2021屆山東省高三模擬考試卷 數(shù)學(xué)（一）

絕密★啟用前A.8B.9C.10D.11

山東省(新高考)2021屆高三第二次模擬考試卷數(shù)學(xué)7.已知函數(shù)/(耳=8$皿(0、-方)(0>0)的最小正周期為加，若/(x)在囁鼻上單調(diào)遞增，在

(一)

學(xué)校：__姓名：_班級(jí)：__考號(hào):

yy上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)卅的取值范圍是C

題號(hào)一二三總分

得分r3"I「55]「兀兀]r7t41

A.L兀，二2■兀JB.[二6兀,一4?！笴.1二3"，2二"」D.L-787,二3■兀J

注意事項(xiàng)：注意事項(xiàng)：L答題前填寫(xiě)好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2、請(qǐng)將答案正確填寫(xiě)在答題卡

8.若。，力.c均為單位向量，且a/=(),(a-c)-(6—c)W0,則|a+b-c|的最大值為()

上

A.72-1B.1C.尬D.2

第I卷二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.9.已知正方體ABC-A4GA的棱長(zhǎng)為4,M為。A的中點(diǎn)，N為A8CO所在平面上一動(dòng)點(diǎn)，則下

1.已知集合4={0,Q},5={xeZ|x2-x-2<0},若人口3={0,1},則5人=()

列命題正確的是()

A.{-1,1}B.{1,2}C.{-1,1,2}D.{-1,2}

2.已知復(fù)數(shù)z=(a-3i)(3+2i)(aeR)的實(shí)部與虛部的和為7,則。的值為()

A.1B.0C.2D.-2

3.某自來(lái)水廠--蓄水池可以用甲、乙兩個(gè)水泵注水，單開(kāi)甲泵需15小時(shí)注滿，單開(kāi)乙泵需18小時(shí)注滿，

若要求10小時(shí)注滿水池，并且使兩泵同時(shí)開(kāi)放的時(shí)間盡可能地少，則甲、乙兩水泵同時(shí)開(kāi)放的時(shí)間最少

需()

A.若MN與平面A8CD所成的角為：，則點(diǎn)N的軌跡為圓

A.4小時(shí)B.7小時(shí)C.6小時(shí)D.14小時(shí)4

B.若MV=4,則MN的中點(diǎn)P的軌跡所圍成圖形的面積為27r

[x>3(x+y>6

4.、是<-八成立的()

[y>3[x-y>9C.若點(diǎn)N到直線8片與直線0c的距離相等，則點(diǎn)N的軌跡為拋物線

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

D.若RN與AB所成的角為5,則點(diǎn)N的軌跡為雙曲線

5.已知函數(shù)//”學(xué)二+'-以,K/(log,a)>/(3),則實(shí)數(shù)。的取值范圍為C

10.將4男、4女共8位同學(xué)隨機(jī)地分成人數(shù)相等的甲、乙兩組，則下列說(shuō)法正確的是。

A.(Y),2)U(8,+X))B.(0,2)

A.4位女同學(xué)分到同一組的概率為，*

35

C.(0,2)U(8,+?)D.(8,+oo)

B.男生甲和女生乙分到甲組的概率為之

14

aa,

6.已知數(shù)列{a,,}中，a,=1,-~"*'=l(neN),若％,=二，則旭=()32

'a”10C.有且只有3位女同學(xué)分到同一組的概率為工：

D.4位男同學(xué)不同時(shí)分到甲組的概率為民

11.如圖，在平面四邊形ABCD中，AD=\<BD=—.AB1AC.AC=41AB<則CD的最小

3

11.意大利畫(huà)家列奧納多?達(dá)?芬奇(1452.4-1519.5)的畫(huà)作《抱銀貂的女人》中，女士脖頸上黑色

值為?

珍珠項(xiàng)鏈與主人相互映襯呈現(xiàn)出不一樣的美與光澤，達(dá)?芬奇提出：固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力的作用

下自然下垂，項(xiàng)鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問(wèn)題”，后人給出了懸鏈線的函數(shù)解析式：

/(x)=〃cosh2,其中a為懸鏈線系數(shù)，coshx稱為雙曲余弦函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式為coshx="'+e'.

a2D

相應(yīng)地雙曲正弦函數(shù)的表達(dá)式為sinhx=2X.若直線x=m與雙曲余弦函數(shù)C與雙曲正弦函數(shù)G的cos—,—IVxVl

215.已知函數(shù)f(x)=J2,則關(guān)于x的方程f2(x)-3/(x)+2=0的實(shí)根的個(gè)數(shù)是

X2-1,|x|＞1

圖象分別相交于點(diǎn)A,B,曲線G在點(diǎn)A處的切線L與曲線C2在點(diǎn)B處的切線L相交于點(diǎn)P,則下列結(jié)論

正確的為＜)

16.已知圓G：(x+3y+y2=l,G：(X-3)2+/=81.動(dòng)圓C與圓G、C?都相切，則動(dòng)圓C的圓

心軌跡E的方程為：直線/與曲線E僅有三個(gè)公共點(diǎn)，依次為P、。、R.則|PR|的最大

值為.

四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

A.cosh(x-y)=coshxcoshy-sinhxsinhy17.〈10分)已知S”為等差數(shù)列｛q｝的前"項(xiàng)和，1^=9,a“=21.

B.y=sinh.rcoshx是偶函數(shù)

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式：

C.(coshx)r=sinhx

(2)若瓦=」一，求數(shù)列也,｝的前”項(xiàng)和小

D.若是以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則實(shí)數(shù)〃?=00n'""+1

218.(12分)在①A=C+二：②5c-4a=15cosA：③AA8C的面積S=3.這：個(gè)條件中任選兩個(gè)，

12.關(guān)于函數(shù)/(x)=；+lnx,下列判斷正確的是()

2

補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目.

A.x=2是/(x)的極大值點(diǎn)

在AABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為。，b,c,已知6=3,且，，求c.

B.函數(shù)y=/(x)-x有且只有1個(gè)零點(diǎn)注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第?個(gè)解答計(jì)分.

C.存在正實(shí)數(shù)3使得〃x)＞代恒成立

19.(12分)已知四棱錐E-ABCZ)中，四邊形ABCD為等腰梯形，AB//DC,AD=DC=2,AB=4,

D.對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)占，士，且三＞占，若/(占)=/(毛)，則占+三＞4

△ADE為等邊三角形，且平面ADE_L平面ABCD.

第n卷

(1)求證:AE±BD：

-：、填空題：木大題共4小題，每小題5分.

(2)是否存在一點(diǎn)F,滿足喬=義麗(Ov/lWD,且使平面ADF與平面BCE所成的銳二而角的余弦值

13.(x+y-z)6的展開(kāi)式中M，?Z3的系數(shù)是.

為叵.若存在，求出義的值，否則請(qǐng)說(shuō)明理由.麗=2質(zhì)，且點(diǎn)Q滿足誣二人詼，求斗面積的最小值.

13

20.（12分）某醫(yī)院為篩查某種疾病，需要檢驗(yàn)血液是否為陽(yáng)性，現(xiàn)有〃（〃wN*）份血液樣本，有以下兩

種檢驗(yàn)方式：①逐份檢驗(yàn)，需要檢驗(yàn)〃次；②混合檢驗(yàn)，將其2伏eV且&N2）份血液樣木分別取樣混

（1）當(dāng)。=1時(shí)，求曲線），=/*）在點(diǎn)（1J⑴）處的切線方程：

合在?起檢驗(yàn).若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這2份的血液全為陰性，因而這k份血液樣木只要檢驗(yàn)?次就夠了，

（2）若函數(shù)尸（X）=/（%）+X有兩個(gè)極值點(diǎn)X1,再,求證：中2<（瓜2。））2.

如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽(yáng)性，就要對(duì)這々份再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這出份血

液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為左+1次.假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性都是

獨(dú)立的，且每份樣本是陽(yáng)性結(jié)果的概率為〃（0<〃<1）.

（1）假設(shè)有5份血液樣本，其中只有2份樣本為陽(yáng)性，若采用逐份檢驗(yàn)的方式，求恰好經(jīng)過(guò)3次檢驗(yàn)就

能把陽(yáng)性樣本全部檢驗(yàn)出來(lái)的概率；

（2）現(xiàn)取其中k伏wN’且攵22）份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為。，采用

混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為自2.

①記E（J）為隨機(jī)變量J的數(shù)學(xué)期望.若后（。）=七（4），運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，求出〃關(guān)于攵的函數(shù)關(guān)

系式〃=/（2），并寫(xiě)出定義域；

?

②若p=1,且采用混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)期望

值更少，求攵的最大值.

參考數(shù)據(jù)：In2?0.6931,In3?1.0986,In5aL6094.

21.（12分）已知橢圓C：I+馬=l（a>6>0）的離心率e=1,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)八盤(pán)］,點(diǎn)耳，居為橢圓C的

CT及212；

左、右焦點(diǎn).

（I）求橢圓C的方程：

（2）過(guò)點(diǎn)Fy分別作兩條互相垂直的直線4,4，且4與橢圓交于不同兩點(diǎn)AB4與直線x=1交于點(diǎn)P.若

數(shù)學(xué)答案

第I卷

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.答案：D

2.答案：C

3.答案：C

4.答案：A

5.答案：C

6.答案：C

7.答案：B

8.答案：B

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.答案：ACD

10.答案：AB

11.答案：ACD

12.答案：BD

第n卷

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13.答案：-60

14.答案：立

3

15.答案：5

答案：二+21=1或工+片=115

16.

2516167

四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.答案：(1)a=2n-l.(2)T=-----.

n"2〃+1

(1)等差數(shù)列｛可｝的前〃項(xiàng)和"=,

63(4+%3)

得21=2=3、32=9,

^2i21(q+%i)a”

2

因?yàn)?I=21,所以62=63,

等差數(shù)列｛a,,｝的公差d==出齊=2,

所以，an=a]l+(〃-ll)d=21+2(n—11)=2M—1.

入1If111

由(1)可知a=有ns7-7-7-7-

(2〃一1)(2n+1)212〃-12n+ly

n

~2n+l

18.答案：答案見(jiàn)解析.

解：方案一：選條件①②.

因?yàn)?c—4a=15cosA,b-3,所以5c-%=5bcosA,

由正弦定理得5sinC—4sinA=5sinBcosA.

因?yàn)閟inC=sin(A+B)=sinAcos8+cosAsin8,所以5cos5sinA=4sinA.

因?yàn)閟inA>0,所以cosB=1,sinB=A/1-COS2B=.

TTTT

因?yàn)锳=CH—,A+JB+C=7C,所以3=---2C,

22

所以cos2c=cosf-=sinB=—,所以sin?C=--cos.

UJ525

因?yàn)镃e(O,7r),所以sinC=t，

在AABC中，由正弦定理得，=竺竺\=「^=非.

sin83

5

方案二：選條件①③.

因?yàn)镾='a〃sinC=3,b=3,所以asinC=2.

2

TTTT

因?yàn)锳=C+—,A+B+C=n,所以8=——2C.

22

3sin1c+0

,.,,——bsmAI2J3cosC

在ZMBC中，由正弦定理Z得r1。=—~丁=—/-----(=——

sinB.(n}cos2C

sin——2C

(2J

所以3smecosC=2,即3^2c=4cos2c.

cos2C

TT

0<A=CH—<7i兀

因?yàn)椋?,所以0<C<—,0<2C<K,

2

0<C<7l

所以sin2C>0,所以cos2c>0.

3

又sin?2C+cos22c=1，所以cos2C=j,

所以sin2c=l-cos2c=),所以sinC=@.

255

bsinC_/?sinC_3x、

」,bsinC

在入45。中，由正弦定理得c=

sinB.(兀a、cos2C3

sin——2C

(2)5

方案三：選條件②③.

因?yàn)?C-4(7=15COSA,b=3,所以5c—4z=5Z?cosA,

由正弦定理得5sinC-4sinA=5sin8cosA,

因?yàn)閟inC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

所以5cosBsinA=4sinA.

因?yàn)閟inA>0,所以cos3=《，sin3=，l-cos-3=《.

因?yàn)镾=」acsin8=3,所以ac=10.(i)

2

在△ABC中，由余弦定理得》2=。2+02一24853,

所以/+/=25.（ii）

由（i）（ii）解得c=石或c=2百.

19.答案：（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在幾=!使得平面AP廠與平面BCE所成的銳二面角的余弦

2

值為運(yùn).

13

（1）取A3的中點(diǎn)G，連接。G，

vBG=-AB=CD,BG//CD,

2

二四邊形BCDG是平行四邊形，DG=BC=AG=AO=2,

.?.△ADG為等邊三角形，是直角三角形，.?.AD_L3。，

2

?.?平面平面ABC。，3￡>u平面ABC。，A￡>=平面AOED平面ABC。,

..5。，平面ADE,AEu平面ADE,..AE±BD.

（2）F為EB中點(diǎn)即可滿足條件.

取A。的中點(diǎn)“，連接E”，則EHLAD，

取AO的中點(diǎn)“，連接EH,平面平面ABC。，EHu平面￡AD，

所以平面ABC。，EH=0），BD=2g，

如圖建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,

則0（0,0,。），A（2,0,0）,B（0,2A/3,0）,C（-l,V3,0）,41,0,百），

則方=（2,0,0）,Cfi=（l,V3,0）,麗=（—1,2百，一百），EF=AEB^（-A,2732,-732）,

DF=（1-2,2732,A/3-V3A）,

設(shè)平面A。/7的法向量為，〃=（N，X，Z1）,平面8CE的法向量為〃=（X2，〉2，Z2）.

[DFm=Q11-/0內(nèi)+2&>+（g-&）4=0,、

由《一，得>取必=（0,2—1,24）；

[DAm=0[2%=0

[CBn=0

由《一

M產(chǎn)丁，取一，叫,

同〃=0-2為2-任2=0

|A-l+6/l|病

于是,|cos(m,n)|=

V13-A/5/12-2A+17T

解得x=_L或尤=-_L（舍去）,

23

所以存在4=,使得平面ADE與平面BCE所成的銳二面角的余弦值為姮

213

20.答案：（1）』；（2）①〃丫（ZeN*且&22）；②8.

10⑴

（1）記恰好經(jīng)過(guò)3次檢驗(yàn)就能把陽(yáng)性樣本全部檢驗(yàn)出來(lái)為A事件,

則「⑷=必涔1$

1U

（2）①根據(jù)題意，可知后（。）=3&的可能值為1，k+1，

則P&=1）=（1-p）",P（5=%+1）=1—（1—0”,

所以E（42）=（i_py+（攵+1）（1-（1一.?）=%+1-%（1一0）”,

由￡（。）=七（5）,得左=左+1-刈1一0）"，

所以p=l—（4丫（左wN*且AN2）.

_j__k

②由于p=l—J],則E4）=Z+1-履V，

_*k

所以左+1—&>4〈人，即In%—生〉0,

4

設(shè)/（x）=lnx_J,==x〉0，

4x44x

當(dāng)x?0,4）時(shí)，/（力>。f（x）在（0,4）上單調(diào)遞增;

當(dāng)xe（4,+?）時(shí)，/'（x）<0,“X）在（4,物）上單調(diào)遞減，

QQ

/（8）=ln8-2=31n2-2>0,/（9）=ln9-^=21n3-^<0,

所以々的最大值為8.

21.答案：(1)—+^-=1；(2)6.

43

2,b21

e=1一一2=~

a4

（1）由題意，得＜9，解得〃之=4，Z?2=3?

1+4.J

/記

所以橢圓的方程為二+匕=1.

43

（2）由（1）可得耳（一1,0）,

若直線4的斜率為0,則4的方程為》=一1與直線％=1無(wú)交點(diǎn)，不滿足條件;

設(shè)直線4：x=，〃y—l,若加=0,則2=1則不滿足