2021年遼寧省大連市第三十一高級中學(xué)高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析

2021年遼寧省大連市第三十一高級中學(xué)高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.對任意實(shí)數(shù)，，，在下列命題中，真命題是（

）A．是的必要條件

B．是的必要條件C．是的充分條件

D．是的充分條件參考答案：B2.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且a1=，a4=﹣1，則{an}的公比q為（）A．2 B．﹣ C．﹣2 D．參考答案：C【考點(diǎn)】等比數(shù)列．【分析】由已知的題意利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式建立關(guān)于公比的方程即可．【解答】由，故選C．3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入A的值為2，則輸出的P值為()A．2

B．3C．4

D．5參考答案：C4.設(shè)為正數(shù)，且，則下列各式中正確的一個(gè)是 （

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略5.已知條件：，條件：<1，則是成立的

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既非充分也非必要條件參考答案：B6.設(shè)是三條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則能使成立是()A．

B．C．

D．參考答案：C7.用輾轉(zhuǎn)相除法求294和84的最大公約數(shù)時(shí)，需要做除法的次數(shù)是(

)A1

B2

C3

D4參考答案：B略8.如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為()A.1 B.0 C.－1 D.－1或1參考答案：B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的概念，得到復(fù)數(shù)的實(shí)部為0，并且虛部不為0求出m．【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z=m（m+1）+（m2－1）i（i為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，所以，解得m=0；故答案為：B．【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的基本概念；如果復(fù)數(shù)a+bi（a，b是實(shí)數(shù)）是純虛數(shù)，那么a=0并且b≠0．9.平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F1、F2距離之和為常數(shù)2a，則點(diǎn)M的軌跡為(

)A.橢圓

B.圓

C.橢圓或線段或不存在

D.不存在參考答案：C略10.復(fù)數(shù)（A）

（B）

（C）

(D)參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的值域?yàn)?/p>

.參考答案：.12.若拋物線y2=2px的焦點(diǎn)與雙曲線﹣y2=1的右焦點(diǎn)重合，則拋物線上一點(diǎn)P（2，b）到拋物線焦點(diǎn)的距離是．參考答案：4【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)；雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)雙曲線方程可得它的右焦點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合拋物線y2=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)得p=4，利用拋物線的定義，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵雙曲線﹣y2=1中a2=3，b2=1∴c=2，得雙曲線的右焦點(diǎn)為F（2，0）因此拋物線y2=2px的焦點(diǎn)（，0）即F（2，0）∴=2，即p=4，∴拋物線上一點(diǎn)P（2，b）到拋物線焦點(diǎn)的距離是2+2=4故答案為4．13.設(shè)雙曲線（）的漸近線方程為,則該雙曲線的離心率為

參考答案：14.對任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：對原式子變形得到即故得到故答案為：.

15.方程表示曲線C，給出以下命題：①曲線C不可能為圓；

②若1<t<4，則曲線C為橢圓；③若曲線C為雙曲線，則t<1或t>4；④若曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則1<t<.其中真命題的序號是____________(寫出所有正確命題的序號)．參考答案：略16.已知隨機(jī)變量,．則的值為

．參考答案：117.當(dāng)滿足不等式組時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的最小值是

.

參考答案：-3略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.一緝私艇在A處發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向距離12海里的海面上C處有一走私船正以10海里/小時(shí)的速度沿東偏南15°方向逃竄，緝私艇的速度為14海里/小時(shí)。若要在最短的時(shí)間內(nèi)追上該走私船，緝私艇應(yīng)沿北偏東45°+α的方向去追，求追及所需時(shí)間和α角的正弦值。參考答案：解:

設(shè)A,C分別表示緝私艇,走私船的位置,設(shè)經(jīng)過小時(shí)后在B處追上,

則有，

所以所需時(shí)間2小時(shí),略19.（12分）在雅安發(fā)生地震災(zāi)害之后，救災(zāi)指揮部決定建造一批簡易房，供災(zāi)區(qū)群眾臨時(shí)居住，房形為長方體，高2.5米，前后墻用2.5米高的彩色鋼板，兩側(cè)用2.5米高的復(fù)合鋼板，兩種鋼板的價(jià)格都用長度來計(jì)算（即鋼板的高均為2.5米，用長度乘以單價(jià)就是這塊鋼板的價(jià)格），每米單價(jià)：彩色鋼板為450元，復(fù)合鋼板為200元，房頂用其他材料建造，每平方米材料費(fèi)為200元，每套房材料費(fèi)控制在32000元以內(nèi)。（1）設(shè)房前面墻的長為，兩側(cè)墻的長為，一套簡易房所用材料費(fèi)為p，試用。（2）一套簡易房面積S的最大值是多少？當(dāng)S最大時(shí)，前面墻的長度是多少？參考答案：解：（1）依題得，

（2）

又因?yàn)椋獾?/p>

,，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)S取得

最大值。答：每套簡易房面積S的最大值是100平方米，當(dāng)S最大時(shí)前面墻的長度是米。20.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n2+8n，{bn}是等差數(shù)列，且an=bn+bn+1（Ⅰ）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令cn=，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】（Ⅰ）求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，再求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求出數(shù)列{cn}的通項(xiàng)，利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．【解答】解：（Ⅰ）∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，∴a1=11．當(dāng)n≥2時(shí)，．又∵an=6n+5對n=1也成立所以an=6n+5，{bn}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則an=bn+bn+1=2bn+d．當(dāng)n=1時(shí)，2b1=11﹣d；當(dāng)n=2時(shí)，2b2=17﹣d由，解得d=3，所以數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為；（Ⅱ）由，于是，，兩邊同乘以2，得．兩式相減，得==﹣n?2n+2．所以，．21.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓的焦點(diǎn)為（﹣，0）（，0），離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）若圓M：x2+（y﹣m）2=1上的點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為+1，求m的值；（3）過坐標(biāo)原點(diǎn)作斜率為k的直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，點(diǎn)N為橢圓上任意一點(diǎn)（異于點(diǎn)P，Q），設(shè)直線NP，NQ的斜率均存在且分別記為kNp，kNQ．證明：對任意k，恒有kNPkNQ=﹣．參考答案：（1）解：由題意得，解得a=2，b=1，∴橢圓方程為=1．（2）解：設(shè)圓M上任取一點(diǎn)S，橢圓上任取一點(diǎn)T，則ST≤MT+MS=MT+1，故轉(zhuǎn)化為求圓心M到橢圓上點(diǎn)T的距離的最大值，即MT的最大值，設(shè)T（x，y），則MT2=x2+（y﹣m）2，又∵點(diǎn)T在橢圓上，∴，∴MT2=x2+（y﹣m）2=﹣3y2﹣2my+m2+4（﹣1≤y≤1），當(dāng)﹣，即m≥3，此時(shí)y=﹣1，MT2取到最大值為m2+2m+1，∴（m+1）2=5，解得m=﹣1?[3，+∞），舍去，當(dāng)﹣，即m≤﹣3時(shí)，此時(shí)y=1，MT2取到最大值為m2﹣2m+1，∴（m﹣1）2=5，解得m=1?（﹣∞，﹣3]，舍去，當(dāng)﹣1，即﹣3＜m＜3時(shí)，y=﹣，MT2取到最大值為，∴，解得，符合題意，∴m的值為±．（3）證明：根據(jù)題意知P，Q關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴，，∴kNP?kNQ==，又點(diǎn)P，N在橢圓上，∴，兩式相減，得，∴對任意k，恒有kNPkNQ=﹣．考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題．專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題．分析：（1）由題意得，由此能求出橢圓方程．（2）原題轉(zhuǎn)化為求MT取最大值實(shí)數(shù)m的求解，設(shè)T（x，y），則MT2=x2+（y﹣m）2=﹣3y2﹣2my+m2+4（﹣1≤y≤1），由此利用分類討論思想能求出m的值．（3）由已知得kNP?kNQ==，由此能證明對任意k，恒有kNPkNQ=﹣．解答：（1）解：由題意得，解得a=2，b=1，∴橢圓方程為=1．（2）解：設(shè)圓M上任取一點(diǎn)S，橢圓上任取一點(diǎn)T，則ST≤MT+MS=MT+1，故轉(zhuǎn)化為求圓心M到橢圓上點(diǎn)T的距離的最大值，即MT的最大值，設(shè)T（x，y），則MT2=x2+（y﹣m）2，又∵點(diǎn)T在橢圓上，∴，∴MT2=x2+（y﹣m）2=﹣3y2﹣2my+m2+4（﹣1≤y≤1），當(dāng)﹣，即m≥3，此時(shí)y=﹣1，MT2取到最大值為m2+2m+1，∴（m+1）2=5，解得m=﹣1?[3，+∞），舍去，當(dāng)﹣，即m≤﹣3時(shí)，此時(shí)y=1，MT2取到最大值為m2﹣2m+1，∴（m﹣1）2=5，解得m=1?（﹣∞，﹣3]，舍去，當(dāng)﹣1，即﹣3＜m＜3時(shí)，y=﹣，MT2取到最大值為，∴，解得，符合題意，∴m的值為±．（3）證明：根據(jù)題意知P，Q關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴，，∴kNP?kNQ==，又點(diǎn)P，N在橢圓上，∴，兩式相減，得，∴對任意k，恒有kNPkNQ=﹣．點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法，考查直線的斜率之積為定值的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．22.在中，角所對的邊分別為，且滿足，．