高二數(shù)學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)人教A版選修4-1課件：3.1-平行射影

第三講

圓錐曲線性質(zhì)的探討高二數(shù)學(xué)PPT之?dāng)?shù)學(xué)人教A版選修4-1課件：3.1平行射影一平行射影1.掌握正射影的概念,理解平行射影的概念,能確定平行射影的形狀.2.掌握橢圓的定義,知道橢圓是圓柱的一種截面.1231.正射影(1)定義:給定一個(gè)平面α,從一點(diǎn)A作平面α的垂線,垂足為點(diǎn)A'.稱點(diǎn)A'為點(diǎn)A在平面α上的正射影.一個(gè)圖形上各點(diǎn)在平面α上的正射影所組成的圖形,稱為這個(gè)圖形在平面α上的正射影.(2)圓面的正射影:一個(gè)圓所在的平面β與平面α平行,那么該圓在平面α上的正射影顯然是一個(gè)圓,并且是和原來(lái)的圓相同的圓;如果圓所在的平面β與平面α不平行且不垂直時(shí),從生活經(jīng)驗(yàn)我們知道,正射影的形狀發(fā)生了變化,就好像一個(gè)圓被壓扁了,我們稱之橢圓;如果圓所在的平面β與平面α垂直時(shí),那么該圓在平面α上的正射影是一條線段,其長(zhǎng)度等于圓的直徑.123名師點(diǎn)撥一個(gè)圖形在一個(gè)平面上的正射影與圖形和平面的位置有關(guān),如一條直線,當(dāng)它和平面α垂直時(shí),它在平面α上的正射影是一個(gè)點(diǎn);當(dāng)它和平面α斜交時(shí),它在平面α上的正射影是一條直線;它和平面α平行時(shí),它在平面α上的正射影是一條與原直線平行的直線.【做一做1】

△ABC在平面α上的正射影是(

)A.三角形

B.直線C.線段

D.三角形或線段解析:當(dāng)△ABC所在平面垂直于α?xí)r,△ABC在α上的正射影是一條線段,否則是三角形.答案:D1232.平行射影定義:設(shè)直線l與平面α相交(如圖),稱直線l的方向?yàn)橥队胺较?過(guò)點(diǎn)A作平行于l的直線(稱為投影線)必交α于一點(diǎn)A',稱點(diǎn)A'為A沿l的方向在平面α上的平行射影.一個(gè)圖形上各點(diǎn)在平面α上的平行射影所組成的圖形,叫做這個(gè)圖形的平行射影.顯然,正射影是平行射影的特例.123歸納總結(jié)平行射影的性質(zhì):(1)直線的平行射影是直線或一個(gè)點(diǎn),線段的平行射影是線段或一個(gè)點(diǎn);(2)平行直線的平行射影是平行或重合的直線或兩個(gè)點(diǎn);(3)平行于投影面的線段,它的平行射影與這條線段平行且等長(zhǎng);(4)與投影面平行的平面圖形,它的平行射影與這個(gè)圖形全等;(5)在同一直線或平行直線上的兩條線段的平行射影(不是點(diǎn))的比等于這兩條線段的比.123【做一做2】

兩條異面直線m和n在平面α上的平行射影是(

)A.一條直線和直線外一個(gè)點(diǎn)B.兩條相交直線C.兩條平行直線D.以上都有可能解析:當(dāng)m和n中有一條直線與投影方向平行時(shí),它們的平行射影是一個(gè)點(diǎn)和一條直線;否則是兩條平行直線或相交直線.答案:D1233.橢圓(1)定義:平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.(2)抽象概括:用一個(gè)平面去截一個(gè)圓柱,當(dāng)平面與圓柱的兩個(gè)底面平行時(shí),截面是一個(gè)圓;當(dāng)平面與圓柱的兩個(gè)底面不平行時(shí),截面是一個(gè)橢圓(如圖).123【做一做3】

平面上兩個(gè)定點(diǎn)A和B的距離為5,動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A,B的距離之和為常數(shù)m,若動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓,則m的取值范圍是(

)A.(0,5) B.(5,+∞)C.(0,+∞) D.R解析:當(dāng)m<5時(shí),不表示任何圖形;當(dāng)m=5時(shí),軌跡是線段AB;當(dāng)m>5時(shí),軌跡是橢圓.答案:B1.平行射影與正射影的區(qū)別與聯(lián)系剖析:對(duì)于平行射影,取不同的投影方向,同一個(gè)圖形的平行射影也有所不同,正射影就是平行射影中投影方向與平面垂直時(shí)的一種特殊情況.因而我們可以從兩個(gè)不同的角度加以考慮,并且要注意這二者的區(qū)別與聯(lián)系,從而完整、全面地看待問(wèn)題.例如,如圖,直線l與平面α所成的角是45°,交點(diǎn)為A.在l上取不同于點(diǎn)A的一點(diǎn)B,過(guò)點(diǎn)B作BC⊥α,垂足為C.則l在平面α上的正射影是直線AC.當(dāng)投影方向與l相同時(shí),l在平面α上的平行射影是一個(gè)點(diǎn),即點(diǎn)A;當(dāng)投影方向垂直于平面α?xí)r,l在平面α上的平行射影是直線AC,此時(shí)平行射影和正射影是相同的.2.點(diǎn)的射影與圖形的射影的區(qū)別與聯(lián)系剖析:圖形是由點(diǎn)組成的集合,因而圖形的射影是被投影圖形上各點(diǎn)在平面α上的射影的集合,所以,要找到一個(gè)圖形的射影只需找到組成這個(gè)圖形的關(guān)鍵點(diǎn)的射影即可.題型一題型二題型三【例1】

下列說(shuō)法正確的是(

)A.正射影和平行射影是兩種截然不同的射影B.投影線與投影平面有且只有一個(gè)交點(diǎn)C.投影方向可以平行于投影平面D.一個(gè)圖形在某個(gè)平面上的平行射影是唯一的解析:正射影是平行射影的特例,本質(zhì)是相同的,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;投影線與投影平面只能相交,選項(xiàng)B是正確的,選項(xiàng)C是錯(cuò)誤的;一個(gè)圖形在一個(gè)平面上的平行射影與投影方向有關(guān),方向改變了,就可能得到不同的平行射影,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.答案:B反思圖形的平行射影與兩個(gè)因素有關(guān):一個(gè)是投影方向,一個(gè)是投影平面.正確理解平行射影的有關(guān)概念,是解決平行射影問(wèn)題的關(guān)鍵.題型一題型二題型三【變式訓(xùn)練1】

如果一個(gè)三角形的平行射影仍是一個(gè)三角形,則下列結(jié)論正確的是(

)A.內(nèi)心的平行射影還是內(nèi)心B.重心的平行射影還是重心C.垂心的平行射影還是垂心D.外心的平行射影還是外心解析:當(dāng)三角形的平行射影仍是三角形時(shí),其在投影平面上的三角形的形狀可能會(huì)發(fā)生變化,此時(shí)三角形的各頂點(diǎn)、各邊的位置也會(huì)發(fā)生變化,其中重心、垂心、外心這些由頂點(diǎn)和邊確定的點(diǎn)會(huì)隨著發(fā)生變化,而中位線上三等分點(diǎn)的等分比例性質(zhì)不變,內(nèi)心射影前后相對(duì)的位置關(guān)系不變.答案:A題型一題型二題型三【例2】

如圖,點(diǎn)E,F分別為正方體的面ADD1A1,面BCC1B1的中心,則四邊形BFD1E在該正方體的面上的正射影可能是

.(要求:把可能的圖的序號(hào)都填上)

題型一題型二題型三解析:對(duì)四邊形BFD1E在正方體的六個(gè)面上的正射影都要考慮到,并且對(duì)于圖形要考慮所有點(diǎn)的正射影,又知線段由兩個(gè)端點(diǎn)唯一確定,故考查四邊形BFD1E的射影,只需同時(shí)考查點(diǎn)B,F,D1,E在各個(gè)面上的正射影即可.四邊形BFD1E在平面ABB1A1,平面CDD1C1,平面ABCD和平面A1B1C1D1上的正射影均為圖②;四邊形BFD1E在平面ADD1A1和平面BCC1B1上的正射影均為圖③.答案:②③反思判斷平行射影的形狀時(shí),常常先確定圖形中各頂點(diǎn)的射影,再依次連接各頂點(diǎn)的射影即可;同一圖形在平行平面上的平行射影是相同的.題型一題型二題型三【變式訓(xùn)練2】

如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AA1,D1C1的中點(diǎn),G是正方形BCC1B1的中心,畫出空間四邊形AEFG在該正方體的面DCC1D1上的正投影.題型一題型二題型三解:如圖①,點(diǎn)A落在D點(diǎn)上,點(diǎn)G

落在CC1的中點(diǎn)G'上,點(diǎn)F在面DCC1D1上的正射影仍為點(diǎn)F,點(diǎn)E落在DD1的中點(diǎn)E'上,所以其正投影如圖②所示.題型一題型二題型三易錯(cuò)點(diǎn):不能準(zhǔn)確理解平行射影的概念而致錯(cuò)【例3】

線段AB,CD在同一平面內(nèi)的正射影相等,則線段AB,CD的長(zhǎng)度關(guān)系為(

)A.AB>CD B.AB<CDC.AB=CD D.無(wú)法確定錯(cuò)解:因?yàn)榫€段AB