相似三角形模型分析大全

相似三角形模型分析大全

第一部分：相似三角形模型分析大全一、相似三角形判定的基本模型認(rèn)識(shí)相似三角形的判定有多種基本模型，其中包括：（一）A字型、反A字型（斜A字型）在△ABC和△ADE中，若∠A=∠A，∠B=∠D，∠C=∠E，則兩個(gè)三角形相似。（二）8字型、反8字型在△ABC和△AED中，若∠A=∠A，∠B=∠D，AB//DE，則兩個(gè)三角形相似。（三）母子型在△ABC和△ABD中，若∠A=∠A，AB為BC的中線，則兩個(gè)三角形相似。（四）一線三等角型在等腰三角形（或等腰梯形）或等邊三角形中，若三角形的頂點(diǎn)、底邊、中線上的點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)相等，則這些三角形相似。（五）一線三直角型在直角三角形中，若三角形的斜邊、直角邊、斜邊上的高垂線分別對(duì)應(yīng)相等，則這些三角形相似。（六）雙垂型在△ABC和△ABD中，若BD和CE分別是AC和AB上的高，則兩個(gè)三角形相似。二、相似三角形判定的變化模型相似三角形的判定還有一些變化模型，其中包括：旋轉(zhuǎn)型：由A字型旋轉(zhuǎn)得到。8字型也可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)得到。共享性：在兩個(gè)相似三角形中，如果它們有一個(gè)公共角和一個(gè)相似的角，則這些三角形相似。一線三等角的變形和一線三直角的變形也是相似三角形的變化模型。第二部分：相似三角形典型例題講解例1、母子型相似三角形已知：如圖，△ABC中，點(diǎn)E在中線AD上，∠DEB=∠ABC。求證：（1）DB=DE×DA；（2）∠DCE=∠DAC。解答：（1）因?yàn)锳D是BC的中線，所以AD=BC/2。又因?yàn)椤螪EB=∠ABC，所以△DEB∽△ABC。因此，DE/AB=DB/BC，即DE/AB=DB/2AD。所以，DB=DE×DA。（2）因?yàn)镈E//AB，所以∠DEB=∠ABC。又因?yàn)锳D是BC的中線，所以AD=BC/2，即BC=2AD。所以，∠DAC=∠DAB+∠BAC=∠DEB+∠BAC=∠ABC+∠BAC=∠ACB。因此，∠DCE=∠DAC。例2、8字型相似三角形已知：如圖，等腰△ABC中，AB=AC，AD△BC于D，CG△AB，BG分別交AD、AC于E、F。求證：BE=EF×EG。解答：因?yàn)椤鰽BC是等腰三角形，所以∠BAC=∠BCA。又因?yàn)锳B=AC，所以△ABD≌△ACG。因此，∠BAD=∠GAC，∠ABD=∠ACG。又因?yàn)锳D//BC，所以∠BDA=∠GCA。因此，△BDA∽△CGA，即BD/CG=AB/AC=1。又因?yàn)椤螧EC=∠BAC，所以△BEC∽△BAC。因此，BE/AB=EC/AC，即BE/AB=EF/EG。所以，BE=EF×EG。在等邊三角形ABC中，邊長(zhǎng)為6，D是BC上的動(dòng)點(diǎn)，且△EDF=60°。（1）證明：由題意可知，∠B=∠C=60°，∠EDF=60°。因此，∠CDF+∠EDB=180°-∠EDF=120°，∠BED+∠EDB=180°-∠B=120°，所以∠CDF=∠BED。又因?yàn)椤螧=∠C，所以△BDE∽△CFD。（2）解答：由題意可知，BD=1，CD=BC-BD=6-1=5，F(xiàn)C=3。根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，有BD/BE=CD/CF，代入已知數(shù)值，得到BE=15/7。在梯形ABCD中，已知AD<BC，AD=5，AB=DC=2。(1)證明△ABP∽△DPC，求AP的長(zhǎng)度。解：由梯形ABCD的性質(zhì)可知，AD∥BC，AB=DC，∠A=∠D。又因?yàn)椤鰾PC與△A相似，所以∠BPC=∠A，進(jìn)而有∠ABP+∠APB+∠A=180°，∠APB+∠DPC+∠BPC=180°，即∠APB+∠DPC+∠A=180°。所以∠ABP=∠DPC，即△ABP∽△DPC。根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，有BE/CD=BP/PC，即BE/2=BP/3，解得BE=5/3。又因?yàn)锽E/CD=AP/AD，代入已知數(shù)據(jù)得到AP=5/3。(2)當(dāng)點(diǎn)P在AD邊上移動(dòng)，滿足△BPE∽△A，PE交BC于點(diǎn)E，交DC于點(diǎn)Q，且CE=1。①求解y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；②當(dāng)CE=1時(shí)，求AP的長(zhǎng)度。解：①由△BPE∽△A可得BP/AE=BE/AD，即BP/(x-2)=5/5，解得BP=(5/3)x-10/3。又因?yàn)镻E/BC=AE/AD，即PE/(3+x)=x/5，解得PE=3x/8-3/8。所以，CE=CQ=1，有EQ=PE+PQ=3x/8+2/3，由此得到y(tǒng)=3x/8+2/3，定義域?yàn)?<x<5。②當(dāng)CE=1時(shí)，PE=1，所以x=8/3，代入AP/AD=BE/CD得到AP=5/3。已知等邊三角形ABC，CF=1，EF為BA上的一條射線，以EF為邊向右側(cè)作等邊三角形EFG，直線EG、FG分別與AC交于點(diǎn)M、N。求：（1）與三角形BEF相似的三角形有哪些？（2）證明△EFG與△ABC相似。（3）設(shè)BE=x，MN=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍。（4）若AE=1，求△GMN的面積。解答：（1）與三角形BEF相似的三角形有△EFG和△ABC。（2）因?yàn)镋F=FG，∠EFG=60°，所以△EFG是等邊三角形，且∠EFG=∠ABC，∠EGF=∠ACB，故△EFG與△ABC相似。（3）設(shè)EG=FG=x，則BG=3-x，AH=√(AB2-BH2)=3√15/2，因?yàn)椤鱁GM與△ACM相似，所以EG/GM=AC/CM，即x/(3-x)=(3+√3)/2/(3-y)，解得y=(6√15-6)/7x+2/7。因?yàn)锽E=EF+FB=EF+3，所以x=EF+3，所以x>3。（4）因?yàn)椤鱁FG是等邊三角形，且AE=1，所以EF=1，因?yàn)椤鱁FG與△ABC相似，所以EF/AB=FG/AC，即1/3=FG/2，解得FG=2/3，因?yàn)椤鱃M