微分方程建模

微分方程建模第1頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月適用微分方程建模的情況在研究某些實(shí)際問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常無(wú)法直接得到各變量之間的聯(lián)系，問(wèn)題的特性往往會(huì)給出關(guān)于變化率的一些關(guān)系。利用這些關(guān)系，我們可以建立相應(yīng)的微分方程模型。在自然界以及工程技術(shù)領(lǐng)域中，微分方程模型是大量存在的。它甚至可以滲透到人口問(wèn)題以及商業(yè)預(yù)測(cè)等領(lǐng)域中去，其影響是廣泛的。第2頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月引例一.嫌疑犯問(wèn)題受害者的尸體于晚上7:30被發(fā)現(xiàn)。法醫(yī)于晚上8:20趕到兇案現(xiàn)場(chǎng)，測(cè)得尸體體溫為，一小時(shí)后，當(dāng)尸體即將被抬走時(shí)，測(cè)得尸體溫度為，室溫在幾小時(shí)內(nèi)始終保持

.此案最大的嫌疑犯是張某，但張某聲稱(chēng)自己是無(wú)罪的，并有證人說(shuō)：“下午張某一直在辦公室上班，5：00時(shí)打了一個(gè)電話(huà)，打完電話(huà)后就離開(kāi)了辦公室。”從張某的辦公室到受害者家（兇案現(xiàn)場(chǎng)）步行需5分鐘，現(xiàn)在的問(wèn)題：是張某不在兇案現(xiàn)場(chǎng)的證言能否使他被排除在嫌疑犯之外？一.嫌疑犯問(wèn)題受害者的尸體于晚上7:30被發(fā)現(xiàn)。法醫(yī)于晚上8:20趕到兇案現(xiàn)場(chǎng)，測(cè)得尸體體溫為，一小時(shí)后，當(dāng)尸體即將被抬走時(shí)，測(cè)得尸體溫度為，室溫在幾小時(shí)內(nèi)始終保持

.此案最大的嫌疑犯是張某，但張某聲稱(chēng)自己是無(wú)罪的，并有證人說(shuō)：“下午張某一直在辦公室上班，5：00時(shí)打了一個(gè)電話(huà)，打完電話(huà)后就離開(kāi)了辦公室?！睆膹埬车霓k公室到受害者家（兇案現(xiàn)場(chǎng)）步行需5分鐘，現(xiàn)在的問(wèn)題：是張某不在兇案現(xiàn)場(chǎng)的證言能否使他被排除在嫌疑犯之外？第3頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第4頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

人體體溫受大腦神經(jīng)中樞調(diào)節(jié)，人死后體溫調(diào)節(jié)功能消失，尸體的溫度受外界溫度的影響。假定尸體溫度的變化率服從牛頓冷卻定律，即尸體溫度的變化率正比于尸體溫度與室溫的差，即

第5頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第6頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月微分方程建模重點(diǎn)一、建模問(wèn)題（清楚），目標(biāo)（明確）二、建模假設(shè)（簡(jiǎn)化，可求解）三、微元法（無(wú)窮小分析）第7頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.微分方程建模中假設(shè)的提出與修改問(wèn)題

“商品價(jià)格變化的兩大特點(diǎn)”：

平衡價(jià)格應(yīng)是商品供需平衡的價(jià)位；趨于過(guò)程應(yīng)具有慣性特征：呈現(xiàn)阻尼震蕩過(guò)程特征

建立在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)下價(jià)格變動(dòng)模型

具體問(wèn)題：試圖建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，描繪在健全的市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)框架下，商品價(jià)格受市場(chǎng)機(jī)制調(diào)節(jié)，偏高或偏低的價(jià)格將會(huì)自動(dòng)趨于平衡

。

建模目的：建立一個(gè)價(jià)格隨時(shí)間演變,以阻尼振蕩方式逐漸趨于理性的商品供需平衡價(jià)格的模型。第8頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

(3)商品價(jià)格的變化速度p’(t)

與市場(chǎng)的過(guò)剩需求

D(t)

–S(t)

有關(guān).（最重要的關(guān)系）

假定它們之間成正比

:

(2)商品供應(yīng)S(t)

隨價(jià)格p(t)

的增大而上升.

假定它們之間的關(guān)系也近似為

線性關(guān)系;

建模假設(shè)：(1)商品需求D(t)

隨價(jià)格p(t)

的增大而下降.

假定它們之間的關(guān)系近似為

線性關(guān)系

:(1)商品需求D(t)

隨價(jià)格p(t)

的增大而下降.

假定它們之間的關(guān)系近似為

線性關(guān)系

:第9頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

模型建立：

第10頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

模型分析：

當(dāng)

時(shí),

當(dāng)時(shí),

結(jié)論未能達(dá)到建模目的！說(shuō)明商品價(jià)格是單調(diào)

地趨向平衡價(jià)格.

第11頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

建模假設(shè)的修改：

(3)*商品價(jià)格的變化速度p’(t)

與市場(chǎng)的過(guò)剩需求

D(t)

–S(t)對(duì)時(shí)間t

的累積量有關(guān)(即考慮過(guò)剩需求的時(shí)間滯后效應(yīng)).

(2)商品供應(yīng)S(t)

隨價(jià)格p(t)

的增大而上升.

假定它們之間的關(guān)系也近似為

線性關(guān)系;(1)商品需求D(t)

隨價(jià)格p(t)

的增大而下降.

假定它們之間的關(guān)系近似為

線性關(guān)系

:

假定它們之間成正比

:第12頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

模型再建立：

商品價(jià)格隨時(shí)間演變而處在等幅震蕩

之中。結(jié)論還未能達(dá)到建模目的！第13頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

建模假設(shè)的再次修改：

假設(shè)(1)、(2)不變；(3)**商品價(jià)格的變化速度p’(t)

不僅與市場(chǎng)過(guò)剩需求

D(t)–S(t)

對(duì)時(shí)間t

的累積量有關(guān),

還與當(dāng)時(shí)的價(jià)格與平衡價(jià)格p*

的偏差程度有關(guān)

(即考慮健全的市場(chǎng)有政府宏觀調(diào)控因素),

假定它們之間也成正比，且比例系數(shù)

仍假定它們之間成正比

;(強(qiáng)調(diào)政府宏觀調(diào)控只是微調(diào))。第14頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

模型又一次建立：

商品價(jià)格隨時(shí)間演變而呈現(xiàn)阻尼震蕩

現(xiàn)象

。該結(jié)論達(dá)到建模目的！模型可采用

第15頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.微分方程模型在模型分析中的主要問(wèn)題之一

——

穩(wěn)定性分析

用微分方程方法建立的動(dòng)態(tài)模型問(wèn)題模型分析中的一個(gè)重要問(wèn)題是：當(dāng)時(shí)間充分長(zhǎng)后

，動(dòng)態(tài)過(guò)程的變化趨勢(shì)

是什么？

微分方程模型中,

方程(組)+初始條件→解

初始條件的作用在于確定解,它的微小變化會(huì)產(chǎn)生不同的解，換言之，對(duì)解的發(fā)展性態(tài)變化,往往具有影響作用.

問(wèn)題是這種對(duì)解的發(fā)展性態(tài)的影響作用是長(zhǎng)期存在

的,

還是當(dāng)時(shí)間充分大以后,影響作用會(huì)“消逝”

?

（1）微分方程模型的穩(wěn)定性及其實(shí)際意義

第16頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

有時(shí)候,初始條件的微小變化會(huì)導(dǎo)致解的性態(tài)隨時(shí)間變大后,產(chǎn)生顯著的差異,這時(shí)稱(chēng)系統(tǒng)是不穩(wěn)定

的;

有時(shí)候,初始條件變化導(dǎo)致解的性態(tài)差異會(huì)隨時(shí)間變大后而消失,這時(shí)稱(chēng)該系統(tǒng)是穩(wěn)定的.

在實(shí)際問(wèn)題中,初始狀態(tài)不能精確地而只能近似地確定,

所以穩(wěn)定性問(wèn)題的研究對(duì)于用微分方程方法建立的模型具有十分重要的實(shí)際意義。

也就是說(shuō)，在具有穩(wěn)定性特征的微分方程模型中,長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看,最終發(fā)展結(jié)果與精確的初始狀態(tài)究竟如何,兩者之間沒(méi)有多大關(guān)系,初始狀態(tài)刻畫(huà)得精確不精確是無(wú)關(guān)緊要的。第17頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

微分方程穩(wěn)定性理論可以使我們?cè)诤芏嗲闆r下不求解方程便可直接得到微分方程模型描繪的系統(tǒng)是穩(wěn)定

或不穩(wěn)定的結(jié)論。

研究者對(duì)于微分方程穩(wěn)定性理論的研究興趣往往大于該方程解有無(wú)解析表達(dá)式的研究興趣。

在數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽活動(dòng)中，很多問(wèn)題中涉及到的微分方程是一類(lèi)稱(chēng)為自治系統(tǒng)的方程。

自治方程是指方程中不顯含自變量t

的微分方程，例如第18頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

自治方程中的解隨時(shí)間變大如果有穩(wěn)定的變化趨勢(shì)，則這個(gè)解的最終趨勢(shì)值只能是該方程的平衡點(diǎn)。的平衡點(diǎn)是指代數(shù)方程

的根（可能不止一個(gè)根）；的平衡點(diǎn)是指代數(shù)方程組的解（可能不止一組解）。

一階自治方程和二階自治方程組解的穩(wěn)定性理論

結(jié)果可簡(jiǎn)介如下：

第19頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

非線性方程(一個(gè)方程)情況

形式

:x’(t)=f(x(t))

平衡點(diǎn):解f(x)=0,得x=x0.注意:有時(shí)該方程的根不止一個(gè).

穩(wěn)定意義

:當(dāng)t→∞

時(shí),如x→x0,則稱(chēng)

x0

是穩(wěn)定的平衡點(diǎn);否則稱(chēng)

x0

是不穩(wěn)定平衡點(diǎn).第20頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

由此,當(dāng)f’(x0)＜0時(shí),x→x0;當(dāng)f’(x0)＞0時(shí),x→+∞.(c)一階非線性問(wèn)題的穩(wěn)定性結(jié)論

:

根據(jù)有關(guān)數(shù)學(xué)理論,

一階非線性問(wèn)題的穩(wěn)定性在非臨界情況下，與一階

線性問(wèn)題結(jié)論完全相同..

研究方法

:(a)作f(x)

的線性替代(利用一元函數(shù)的泰勒展開(kāi)式):

f(x)≈f’(x0)(x-x0)+f(x0)=f’(x0)(x-x0);(b)線性問(wèn)題研究:求解x’=f’(x0)(x–x0),解得

第21頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月非線性方程(兩個(gè)方程)組情況

平衡點(diǎn):解f(x,y)=0,得x=x0g(x,y)=0,y=y0.y’(t)=g(x(t),y(t))

形式:x’(t)=f(x(t),y(t)),

穩(wěn)定意義

:當(dāng)t→+∞時(shí),如x→x0,y→y0,則稱(chēng)

(x0,y0)是穩(wěn)定的平衡點(diǎn);否則稱(chēng)(x0,y0)

是不穩(wěn)定平衡點(diǎn).

上面的方程組有時(shí)可能不止一組解.第22頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

研究方法

:

作f(x,y)與g(x,y)的線性替代（利用二元函數(shù)的泰勒展開(kāi)式）:

f(x,y)≈f’x(x0,y0)·(x-x0)+f’y(x0,y0)·(y-y0);g(x,y)≈g’x(x0,y0)·(x-x0)+g’y(x0,y0)·(y-y0).(b)

線性問(wèn)題研究:

記a1=f’x(x0,y0),a2=f’y(x0,y0),b1=g’x(x0,y0),b2=g’y(x0,y0),p=-(a1+b2),q=a1b2

-a2b1,

并無(wú)妨設(shè)x0=0,y0=0;

第23頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月求解

其中λ1,λ2

為特征方程r2+pr+q=0的兩根.這里λ1+λ2=-p,λ1?λ2=q

或?qū)憺榈?4頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(1)當(dāng)p＞0,q＞0

時(shí),

如果p2–4q≥0，由λ1+λ2=-p,λ1?λ2=q,

推得λ1

與λ2

均為負(fù)數(shù)，

故當(dāng)t→+∞時(shí)，eλ1t

與eλ2

t

均趨于零，

系統(tǒng)穩(wěn)定

;

如果p2–4q＜0，由λ1+λ2=-p,λk=α±βi

中α為負(fù)數(shù)（k=1，2），

故當(dāng)t→+∞時(shí)，eλk

t=eαt（sinβt±cosβt）（k=1，2）也均趨于零，系統(tǒng)仍為穩(wěn)定的；第25頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(2)

當(dāng)p＜0時(shí),

如果p2–4q≥0，由λ1+λ2=-p,可推出

λ1

與λ2中至少有一個(gè)為正數(shù)，

故當(dāng)t→+∞時(shí)，eλ1t

與eλ2t中至少有一個(gè)趨于+∞，系統(tǒng)不穩(wěn)定;

如果p2–4q＜0，仍由λ1+λ2=-p,可推出

λk=α±βi（k=1，2）中α為正數(shù)，

故當(dāng)t→+∞時(shí),eλkt=eαt（sinβt±cosβt）（k=1，2）趨于+∞，仍可推出系統(tǒng)不穩(wěn)定。第26頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(3)當(dāng)q＜0時(shí),此時(shí)必定有p2–4q≥0，

此時(shí)系統(tǒng)也必不穩(wěn)定。

由λ1?λ2=q,可推出λ1

與λ2中至少有一個(gè)為正數(shù)，

故當(dāng)t→+∞時(shí)，eλ1t

與eλ2t

中至少有一個(gè)趨于

+∞

，第27頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

當(dāng)p＞0,q＞0時(shí),

相應(yīng)的平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的；

當(dāng)p＜0或當(dāng)q＜0時(shí),

相應(yīng)的平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。綜述之，在線性方程組非臨界（p≠0)情況中

第28頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

(C)非線性問(wèn)題的穩(wěn)定性結(jié)論

:(i)若相應(yīng)的線性問(wèn)題是穩(wěn)定的,則對(duì)應(yīng)非線性問(wèn)題也是穩(wěn)定的；(ii)若相應(yīng)的線性問(wèn)題是不穩(wěn)定的,則對(duì)應(yīng)非線性問(wèn)題也是不穩(wěn)定的.

在非臨界情況下（p≠0)，第29頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

微分方程穩(wěn)定性理論的應(yīng)用實(shí)例——漁場(chǎng)防止捕撈過(guò)渡問(wèn)題

建模目的：建立一個(gè)在有捕撈的情況下，漁場(chǎng)中魚(yú)量隨時(shí)間變化的數(shù)學(xué)模型，藉此研究魚(yú)量數(shù)隨時(shí)間變化的發(fā)展趨勢(shì)。

建模假設(shè)：(1)在無(wú)捕撈條件下，魚(yú)數(shù)量x(t)

的增長(zhǎng)服從

Logistic

規(guī)律：

(2)有捕撈時(shí)，單位時(shí)間的捕撈量h與漁場(chǎng)魚(yú)量成正比：第30頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

模型建立與分析：

令

當(dāng)k＜r時(shí),f’(x1)=r–k>0,x1

為不穩(wěn)定點(diǎn),

f’(x2)=k–r<0,x2

為穩(wěn)定點(diǎn)；

當(dāng)k＞r時(shí),f’(x1)=r-k<0,x1

為穩(wěn)定點(diǎn)，

f’(x2)=k–r>0,x2

為不穩(wěn)定點(diǎn).第31頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

捕撈問(wèn)題的深化——二元方程組情況

建模假設(shè)：(1)在無(wú)捕撈條件下，魚(yú)量數(shù)

x(t)

的增長(zhǎng)服從

Logistic

規(guī)律：

(2)有捕撈時(shí)，單位時(shí)間的捕撈量h與漁場(chǎng)魚(yú)量成正比：(3)捕撈時(shí)，捕撈率k與時(shí)間t有關(guān)，其關(guān)于時(shí)間的增長(zhǎng)率與捕魚(yú)獲得的凈利潤(rùn)成正比：(4)魚(yú)的銷(xiāo)售單價(jià)與單位捕撈率的費(fèi)用分別為常數(shù)

p與c：第32頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

模型建立與分析：

令

故平衡點(diǎn)(0,0)是不穩(wěn)定的；第33頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

當(dāng)pN＜c時(shí),p2>0,q2>0;q3<0;(x2,k2)

是穩(wěn)定的，(x3,k3)

是不穩(wěn)定的；第34頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

當(dāng)pN>c時(shí),q2<0;p3>0,q3>0;(x2,k2)

是不穩(wěn)定的，(x3,k3)

是穩(wěn)定的；第35頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.偏微分方程建模問(wèn)題——休漁期魚(yú)群分布規(guī)律模型

建立實(shí)行休漁政策下近海魚(yú)群分布情況的數(shù)學(xué)模型。建模假設(shè)：(1)海岸線近似為直線；魚(yú)群只沿垂直于海岸線方向向外游動(dòng)；故問(wèn)題的空間維數(shù)可取為一維；海岸0外海x(2)

規(guī)定休漁區(qū)域在沿海l

公里以?xún)?nèi)；休漁邊界x=

l

外，魚(yú)群將全部被外海漁船打盡；

(3)

任何地點(diǎn)x、任何時(shí)刻

t

的魚(yú)群密度分布函數(shù)

u(x,t)

為可微函數(shù)；第36頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(4)初始時(shí)刻的魚(yú)群密度分布函數(shù)u(x,0)為已知函數(shù)

u0(x)；(5)t時(shí)刻、x處魚(yú)群密度

u(x,t)的增長(zhǎng)速度為已知函數(shù)f(u);(6)t時(shí)刻、x處魚(yú)群數(shù)向外游動(dòng)的擴(kuò)散量

與ux(x,t)成正比，比例系數(shù)為常數(shù)a2

：這個(gè)假設(shè)類(lèi)似于熱量擴(kuò)散問(wèn)題中的Fourier法則。第37頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月建模過(guò)程

單位時(shí)間里，[a,b]段上魚(yú)群數(shù)的變化量為：

這個(gè)變化量可分為兩項(xiàng)之和，一項(xiàng)為單位時(shí)間里，殘留在[a,b]

段內(nèi)的魚(yú)群數(shù)：

另一項(xiàng)為單位時(shí)間里，[a,b]

段內(nèi)的新生魚(yú)群數(shù)：第38頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

其中初邊值條件為：第39頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月0lxt

這個(gè)偏微分方程的初、邊值問(wèn)題是適定的，即問(wèn)題的解是存在、唯一的，且連續(xù)依賴(lài)于初邊值數(shù)據(jù)。第40頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4.自由邊界問(wèn)題

自由邊界問(wèn)題是一類(lèi)較為復(fù)雜的偏微分方程問(wèn)題，這種類(lèi)型的問(wèn)題在各種各樣的應(yīng)用中非常頻繁地出現(xiàn)，例如它可出現(xiàn)在物相變化過(guò)程、化學(xué)反應(yīng)過(guò)程、生物擴(kuò)散過(guò)程、土壤封凍解凍過(guò)程等等的物理、化學(xué)現(xiàn)象之中，

甚至還出現(xiàn)在金融衍生物價(jià)格計(jì)算、抵押貸款評(píng)估研究等等的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象之中。

（1）一相Stefan問(wèn)題

考慮一根套在與四周完全絕緣隔熱的管子中而正在融化的細(xì)冰棍；其右端為冰，左端為融化而成的水。擬建立一個(gè)融化水區(qū)域上任意點(diǎn)處溫度隨時(shí)間演變的模型。第41頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

建模假設(shè)：

（1）假定冰區(qū)域溫度恒等于零度；

（2）假定水區(qū)域中熱量傳導(dǎo)服從

Fourier

定律，即

單位時(shí)間中高溫點(diǎn)到低溫點(diǎn)的熱流量大小與兩點(diǎn)之間的溫差成正比；由此可推出以下等式：

（3）假定水的密度ρ、比熱c

、熱傳導(dǎo)系數(shù)

k

和為了融化冰為水的潛熱

L均為常數(shù)。第42頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

取細(xì)棍的一小段[x,x+Δx],設(shè)細(xì)棍的截面積為s0

厘米2

；

記q(x,t)

為熱流密度（卡/秒·厘米2,單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)單位面積的熱量），

則在Δt時(shí)間內(nèi)，沿x方向流入小段[x,x+Δx]的總熱量數(shù)近似為：q(x,t)·s0·Δt（卡）,

流出小段[x,x+Δx]的總熱量數(shù)近似為：

q(x+Δx,t)·s0·Δt（卡）,

流入小段與流出小段的熱量差使得小段中水的溫度升高，這個(gè)熱量差可以根據(jù)下式計(jì)算：（ρ·Δx·s0）·c·[u(x,t+Δt)–u(x,t)]（卡），第43頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

這樣便可得：

根據(jù)Fourier定律，有：這個(gè)方程稱(chēng)為熱傳導(dǎo)方程第44頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

在融化而成的水域里，水的溫度u(x,t)

服從熱傳導(dǎo)方程：ut=a2uxx,x(0,s0),t(0,+).

為求解這個(gè)偏微分方程，還需知道左、右邊界值和初值。

在左邊界上水溫為已知函數(shù)：u(0,t)=u1(t)>0;

假定水溫的初值為已知函數(shù)：u(x,0)=

u0(x)；

由于右邊界端處的熱傳導(dǎo)，冰在不斷融化，故水域的右邊界是一條移動(dòng)邊界，或稱(chēng)為自由邊界。

這條自由邊界本身也是需要求解的未知一元函數(shù)！第45頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月0L冰水xts0x=s(t)

易知，在移動(dòng)的右邊界s(t)

上水溫函數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足：

u(s(t),t)=0；為了決定自由邊界的位置，還需導(dǎo)出邊界上另一個(gè)條件。t1t2t3t4第46頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

設(shè)在Δt時(shí)段內(nèi)，移動(dòng)邊界向右移動(dòng)了一段路程

Δx，

Δx為了融化邊界移動(dòng)中消失的冰，需要一份熱量，其數(shù)量應(yīng)是：

在Δt時(shí)段內(nèi)，從邊界左邊水域中傳入陰影冰區(qū)域內(nèi)的總熱量根據(jù)Fourier定律，應(yīng)是：

兩者應(yīng)該相等：第47頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

令Δt→0，可得：于是，融化水區(qū)域上任意點(diǎn)處溫度u(x,t)隨時(shí)間t

演變的模型為：xtx=s(t)0s0

偏微分方程理論研究證明了這個(gè)問(wèn)題也是適定的。第48頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

（2）兩相Stefan問(wèn)題

如果冰區(qū)域溫度不恒等于零度，該區(qū)域中也有熱傳導(dǎo)過(guò)程，則一相Stefan問(wèn)題就變成了兩相Stefan問(wèn)題。xtx=s(t)0s0L這個(gè)問(wèn)題的適定性也已獲得證明。第49頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

（3）細(xì)胞體內(nèi)氧氣的擴(kuò)散與吸收問(wèn)題

細(xì)胞體內(nèi)氧氣的會(huì)向周邊擴(kuò)散，在擴(kuò)散的同時(shí)，細(xì)胞體也在吸收氧氣以維持生命；如果細(xì)胞得不到氧氣的供給將會(huì)死亡。建立一個(gè)描繪該擴(kuò)散—吸收過(guò)程的數(shù)學(xué)模型。

為簡(jiǎn)單計(jì)，以下只考慮一個(gè)一維細(xì)胞體模型。第50頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

建模假設(shè)：

（1）假定氧氣在細(xì)胞體中從氧氣濃度大的左邊擴(kuò)散至濃度小的右邊；在擴(kuò)散中，擴(kuò)散流量

q

的大小與左、右兩點(diǎn)的氧氣濃度c

的差成正比；即：

（2）假定任何時(shí)刻，每單位立方體的細(xì)胞體吸收氧氣的速度為一常數(shù)D

；

（3）某一時(shí)刻起，斷絕氧氣供給；缺乏氧氣的細(xì)胞體即行死亡，不再參與氧氣擴(kuò)散過(guò)程。（k為擴(kuò)散系數(shù)）第51頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月細(xì)胞體末端

氧氣

考慮細(xì)胞體在位置

x

處、長(zhǎng)為Δx

的一段細(xì)胞上擴(kuò)散和吸收氧氣情況。

在Δt

時(shí)段內(nèi)，經(jīng)擴(kuò)散進(jìn)入這段細(xì)胞內(nèi)的氧氣數(shù)量是:

經(jīng)擴(kuò)散流出這段細(xì)胞內(nèi)的氧氣數(shù)量是:

這段細(xì)胞內(nèi)氧氣的變化量是：

這段細(xì)胞氧氣的吸收量是：第52頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

進(jìn)入量、流出量、變化量和吸收量之間應(yīng)有關(guān)系：

根據(jù)假設(shè)（1），

氧氣擴(kuò)散、吸收方程第53頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月0xts0

在細(xì)胞體左端，在t=0

起斷絕氧氣輸入，故有：

在細(xì)胞體右末端x=s

處，始終有條件：

隨著氧氣的缺乏，右末端的細(xì)胞逐漸死亡，故有末端的位置隨時(shí)間而變動(dòng)，形成一條自由邊界：

x=s(t).第54頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

氧氣擴(kuò)散、吸收問(wèn)題：

尋求未知函數(shù)對(duì)：{c(x,t)，s(t)}，使得它們滿(mǎn)足：第55頁(yè)，課件共73頁(yè)，創(chuàng)作于2