常微分方程簡(jiǎn)單應(yīng)用

常微分方程簡(jiǎn)單應(yīng)用第1頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月8.4微分方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用利用微分方程求函數(shù)習(xí)例1-7

微分方程在幾何上的應(yīng)用習(xí)例8-11微分方程在物理和力學(xué)上的應(yīng)用習(xí)例12-13應(yīng)用微分方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟微分方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用第2頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、應(yīng)用微分方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟1、根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際背景，利用數(shù)學(xué)和有關(guān)學(xué)科知識(shí)，建立微分方程，確定定解條件；2、根據(jù)方程的類型，用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蟪龇匠痰耐ń猓?、對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行具體分析，解釋其實(shí)際意義。如果它與實(shí)際相差太遠(yuǎn)，則就應(yīng)該修改模型，重新求解。第3頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.建立數(shù)學(xué)模型—列微分方程問(wèn)題建立微分方程(共性)利用物理規(guī)律利用幾何關(guān)系確定定解條件(個(gè)性)初始條件邊界條件可能還有銜接條件2.解微分方程問(wèn)題3.分析解所包含的實(shí)際意義第4頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、利用微分方程求解函數(shù)習(xí)例例3這里的“函數(shù)方程”包括變上限積分、重積分、線面積分的方程以及偏微分方程等。第5頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月內(nèi)滿足以下條件:(1)求

所滿足的一階微分方程;(2003考研)(2)求出的表達(dá)式.例4設(shè)其中函數(shù)

在(－∞,+∞)第6頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第7頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解原方程是一個(gè)帶有變上限積分的方程，在其兩端分別對(duì)x求導(dǎo)，得上式兩端再對(duì)x求導(dǎo)，得第8頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月這是變量可分離方程，分離變量并積分得第9頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解即第10頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月此方程的特征方程為代入微分方程得故其特解為第11頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月從而方程的通解為注意到，由由此確定通解中的任意常數(shù)第12頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例3

設(shè)提示:對(duì)積分換元,則有解初值問(wèn)題:答案:第13頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解:(1)所以

滿足的一階線性非齊次微分方程:內(nèi)滿足以下條件:(1)求

所滿足的一階微分方程;(2003考研)(2)求出的表達(dá)式.例4設(shè)其中函數(shù)

在(－∞,+∞)第14頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(2)由一階線性微分方程解的公式得于是第15頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解令這是一個(gè)一階線性方程，其通解為第16頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第17頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例6解這是一個(gè)含二重積分的函數(shù)方程，顯然f(0)=1,由于第18頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月所以這是一個(gè)一階線性方程，其通解為第19頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解這是一個(gè)偏微分方程，可通過(guò)多元函數(shù)微分法化為常微分方程來(lái)解。因?yàn)榈?0頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月代入原方程，得這是一個(gè)二階常系數(shù)齊次方程，其特征方程為第21頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、微分方程在幾何上的應(yīng)用習(xí)例二階可導(dǎo),且(1999考研)上任一點(diǎn)作該曲線的切線及軸的垂線,上述兩直線與

軸圍成的三角形面積積記為區(qū)間[0,]上,以為曲邊的曲邊梯形面積記為例9在上半平面求一條上凹的曲線，其上任一點(diǎn)第22頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例11求經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的曲線族，在其上任一點(diǎn)M例10在連接點(diǎn)A(0,1)和B(1,0)的一條上凸的曲線上任取一第23頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二階可導(dǎo),且解于是(1999考研)上任一點(diǎn)作該曲線的切線及軸的垂線,上述兩直線與

軸圍成的三角形面積積記為區(qū)間[0,]上,以為曲邊的曲邊梯形面積記為在點(diǎn)處的切線傾角為

,第24頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月再利用y(0)=1得利用得兩邊對(duì)x

求導(dǎo),得定解條件為方程化為利用定解條件得得故所求曲線方程為第25頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例9在上半平面求一條上凹的曲線，其上任一點(diǎn)QoyxP(1,1)11解根據(jù)題意得微分方程第26頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月從而第27頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月故，所求曲線方程為第28頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例10在連接點(diǎn)A(0,1)和B(1,0)的一條上凸的曲線上任取一解B(1,0)oyxP(x,y)A(0,1)x3第29頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第30頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例11求經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的曲線族，在其上任一點(diǎn)MToyxM(x,y)P解第31頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第32頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第33頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月四、微分方程在物理和力學(xué)上的應(yīng)用習(xí)例例12.一鏈條掛在一釘子上,啟動(dòng)時(shí)一端離釘子8m,另一端離釘子12m,如不計(jì)釘子對(duì)鏈條所產(chǎn)生的摩擦力,求鏈條滑下來(lái)所需的時(shí)間.例13.從船上向海中沉放某種探測(cè)儀器,按探測(cè)要求需確定儀器的下沉深度y與下沉速度v之間的函數(shù)關(guān)系.設(shè)儀器在重力作用下從海平面由靜止開(kāi)始下沉,在下沉過(guò)程中還受到阻力和浮力作用,設(shè)儀器質(zhì)量為m,體積為B,海水比重為,儀器所受阻力與下沉速度成正比,比例系數(shù)為k(k>0),試建立y與v所滿足的微分方程,并求出函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=y(v).

(1995考研)

第34頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例12.一鏈條掛在一釘子上,啟動(dòng)時(shí)一端離釘子8m,另一端離釘子12m,如不計(jì)釘子對(duì)鏈條所產(chǎn)生的摩擦力,求鏈條滑下來(lái)所需的時(shí)間.解建立坐標(biāo)系如圖.設(shè)在時(shí)刻

t,鏈條較長(zhǎng)一段下垂x

m,又設(shè)鏈條線密度為常數(shù)此時(shí)鏈條受力由Ne