學(xué)案幾何概型

學(xué)案幾何概型第1頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月學(xué)點(diǎn)一學(xué)點(diǎn)二學(xué)點(diǎn)三學(xué)點(diǎn)四學(xué)點(diǎn)五學(xué)點(diǎn)六第2頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月1.如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為

，簡稱為

.2.在幾何概型中，事件A的概率的計算公式如下：P(A)=

.3.均勻隨機(jī)數(shù)均勻隨機(jī)數(shù)就是在一定范圍內(nèi),

產(chǎn)生的數(shù),并且得到這個范圍內(nèi)的每一個數(shù)的機(jī)會一樣.幾何概率模型幾何概型隨機(jī)構(gòu)成事件A的區(qū)域長度（面積或體積）/試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度(面積或體積)子區(qū)域A的幾何度量返回第3頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月4.［0,1］間隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生在計算器中應(yīng)用

可連續(xù)產(chǎn)生［0,1］范圍內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù).不同的計算器具體操作過程可能會不同.5.隨機(jī)模擬法的應(yīng)用隨機(jī)模擬法可用來求

（特別是

）的面積的近似值，或求

.隨機(jī)函數(shù)某些特殊圖形不規(guī)則圖形某些量(如π)的近似值返回第4頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月學(xué)點(diǎn)一與長度有關(guān)的幾何概型的求法

【分析】本題考查與長度有關(guān)的幾何概型的求法.某公共汽車站每隔5分鐘有一輛車通過(假設(shè)每一輛車帶走站上的所有乘客),乘客到達(dá)汽車站的時間是任意的,求乘客候車時間不超過3分鐘的概率.

【解析】這是一個幾何概型問題.記A=“候車時間不超過3分鐘”.以x表示乘客到車站的時刻,以t表示乘客到車站后來到的第一輛汽車的時刻,作圖3-4-3.據(jù)題意,乘客必然在［t-5,t］內(nèi)來到車站,故Ω={x|t-5＜x≤t}.返回第5頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月若乘客候車時間不超過3分鐘,必須t-3≤x≤t,所以A={x|t-3≤x≤t},據(jù)幾何概率公式得P(A)=

=0.6.

【評析】(1)把所求問題歸結(jié)到x軸上的一個區(qū)間內(nèi)是解題的關(guān)鍵,然后尋找事件A發(fā)生的區(qū)域,從而求得μA

.

(2)本題也可這樣理解:乘客在時間段(0,5］內(nèi)任意時刻到達(dá),等待不超過3分鐘,則到達(dá)的時間在區(qū)間［2,5］內(nèi).圖3-4-3返回第6頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月在兩端相距6m的木桿上系一根繩子,并在繩子上掛一盞燈,則燈與兩端距離都大于2m的概率是多少?解:燈掛在繩子上的每一個位置都是一個基本事件,即整個區(qū)域的幾何度量為μΩ=6m.記“燈與兩端距離都大于2m”為事件A,則把木桿三等分,當(dāng)繩子掛在中間一段上時,事件A發(fā)生,即μA=2m.所以由幾何概型的概率公式,得P(A)＝.返回第7頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月學(xué)點(diǎn)二與面積有關(guān)的幾何概型的求法1.甲、乙兩艘輪船都要在某個泊位?？?小時,假定它們在一晝夜的時間段中隨機(jī)地到達(dá),試求這兩艘船中至少有一艘在?？繒r必須等待的概率.

【分析】本題考查與面積有關(guān)的幾何概型的求法.

【解析】設(shè)A={兩艘船中至少有一艘?？繒r等待}.建立平面直角坐標(biāo)系如圖3-4-4,x軸表示甲船到達(dá)的時間,y軸表示乙船到達(dá)的時間,則(x,y)表示的所有結(jié)果是以24為邊長的正方形.圖3-4-4返回第8頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月事件A發(fā)生的條件是0＜x-y＜6或0＜y-x＜6,即圖中陰影部分,則μΩ=242,μA=242-182.∴P(A)=,即這兩艘船中至少有一艘在停靠時必須等待的概率是.

【評析】(1)甲、乙兩船都是在0～54小時內(nèi)的任一時刻停靠,故每一個結(jié)果對應(yīng)兩個時間;分別用x,y軸上的數(shù)表示,則每一個結(jié)果(x,y)就對應(yīng)于圖中正方形內(nèi)的任一點(diǎn).

(2)找出事件A發(fā)生的條件,并把它在圖中的區(qū)域找出來,分別計算面積即可.

(3)這一類問題我們稱為約會問題.返回第9頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月2.設(shè)有一等邊三角形網(wǎng)格,其中各個最小等邊三角形的邊長都是cm,現(xiàn)用直徑等于2cm的硬幣投擲到此網(wǎng)格上,求硬幣落下后與格線沒有公共點(diǎn)的概率.

【分析】考查幾何概型中與面積有關(guān)的問題.

【解析】記A={硬幣落下后與格線沒有公共點(diǎn)},如圖3-4-5所示,在等邊三角形內(nèi)作小等邊三角形,使其三邊與原等邊三角形三邊距離都為1,則等邊三角形的邊長為,由幾何概型得概率為兩三角形面積的比,即由概率圖3-4-5返回第10頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月的公式得P(A)=

【評析】求出面積是解題關(guān)鍵.返回第11頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月甲、乙兩人約定在6時到7時之間在某處會面,并約定先到者應(yīng)等候另一個人一刻鐘,過時即可離去,求兩人能夠會面的概率.解:按照約定,兩人在6點(diǎn)到7點(diǎn)之間任何時刻到達(dá)會面點(diǎn)是等可能的,因此是一個幾何概型,設(shè)甲、乙兩人到達(dá)的時間為x,y,則|x-y|≤15是能夠會面的先決條件.以x和y分別表示甲、乙兩人到達(dá)約會地點(diǎn)的時間,則兩人能夠會面的充要條件是|x-y|≤15.返回第12頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月在平面上建立直角坐標(biāo)系如圖,則(x,y)的所有可能結(jié)果是邊長為60的正方形,而可能會面的時間用圖中的陰影部分表示.這是一個幾何概型問題,由等可能性知

P(A)=

答:甲、乙兩人能夠會面的概率是.返回第13頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月學(xué)點(diǎn)三與體積有關(guān)的幾何概型的求法在1升高產(chǎn)小麥種子中混入了一粒帶麥銹病的種子,從中隨機(jī)取出10毫升,則取出的種子中含有麥銹病的種子的概率是多少?

【分析】本題考查與體積有關(guān)的幾何概型.

【解析】設(shè)A={取出10毫升種子,含有病種子},則μΩ=1000毫升,μA=10毫升,∴P(A)=,即取出種子中含麥銹病的種子的概率是0.01.返回第14頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月

【評析】(1)病種子在這1升種子中的分布可以看作是隨機(jī)的,有無限個結(jié)果,并且是等可能的,是幾何概型.取得的10毫升種子可看作構(gòu)成事件的區(qū)域,1升種子可看作是試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域.

(2)要注意使用“幾何概型”的條件.返回第15頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月如圖3-4-7所示,有一杯2升的水,其中含有一個細(xì)菌,用一個小杯從這杯水中取出0.1升水,求小杯水中含有這個細(xì)菌的概率.解:設(shè)A={小杯水中含有這個細(xì)菌}.則μΩ=2升,μA=0.1升,∴P(A)=圖3-4-7返回第16頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月學(xué)點(diǎn)四與角度有關(guān)的幾何概型的求法如圖3-4-8,在等腰Rt△ABC中,過直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部作一射線CM,與線段AB交于點(diǎn)M,求AM＜AC的概率.

【分析】考查與角度有關(guān)的幾何概型的求法.圖3-4-8

【解析】在AB上取AC′=AC,則∠ACC′==67.5°.設(shè)A={在∠ACB內(nèi)部作一條射線CM,與線段AB交于點(diǎn)M,AM＜AC},則μΩ=90°,μA=67.5°.∴P(A)=

返回第17頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月

【評析】(1)射線CM隨機(jī)地落在∠ACB內(nèi)部,故∠ACB為所有試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域,當(dāng)射線CM落在∠ACC′內(nèi)部時AM＜AC,故∠ACC′為構(gòu)成事件的區(qū)域.

(2)事件區(qū)域是角域,可用角度刻畫.返回第18頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月若題目改為:在等腰Rt△ABC中,在斜邊AB上取一點(diǎn)M,求AM＜AC的概率,答案一樣嗎?解:在AB上截取AC′=AC,AC′=設(shè)A={在斜邊AB上取一點(diǎn)M,AM＜AC},則

μΩ=AB,μA=

,∴P(A)=故不一樣.返回第19頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月學(xué)點(diǎn)五用隨機(jī)數(shù)模擬法估算幾何概率取一根長度為3m的繩子,拉直后在任意位置剪斷,用隨機(jī)模擬法估算剪得兩段的長都不小于1m的概率有多大?

【分析】在任意位置剪斷繩子,則剪斷位置到一端點(diǎn)的距離取遍［0,3］內(nèi)的任意實(shí)數(shù),并且每一個實(shí)數(shù)被取到的可能性相等,因此在任意位置剪斷繩子的所有結(jié)果(即基本事件)對應(yīng)［0,3］上的均勻隨機(jī)數(shù),其中［1,2］上的均勻隨機(jī)數(shù)就表示剪斷位置與端點(diǎn)的距離在［1,2］內(nèi),也就是剪得兩段的長都不小于1m,這樣取得的［1,2］內(nèi)的隨機(jī)數(shù)個數(shù)與［0,3］內(nèi)的隨機(jī)數(shù)個數(shù)之比就是事件A發(fā)生的頻率.返回第20頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月

【解析】記事件A={剪得兩段的長都不小于1m}.

(1)利用計算器或計算機(jī)產(chǎn)生一組0到1區(qū)間的均勻隨機(jī)數(shù)a1=RAND.

(2)經(jīng)過伸縮變換,a=a1*3.

(3)統(tǒng)計出試驗(yàn)總次數(shù)N和［1,2］內(nèi)的隨機(jī)數(shù)個數(shù)N1.

(4)計算頻率fn(A)=N1/N即為概率P(A)的近似值.

【評析】用隨機(jī)模擬法估算幾何概率的關(guān)鍵是把事件A及基本事件空間對應(yīng)的區(qū)域轉(zhuǎn)化為隨機(jī)數(shù)的范圍.返回第21頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月甲、乙兩輛貨車停靠站臺卸貨的時間分別是6小時和4小時,用隨機(jī)模擬法估算有一輛貨車?？空九_時必須等待一段時間的概率.解:記事件A“有一輛貨車?？空九_時必須等待一段時間”.

(1)利用計算器或計算機(jī)產(chǎn)生兩組0到1區(qū)間的均勻隨機(jī)數(shù),x1=RAND,y1=RAND.返回第22頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月

(2)經(jīng)過伸縮變換,x=x1*24,y=y1*24得到兩組［0,24］上的均勻隨機(jī)數(shù).

(3)統(tǒng)計出試驗(yàn)總次數(shù)N和滿足條件-4≤x-y≤6的點(diǎn)(x,y)的個數(shù)N1.

(4)計算頻率fn(A)=

,即為概率P(A)的近似值.返回第23頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月學(xué)點(diǎn)六用隨機(jī)數(shù)模擬法近似計算不規(guī)則圖形的面積利用隨機(jī)模擬的方法近似計算圖形(如圖3-4-9所示)中陰影部分的面積:y=x2+1與y=6所圍成區(qū)域的面積.

【分析】在坐標(biāo)系中畫出矩形(x=

,x=-

,y=1和y=6所圍成的部分),用隨機(jī)模擬的方法可以得到陰影部分的面積的近似值.圖3-4-9返回第24頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月

【解析】(1)利用計算器或計算機(jī)產(chǎn)生兩組0至1之間的均勻隨機(jī)數(shù),a1=RAND,b1=RAND;

(2)進(jìn)行平移和伸縮變換,a=(a1-0.5)*2,b=5*b1+1;

(3)數(shù)出落在陰影內(nèi)的樣本點(diǎn)數(shù)N1,總試驗(yàn)次數(shù)為N,用幾何概型公式計算陰影部分的面積為S=

.多做幾次試驗(yàn),得到的面積會更精確.

【評析】要記住公式.其中N為總的試驗(yàn)次數(shù),N1為落在不規(guī)則圖形內(nèi)的試驗(yàn)次數(shù).返回第25頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月利用隨機(jī)方法計算如圖3-4-10中陰影部分(曲線y=2x與x軸,x=±1圍成的部分)的面積.解:(1)利用計算機(jī)產(chǎn)生兩組［0,1］上的均勻隨機(jī)數(shù),a1=RAND,b1=RAND.

(2)進(jìn)行平移和伸縮變換,a=(a1-0.5)*2,b=b1*2,得到一組［-1,1］上的均勻隨機(jī)數(shù)和一組［0,2］上的均勻隨機(jī)數(shù).圖3-4-10返回第26頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月

(3)統(tǒng)計試驗(yàn)總數(shù)N和落在陰影內(nèi)的點(diǎn)數(shù)N1(滿足條件b<2a的點(diǎn)(a,b)數(shù)).

(4)計算頻率,即為點(diǎn)落在陰影部分的概率的近似值.

(5)用幾何概率公式求得點(diǎn)落在陰影部分的概率為P=.∴.∴,即為陰影部分面積的近似值.返回第27頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月

(1)幾何概型的兩個特點(diǎn):一是無限性,即在一次試驗(yàn)中,基本事件的個數(shù)可以是無限的;二是等可能性,即每一基本事件發(fā)生的可能性是均等的.因此,用幾何概型求解的概率問題和古典概型的思路是相同的,同屬于“比例解法”.即隨機(jī)事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的圖形面積(體積、長度)”與“試驗(yàn)的基本事件空間所占總面積(總體積、長度)”之比來表示.

(2)基本事件的“等可能性”的判斷很容易被忽略,從而導(dǎo)致各種錯誤.1.如何理解幾何概型?返回第28頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月2.隨機(jī)數(shù)是如何產(chǎn)生的?如何理解隨機(jī)模擬試驗(yàn)?

(1)隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生利用計算器或計算機(jī)產(chǎn)生［0,1］上的均勻隨機(jī)數(shù)x1=RAND,然后利用伸縮和平移變換,x=x1*(b-a)+a,就可以得到［a,b］內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù),試驗(yàn)的結(jié)果是［a,b］上的任何一個實(shí)數(shù),并且任何一個實(shí)數(shù)都是等可能出現(xiàn)的.

(2)隨機(jī)模擬試驗(yàn)用頻率估計概率時,需做大量的重復(fù)試驗(yàn),