2021年湖南省岳陽市汨羅市新塘鄉(xiāng)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

2021年湖南省岳陽市汨羅市新塘鄉(xiāng)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某班設(shè)計了一個八邊形的班徽（如圖），它由腰長為1，頂角為的四個等腰三角形，及其底邊構(gòu)成的正方形所組成，該八邊形的面積為A．B．C．D．參考答案：A2.設(shè)則“且”是“”的（

）A.充分而不必要條件

B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．即不充分也不必要條件參考答案：A略3.已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x∈[－1,1]時，f(x)=，且f(x+1)為奇函數(shù)，則f()=（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C∵函數(shù)為偶函數(shù)，∴．又為奇函數(shù)，圖象關(guān)于點對稱，∴函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，∴，∴，∴，∴函數(shù)的周期4，∴．故選C．

4.下列函數(shù)中，在（0，+∞）上單調(diào)遞減，并且是偶函數(shù)的是（）A．y=x2B．y=﹣x3C．y=﹣ln|x|D．y=2x參考答案：C【分析】本題根據(jù)函數(shù)奇偶性定義，判斷函數(shù)的是否為偶函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)是否為減函數(shù)，得到本題結(jié)論．【解答】解：選項A，y=x2是偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時，y=x在在（0，+∞）上單調(diào)遞增，不合題意；選項B，y=﹣x3，是奇函數(shù)，不合題意；選項C，y=﹣ln|x|是偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時，y=﹣lnx在在（0，+∞）上單調(diào)遞減，符合題意；選項D，y=2x，不是偶函數(shù)，遞增，不合題意．故選：C．【點評】本題考查了奇偶性與單調(diào)性，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．5.

參考答案：C略6.已知在上不是單調(diào)增函數(shù)，則的范圍是（

）A．或 B．或 C．

D． 參考答案：A7.一次選拔運動員，測得7名選手的身高（單位cm）分布莖葉圖如圖，測得平均身高為177cm，有一名候選人的身高記錄不清楚，其末位數(shù)記為x，那么x的值為（

）

A．5

B．6

C．7

D．8參考答案：B略8.某多面體的三視圖如圖所示，則該多面體體積為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B9.若復(fù)數(shù)z滿足zi=1-i，則z等于A.-1-I

B.1-i

C.-1+I

D.1=i參考答案：A.

根據(jù)知，，故選A.10.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又是在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)是（

）

A．

B．

C．

D．

參考答案：D單調(diào)遞增，且為非奇非偶函數(shù)，不成立。是偶函數(shù)，但在上遞增，不成立。為偶函數(shù)，但在上不單調(diào)，不成立，所以選D.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（2009江西卷文）已知向量，，，若

則=

．參考答案：

解析：因為所以.12.已知為所在平面內(nèi)的一點，滿足，的面積為2015，則的面積為

參考答案：120913.已知實數(shù)滿足，則的最大值為

參考答案：答案：614.若一個球的體積為，則它的表面積為．參考答案：12π【考點】球的體積和表面積．【分析】有球的體積，就可以利用公式得到半徑，再求解其面積即可．【解答】解：由得，所以S=4πR2=12π．15.已知函數(shù)f（x）=x（m+e﹣x）（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），曲線y=f（x）上存在不同的兩點，使得曲線在這兩點處的切線都與y軸垂直，則實數(shù)m的取值范圍是

．參考答案：（0，e﹣2）【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】由曲線y=f（x）上存在不同的兩點，使得曲線在這兩點處的切線都與y軸垂直，等價于函數(shù)f（x）有兩個不同的極值點，等價于方程f'（x）=0有兩個不同的實根，等價于直線y=m與曲線y=g（x）有兩個不同的交點，即可解出a的取值范圍．【解答】解：曲線存在不同的兩點，使得曲線在這兩點處的切線都與y軸垂直，等價于

函數(shù)f（x）有兩個不同的極值點，等價于方程f'（x）=0有兩個不同的實根．令f'（x）=m+e﹣x﹣xe﹣x=0，得：令，則條件等價于直線y=m與曲線y=g（x）有兩個不同的交點.當(dāng)x=2時，g'（x）=0；當(dāng)x＞2時，g'（x）＜0；當(dāng)x＜2時，g'（x）＞0；從而當(dāng)x=2時有最大值g（2）=e﹣2，g（x）在（﹣∞，2）上遞增，在（2，+∞）上遞減．當(dāng)x→﹣∞時，g（x）→﹣∞；當(dāng)x→+∞時，g（x）→0；如右圖所示，從而m∈（0，e﹣2）16.等比數(shù)列的公比為，前項的積為，并且滿足，給出下列結(jié)論①；②；③是中最大的；④使得成立的最大的自然數(shù)是4018.

其中正確結(jié)論的序號為

（將你認(rèn)為正確的全部填上）.參考答案：①②④略17.已知函數(shù)，則

．參考答案：1因為，所以點睛：(1)求曲線的切線要注意“過點P的切線”與“在點P處的切線”的差異，過點P的切線中，點P不一定是切點，點P也不一定在已知曲線上，而在點P處的切線，必以點P為切點.(2)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，主要是利用導(dǎo)數(shù)、切點坐標(biāo)、切線斜率之間的關(guān)系來進行轉(zhuǎn)化.以平行、垂直直線斜率間的關(guān)系為載體求參數(shù)的值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間的關(guān)系，進而和導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來求解.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知定點F（0，1），定直線l：y=﹣1，動圓M過點F，且與直線l相切．（Ⅰ）求動圓M的圓心軌跡C的方程；（Ⅱ）過點F的直線與曲線C相交于A，B兩點，分別過點A，B作曲線C的切線l1，l2，兩條切線相交于點P，求△PAB外接圓面積的最小值．參考答案：【分析】（Ⅰ）利用直接法，即可求動圓M的圓心軌跡C的方程；（Ⅱ）證明△PAB的外接圓的圓心為線段AB的中點，線段AB是直徑．得到當(dāng)k=0時線段AB最短，最短長度為4，此時圓的面積最小，最小面積為4π．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)點M到直線l的距離為d，依題意|MF|=d．設(shè)M（x，y），則有=|y+1|．化簡得x2=4y．所以點M的軌跡C的方程為x2=4y．（Ⅱ）設(shè)lAB：y=kx+1，代入x2=4y中，得x2﹣4kx﹣4=0．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=4k，x1?x2=﹣4．所以．因為C：x2=4y，即，所以．所以直線l1的斜率為，直線l2的斜率為．因為，所以PA⊥PB，即△PAB為直角三角形．所以△PAB的外接圓的圓心為線段AB的中點，線段AB是直徑．因為|AB|=4（k2+1），所以當(dāng)k=0時線段AB最短，最短長度為4，此時圓的面積最小，最小面積為4π．【點評】本題考查軌跡方程，考查直線與拋物線位置關(guān)系的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．19.（本題滿分14分）已知函數(shù)，（，）．（Ⅰ）判斷曲線在點（1，）處的切線與曲線的公共點個數(shù)；（Ⅱ）當(dāng)時，若函數(shù)有兩個零點，求的取值范圍．參考答案：（Ⅰ），所以斜率…………2分又，曲線在點（1，）處的切線方程為…………3分由

……4分由△=可知：當(dāng)△>時，即或時，有兩個公共點；當(dāng)△=時，即或時，有一個公共點；當(dāng)△<時,即時，沒有公共點

……7分（Ⅱ）=，由得

……8分

令，則

當(dāng)，由

得

…10分所以，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

因此，

……11分由，比較可知所以，當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點.……………14分20.不恒為0的函數(shù)的定義域為.對于定義域內(nèi)任意，都有（1）求及的值；（2）判斷的奇偶性并證明；（3）若上是增函數(shù)，求x的取值范圍.參考答案：解：（1）因；故，同理賦值得（2）對任意，

故，函數(shù)為偶函數(shù)。（注：此處證法不唯一）（3）因；故又；因在上為增函數(shù)，故解得。（不寫集合不扣分）略21.已知變量，滿足關(guān)系式，且，且，變量，滿足關(guān)系式，變量，滿足函數(shù)關(guān)