數(shù)理統(tǒng)計(jì)-區(qū)間估計(jì)幻燈片

§6.4區(qū)間估計(jì)

在前面我們討論了參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)，參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)點(diǎn)是，它的形式是確定的估計(jì)量，因而可以進(jìn)行運(yùn)算.只要給定樣本觀(guān)察值，就能算出參數(shù)的估計(jì)值.但用點(diǎn)估計(jì)的方法得到的估計(jì)值不一定是參數(shù)的真值，即使與真值相等也無(wú)法肯定這種相等（因?yàn)榭傮w參數(shù)本身是未知的），也就是說(shuō)，由點(diǎn)估計(jì)得到的參數(shù)估計(jì)值對(duì)估計(jì)的精度與可靠性沒(méi)有做明確的回答，而在實(shí)際問(wèn)題中，不僅需要知道未知參數(shù)的估計(jì)值，往往還需要知道這些估計(jì)值的精度與可靠性.要解決這些問(wèn)題就要引入?yún)?shù)的區(qū)間估計(jì).在介紹區(qū)間估計(jì)之前，我們先看一個(gè)例子.

引例已知X~N(,1),不同樣本算得的的估計(jì)值不同，因此除了給出的點(diǎn)估計(jì)外,還希望根據(jù)所給的樣本確定一個(gè)隨機(jī)區(qū)間,使其包含參數(shù)真值的概率達(dá)到指定的要求.的無(wú)偏、有效點(diǎn)估計(jì)為隨機(jī)變量常數(shù)如引例中，要找一個(gè)區(qū)間,使其包含的真值的概率為0.95.(設(shè)n=5)取查表得這說(shuō)明即稱(chēng)隨機(jī)區(qū)間為未知參數(shù)的置信度為0.95的置信區(qū)間.反復(fù)抽取容量為5的樣本,都可得一個(gè)區(qū)間,此區(qū)間不一定包含未知參數(shù)的真值,而包含真值的區(qū)間占95%.置信區(qū)間的意義若測(cè)得一組樣本值,它可能包含也可能不包含的真值,反復(fù)則得一區(qū)間(1.86–0.877,1.86+0.877)抽樣得到的區(qū)間中有95%包含的真值.算得取=0.05設(shè)為待估參數(shù),是一給定的數(shù),(0<<1).

若能找到統(tǒng)計(jì)量,使則稱(chēng)為的置信概率為1-的置信區(qū)間或區(qū)間估計(jì).置信下限置信上限置信區(qū)間的定義

反映了估計(jì)的可靠度,越小,越可靠.置信區(qū)間的長(zhǎng)度反映了估計(jì)精度越小,1-越大,估計(jì)的可靠度越高,但

確定后,置信區(qū)間的選取方法不唯一,

常選最小的一個(gè).幾點(diǎn)說(shuō)明越小,估計(jì)精度越高.這時(shí),往往增大,因而估計(jì)精度降低.求參數(shù)置信區(qū)間保證可靠性先提高精度再處理“可靠性與精度關(guān)系”的原則尋找一個(gè)子樣的函數(shù)它含有待估參數(shù),不含其它未知參數(shù),它的分布已知,且分布不依賴(lài)于待估參數(shù)(常由的點(diǎn)估計(jì)出發(fā)考慮

).例如求置信區(qū)間的步驟—稱(chēng)為樞軸量取樞軸量給定置信度1

,定出常數(shù)a,b,使得(引例中由解出得置信區(qū)間

引例中

置信區(qū)間常用公式

一.非正態(tài)總體的情形(大樣本)設(shè)總體的期望與方差作區(qū)間估計(jì).均未知,用大樣本()對(duì)取近似由的置信區(qū)間得例1從學(xué)校新生中隨機(jī)地選50名,進(jìn)行田徑項(xiàng)目測(cè)試,由測(cè)試成績(jī)得樣本均值樣本方差求全校新生平均田徑成績(jī)的置信區(qū)間,置信概率為95%.解由(1)式得置信下限置信上限所求置信區(qū)間為若總體容量為的樣本中恰有個(gè)1，試對(duì)作區(qū)間估計(jì).代入(1)式得(2)例2自一大批產(chǎn)品中抽取100個(gè)樣品,其中有60個(gè)一級(jí)品,求這批產(chǎn)品的一級(jí)品率p的置信度為0.95的置信區(qū)間.解將代入(2)式得注另一解法見(jiàn)后面附錄(一)一個(gè)正態(tài)總體的情形(1)方差

2已知,的置信區(qū)間推導(dǎo)由選取樞軸量

二.正態(tài)總體的情形由確定解得的置信概率為的置信區(qū)間為(2)方差2未知,的置信區(qū)間

由確定故的置信區(qū)間為推導(dǎo)

選取樞軸量(3)當(dāng)未知時(shí),方差2的置信區(qū)間選取得2的置信區(qū)間為

??則由例3某工廠(chǎng)生產(chǎn)一批滾珠,其直徑X服從解(1)即正態(tài)分布N(

2),現(xiàn)從某天的產(chǎn)品中隨機(jī)(1)若

2=0.06,求

的置信區(qū)間(2)若

2未知,求

的置信區(qū)間(3)求方差

2的置信區(qū)間.抽取6件,測(cè)得直徑為15.1,14.8,15.2,14.9,14.6,15.1置信概率均為0.95由給定數(shù)據(jù)算得由公式(3)得的置信區(qū)間為(2)取查表由給定數(shù)據(jù)算得由公式(5)得

2

的置信區(qū)間為(3)選取樞軸量查表得由公式(4)得的置信區(qū)間為為取自總體N(112)的樣本,為取自總體N(2

22)

的樣本,置信概率為1分別表示兩子樣的均值與方差(二)兩個(gè)正態(tài)總體的情形相互獨(dú)立,的置信區(qū)間為①

已知,考慮的置信區(qū)間②未知(但)的置信區(qū)間的置信區(qū)間為其中相互獨(dú)立,③未知,n,m>30,的置信區(qū)間的置信區(qū)間為因此近似令Zi

=Xi-Yi,i=1,2,…,n,可以將它們看成來(lái)自正態(tài)總體Z~N(12,

12+22)的樣本仿單個(gè)正態(tài)總體公式(4)的置信區(qū)間為④未知,但n=m,的置信區(qū)間取樞軸量⑤方差比的置信區(qū)間(1,2未知)因此,方差比的置信區(qū)間為例4某廠(chǎng)利用兩條自動(dòng)化流水線(xiàn)罐裝番茄醬.現(xiàn)分別從兩條流水線(xiàn)上抽取了容量分別為13與17的兩個(gè)相互獨(dú)立的樣本與已知假設(shè)兩條流水線(xiàn)上罐裝的番茄醬的重量都服從正態(tài)分布,其均值分別為1與2(1)若它們的方差相同求均值差若不知它們的方差是否相同,求它們的方差比的置信概率為0.95的置信區(qū)間的置信概率為0.95的置信區(qū)間;解查表得由公式(7)的置信區(qū)間為(1)取樞軸量(2)樞軸量為查表得由公式(10)得方差比的置信區(qū)間為（三）單側(cè)置信區(qū)間上述置信區(qū)間中置信限都是雙側(cè)的，但對(duì)于有些實(shí)際問(wèn)題，人們關(guān)心的只是參數(shù)在一個(gè)方向的界限.例如對(duì)于設(shè)備、元件的使用壽命來(lái)說(shuō)，平均壽命過(guò)長(zhǎng)沒(méi)什么問(wèn)題，過(guò)短就有問(wèn)題了.這時(shí)，可將置信上限取為+∞，而只著眼于置信下限，這樣求得的置信區(qū)間叫單側(cè)置信區(qū)間.于是引入單側(cè)置信區(qū)間和置信限的定義：滿(mǎn)足設(shè)是一個(gè)待估參數(shù)，給定若由樣本X1,X2,…Xn確定的統(tǒng)計(jì)量則稱(chēng)區(qū)間是的置信水平為的單側(cè)置信區(qū)間.稱(chēng)為單側(cè)置信下限.1103又若統(tǒng)計(jì)量滿(mǎn)足則稱(chēng)區(qū)間是的置信水平為的單側(cè)置信區(qū)間.稱(chēng)為單側(cè)置信上限.1104設(shè)燈泡壽命服從正態(tài)分布.求燈泡壽命均值的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限.例4從一批燈泡中隨機(jī)抽取5只作壽命試驗(yàn)，測(cè)得壽命X（單位：小時(shí)）如下：1050，1100，1120，1250，1280由于方差未知，取樞軸量解：的點(diǎn)估計(jì)取為樣本均值1105對(duì)給定的置信水平

，確定分位數(shù)使即于是得到的置信水平為的單側(cè)置信區(qū)間為

1106將樣本值代入得的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限是1065小時(shí)的置信水平為的單側(cè)置信下限為即1107例5已知燈泡壽命X服從正態(tài)分布,從中隨機(jī)抽取5只作壽命試驗(yàn),測(cè)得壽命為1050,1100,1120,1250,1280(小時(shí))求燈泡壽命均值的單側(cè)置信下限與壽命方差的單側(cè)置信上限.解

未知取(1)選取樞軸量(2)選取樞軸量附錄

當(dāng)已知時(shí),方差2的置信區(qū)間取樞軸量得

2

的置信度為置信區(qū)間為

由概率①取樞軸量

當(dāng)1,2已知時(shí),方差比的置信區(qū)間因此,方差比的置信區(qū)間為②若總體X的分布未知,但樣本容量很大,若2已知,則的置信度為1-的置信區(qū)間可取為若2未知,則的置信度為1-的置信區(qū)間可取為非正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)(補(bǔ)充)由中心極限定理,可近似地視

設(shè)

X服從參數(shù)為p的0-1分布,子樣為推導(dǎo)

p的置信度為1的置信區(qū)間公式.解(n>30)近似令所以參數(shù)

p的置信區(qū)間為(p1,p2)代入上式得附例1自一大批產(chǎn)品中抽取100個(gè)樣品,其中有60個(gè)一級(jí)品,求這批產(chǎn)品的一級(jí)品率p的置信度為0.95的置信區(qū)間.解

代入前頁(yè)公式得p的置信區(qū)間為注結(jié)果與