數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界課件

數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界一.從現(xiàn)實(shí)世界到數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型是現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)世界的理想橋梁

數(shù)學(xué)模型是對于現(xiàn)實(shí)世界的一個特定對象，為了一個特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律,做出必要的簡化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具建立的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)世界建立數(shù)學(xué)模型推理演繹求解翻譯為實(shí)際解答實(shí)際解答：如對現(xiàn)實(shí)對象的分析、預(yù)報、決策、控制等結(jié)果。始于現(xiàn)實(shí)世界并終于現(xiàn)實(shí)世界例1一場筆墨官司（放射性廢物的處理問題）

美國原子能委員會（現(xiàn)為核管理委員會）處理濃縮放射性廢物，是將廢物放入密封性能很好的圓桶中，然后扔到水深300英尺的海里.他們這種做法安全嗎？分析：可從各個角度去分析造成危險的因素，這里僅考慮圓桶泄露的可能.

聯(lián)想：安全、危險問題的關(guān)鍵*圓桶至多能承受多大的沖撞速度？(40英尺/秒)*圓桶和海底碰撞時的速度有多大？問題：求這一種桶沉入300英尺的海底時的末速度.（原問題是什么?）可利用的數(shù)據(jù)條件：

圓桶的總重量W=527.327（磅）

圓桶受到的浮力B=470.327（磅）

圓桶下沉?xí)r受到的海水阻力D=Cv，C=0.08

可利用牛頓第二定律，建立圓桶下沉位移滿足的微分方程：

方程的解為計算碰撞速度，需確定圓桶和海底的碰撞時間t0

分析：考慮圓桶的極限速度≈713.86（英尺/秒）＞＞40（英尺/秒）

實(shí)際極限速度與圓桶的承受速度相差巨大！

結(jié)論：解決問題的方向是正確的.解決思路：避開求t0的難點(diǎn)

令v=40(英尺/秒)，g=32.2（英尺/秒），算出y=238.4(英尺)＜300（英尺）問題的實(shí)際解答：

美國原子能委員會處理放射性廢物的做法是極其危險的，必須改變。

例2渡口模型

一個渡口的渡船營運(yùn)者擁有一只甲板長32米，可以并排停放兩列車輛的渡船.他在考慮怎樣在甲板上安排過河車輛的位置,才能安全地運(yùn)過最多數(shù)量的車輛.

分析：怎樣安排過河車輛，關(guān)心一次可以運(yùn)多少輛各類車.

準(zhǔn)備工作：觀察數(shù)日，發(fā)現(xiàn)每次情況不盡相同，得到下列數(shù)據(jù)和情況：(1)車輛隨機(jī)到達(dá)，形成一個等待上船的車列；這是一個機(jī)理較復(fù)雜的隨機(jī)問題，是遵循“先到先服務(wù)”的隨機(jī)排隊問題。解決方法采用模擬模型方法.分析

需考慮以下問題：(2)來到車輛中,轎車約占40％，卡車約占55％,摩托車約占5％；(3)轎車車身長為3.5～5.5米,卡車車身長為8～10米.

(1)應(yīng)該怎樣安排摩托車？

(2)下一輛到達(dá)的車是什么類型？(3)怎樣描述一輛車的車身長度？

(4)如何安排到達(dá)車輛加入甲板上兩列車隊中的哪一列中去？

問題的解決：(1)認(rèn)為摩托車不會占有實(shí)際空間.(2)確定即將到達(dá)車輛類型，利用隨機(jī)模擬方法00.550.951卡車轎車自行車汽車類型及車身長模擬原理分析(2)確定隨機(jī)到達(dá)車輛的身長車。(3)關(guān)于車輛的排放.

甲板可停放兩列汽車，可供停車的總長為32×2=64米

排放原則：兩列盡可能均衡。（怎樣實(shí)現(xiàn)？）

結(jié)果分析：由一組特定隨機(jī)數(shù)確定車型和車身長度，僅得到一個解答.

將一組隨機(jī)數(shù)模擬確定的結(jié)果，看成對一次實(shí)際運(yùn)載情況的“觀察”，少數(shù)幾次觀察是無意義的.例3人口增長模型需多次重復(fù)模擬,再進(jìn)行統(tǒng)計分析

據(jù)人口學(xué)家們預(yù)測，到2033年,世界人口將突破100億,每年增加近1億人口,以后還會迅猛增長.人們開始考慮,我們賴以生存的地球究竟是否能承受如此的增長.現(xiàn)建立數(shù)學(xué)模型來預(yù)測人口的增長.

分析設(shè)任意時刻的人口總數(shù)為N(t)，影響一個地區(qū)總?cè)丝跀?shù)的最顯著的因素應(yīng)包括哪些？

影響因素個體的出生、死亡

遷入、遷出

年齡結(jié)構(gòu)

性別比例……現(xiàn)僅考慮出生和死亡對人口數(shù)的影響。

在時間段t內(nèi)，出生和死亡人口數(shù)的變化

將依賴于以下因素：1.時間間隔t的長短；

2.時間間隔開始時的人口基數(shù).

建模過程

模型分析等式左端（以及右端）可以理解為“相對增長率”

對相對增長率做不同的假設(shè)可以建立不同的數(shù)學(xué)模型，并得到不同的解曲線。N(t)=N0ert,t≥0

1.假設(shè)凈相對增長率r=bd

是常數(shù),得到Malthus

模型：

模型分析假若凈增長率r>0,人口的預(yù)測值將以?r為公比按幾何級數(shù)無限增長.

不太符合實(shí)際，原因是假設(shè)條件過于簡單.模型