù)的性質(zhì)[問題2-1]對數(shù)的概念中,真數(shù)N需滿足什么條件?為什么?提示:真數(shù)N需滿足N>0.由對數(shù)的定義:ax=N(a>0,且a≠1),則總有N>0,所以轉(zhuǎn)化為對數(shù)式x=logaN時,不存在N≤0的情況.[問題2-2]對數(shù)的概念中,如果N=1,x的值是多少?N=a時呢?提示:x=0,x=1.[問題2-3]對數(shù)與指數(shù)之間有怎樣的關(guān)系?提示:等價關(guān)系,即當(dāng)a>0,且a≠1時,ax=N?x=logaN.[問題2-4]如果將對數(shù)式x=logaN代入到指數(shù)式ax=N中會得到哪個式子?提示:????????????=N.梳理2 對數(shù)的性質(zhì)及對數(shù)的恒等式(1)負(fù)數(shù)和0沒有對數(shù).

(2)loga1=0.(3)logaa=1.(4)????????????=N.小試身手1.下列說法正確的是(

D

)

(A)根據(jù)對數(shù)的定義,因?yàn)?-2)4=16,所以log(-2)16=4(B)對數(shù)式log32與log23的意義一樣

(C)因?yàn)?a=1,所以log11=a(D)lg

10+ln

e=2解析:因?yàn)閷?shù)的底數(shù)a應(yīng)滿足a>0且a≠1,所以A錯;

log32表示以3為底2的對數(shù),log23表示以2為底3的對數(shù),所以B錯;因?yàn)閷?shù)的底數(shù)a應(yīng)滿足a>0且a≠1,所以C錯;由常用對數(shù)和自然對數(shù)定義知lg

10=1,ln

e=1,故D正確.2.若2a=b,則下列說法正確的是(B

)(A)a=logb2(C)2=logab(B)a=log2b(D)2=logba解析:將指數(shù)式2a=b化為對數(shù)式,得a=log2b.故選B.3.若logx8=3,則x=

.解析:由指對互化知x3=8,所以x=2.答案:24.????????????+log21+log55=

.解析:因?yàn)????????????=2,log21=0,log55=1,所以原式=2+1=3.答案:3課堂探究·素養(yǎng)培育√??x????

????(1)lo??

x=3;(2)log

64=-6;(3)3

=

;(4)(

)-2

x=16.探究點(diǎn)一探究角度1對數(shù)的概念對數(shù)式與指數(shù)式的互化[例1]將下列對(或指)數(shù)式化成指(或?qū)?數(shù)式.解:(1)因?yàn)閘o??√??x=3,所以(√??)=x.3(2)因?yàn)閘ogx64=-6,所以x-6=64.??3??(3)因?yàn)?-2=??,所以log

??=-2.????(4)因?yàn)???)x=16,所以lo????16=x.即時訓(xùn)練1-1:利用指數(shù)式、對數(shù)式的互化求下列各式中x的值.??2

x(1)log

x=-??;(2)log

25=2;52????????

??(3)log

x

=2;(4)??

=4.??-??√????解:(1)由

log2x=-

,得??

??=x,所以

x=

.??(2)由logx25=2,得x2=25.因?yàn)閤>0,且x≠1,所以x=5.由log5x2=2,得x2=52,所以x=±5.因?yàn)?2=25>0,(-5)2=25>0,所以x=5或x=-5.由????????????=4=22,得log

x=2,所以x=32,即x=9.3方法總結(jié)

(1)利用對數(shù)與指數(shù)間的互化關(guān)系時,要注意各字母位置的對應(yīng)關(guān)系,其中兩式中的底數(shù)是相同的.(2)并非任何指數(shù)式都可以直接化為對數(shù)式,如(-3)2=9就不能直接寫成

log(-3)9=2,只有符合a>0,a≠1且N>0時,才有ax=N?x=logaN.

(3)求對數(shù)式中x的值,可將對數(shù)式化成指數(shù)式建立x的方程求解.探究角度2 對數(shù)的底數(shù)、真數(shù)概念的理解[例2]

求下列各式中x的取值范圍.(2x+1)??????????(1)log

(x+2);(2)????(????+??).解:(1)由題意得??

+

??

>

0,?????+??>0,即?????

+

??

≠

??.??

>

-??,????

>

-

,????

≠

??.????解得x>-且x≠0.??所以x的取值范圍是{x|x>-??且x≠0}.????

+

??

>

0,??

≠

??,(2)根據(jù)題意得?

??????????≠??,即???>-??

,????

>

??.解得x>0且x≠1.所以x的取值范圍是{x|x>0且x≠1}.即時訓(xùn)練2-1:求下列各式中x的取值范圍.

(1)lg(x+2)2;(2)log(1-2x)(3x+2).解:(1)由(x+2)2>0得x≠-2,故x的取值范圍是{x|x∈R且x≠-2}.????

+

??

>

0,??

??(2)由?

??-????>??,解得-??<x<??且x≠0,??-????

≠

??,所以x的取值范圍是{x|-??<x<??且x≠0}.??

??方法總結(jié)對數(shù)式中要求真數(shù)大于0,底數(shù)不但要大于0,而且不能等于1.由此,可建立關(guān)于x的不等式組,解不等式組可求出x的取值范圍.探究點(diǎn)二 對數(shù)的性質(zhì)[例3]求下列各式中的x的值.log8[log7(log2x)]=0;log2[log3(log2x)]=1.解:(1)由log8[log7(log2x)]=0,得log7(log2x)=1,即log2x=7,所以x=27.(2)由log2[log3(log2x)]=1,所以log3(log2x)=2,所以log2x=9,所以x=29.即時訓(xùn)練3-1:求下列各式中x的值.lg(ln

x)=1;lg(ln

x)=0.解:(1)由lg(lnx)=1得lnx=10,所以x=e10.(2)由lg(lnx)=0得lnx=1,所以x=e.方法總結(jié)有關(guān)“底數(shù)”和“1”的對數(shù),可利用對數(shù)的性質(zhì)知其值為“1”和“0”,化為常數(shù).(2)????+??????????+102+lg

2+eln

3.探究點(diǎn)三 對數(shù)恒等式及其應(yīng)用[例4]

求下列各式的值.(1)????????????·????????????-??+????+??????????;??????解:(1)因?yàn)????????????=4,????????????-??=????????????=??,????+??????????=24·????????????=16×5=80.所以原式=4×??+80=83.??(2)因?yàn)????+??????????=5·????????????=5×3=15,102+lg2=102·10lg2=100×2=200,eln3=3,所以原式=15+200+3=218.即時訓(xùn)練4-1:已知f(x)=2x,則f(2+log23)=

.解析:因?yàn)閒(x)=2x,所以f(2+log23)=????+??????????=2

·????????????=4×3=12.2答案:12方法總結(jié)形如????????????的式子可直接利用對數(shù)恒等式????????????=N求解(此處a>0且a≠1,N>0).)1.(多選題)下列指數(shù)式與對數(shù)式互化正確的有(

(A)e0=1與ln

1=0??(B)log39=2與????=3-??(C)??

??=與log8

=-??

??

????

??

??71(D)log

7=1與7

=7課堂達(dá)標(biāo)ACD解析:對于A:e0=1可化為0=ln

1,所以A正確;2對于B:log39=2可化為3=9,所以B不正確;-????

??

????

??

??對于C:??

??=可化為log8

=-,所以C正確;1對于D:log77=1可化為7=7,所以D正確.故選ACD.(A)-4 (B)-3

(C)3(D)42.若