定積分的背景

定積分的背景第1頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月背景來源——面積的計(jì)算矩形的面積定義為兩直角邊長度的乘積一般圖形的面積怎么計(jì)算？

我們可以用大大小小的矩形將圖形不斷填充，但閃爍部分永遠(yuǎn)不可能恰好為矩形，這些“邊角余料”無外乎是右圖所示的“典型圖形”（必要時(shí)可旋轉(zhuǎn)）“典型圖形”面積的計(jì)算問題就產(chǎn)生了定積分第2頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月abxyo實(shí)例1（求曲邊梯形的面積）一、問題的提出第3頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積．（四個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）第4頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月解決步驟:1)

分割.在區(qū)間[a,b]中任意插入n–1個(gè)分點(diǎn)用直線將曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形;2)

近似.在第i個(gè)曲邊梯形上任取一點(diǎn)作以為底,為高的小矩形,并以此小梯形面積近似代替相應(yīng)小曲邊梯形面積得第5頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月3)求和.4)取極限.令則曲邊梯形面積第6頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月│││││││││││定積分的演示1、分割

將[a，b]分割為n個(gè)小區(qū)間2、取介點(diǎn)

在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)ξi3、局部以直代曲

每個(gè)小區(qū)間上的曲線y=f(x)用直線段y=f(ξi)代替4、作和：S?=yx第7頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月定積分的演示1、分割

將[a，b]分割為n個(gè)小區(qū)間2、取介點(diǎn)

在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)ξi3、局部以直代曲

每個(gè)小區(qū)間上的曲線y=f(x)用直線段y=f(ξi)代替4、作和：S?=5、取極限

abyx第8頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月3)求和.4)取極限.上述兩個(gè)問題的共性:解決問題的方法步驟相同:“分割,近似,求和,取極限”所求量極限結(jié)構(gòu)式相同:特殊乘積和式的極限機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第9頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月5.1.2定積分概念任一種分法任取總趨于確定的極限I,則稱此極限I為函數(shù)在區(qū)間上的定積分,即此時(shí)稱f(x)在[a,b]上可積.記作機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第10頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分和定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān),而與積分變量用什么字母表示無關(guān),即機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第11頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月定積分的幾何意義:曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負(fù)值機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第12頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月定理1.可積的充分條件:例1.

利用定義計(jì)算定積分解:將[0,1]n等分,分點(diǎn)為取機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第13頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月注目錄上頁下頁返回結(jié)束第14頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月[注]

利用得兩端分別相加,得即第15頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.

用定積分表示下列極限:解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第16頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月說明:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束根據(jù)定積分定義可得如下近似計(jì)算方法:將[a,b]分成n等份:(左矩形公式)(右矩形公式)第17頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月(梯形公式)為了提高精度,還可建立更好的求積公式,例如辛普森機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束公式,復(fù)化求積公式等,并有現(xiàn)成的數(shù)學(xué)軟件可供調(diào)用.第18頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)1常數(shù)因子可提到積分號(hào)外性質(zhì)2函數(shù)代數(shù)和的積分等于它們積分的代數(shù)和。5.2定積分的簡單性質(zhì)第19頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)3若在區(qū)間[a,b]上f(x)≡K，則性質(zhì)4定積分的區(qū)間可加性若c是[a,b]內(nèi)的任一點(diǎn)，則第20頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)a,

b,c

的相對(duì)位置任意時(shí),例如則有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第21頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)5如果在區(qū)間[a,b]上，f(x)≤g(x)，則性質(zhì)6設(shè)在區(qū)間[a,b]上（a<b），函數(shù)f(x)的最大值和最小值分別是M和m，則第22頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)7積分中值定理定理：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在[a,b]上至少存在一點(diǎn)使或可寫作稱為函數(shù)f(x)在[a,b]上的平均值第23頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月第24頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.

試證:證:設(shè)則在上,有即故即機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第25頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.

計(jì)算從0秒到T秒這段時(shí)間內(nèi)自由落體的平均速度.解:已知自由落體速度為故所求平均速度機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第26頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月內(nèi)容小結(jié)1.定積分的定義—乘積和式的極限2.定積分的性質(zhì)3.積分中值定理機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的平均值公式第27頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月一、引例在變速直線運(yùn)動(dòng)中,已知位置函數(shù)與速度函數(shù)之間有關(guān)系:物體在時(shí)間間隔內(nèi)經(jīng)過的路程為這種積分與原函數(shù)的關(guān)系在一定條件下具有普遍性.5.3定積分的計(jì)算第28頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月則積分上限函數(shù)證:則有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定理1.

若5.3.1牛頓–萊布尼茲公式第29頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月說明:1)定理1證明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.2)變限積分求導(dǎo):同時(shí)為通過原函數(shù)計(jì)算定積分開辟了道路.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第30頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.

求解:原式說明目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.確定常數(shù)a,b,c的值,使解:原式=

c≠0,故又由～,得第31頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.

證明在內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù).證:只要證機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第32頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月(牛頓-萊布尼茲公式)

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束證:根據(jù)定理1,故因此得記作定理2.函數(shù),則第33頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.

計(jì)算解:例2.計(jì)算正弦曲線的面積.解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第34頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.

汽車以每小時(shí)36km的速度行駛,速停車,解:設(shè)開始剎車時(shí)刻為則此時(shí)刻汽車速度剎車后汽車減速行駛,其速度為當(dāng)汽車停住時(shí),即得故在這段時(shí)間內(nèi)汽車所走的距離為剎車,問從開始剎到某處需要減設(shè)汽車以等加速度機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束車到停車走了多少距離?第35頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月內(nèi)容小結(jié)則有1.微積分基本公式積分中值定理微分中值定理牛頓–萊布尼茲公式2.變限積分求導(dǎo)公式公式目錄上頁下頁返回結(jié)束第36頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月備用題1.設(shè)求第37頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月二、定積分的分部積分法不定積分機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束一、定積分的換元法換元積分法分部積分法定積分換元積分法分部積分法5.3.2定積分的換元法和分部積分法第五章第38頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月定理2（定積分的換元公式）設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)；函數(shù)在上單值且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)；當(dāng)時(shí)，有，且則第39頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.

計(jì)算解:令則∴原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束且第40頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.

計(jì)算解:令則∴原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束且第41頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.證:(1)若(2)若偶倍奇零機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第42頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月定理3（定積分的分部積分公式）設(shè)函數(shù)u(x),v(x)在[a,b]上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則第43頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月例4.

計(jì)算解:原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第44頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月1.

設(shè)求解:(分部積分)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第45頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月解：2.右端試證分部積分積分再次分部積分=左端機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第46頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月

解

f(x)在區(qū)間[-1,2]上不連續(xù)。利用定積分性質(zhì)4，把在區(qū)間[-1,2]上的積分分成兩個(gè)區(qū)間[-1,0]和[0,2]上的積分。

3計(jì)算其中注意在積分中，相當(dāng)于定義f(0)=1，而題中f(0)=0，這并不會(huì)改變定積分的值。實(shí)際上可以證明，改變被積函數(shù)在有限個(gè)點(diǎn)上的值都不會(huì)改變定積分的值。第47頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月

解方程x2－2x－3=0有兩個(gè)實(shí)根－1和3，根據(jù)一元二次不等式的判別，函數(shù)x2－2x－3=0在[-2,3]上分為兩部分，在[-2,-1]取正值，在[-1,3]上取負(fù)值，所以

4計(jì)算于是第48頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月5設(shè)求解第49頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月解我們有根據(jù)定積分的分部積分法，可得6已知f(π)＝2，求f(0).第50頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)已知條件，得2＋f(0)＝5所以所以f(0)＝3第51頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月用定積分概念解決實(shí)際問題的四個(gè)步驟：

5.3定積分的應(yīng)用第52頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月定積分應(yīng)用的微元法：

第53頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月微元法中微元的兩點(diǎn)說明：

第54頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月直角坐標(biāo)情形一、平面圖形的面積A用微元法建立曲邊梯形面積A的計(jì)算公式：第55頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月仿此可得（圖1）的面積：Ayx=f(y)（圖2）的面積：（圖1）（圖2）第56頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月（圖3）的面積：xy=f(x)（圖3）第57頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月另解選為積分變量第58頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.

計(jì)算兩條拋物線在第一象限所圍所圍圖形的面積.解:由得交點(diǎn)5.4.1平面圖形的面積1直角坐標(biāo)系中平面圖形的面積第59頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.

計(jì)算拋物線與直線的面積.解:由得交點(diǎn)所圍圖形為簡便計(jì)算,選取y作積分變量,則有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第60頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月解先求兩曲線的交點(diǎn)。第61頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.求橢圓解:

利用對(duì)稱性,所圍圖形的面積.有利用橢圓的參數(shù)方程應(yīng)用定積分換元法得當(dāng)a=b時(shí)得圓面積公式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第62頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月曲邊扇形面積元素曲邊扇形的面積公式3.極坐標(biāo)方程的情形第63頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月解由對(duì)稱性知，總面積=第一象限部分面積的4倍。第64頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)應(yīng)

從0變例4.計(jì)算阿基米德螺線解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束到2所圍圖形面積.第65頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月例5.計(jì)算心形線所圍圖形的面積.解:(利用對(duì)稱性)心形線目錄上頁下頁返回結(jié)束第66頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月心形線(外擺線的一種)即尖點(diǎn):面積:弧長:參數(shù)的幾何意義第67頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月例6.

計(jì)算心形線與圓所圍圖形的面積.解:

利用對(duì)稱性,所求面積機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第68頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月例6.

求雙紐線所圍圖形面積.解:利用對(duì)稱性,則所求面積為思考:用定積分表示該雙紐線與圓所圍公共部分的面積.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束答案:第69頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月

旋轉(zhuǎn)體——由一個(gè)平面圖形繞同平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這條直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．圓柱圓錐圓臺(tái)二、體積1.旋轉(zhuǎn)體的體積第70頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月5.4.2旋轉(zhuǎn)體的體積第71頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月第72頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月xyo旋轉(zhuǎn)體的體積公式第73頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月第74頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月解第75頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月另解第76頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月例7.

計(jì)算由橢圓所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.解:利用直角坐標(biāo)方程則(利用對(duì)稱性)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第77頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月5.4.3變力作功

第78頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月第79頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月第80頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月第81頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月二、無界函數(shù)的廣義積分常義積分積分限有限被積函數(shù)有界推廣一、無窮限的廣義積分機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束廣義積分5.6廣義積分和Γ函數(shù)第五章第82頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月5.6.1廣義積分引例.曲線和直線及x軸所圍成的開口曲邊梯形的面積可記作其含義可理解為1連續(xù)函數(shù)在無限區(qū)間上的積分第83頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月定義1.

設(shè)若存在,則稱此極限為f(x)在區(qū)間的廣義積分,記作這時(shí)稱廣義積分收斂;如果上述極限不存在,就稱廣義積分發(fā)散.類似地,若則定義機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第84頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月則定義(c為任意取定的常數(shù))只要有一個(gè)極限不存在,就稱發(fā)散.并非不定型,說明:上述定義中若出現(xiàn)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束它表明該廣義積分發(fā)散.第85頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月引入記號(hào)則有類似牛–萊公式的計(jì)算表達(dá)式:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第86頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.

計(jì)算廣義積分解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束思考:分析:原積分發(fā)散!注意:對(duì)廣義積分,只有在收斂的條件下才能使用“偶倍奇零”的性質(zhì),否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.第87頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.

證明第一類p

積分證:當(dāng)p=1時(shí)有當(dāng)p≠1時(shí)有當(dāng)p>1時(shí)收斂;p≤1時(shí)發(fā)散.因此,當(dāng)p>1時(shí),反常積分收斂,其值為當(dāng)p≤1時(shí),反常積分發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第88頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.

計(jì)算廣義積分解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第89頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月2、暇積分——無界函數(shù)的積分引例:曲線所圍成的與x軸,y軸和直線開口曲邊梯形的面積可記作其含義可理解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第90頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月定義2.

設(shè)而在點(diǎn)a的右鄰域內(nèi)無界,存在,這時(shí)稱暇積分收斂;如果上述極限不存在,就稱暇積分發(fā)散.類似地,若而在b的左鄰域內(nèi)無界,若極限數(shù)f(x)在（a,b]上的暇積分,記作則定義機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束則稱此極限為函第91頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月而在點(diǎn)c的無界點(diǎn)常稱鄰域內(nèi)無界,為瑕點(diǎn).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束則定義第92頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月下述解法是否正確:,∴積分收斂例3.

計(jì)算暇積分解:

顯然瑕點(diǎn)為

a,所以原式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.

討論暇積分的收斂性.解:所以暇積分發(fā)散.第93頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月備用題

試證,并求其值.解:令機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第94頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第95頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月5.6.2、函數(shù)1.定義第96頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月2.性質(zhì)(1)遞推公式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束證:(分部積分)注意到:第97頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第98頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月習(xí)題課一、與定積分概念有關(guān)的問題的解法機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、有關(guān)定積分計(jì)算和證明的方法定積分及其相關(guān)問題第五章第99頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月一、與定積分概念有關(guān)的問題的解法1.用定積分概念與性質(zhì)求極限2.用定積分性質(zhì)估值3.與變限積分有關(guān)的問題機(jī)