分式運(yùn)算的幾種技巧(專題復(fù)習(xí))超好的整理資料

分式運(yùn)算的幾種技巧(專題復(fù)習(xí))超好的整理資料

本文介紹了分式運(yùn)算的幾種技巧。分式運(yùn)算的一般方法是按照分式運(yùn)算法則和運(yùn)算順序進(jìn)行運(yùn)算，但對于某些較復(fù)雜的題目，使用一般方法有時(shí)計(jì)算量太大，導(dǎo)致出錯(cuò)，甚至算不出來。因此，我們需要掌握以下幾種技巧。一、整體通分法對于分式與整式的加減運(yùn)算，如果能把整式看作分母是1的分式，并把整式看作一個(gè)整體，提取“-”后再通分，會使運(yùn)算更加簡便。例如，對于分式a2/a1，可以看作整式(-a-1)的分式形式(-a-1)/1，然后通分，得到-a2/(a1(a+1))。二、先約分后通分法對于各個(gè)分式并非最簡分式的題目，可以先化簡再通分計(jì)算，這樣會方便許多。例如，對于分式x2/3x2和x2/2x，可以化簡為(x+2)/(x-1)和(x-2)/(x-1)，然后通分，得到(x+2)(x-2)/(x-1)2。三、分組加減法對于項(xiàng)數(shù)較多、分母不相同的題目，可以考慮分組，使各組運(yùn)算后的結(jié)果能出現(xiàn)分子為常數(shù)、相同或倍數(shù)關(guān)系，這樣才能使運(yùn)算簡便。例如，對于分式a-2+a+1-a-1-a+2，可以分組為(a-2-a+2)+(a+1-a-1)，然后化簡，得到2a-3。四、分離整數(shù)法當(dāng)算式中各分式的分子次數(shù)與分母次數(shù)相同時(shí)，可以先利用分裂整數(shù)法對分子降次后再通分，或者在解某些分式方程中使用分裂整數(shù)法。例如，對于分式(x1)(x2)(x4)(x3)/(x1x2x4x3)，可以分裂為(1/x1)(1/x2)(1/x4)(1/x3)，然后通分，得到1。五、逐項(xiàng)通分法對于一次通分計(jì)算量太大的題目，可以采用逐項(xiàng)通分法，即依次通分構(gòu)成平方差公式，分段分步計(jì)算。例如，對于分式1/(1-x)(a-x)(a+x)(a2-x2)，可以分段分步計(jì)算，得到-1/[(a2-1)(a-x)(a+x)]。六、裂項(xiàng)相消法對于分式中有相同的分子或分母的項(xiàng)，可以采用裂項(xiàng)相消法，即把相同的項(xiàng)分別裂開，然后相消。例如，對于分式1/2-1/4-1/8-1/16-1/48-1/96-1/256，可以裂項(xiàng)相消，得到1/2-7/256。分析：本題需要剔除格式錯(cuò)誤和明顯有問題的段落，然后對每段話進(jìn)行小幅度的改寫，使其更加清晰易懂。解：例7.已知$\frac{2x-5xy+2y}{yx+2xy+yx}=\frac{2}{11}$，求$\frac{1}{1+1/x+1/y}$的值。解法1：由$\frac{2x-5xy+2y}{yx+2xy+yx}=\frac{2}{11}$得，$xy\neq0$，所以$$\frac{1}{1+1/x+1/y}=\frac{1}{\frac{x+y+xy}{xy}}=\frac{xy}{x+y+xy}$$將$\frac{2x-5xy+2y}{yx+2xy+yx}=\frac{2}{11}$代入，得$$\frac{xy}{x+y+xy}=\frac{5}{27}$$解法2：由$\frac{2x-5xy+2y}{yx+2xy+yx}=\frac{2}{11}$得，$xy\neq0$，且$x+y=5xy$，所以$$\frac{1}{1+1/x+1/y}=\frac{1}{\frac{x+y+xy}{xy}}=\frac{xy}{x+y+xy}=\frac{xy}{6xy}=\frac{1}{6}$$練習(xí)：若$\frac{11}{3x+5xy-3y}=\frac{5}{x-3xy-y}$，求$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的值。答案：將$\frac{11}{3x+5xy-3y}=\frac{5}{x-3xy-y}$化簡得$3x+5xy-3y=-\frac{11}{5}(x-3xy-y)$，代入$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$，得$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=\frac{3x+5xy-3y}{xy}=\frac{-11}{5}$$例8.已知$a^2-5a+1=0$，計(jì)算$a^4+\frac{1}{a^4}$。由已知條件可得$a\neq0$，所以$a^4+\frac{1}{a^4}=\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)^2-2=\left(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2-2\right)^2-2=\left((5-2)^2-2\right)^2-2=527$。練習(xí)：（1）已知$x+3x+1=0$，求$\frac{2}{x}$的值。解：將$x+3x+1=0$化簡得$x=-\frac{1}{3}$，所以$\frac{2}{x}=-6$。例9.已知$\frac{b+ca+ca+b}{abc}=\frac{3}{a+b+c}$，計(jì)算：$$\frac{b+ca+ca+b}{b+ca+ca+b}$$解：設(shè)$\frac{b+c}{a}=\frac{a+c}=\frac{a+b}{c}=k$，則$b+c=ak$，$a+c=bk$，$a+b=ck$。將這三個(gè)等式相加得$2(a+b+c)=(a+b+c)k$。若$a+b+c=0$，則$a+b=-c$，所以$k=-1$。若$a+b+c\neq0$，則$k=2$。因此，$$\frac{b+ca+ca+b}{abc}=\begin{cases}-1\quad\text{若}\;a+b+c=0\\3\quad\text{若}\;a+b+c\neq0\end{cases}$$練習(xí)：（1）已知實(shí)數(shù)$x$、$y$滿足$x:y=1:2$，則$\frac{x-y}{x+y}$的值為多少？解：由$x:y=1:2$得$x=2y$，所以$$\frac{x-y}{x+y}=\frac{2y-y}{2y+y}=\frac{1}{3}$$（2）已知$\frac{3x-y}{x+y}=\frac{2x-3y+4z}{xyz}$，求$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$的值。解：將$\frac{3x-y}{x+y}=\frac{2x-3y+4z}{xyz}$化簡得$3x+5y-3z=-\frac{11}{5}(x-3y-y)$，代入$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$，得$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{x+y+z}{xyz}=\frac{3x+5y-3z}{xyz}=-\frac{11}{15}$$例10.已知$\frac{2a^2}{4a+1}=\frac{7}{a+7}$，求$\frac{2a+a^2+1}{a^2-a+1}$的值。解：由已知條件可得$a\neq0$，所以$\frac{2a^2}{4a+1}=\frac{7}{a+7}$可化簡為$a^2+3a-2=0$，解得$a=1$或$a=-2$。因此，$$\frac{2a+a^2+1}{a^2-a+1}=\begin{cases}5\quad\text{若}\;a=1\\-\frac{1}{3}\quad\text{若}\;a=-2\end{cases}$$沒有明顯的格式錯(cuò)誤和問題段落，但是需要將數(shù)學(xué)公式進(jìn)行編輯和排版，同時(shí)需要將題目和解答分開。題目：1.已知a+=5，則4=a++1=(a+)-1=22aa49aa249∴4=a+a2+115a212.已知abc=1，則abc++=ab+a+1bc+b+1ca+c+13.已知xyz≠0,x+y+z=0,計(jì)算y+zx+zx+y++yxz4.已知2x-3y+4zxyz=4563zx2+y2+z25.已知3a-4b-c=0,2a+b-8c=0,計(jì)算ab+bc+ac6.計(jì)算以下混合運(yùn)算題目：a)x2a2+3a+1x+3yx+2y2x-3y-1b)(3)-(1)2c)(2)2-x-1d)a-1a-1x-1x-y2x2-y2y2-x2e)a+633132xyxya-+-f)(4)+(5)-(6)g)x-y2x+y-y2y2-x2x+66-2x9-x2a-3a-3aah)(1-aaa2-4x)2x1x2-y23x(7)-x-(8)(9)-x-3x-4a+2axyx+2x-2x-2i)x2-2x+1x-3x-35a2+b2a2-b2÷(1+2)÷(11)(10)+2)÷÷(x+2-)(12)÷j)2aba-bx+1x-1x-2x-2xx+3x2+2x+1x+2x-1x2-16÷÷(13)(14)-k)(2x-1x2-1x+3x-2)÷x÷x2-4x+4x2+4x(15)解答：1.已知a+=5，則4=a++1=(a+)-1=22aa49aa249∴4=a+a2+115a21將公式排版為：已知a+=5，則4=a++1=(a+)-1=22aa49aa249∴4=a+a2+1/15a212.已知abc=1，則abc++=ab+a+1bc+b+1ca+c+1將公式排版為：已知abc=1，則abc++=ab+a+1/bc+b+1/ca+c+13.已知xyz≠0,x+y+z=0,計(jì)算y+zx+zx+y++yxz將公式排版為：已知xyz≠0,x+y+z=0，計(jì)算(y+zx+zx+y)/(yxz)4.已知2x-3y+4zxyz=4563zx2+y2+z2，求x2+y2+z2/4z2將公式排版為：已知2x-3y+4zxyz=4563z(x2+y2+z2)，求x2+y2+z2/4z25.已知3a-4b-c=0,2a+b-8c=0,計(jì)算ab+bc+ac將公式排版為：已知3a-4b-c=0，2a+b-8c=0，計(jì)算ab+bc+ac6.計(jì)算以下混合運(yùn)算題目：a)x2a2+3a+1x+3yx+2y2x-3y-1將公式排版為：計(jì)算x2/(a2+3a+1)+(x+3y)/(x+2y)-(2x-3y-1)b)(3)-(1)2將公式排版為：計(jì)算(3)-[(1)2]c)(2)2-x-1將公式排版為：計(jì)算[(2)2-x-1]d)a-1a-1x-1x-y2x2-y2y2-x2將公式排版為：計(jì)算a-1/a-1+x-1/x-y2+x2-y2/y2-x2e)a+633132xyxya-+-將公式排版為：計(jì)算(a+6)/(3+3+1)/(2xy+xy)-(a-3)/(a)f)(4)+(5)-(6)將公式排版為：計(jì)算(4)+(5)-(6)g)x-y2x+y-y2y2-x2x+66-2x9-x2a-3a-3aa將公式排版為：計(jì)算(x-y)2/(x+y)-(y2-x2)/(x+6)-2x/(9-x2)-a-3/(a-3a)h)(1-aaa2-4x)2x1x2-y23x(7)-x-(8)(9)-x-3x-4a+2axyx+2x-2x-2將公式排版為：計(jì)算[(1-aaa2-4x)/(x1x2-y2)]-[(3x)/(7-x)-(x-(8)/(9-x))-(3a+4)/(2axyx-2x-2)]i)x2-2x+1x-3x-35a2+b2a2-b2÷(1+2)÷(11)(10)+2)÷÷(x+2-)(12)÷將公式排版為：計(jì)算(x2-2x+1)/(x-3)-5(a2-b2)/[(a2+b2)(1+2)]÷[(11)(10)+2]÷[(x+2)(x-1)]j)2aba-bx+1x-1x-2x-2xx+3x2+2x+1x+2x-1x2-16÷÷(13)(14)-將公式排版為：計(jì)算2a/(ba-bx+1)-(x-1)/(x-2)-(x-2)/(x+3)+(x2-16)/[(13)(14)]k)(2x-1x2-1x+3x-2)÷x÷x2-4x+4x2+4x(15)將公式排版為：計(jì)算[(2x-1)/(x2-1)]/[(x+3)/(x2-4x+4x2+4x)]$x+2x-14-x\div(-1)$，并求當(dāng)$x=-3$時(shí)原式的值?！惧e(cuò)題警示】一、錯(cuò)用分式的基本性質(zhì)例1：化簡$\dfrac{x+1}{2x-4}$錯(cuò)解：$\dfrac{x+1}{2x-4}=\dfrac{3(x+1)}{6(x-2)}=\dfrac{3x+3}{6x-12}=\dfrac{x+1}{2x-4}$分析：分式的基本性質(zhì)是“分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變”，而此題分子乘以3，分母乘以2，違反了分式的基本性質(zhì)。正解：$\dfrac{x+1}{2x-4}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{x+1}{x-2}$二、錯(cuò)在顛倒運(yùn)算順序例2：計(jì)算$\dfrac{2x-1}{x+3}\cdot\dfrac{x+2}{x-1}$錯(cuò)解：$\dfrac{2x-1}{x+3}\cdot\dfrac{x+2}{x-1}=\dfrac{(2x-1)(x+2)}{(x+3)(x-1)}=\dfrac{2x^2+3x-2}{x^2+2x-3}=\dfrac{(x-2)(2x+1)}{(x+3)(x-1)}$分析：乘除是同一級運(yùn)算，除在前應(yīng)先做除，上述錯(cuò)解顛倒了運(yùn)算順序，致使結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤。正解：$\dfrac{2x-1}{x+3}\cdot\dfrac{x+2}{x-1}=\dfrac{2(x-2)(x+1)}{(x+3)(x-1)}$三、錯(cuò)在約分例3：當(dāng)$x$為何值時(shí)，分式$\dfrac{3x-9}{2x-6}$有意義？[錯(cuò)解]原式$\dfrac{3x-9}{2x-6}=\dfrac{3(x-3)}{2(x-3)}=\dfrac{3}{2}$，由$\dfrac{3}{2}$得$x=0$，因此當(dāng)$x=0$時(shí)，分式有意義。[解析]上述解法錯(cuò)在約分這一步，由于約去了分子、分母的公因式致錯(cuò)誤。[正解]由$\dfrac{3x-9}{2x-6}=\dfrac{3(x-3)}{2(x-3)}$且$x\neq3$，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍，而導(dǎo)致$x=3$時(shí)，分式無意義，談不上有值存在，出錯(cuò)的原因是忽視了分母不為零的條件，正確答案是$x\neq3$。四、錯(cuò)在以偏概全例4：當(dāng)$x$為何值時(shí)，分式$\dfrac{x^2-4}{x-2}$的值為零？[錯(cuò)解]由$\dfrac{x^2-4}{x-2}=(x+2)(x-2)$，得$x=-2$或$x=2$時(shí)，原分式的值為零。[解析]上述解法中只考慮了分子的因式$(x+2)(x-2)$，沒有注意整個(gè)分母，犯了以偏概全的錯(cuò)誤。[正解]由$\dfrac{x^2-4}{x-2}=(x+2)(x-2)$，得$x=-2$或$x=2$或$x=2$時(shí)，分式的分母為零，分式無意義，正確答案是$x=-2$或$x=2$且$x\neq2$。五、錯(cuò)在計(jì)算去分母例5：計(jì)算$\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x-2}$[錯(cuò)解]原式$=\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{x-2+x-1}{(x-1)(x-2)}=\dfrac{2x-3}{x^2-3x+2}$[解析]上述解法把分式通分與解方程混淆了，分式計(jì)算是等值代換，不能去分母。[正解]原式$=\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{2x-3}{(x-1)(x-2)}$六、錯(cuò)在只考慮分子沒有顧及分母例6：當(dāng)$x$為何值時(shí)，分式$\dfrac{x^2-5x+6}{x^2-4x+3}$的值為零？[錯(cuò)解]由$\dfrac{x^2-5x+6}{x^2-4x+3}=\dfrac{(x-2)(x-3)}{(x-1)(x-3)}$，得$x=2$或$x=3$時(shí)，原分式的值為零。[解析]當(dāng)$x=1$時(shí)，分式的分母$(x-1)(x-3)$為零，分式無意義，談不上有值存在，出錯(cuò)的原因是忽視了分母不為零的條件。[正解]由$\dfrac{x^2-5x+6}{x^2-4x+3}=\dfrac{(x-2)(x-3)}{(x-1)(x-3)}$，得$x=2$或$x=3$或$x=1$時(shí)，分式的分母為零，分式無意義，正確答案是$x=2$或$x=3$且$x\neq1$。七、錯(cuò)在“且”與“或”的用法例7：當(dāng)$x$為何值時(shí)，分式$\dfr