7.2.4誘導(dǎo)公式-【題型·技巧培優(yōu)系列】2022-2023年高一數(shù)學(xué)同步精講精練（人教B版2019必修第三冊(cè)）（解析版）

7.2.4誘導(dǎo)公式TOC\o"1-3"\h\u題型1利用誘導(dǎo)公式求值 3題型2利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn) 6◆類型1周期與半周期型 6◆類型2互余型 8◆類型3需要討論k的奇偶 9◆類型4化簡(jiǎn)求值 10題型3給值求角 16◆類型1周期與半周期型 17◆類型2互補(bǔ)型 18◆類型3互余型 20題型4誘導(dǎo)公式在函數(shù)中的應(yīng)用 21題型5利用誘導(dǎo)公式證明等式 28知識(shí)點(diǎn)一.誘導(dǎo)公式公式一：sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，tan(α＋2kπ)＝tanα，其中k∈Z.終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等．公式二：1．角π＋α與角α的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．如圖所示．2．公式：sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα.公式三：1．角－α與角α的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱．如圖所示．2．公式：sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα.公式四：1．角π－α與角α的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱．如圖所示．2．公式：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα.公式五：1．角eq\f(π,2)－α與角α的終邊關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，如圖所示．2．公式：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sinα.公式六：1．公式：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sinα.2．公式五與公式六中角的聯(lián)系eq\f(π,2)＋α＝π－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)).公式七：sin(3π2+α)=-cosα：公式八：sin(3π2?α)=-cosα,：知識(shí)點(diǎn)二.誘導(dǎo)公式的記憶口訣：記憶口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，含義：意思是說角(為常整數(shù))的三角函數(shù)值：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)名不變，然后的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)視為銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào).題型1利用誘導(dǎo)公式求值【方法總結(jié)】利用誘導(dǎo)公式求任意角三角函數(shù)值的步驟(1)“負(fù)化正”：用公式一或三來轉(zhuǎn)化；(2)“大化小”：用公式一將角化為0°到360°間的角；(3)“小化銳”：用公式二或四將大于90°的角轉(zhuǎn)化為銳角；(4)“銳求值”：得到銳角的三角函數(shù)后求值．【例題1】和sin1296°的值相等的是()A．sin36°B．－sin36°C．cos36°D．－cos36°【答案】Bsin1296°＝sin(3×360°＋216°)＝sin216°＝sin(180°＋36°)＝－sin36°.【變式1-1】1．求下列三角函數(shù)的值：（1）sin585°；（2）cos1680°；（3）cos?1290°；（4）sin（5）tan390°；（6）sin225°；（7）tan?16π3；（8）cos480【解析】（1）sin585°＝sin(360°＋180°＋45°)＝－sin45°＝－eq\f(\r(2),2).（2）因?yàn)?680°=5×360°?120°，由誘導(dǎo)公式可得cos1680°=cos?120°（3）cos（4）sin2020π（5）tan390（6）sin225（7）tan?（8）cos480（9）cos65（10）tan25π【變式1-1】2．求下列式子的值：（1）tan300°＋sin450°；（2）sin95°＋cos175°；（3）cos?300°?sin17π6；【解析】（1）原式＝tan(360°－60°)＋sin(360°＋90°)＝tan(－60°)＋sin90°＝－tan60°＋1＝－eq\r(3)＋1.（2）原式＝cos5°－cos5°＝0.（3）cos?300°=cos60（4）sin400°sin230°cos850=?sin40【變式1-1】3.求下列式子的值：（1）sineq\f(5π,6)＋taneq\f(7π,4)－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)))；(2)sin(－eq\f(31π,6))－cos(－eq\f(10π,3))；(3)7cos270°＋3sin270°＋tan765°；(4)cos(－120°)sin(－150°)＋tan855°.（5）sineq\f(4,3)π·coseq\f(5,6)π·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)π))【解析】（1）原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,4)))－coseq\f(2π,3)＝sineq\f(π,6)＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,3)))＝sineq\f(π,6)－taneq\f(π,4)＋coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)－1＋eq\f(1,2)＝0.(2)原式＝－sin(4π＋eq\f(7π,6))－cos(2π＋eq\f(4π,3))＝－sin(π＋eq\f(π,6))－cos(π＋eq\f(π,3))＝sineq\f(π,6)＋coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝1.(3)原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＝－7cos90°－3sin90°＋tan45°＝0－3＋1＝－2.(4)原式＝cos120°(－sin150°)＋tan855°＝－cos(180°－60°)sin(180°－30°)＋tan(135°＋2×360°)＝－(－cos60°)sin30°＋tan135°＝－(－cos60°)sin30°＋tan(180°－45°)＝－(－cos60°)sin30°－tan45°＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)－1＝－eq\f(3,4).（5）原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)))·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π－\f(π,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－sin\f(π,3)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos\f(π,6)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－tan\f(π,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×(－eq\r(3))＝－eq\f(3\r(3),4).【變式1-1】4．（2023秋·河北石家莊·高一石家莊一中?？茧A段練習(xí)）2025年對(duì)于我們2022級(jí)同學(xué)來講是重要的一年，在那一年的6月7日我們將迎來高考．下列說法正確的是（

）A．sin2025°=C．tan2025°=1【答案】C【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和同角公式計(jì)算可得答案.【詳解】sin2025°=sin5×360°+225°cos2025°=cos5×360°+225°tan2025|sin2025°|=|?故選：C【變式1-1】5．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高三校聯(lián)考期末）黑洞原指非常奇怪的天體，它體積小、密度大、吸引力強(qiáng)，任何物體到了它那里都別想再出來，數(shù)字中也有類似的“黑洞”.任意取一個(gè)數(shù)字串，長(zhǎng)度不限，依次寫出該數(shù)字串中偶數(shù)的個(gè)數(shù)、奇數(shù)的個(gè)數(shù)以及總的數(shù)字個(gè)數(shù)，把這三個(gè)數(shù)從左到右寫成一個(gè)新的數(shù)字串.重復(fù)以上工作，最后會(huì)得到一個(gè)反復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字串，我們稱它為“數(shù)字黑洞”，如果把這個(gè)數(shù)字串設(shè)為a，則cosaA．32 B．?32 C．1【答案】C【分析】根據(jù)“數(shù)字黑洞”的定義，任取一個(gè)數(shù)字串,確定“數(shù)字黑洞”，根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式計(jì)算，可得答案.【詳解】根據(jù)“數(shù)字黑洞”的定義，任取數(shù)字2021，經(jīng)過第一步之后為314，經(jīng)過第二步之后為123，再變?yōu)?23，再變?yōu)?23，所以“數(shù)字黑洞”為123，即a=123則cosa故選:C.題型2利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)【方法總結(jié)】三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的常用方法(1)利用誘導(dǎo)公式，將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)．(2)切化弦：一般需將表達(dá)式中的切函數(shù)轉(zhuǎn)化為弦函數(shù)．(3)注意“1”的代換：1＝sin2α＋cos2α＝taneq\f(π,4).◆類型1周期與半周期型【例題2-1】化簡(jiǎn)：sin(－α)cos(π＋α)tan(2π＋α)＝.【答案】sin2α【解析】原式＝(－sinα)(－cosα)tanα＝sinαcosαeq\f(sinα,cosα)＝sin2α.【變式2-1】化簡(jiǎn)：(1)cos(?α)tan(7π+α)sin(?α(4)sin(540°+α)cos(?α)tan(α?（7）sin(π?α)【解析】(1)cos(?α)tan(7π+α)sin(?α)＝eq\f(cosαtanπ＋α,sinα)＝eq\f(cosα·tanα,sinα)＝eq\f(sinα,sinα)＝1.(2)原式＝sin(4×360°+α)cos(3×360°?α)cos(180°+α)[?sin(α+180°)]＝(3)原式＝eq\f(－cosα·sinα,－sinπ＋α·cosπ＋α)＝eq\f(cosαsinα,sinα·cosα)＝1.(4)eq\f(sin540°＋α·cos－α,tanα－180°)＝eq\f(sin180°＋α·cosα,tanα)＝eq\f(－sinα·cosα,tanα)＝－cos2α.(5)eq\f(sin2π＋αcos－π＋α,cos－αtanα)＝eq\f(sinα－cosα,cosαtanα)＝－cosα.（6）原式=?sin（7）sin(π?（8）sin【例題2-2】（2023秋·吉林·高一吉林市田家炳高級(jí)中學(xué)?？计谀?+2cosA．sin5?cos5 B．cos5?sin5C．sin5+cos5 D．?cos5?sin5【答案】B【分析】利用誘導(dǎo)公式、商數(shù)關(guān)系和完全平方關(guān)系求解【詳解】1+2cos2π?5因?yàn)?∈3π2,2π，所以sin5<0,cos5>0故選：B.【變式2-2】化簡(jiǎn)：（1）1+2sin(π?2)?cos(π?2)；（2）1+2cos（3）1+2sin【解析】（1）1+2sin(π?2)?cos(π?2)=又因?yàn)榻?時(shí)第二象限角，所以sin2>0,cos2<0，所以sin2?cos2=sin2?cos21+2cos2π?3tanπ?3，=sin3?cos3，因?yàn)?∈π2,π，所以sin3>0,cos3<0，所以（3）1+2sinπ?4cosπ?4，=◆類型2互余型【例題2-3】化簡(jiǎn)：sin(π＋α)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))cos(π＋α)＝.【答案】－1【解析】原式＝－sinα·sinα－cosα·cosα＝－1.【變式2-3】1.化簡(jiǎn)：（1）2sin(π+α)cos(π?α【答案】（1）2sin(π+α)cos(π?==2sin（2）原式=cos【變式2-3】2．（多選）（2023秋·廣東廣州·高一校考期末）若角A,B,A．cos(A+B)=cosC B．sin(A【答案】BCD【分析】利用三角形內(nèi)角和為π及誘導(dǎo)公式逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】cos(Asin(AcosAsinB故選：BCD◆類型3需要討論k的奇偶【例題2-4】設(shè)為整數(shù)，化簡(jiǎn)．【答案】?1【解析】當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，綜上可得，．【變式2-4】化簡(jiǎn)：（1）；（2），．【答案】（1），當(dāng)時(shí)，上式；當(dāng)時(shí)，上式．（2）當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，原式．◆類型4化簡(jiǎn)求值【例題2-5】（2022秋·山東菏澤·高一?？茧A段練習(xí)）已知cosα=?35，且【答案】?3【分析】由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值.【詳解】由cosα=?3故答案為：?【變式2-5】1．（2023秋·吉林·高一吉林省實(shí)驗(yàn)?？计谀┮阎猻inα?πA．13 B．1 C．?13【答案】B【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可求解.【詳解】由sinα?π2+2cos所以tanα故選：B.【變式2-5】2．（2023秋·天津靜海·高一靜海一中?？计谀┮阎猻in2π?【答案】5【分析】利用誘導(dǎo)公式將已知條件進(jìn)行化簡(jiǎn)成sinα【詳解】sin=?sinαcos則sinα故答案為：5.【變式2-5】3．（2023秋·浙江寧波·高一校聯(lián)考期末）已知角θ的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過Asin4πA．?32 B．32 C．1【答案】D【分析】首先根據(jù)三角函數(shù)的定義得到sinθ【詳解】已知角θ終邊經(jīng)過Asin所以sinθ所以cos5故選：D【變式2-5】4．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考期末）已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)Psin138°A．3 B．33 C．?3 【答案】D【分析】利用三角函數(shù)定義和誘導(dǎo)公式六得出點(diǎn)P與角α的關(guān)系，再利用誘導(dǎo)公式一即可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閏os138°<0,sin138°由三角函數(shù)定義得tanα所以α=?所以tanα故選：D.【變式2-5】5．（2023秋·陜西榆林·高一陜西省榆林中學(xué)?？计谀┤艉瘮?shù)y=a2x+4+3(a>0且aA．－35 B．－255 C．5【答案】C【分析】求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用三角函數(shù)的定義以及誘導(dǎo)公式可求得sin3π【詳解】當(dāng)2x+4=0，即x=?2時(shí)，y所以cosθ=?2故選：C.【變式2-5】6.(多選)（2023秋·山東濟(jì)寧·高一?？计谀┮阎猻inxA．sinπ?x=C．sinπ2?【答案】ACD【分析】先通過條件求出cosx【詳解】由已知sinx得cos對(duì)于A：sinπ?對(duì)于B：sinx對(duì)于C：sinπ對(duì)于D：sinx故選：ACD.【變式2-5】7.（廣東省惠州市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，已知角α頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P?(1)分別求出sinα、cosα和(2)求cosπ【答案】(1)31010，?1010【分析】（1）根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義進(jìn)行求解即可；（2）利用誘導(dǎo)公式，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）由三角函數(shù)定義知sinα所以cosαtanα（2）cosπ=tanα+1【變式2-5】8．（2023秋·新疆烏魯木齊·高一校考期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α，β0<α<π2<β<π的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，始邊為x的非負(fù)半軸，終邊分別與單位圓交于A，B兩點(diǎn)，(1)求tanβ(2)化簡(jiǎn)并求值cosπ【答案】(1)?(2)?【分析】（1）利用三角函數(shù)的定義求出sinβ和cosβ，即可求出（2）先利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，進(jìn)而求解．【詳解】（1）由題意，根據(jù)三角函數(shù)的定義，sinα=3由0<α<πcosβ所以tanβ（2）由（1）知cosα所以cosπ【變式2-5】9．（2023秋·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期末）（1）化簡(jiǎn)：cos?（2）已知關(guān)于x的方程x2?52x+a【答案】（1）1；（2）±【分析】(1)根據(jù)誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解；(2)根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和完全平方公式即可求解.【詳解】（1）原式=cosα(?cos（2）由題意可知sinθ+cosθ又sin2θ+(sinθ即sinθ【變式2-5】10．求下列式子的值（1）sin21°＋sin22°＋sin245°＋sin288°＋sin289°；（2）sin262°+tan54°·tan45°·tan36°+sin228°【答案】（1）原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋sin245°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＝1＋1＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,2).（2）原式=sin262°+tan54°·1·tan(90°-54°)+sin2(90°-62°)=sin262°+tan54°·1tan54°+cos2【變式2-5】11．＝－eq\r(2)cos(π＋β)同時(shí)成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】假設(shè)存在角α，β滿足條件，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝\r(2)sinβ，①,\r(3)cosα＝\r(2)cosβ，②))由①2＋②2得sin2α＋3cos2α＝2.∴cos2α＝eq\f(1,2)，∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴cosα＝eq\f(\r(2),2)，∴α＝±eq\f(π,4).當(dāng)α＝eq\f(π,4)時(shí)，cosβ＝eq\f(\r(3),2)，∵0<β<π，∴β＝eq\f(π,6)；當(dāng)α＝－eq\f(π,4)時(shí)，cosβ＝eq\f(\r(3),2)，∵0<β<π，∴β＝eq\f(π,6)，此時(shí)①式不成立，故舍去．∴存在α＝eq\f(π,4)，β＝eq\f(π,6)滿足條件．【變式2-5】12．（2020春·上海楊浦·高一復(fù)旦附中?？茧A段練習(xí)）對(duì)于△ABC，若存在△A1B1C1，滿足sin【答案】3π4##【分析】由于因?yàn)閟inA,sinB,sinC>0，得cosA【詳解】因?yàn)閟inA,sinB所以△A若△ABC也是銳角三角形，由sinA=cos三式相加，得A+所以△ABC是鈍角三角形，不妨設(shè)鈍角為A則sinπ?A=sin三式相加得B又因?yàn)锽+所以A=故答案為：3π題型3給值求角【方法總結(jié)】條件求值問題的策略（1）條件求值問題，首先要仔細(xì)觀察條件與所求式之間的角、函數(shù)名稱及有關(guān)運(yùn)算之間的差異及聯(lián)系.（2）將已知式進(jìn)行變形向所求式轉(zhuǎn)化，或?qū)⑺笫竭M(jìn)行變形向已知式轉(zhuǎn)化.◆類型1周期與半周期型【例題3-1】（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）已知sinπ?x=13【答案】24##【分析】先利用誘導(dǎo)公式求出sinx=13，再由同角三角函數(shù)的關(guān)系求出【詳解】由sinπ?x=因?yàn)閤∈所以cosx所以tanx故答案為：24【變式3-1】1．若cos(π－α)＝eq\f(1,3)，則cosα＝.【答案】－eq\f(1,3)【解析】∵cos(π－α)＝－cosα＝eq\f(1,3)，∴cosα＝－eq\f(1,3).【變式3-1】2.已知cos(π－α)＝－eq\f(3,5)，且α是第一象限角，則sin(－2π－α)的值是()A.eq\f(4,5)B．－eq\f(4,5)C．±eq\f(4,5)D.eq\f(3,5)【答案】B【解析】因?yàn)閏os(π－α)＝－cosα＝－eq\f(3,5)，所以cosα＝eq\f(3,5)，因?yàn)棣潦堑谝幌笙藿?，所以sinα>0，所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2)＝eq\f(4,5).所以sin(－2π－α)＝sin(－α)＝－sinα＝－eq\f(4,5).【變式3-1】3．已知cos(π＋α)＝-eq\f(3,5)，π<α<2π，則sin(α-3π)＋cos(α－π)＝.【答案eq\f(1,5)【解析】∵cos(π＋α)＝－cosα＝－eq\f(3,5)，∴cosα＝eq\f(3,5)，又∵π<α<2π，∴eq\f(3π,2)<α<2π，∴sinα＝－eq\f(4,5).∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)＝－sin(π－α)＋(－cosα)＝－sinα－cosα＝－(sinα＋cosα)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)＋\f(3,5)))＝eq\f(1,5).【變式3-1】4．已知sin(π－α)＝eq\f(1,3)，則sin(α－2019π)的值為()A.eq\f(2\r(2),3)B．－eq\f(2\r(2),3)C.eq\f(1,3)D．－eq\f(1,3)【答案】D【解析】sin(α－2019π)＝sin(α－π)＝－sin(π－α)＝－eq\f(1,3).◆類型2互補(bǔ)型【方法總結(jié)】eq\f(π,4)＋θ與eq\f(3π,4)－θ等【例題3-2】（2023秋·山東臨沂·高一?？计谀┮阎猻inπ7?A．23 B．53 C．?2【答案】C【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】sin6故選：C.【變式3-2】1．（2023秋·山東東營(yíng)·高三東營(yíng)市第一中學(xué)校考期末）已知cos75°+α=A．?12 B．?32 C．【答案】A【分析】由于105°?α【詳解】因?yàn)?05°?α=180°?所以cos105°?故選：A【變式3-2】2．已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,3)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋α))等于()A.eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C.eq\f(2\r(3),3)D．－eq\f(2\r(3),3)【答案】B【解析】因?yàn)閠aneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋α))＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))))＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋α))＝－eq\f(1,3).【變式3-2】3.若sin(－110°)＝a，則tan70°等于()A.eq\f(a,\r(1－a2))B．－eq\f(a,\r(1－a2))C.eq\f(a,\r(1＋a2))D．－eq\f(a,\r(1＋a2))【答案】B【解析】∵sin(－110°)＝－sin110°＝－sin(180°－70°)＝－sin70°＝a，∴sin70°＝－a，∴cos70°＝eq\r(1－－a2)＝eq\r(1－a2)，∴tan70°＝eq\f(sin70°,cos70°)＝－eq\f(a,\r(1－a2)).【變式3-2】4．設(shè)sin160°＝a，則cos340°的值是()A．1－a2B.eq\r(1－a2)C．－eq\r(1－a2)D．±eq\r(1－a2)【答案】B【解析】因?yàn)閟in160°＝a，所以sin(180°－20°)＝sin20°＝a，而cos340°＝cos(360°－20°)＝cos20°＝eq\r(1－a2).◆類型3互余型【方法總結(jié)】【例題3-3】（2022秋·廣東深圳·高一?？计谀┤籀潦堑谝幌笙藿牵襝osπ3+【答案】5【分析】由條件結(jié)合誘導(dǎo)公式求sinπ6?【詳解】因?yàn)閏osπ3+所以sinπ又α是第一象限角，所以2k所以?2kπ?π3<所以cosπ故答案為：5【變式3-3】1．（2022秋·安徽蕪湖·高一蕪湖一中?？计谀┮阎猚osπ6?【答案】12【分析】由誘導(dǎo)公式可得答案.【詳解】由誘導(dǎo)公式，sin4π故答案為：12【變式3-3】2．（2022秋·湖南株洲·高一株洲二中校考期末）已知cosπ3?【答案】0【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】sin故答案為：0【變式3-3】3.已知sin25.3°＝a，則cos64.7°等于()A．a(chǎn)B．－aC．a(chǎn)2D.eq\r(1－a2)【答案】A【解析】cos64.7°＝cos(90°－25.3°)＝sin25.3°＝a.【變式3-3】4．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，則cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是()A．－eq\f(2a,3)B．－eq\f(3a,2)C.eq\f(2a,3)D.eq\f(3a,2)【答案】B【解析】由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，得－sinα－sinα＝－a，即sinα＝eq\f(a,2).cos(270°－α)＋2sin(360°－α)＝－sinα－2sinα＝－3sinα＝－eq\f(3,2)a.題型4誘導(dǎo)公式在函數(shù)中的應(yīng)用【例題4-1】已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinπx，x<0，,fx－1－1，x>0，))則f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,6)))＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,6)))的值為．【答案】－2【解析】因?yàn)閒

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,6)π))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π＋\f(π,6)))＝sineq\f(π,6)＝eq\f(1,2)；f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,6)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))－1＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)))－2＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))－2＝－eq\f(1,2)－2＝－eq\f(5,2).所以f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,6)))＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,6)))＝－2.【變式4-1】1．（2023秋·貴州黔東南·高二凱里一中?？计谀┮阎瘮?shù)f(x)=【答案】1【分析】根據(jù)給定的分段函數(shù)，依次代入計(jì)算作答.【詳解】依題意，f?7=tan(?7故答案為：1【變式4-1】2．（2022秋·重慶南岸·高三重慶市第十一中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=sin【答案】π【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義即可求解.【詳解】因?yàn)樵摵瘮?shù)為偶函數(shù)，所以f(當(dāng)x>0時(shí)，有cos(x+于是有：x+α=2解得：α=2當(dāng)x<0時(shí)，有sinx=cos(?于是有?x+α解得：α=2kπ+π2故答案為：π2【變式4-1】3．（2021秋·河南許昌·高一?？茧A段練習(xí)）已知f(sinx)=sin3A．?32 B．32 C．?【答案】A【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式可得cos10°=sin80°，進(jìn)而帶值求解即可.【詳解】因?yàn)閏os10°=sin80°，所以fcos10°故選：A.【變式4-1】4．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高一期末）已知f(sinx)=tan3【答案】3【分析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，結(jié)合題目中定義的函數(shù)，可得答案.【詳解】由誘導(dǎo)公式，可得cos20則fcos20°故答案為：33【變式4-1】5．（2022春·上海徐匯·高一上海市南洋模范中學(xué)校考開學(xué)考試）設(shè)f(x)=asin(πx+【答案】1【分析】直接代入f(2021)，f【詳解】f(2021)=即asin則f(2022)=故答案為：1.【變式4-1】6．（2022秋·湖北武漢·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)fx=mcosx+α+ncosx+βA．對(duì)任意實(shí)數(shù)x，fx=0 B．存在實(shí)數(shù)xC．對(duì)任意實(shí)數(shù)x，fx>0 D．存在實(shí)數(shù)x【答案】A【分析】根據(jù)f(0)=f(π2)=0，可推出【詳解】由題意知f(0)=f(即mcos兩式兩邊平方后可得m2=n2，故若m=n≠0，則cos此時(shí)f(若m=?n≠0，則cos此時(shí)f(若m=n=0或m=?n=0，則則A正確，B,C,D錯(cuò)誤，故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知等式化簡(jiǎn)得到m和n之間的關(guān)系，然后分類討論，化簡(jiǎn)即可解決問題.【例題4-2】（2022秋·湖北武漢·高一統(tǒng)考期末）已知fθ=sinθ?【答案】?【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)fθ，結(jié)果為cosθ，結(jié)合fπ6?θ=【詳解】由題意fθ由fπ6?故f5π故答案為：?【變式4-2】1．（2023秋·湖北孝感·高一統(tǒng)考期末）已知f(1)化簡(jiǎn)fα(2)若α=2160°(3)若fα=14，且【答案】(1)fα(2)1(3)cos【分析】（1）直接利用誘導(dǎo)公式即可得到化簡(jiǎn)得fα（2）f2160（3）根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求得sinα=15【詳解】（1）由題知f=（2）因?yàn)棣?2160°所以f2160（3）因?yàn)閒α=14，且0<所以cos【變式4-2】2．（2023春·四川綿陽·高一校考開學(xué)考試）已知f(1)化簡(jiǎn)fα(2)已知tanα=2，求【答案】(1)3sinα(2)1.【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式直接計(jì)算化簡(jiǎn)即可；（2）根據(jù)齊次式求解即可.【詳解】（1）解：根據(jù)誘導(dǎo)公式得：f（2）解：由（1）知fα因?yàn)閠anα所以f【變式4-2】3．（2022秋·河南開封·高一?？计谀┮阎猣α(1)若α是第三象限角