多屬性決策基本理論與方法

多屬性決策基本理論與方法主講人：張?jiān)曝S

多屬性決策基本理論與方法多屬性決策基本理論1.1多屬性決策思想根據(jù)決策空間的不同，經(jīng)典的多準(zhǔn)則決策( MultipleCriteriaDecisionMaking—MCDM)可以劃分為兩個(gè)重要的領(lǐng)域：決策空間是離散的(備選方案的個(gè)數(shù)是有限的)稱為多屬性決策(MultipleAttributeDecisionMaking—MADM)，決策空間是連續(xù)的(備選方案的個(gè)數(shù)是無限的)稱為多目標(biāo)決策(MultipleObjectiveDecisionMaking—MODM)一般認(rèn)為前者是研究已知方案的評(píng)價(jià)選擇問題，后者是研究未知方案的規(guī)劃設(shè)計(jì)問題。經(jīng)典的多屬性決策(MultipleAttributeDecisionMaking—MADM)問題可以描述為：給定一組可能的備選方案，對(duì)于每個(gè)方案，都需要從若干個(gè)屬性(每個(gè)屬性有不同的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn))去對(duì)其進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。決策的目的就是要從這一組備選方案中找到一個(gè)使決策者感到最滿意的方案，或者對(duì)這一組方案進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)排序，且排序結(jié)果能夠反映決策者的意圖。多屬性決策是現(xiàn)代決策科學(xué)的一個(gè)重要組成部分，它的理論和方法廣泛應(yīng)用于社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、管理和軍事等諸多領(lǐng)域，如投資決策、項(xiàng)目評(píng)估、工廠選址、投標(biāo)招標(biāo)、人員考評(píng)、武器系統(tǒng)性能評(píng)定、經(jīng)濟(jì)效益綜合排序等。1.2多屬性問題描述設(shè)在一個(gè)多屬性決策問題中，備選方案集合為 G二｛g「g2,…，gm｝，考慮的評(píng)價(jià)屬性集合x12x22Zm1 xm2x12x22Zm1 xm2x1nx2nxmn其中，Xj表示第i個(gè)方案的第j個(gè)屬性的初始決策指標(biāo)值，其值可以是確定值，也可以是模糊值，既可以是定量的也可以是定性的。多屬性決策問題主要包括三個(gè)部分：建立屬性評(píng)價(jià)體系、確定屬性權(quán)重及運(yùn)用具體評(píng)價(jià)方法對(duì)備選方案進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。屬性值規(guī)范化方法2.1屬性值規(guī)范化概述常見的屬性有效益型、成本性、區(qū)間型三種。效益型屬性也稱正屬性，是指屬性值越大隸屬度越大的屬性，也就是說屬性值越大越好。成本型屬性也稱負(fù)屬性，是指屬性值越小隸屬度越大的屬性，也就是說屬性值越小越好。區(qū)間型屬性也稱適度型屬性，是指屬性值越接近某個(gè)常數(shù)隸屬度越大的屬性。屬性之間一般存在著不可共度量性，即不同屬性有不同的度量標(biāo)準(zhǔn)。具體來說，各屬性的度量單位不同、量綱不同、數(shù)量級(jí)不同。我們不能直接利用初始屬性指標(biāo)進(jìn)行各方案的綜合評(píng)價(jià)和排序，而是需要先消除各屬性的量綱、數(shù)量級(jí)和屬性類型的影響后，再對(duì)方案進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)和排序。消除各屬性的量綱、數(shù)量級(jí)和屬性類型的差異的過程，這就是我們常說的決策指標(biāo)的規(guī)范化處理(或稱為決策指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化處理)。對(duì)于多屬性決策問題，其實(shí)質(zhì)就是利用一定的數(shù)學(xué)變換，把屬性的量綱、類型、差異消除，從而，將其轉(zhuǎn)化成可以進(jìn)行比較和綜合處理的、統(tǒng)一的“無量綱化”指標(biāo)。對(duì)于多屬性決策問題，一般習(xí)慣上是把各屬性的指標(biāo)值都統(tǒng)一轉(zhuǎn)換到 [0,1]區(qū)間上。即決策指標(biāo)規(guī)化以后，對(duì)每個(gè)屬性來講，最差的屬性指標(biāo)值為 0,最好的屬性指標(biāo)值為1。2.2確定型屬性值規(guī)范化方法線性變換法對(duì)于效益型屬性：yij=xijxfaX (2.1)對(duì)于成本型屬性：Yij=xfi^Xij (2.2)其中，xrfax =max｛)X|j,x2j, ,xfj｝， xf" =mi口3門七),,xfj｝。式2.1、式2.2也可以分別表示為：yij^-(xfinxij) (2.3)Yj=1-兇xfax (2.4)線性變換法只適用于效益型屬性和成本性屬性，且指標(biāo)值均為正值的情況。其規(guī)范化后的指標(biāo)值分別落在[(xfz/xfax),1]>[(xfin/xfax),1]區(qū)間上。其中，式2.3、式2.4并不是線性的變換，只是習(xí)慣上也稱其為線性變換法。極差變換法極差變換法的基本思想是將最好的屬性值規(guī)范化后為 1，將最差的屬性值規(guī)范化后為0,其余的屬性值均用線性插值法得到規(guī)范化屬性值。對(duì)于效益型屬性:

對(duì)于成本型屬性:對(duì)于區(qū)間型屬性:yj其中,yijyjxj-minxmax_xminmaxxj -xijvmaxv對(duì)于成本型屬性:對(duì)于區(qū)間型屬性:yj其中,yijyjxj-minxmax_xminmaxxj -xijvmaxvminx x:max{(q；_Xj),(xij_q[)}

max{(q；-x'min),(x'max-q2)}11xij■[q1,q2]xij^[q1,q2](2.5)(2.6)(2.7)xjax二max{X[j,x2j,,xmj},xmin二min{x“，x2j,,xmj}(3)向量變換法對(duì)于效益型屬性:(2.8)對(duì)于成本型屬性:yij(2.9yij(2.9)m 2、'(1/xij)2

i=1我們注意到，向量規(guī)范化方法并不改變初始屬性的正、負(fù)符號(hào)，且規(guī)范化后各分量的模這種規(guī)范化方法適用于任何類型的屬性，但是其不能保證屬性的最好值規(guī)范化后的值為1、最差值為0,也不能保證屬性值規(guī)范化后的值落在［0,1］區(qū)間上。所以這種方法的應(yīng)用范圍僅僅局限于基于空間距離方法的多屬性決策方法，如理想點(diǎn)法、 TOPSIS法、投影法、夾角度量法等。(4)三角函數(shù)變換法對(duì)于效益型屬性:yj11.+sin[yj11.+sin[2 2maxminxx(xjxmaxxmin

-Xjj)](2.10)對(duì)于成本型屬性:yj11.ryj11.r二

sin[-2 2vmaxvminx； —x:(xjmax minxjxj- —)]2(2.11)2.3模糊型屬性值規(guī)范化方法對(duì)于定性刻畫的控制變量，考慮到信息的不完全性及風(fēng)險(xiǎn)診斷專家知識(shí)的局限等，往往很難用精確數(shù)表示其原始信息，而模糊語言有時(shí)候更利于風(fēng)險(xiǎn)診斷專家表達(dá)自己的偏好。模糊語言的表示主要有區(qū)間數(shù)、三角模糊數(shù)、梯形模糊數(shù)、直覺模糊數(shù)、語言標(biāo)度、二元語義等。在決策過程中，雖然選擇不同的模糊語言表示及集結(jié)方法將會(huì)得到不同的結(jié)果，但就各種模糊語言表示本身而言并沒有優(yōu)劣之分。定義1記召二［aL,aU］為閉區(qū)間數(shù)，應(yīng)用C-OW算子，貝U轉(zhuǎn)化的計(jì)算公式為:f;?([aL,aU])=(1-)aL aU定義2記a=(aL,aM,aU)為三角模糊數(shù)，應(yīng)用C-OWAT子，則轉(zhuǎn)化的計(jì)算公式為：fr((aL,aM,aU))=((1-，)aL2aM aU)/3定義3記b^=(bL,bM,bN,bU)為梯形模糊數(shù)，應(yīng)用C-OWA算子，貝U轉(zhuǎn)化的計(jì)算公式為:f;?((bL,bM,bN,bU))=((1-)(aL2aM) (2aNaU))/3定義4記普=｛屮aa引-L,L］;,Z｝為模糊語言標(biāo)度集，屮a表示模糊語言變量。屮-l和屮l分別表示模糊語言標(biāo)度集的下限標(biāo)度和上限標(biāo)度。若 J■且，稱為模糊語言區(qū)間數(shù)。當(dāng)〉=1時(shí)，退化為模糊語言變量。集合？中元素?cái)?shù)量可根據(jù)實(shí)際評(píng)估需要設(shè)置。若取L=4，則集合弓包括9個(gè)元素。在刻畫供應(yīng)鏈風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，給定模糊語言變量與風(fēng)險(xiǎn)診斷專家表達(dá)的模糊偏好信息存在如下對(duì)應(yīng)關(guān)系：'■■-4二VL(很低)，匸3=L(低)，=2二ML(較低)，：-1二FL(稍低)，譏=IG(—般)，F(xiàn)H(稍咼)，'2-MH(較咼)，'3=H(咼)，'■4=VH(很咼)。由于模糊語言區(qū)間數(shù)不能直接計(jì)算，因此需要通過轉(zhuǎn)換公式將之轉(zhuǎn)化后方可進(jìn)行。通過定義5可實(shí)現(xiàn)模糊語言區(qū)間數(shù)與精確數(shù)之間的轉(zhuǎn)化rrij yij—y0j|+Pmaxmax|yij—y°j 定義5記fJ為模糊語言區(qū)間數(shù)，0為精確數(shù)，其中：—[丄L],0_0_1。存在下列對(duì)應(yīng)法則使得映射關(guān)系f：{「'■「=]}?0成立。鳥-L鳥-L1 L1■ +人■ 2L1 2L1其中，，表示風(fēng)險(xiǎn)診斷專家對(duì)風(fēng)險(xiǎn)程度的偏好。若（2）■=0，說明風(fēng)險(xiǎn)診斷專家對(duì)風(fēng)險(xiǎn)持樂觀態(tài)度；若?=1時(shí)，說明風(fēng)險(xiǎn)診斷專家對(duì)風(fēng)險(xiǎn)持悲觀態(tài)度。0可理解為風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)，0越小,說明風(fēng)險(xiǎn)程度越低建立屬性評(píng)價(jià)體系屬性權(quán)重計(jì)算方法4.1判斷矩陣法見5.3層次分析法4.2灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)法灰色關(guān)聯(lián)度評(píng)價(jià)是一種多因素統(tǒng)計(jì)分析方法，它是以各因素 （屬性）的樣本數(shù)據(jù)為依據(jù)用灰色關(guān)聯(lián)度來描述方案之間關(guān)系的強(qiáng)弱、大小和次序。如果樣本數(shù)據(jù)間變化態(tài)勢(shì)基本一致，則關(guān)聯(lián)度較大；反之較小。灰色關(guān)聯(lián)度評(píng)價(jià)法的核心是計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)，而關(guān)聯(lián)系數(shù)的計(jì)算實(shí)質(zhì)就是一種利用理想樣本（方案）進(jìn)行確定型定量指標(biāo)的規(guī)范化方法。首先，確定所研究問題的評(píng)價(jià)指標(biāo)和被評(píng)價(jià)方案，形成如下樣本初始決策矩陣："xn X12"xn X12X1nX21 X21 X22X=(Xij)m^=: :Xm1 xm2X2nXmn將指標(biāo)進(jìn)行無量綱化處理，并確定參考樣本（理想方案），得到規(guī)范化決策矩陣:將指標(biāo)進(jìn)行無量綱化處理，并確定參考樣本（理想方案），得到規(guī)范化決策矩陣:y01y02yny12yonymyy2n，9ymn丫=(yij)mxn=y21 y22a a丿m1ym2其中，y°j=max{y1j,y2j，…%}，j=12,…,n。第i個(gè)方案的第j個(gè)指標(biāo)與參考樣本（理想方案）的關(guān)聯(lián)系數(shù)為minm.inyij-y0j+^maxmaxyij-y0j其中，「是分辨系數(shù)，在［0,1］內(nèi)取值，一般取0.5,其取較小值可以提高關(guān)聯(lián)系數(shù)間差異的顯著性，從而提高評(píng)價(jià)結(jié)果的區(qū)分能力，這也正是灰色關(guān)聯(lián)度評(píng)價(jià)法的一個(gè)顯著特點(diǎn)。若指標(biāo)的權(quán)重向量為??“，…，5），則被評(píng)價(jià)方案與參考樣本（理想方案）的關(guān)聯(lián)度為nRi=U：j5，i=1,2,…,mj按照關(guān)聯(lián)度大小排序各被評(píng)價(jià)方案。對(duì)被評(píng)價(jià)方案與參考樣本的關(guān)聯(lián)度從大到小排序，關(guān)聯(lián)度越大，說明被評(píng)價(jià)方案與參考樣本越接近，因而被評(píng)價(jià)方案也就越優(yōu)。4.3熵權(quán)法4.3.1熵權(quán)法概述熵原本是一熱力學(xué)概念，它最先由申農(nóng)（C.E.Shannon）引入信息論，稱之為信息熵。現(xiàn)已在工程技術(shù)，社會(huì)經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域得到十分廣泛的應(yīng)用。申農(nóng)定義的信息熵是一個(gè)獨(dú)立于熱力學(xué)熵的概念，但具有熱力學(xué)熵的基本性質(zhì)（單值性、可加性和極值性），并且具有更為廣泛和普遍的意義，所以稱為廣義熵。它是熵概念和熵理論在非熱力學(xué)領(lǐng)域泛化應(yīng)用的一個(gè)基本概念。熵權(quán)法是一種客觀賦權(quán)方法。在具體使用過程中，熵權(quán)法根據(jù)各屬性的變異程度，利用信息熵計(jì)算出各屬性的熵權(quán)，再通過熵權(quán)對(duì)各屬性的權(quán)重進(jìn)行修正，從而得出較為客觀的屬性權(quán)重。4.3.2熵權(quán)法基本原理根據(jù)信息論的基本原理，信息是系統(tǒng)有序程度的一個(gè)度量；而熵是系統(tǒng)無序程度的一個(gè)度量。若系統(tǒng)可能處于多種不同的狀態(tài)。 而每種狀態(tài)出現(xiàn)的概率為pi（i=d,2，…，m）時(shí)，則該系統(tǒng)的熵就定義為：me_ pilnpii勻顯然，當(dāng)Pi=1/m（i=1,2，…，m）時(shí)，即各種狀態(tài)出現(xiàn)的概率相同時(shí)，熵取最大值，為emax~lnm?，F(xiàn)有m個(gè)備選方案，n個(gè)評(píng)價(jià)屬性，形成初始評(píng)價(jià)矩陣R=（「ij）mn，對(duì)于某個(gè)屬性rj有信息熵：m mej-PijInpij，其中Pij二切八riji= i=從信息熵的公式可以看出：如果某個(gè)屬性的熵值ej越小，說明其屬性值的變異程度越大,提供的信息量越多，在綜合評(píng)價(jià)中該屬性起的作用越大，其權(quán)重應(yīng)該越大。如果某個(gè)屬性的熵值ej越大，說明其屬性值的變異程度越小，提供的信息量越少，在綜合評(píng)價(jià)中起的作用越小，其權(quán)重也應(yīng)越小。故在具體應(yīng)用時(shí)，可根據(jù)各屬性值的變異程度，利用熵來計(jì)算各屬性的熵權(quán)，禾I」用各屬性的熵權(quán)對(duì)所有的屬性進(jìn)行加權(quán)，從而得出較為客觀的評(píng)價(jià)結(jié)果。433熵權(quán)法計(jì)算權(quán)重步驟熵權(quán)法計(jì)算各屬性權(quán)重的過程為：(1)計(jì)算第j個(gè)指標(biāo)下第i個(gè)備選方法的屬性值的比重Pj:mPij=rijI、rij\=1⑵計(jì)算第j個(gè)指標(biāo)的熵值ej:mej=-k'pijInpj，其中k=1/1nmiT(3)計(jì)算第j個(gè)指標(biāo)的熵權(quán)j:nj=(1—ej)/'，(1—ej)j=i當(dāng)各備選方案在屬性j上的值完全相同時(shí)，該屬性的熵達(dá)到最大值 1,其熵權(quán)為零。這說明該屬性未能向決策者供有用的信息，即在該屬性下，所有的備選方案對(duì)決策者說是無差異的，可考慮去掉該屬性。因此，熵權(quán)本身并不是表示屬性的重要性系數(shù)，而是表示在該屬性下對(duì)評(píng)價(jià)對(duì)象的區(qū)分度。熵權(quán)法可用于任何評(píng)價(jià)問題中的屬性權(quán)重確定并可用于剔除屬性評(píng)價(jià)體系中對(duì)評(píng)價(jià)結(jié)果貢獻(xiàn)不大的屬性。4.4離差最大化方法對(duì)于某一多屬性決策問題，屬性權(quán)重信息完全未知。初始決策矩X(Xjj)mn經(jīng)過規(guī)范化處理后，得到規(guī)范化矩陣Y=(yij)mn。假設(shè)屬性權(quán)重向量為用，'-0，并滿足單位化約束條件：n二?j2 =1Ojw

由于客觀事物的不確定性和人類思維的模糊性，決策專家們往往很難給出明確的屬性權(quán)重值，甚至出現(xiàn)屬性權(quán)重信息完全未知的情形。因此，通過屬性值自身所體現(xiàn)出的特點(diǎn)來決定屬性權(quán)重的比例是客觀的和合乎邏輯的，基于離差最大化的屬性賦權(quán)方法則具備這樣的優(yōu)點(diǎn)。它的基本思想是，若所有方案在某個(gè)屬性下的屬性值差異越小，則說明該屬性值對(duì)方案決策與排序所起的作用越??；反之，若某個(gè)屬性能使所有方案的屬性值有較大差異，則說明其對(duì)方案決策與排序?qū)⑵鹬匾饔谩Ｓ纱?，從?duì)決策方案進(jìn)行排序的角度考慮，無論方案屬性本身的重要程度如何，方案屬性值離差越大的屬性應(yīng)該賦予越大的權(quán)重。特別地，若所有方案在某個(gè)屬性下的屬性值無差異，則該屬性對(duì)方案排序?qū)⒉黄鹱饔茫闪钇錂?quán)重為 0?；谏鲜隹紤]，對(duì)于屬性Uj，用Djj(J表示方案gi與其他所有方案之間的離差，則可定義mDj（①）=E yij國(guó)j—ykj^j。k=1m mmDj（⑷）=三Dj（⑷）=送Xyij-ykj°j

i=1 i=ik=1則DjCJ表示對(duì)屬性Uj而言，所有方案與其他方案的總離差。根據(jù)上述分析，屬性權(quán)重向量「的選擇應(yīng)使所有屬性對(duì)所有方案的總離差最大。為此，構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)為瓦瓦無yj—ykj^j瓦瓦無yj—ykj^jmaxDC）=D:（；：.）=j=1 j=1i=1k=1maxD（maxD（⑷）=瓦ZZyij-ykjjj=1i=1khn2s.t. ' ■j2=1 ■j-0j=1解此最優(yōu)化模型，作拉格朗日（解此最優(yōu)化模型，作拉格朗日（Lagrang^函數(shù)nmL（；：；J）=j=1i=1k=1nmL（；：；J）=j=1i=1k=1求其偏導(dǎo)數(shù)，并令yij1n2

-ykj窗+畀（送?2_1），

j=1求得最優(yōu)解mm乩求得最優(yōu)解mm乩/藥j=瓦送yj—ykji=1k=1n2-.；L/ ' j—1=0i=1ij-ykjmm ?]2遲遲y ?]2n mmij_ykjZZij_ykjj二1i二1j二1由于傳統(tǒng)的加權(quán)向量一般都滿足歸一化約束條件而不是單位化約束條件，因此在得到單位化權(quán)重向量■*之后，為了與人們的習(xí)慣用法相一致，還可以對(duì) ■*進(jìn)行歸一化處理，即令*n*-j?j/( ' ■j)，j=1由此得到y(tǒng)ij_ykj5多屬性決策基本方法5.1TOPSIS方法TOPSIS方法的英文全稱是“TechniqueforOrderPrefereneebySimilarutytoIdealSolutions”，即逼近于理想解的排序方法，是 Hwang和Yoon于1981年提出的一種適用于根據(jù)多項(xiàng)指標(biāo)、對(duì)多方案進(jìn)行比較選擇的分析方法。這種方法的中心思想在于首先確定各項(xiàng)指標(biāo)的正理想解和負(fù)理想解，所謂正理想解是某一指標(biāo)的最優(yōu)值，而負(fù)理想解是某一指標(biāo)的最劣值，所有的正理想解構(gòu)成最優(yōu)方案，所有的負(fù)理想解構(gòu)成最劣方案，然后求出各個(gè)方案與最優(yōu)方案及最劣方案之間的加權(quán)歐氏距離，由此得出各方案與最優(yōu)方案 (最劣方案)的接近程度，作為評(píng)價(jià)方案優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)。運(yùn)用TOPSIS方法進(jìn)行多指標(biāo)多方案評(píng)價(jià)的基本步驟如下:Step1決策專家對(duì)m個(gè)方案n個(gè)指標(biāo)給出決策矩陣X=(xj)mn；Step2對(duì)決策矩陣原始數(shù)據(jù)按下列方法進(jìn)行歸一化，得到 Y二(yij)mn；一 Xmax_x「成本性指標(biāo)： m=-^眾mrn)(i=12?.m;,j=12..n),Xj-XjminXj_x?效益型指標(biāo)： m二亦m-n,(i=12..nvj=1,2,?.n),Xj-Xj其中x「aX表示第j個(gè)指標(biāo)的最大值，x「in表示第j個(gè)指標(biāo)的最小值。Step3將指標(biāo)權(quán)重與R進(jìn)行加權(quán)集結(jié)，得到加權(quán)決策矩陣Z=(Zj)mn；Step4由各項(xiàng)指標(biāo)的最優(yōu)值和最劣值分別構(gòu)成最優(yōu)方案和最劣方案：Z=(乙,Z2,.Zn；)，Z~=(zf,zr,...,z")，其中=max｛zu,Z2j,...,zmj｝，zf=min｛引，Z2j,...,Zmj｝，j=1,2,...n；Step5計(jì)算各方案與最優(yōu)方案和最劣方案之間的距離，計(jì)算公式如下：n nLi丁厲-Zj)T2，Z-z?2］1/2；j呂 jmStep6利用公式G二L「/(Li：L「)，^1,2,...m得到各方案的相對(duì)接近度;Step7按相對(duì)接近度大小對(duì)方案排序，相對(duì)接近度越大說明該方案越優(yōu)。5.2模糊綜合評(píng)價(jià)法5.3層次分析法5.4灰色關(guān)聯(lián)度法案例：現(xiàn)欲在A、B、C三家承運(yùn)商中選擇一家作為合作伙伴，重點(diǎn)考慮的評(píng)價(jià)指標(biāo)有3個(gè),其中指標(biāo)1為效益型，指標(biāo)2為成本型，指標(biāo)3為區(qū)間型且最佳值為［60,65］，三家承運(yùn)商的各項(xiàng)指標(biāo)評(píng)價(jià)值如下表所示：承運(yùn)商/指標(biāo)指標(biāo)1指標(biāo)2指標(biāo)3A9317070B8814565C8312063若假定上述3個(gè)指標(biāo)的權(quán)重分別為0.4、0.4、0.2，請(qǐng)運(yùn)用TOPSIS方法給予評(píng)價(jià)定義3若-k=（畀；…鳥）表示第k個(gè)決策者賦予的指標(biāo)權(quán)重向量，?J …鳥）表示第t個(gè)決策者賦予的指標(biāo)權(quán)重向量，則丁與［之間的一致性程度為：Lkt=（/