四川省南充市高坪區(qū)2022-2023學(xué)年高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

一．單選題（本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．）1.已知，且是第二象限角，則的值是（）A. B. C. D.D【分析】先判斷正負(fù)，再根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系直接計(jì)算.【詳解】因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以，因?yàn)?，所?故選：D2.將正弦函數(shù)的圖象先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將得到的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，最后得到函數(shù)的圖象，則（）A. B.C. D.B【分析】按題意平移、伸縮變換求解即可.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，再將所得函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象.∴.故選：B.3.對(duì)于非零向量，“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件A【分析】根據(jù)向量共線的相關(guān)知識(shí)直接判斷.【詳解】對(duì)于非零向量，當(dāng)時(shí)，，一定成立，即充分性成立；當(dāng)時(shí)，，不一定滿足，即必要性不成立.所以對(duì)于非零向量，“”是“”的充分不必要條件.故選：A4.下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.A【分析】求出的單調(diào)區(qū)間，然后對(duì)進(jìn)行取值，求出具體的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間，考查選項(xiàng)中的區(qū)間與增區(qū)間的包含關(guān)系即可得解.【詳解】，令，，解得，.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，，故在單調(diào)遞增.故選:A.5.化簡(jiǎn)：（）A. B. C. D.C【分析】利用誘導(dǎo)公式和二倍角的正弦和余弦公式化簡(jiǎn)，即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，利用誘導(dǎo)公式可得，再由二倍角的正弦和余弦公式可得，，即.故選：C6.已知是邊長(zhǎng)為2的正六邊形內(nèi)的一點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.B【分析】建立如圖平面直角坐標(biāo)系，設(shè)()，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算，即可求解.【詳解】如圖，取A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，易知正六邊形的每個(gè)內(nèi)角為，所以，則，，設(shè)，則，且，所以．故選：B7.如圖是公元前約400年古希臘數(shù)學(xué)家泰特托斯用來(lái)構(gòu)造無(wú)理數(shù)，…的圖形之一，此圖形中的余弦值是（）A. B. C. D.C【分析】在BCD中，利用余弦定理求出,再在BAD中，利用余弦定理求出的余弦值.【詳解】△ABC中，,在BCD中，，在BAD中，.故選：C方法點(diǎn)睛：解三角形需要三個(gè)條件，且至少有一個(gè)為邊，對(duì)于未知的元素可以放到其它三角形中去求解.8.在直角梯形ABCD中，，點(diǎn)E為BC邊上一點(diǎn)，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.B【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合配方法進(jìn)行求解即可.【詳解】建立如圖所示的直角坐角坐標(biāo)系，過作，垂足為，因?yàn)?，所以有，，設(shè)，，因此有因?yàn)椋杂?，而，所以，?dāng)時(shí)，有最大值，當(dāng)，有最小值，所以的取值范圍是故選：B關(guān)鍵點(diǎn)睛：建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示公式是解題的關(guān)鍵.二、多選題（本題共4小題，每個(gè)小題5分，共20分．在每個(gè)小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)得2分．）9.已知全集，集合，則使成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍可能是（）A. B.C. D.BC【分析】根據(jù)和分類討論，求出m的取值范圍，再判斷選項(xiàng)即可.【詳解】①當(dāng)時(shí)，令，得，此時(shí)符合題意；②當(dāng)時(shí)，，得，則或，因?yàn)?，所以或，解得或，因?yàn)?，所?綜上，m的取值范圍為或，故選：BC10.已知向量，其中m，n均為正數(shù)，且，下列說法正確的是（）A.與的夾角為鈍角 B.向量在在方向上的投影向量的模為C. D.的最大值為2CD【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得，從而可判斷A；根據(jù)向量在方向上的投影為可判斷B;根據(jù)共線向量的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷C；由C可得，根據(jù)基本不等式即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，且兩向量不共線則與的夾角為銳角，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)樗韵蛄吭诜较蛏系耐队盀椋蔅錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)樗?因?yàn)?，，所以，即，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào)，故的最大值為2，故D正確.故選：CD11.唐朝詩(shī)人羅隱在《詠蜂》中寫到：“不論平地與大山，無(wú)限風(fēng)光盡被占：采得百花成蜜后，為誰(shuí)辛苦為誰(shuí)甜”．蜜蜂的巢房是令人驚嘆的天然建筑物，巢房是嚴(yán)格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開口．如圖是一個(gè)蜂巢的正六邊形開口，下列說法正確的是（）A. B.C. D.在的投影向量為BCD【分析】根據(jù)正六邊形的特點(diǎn)，在圖中作出相關(guān)向量，對(duì)A利用向量減法運(yùn)算結(jié)合圖形即可判斷，對(duì)B借助圖形和共線向量的定義即可判斷，對(duì)C利用向量數(shù)量積公式和相關(guān)模長(zhǎng)的關(guān)系即可判斷，對(duì)D利用投影向量定義結(jié)合圖形即可判斷.【詳解】對(duì)A，，顯然由圖可得與為相反向量，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，由圖易得，直線平分角，且為正三角形，根據(jù)平行四邊形法則有與共線且同方向，易知均為含角的直角三角形，故，則，而，故，故，故B正確；對(duì)C，，，則，又，，，，故C正確；對(duì)D，由，根據(jù)投影向量定義，在的投影向量為，故D正確；故選：BCD12.已知向量，，則下列命題正確的是（）A.若，則B.若在上的投影向量的模為，則向量與的夾角為C.存在，使得D.的最大值為AD【分析】若，可求得,即，從而可得的值，故A正確；若在上的投影模為，且，則或，故B不正確；對(duì)化簡(jiǎn)運(yùn)算即可計(jì)算得當(dāng)向量與的夾角為時(shí)，結(jié)合角的范圍可判斷C；可得的最大值為，故D正確.【詳解】若，則，則，可知，再由，解得，故A正確；若在上的投影向量的模為，且，則或，故B不正確；若，若，則，即，此時(shí)，但，所以不成立，C錯(cuò)誤；，因?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，的最大值為，故D正確，故選:AD.本題主要考查平面向量的數(shù)量積的計(jì)算和應(yīng)用，考查數(shù)量積的運(yùn)算律，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解與掌握水平，屬于較難題.三、填空題（本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．）13.若，則__________．##【分析】用二倍角公式展開代入計(jì)算.【詳解】故14.若，則的最小值為__________．3【分析】利用基本不等式，變形求函數(shù)的最小值.【詳解】因?yàn)?，由基本不等式得：，?dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)等號(hào)成立．故315.已知，則與垂直的單位向量的坐標(biāo)是____________．，【分析】設(shè)出與垂直的單位向量的坐標(biāo)，由題意列方程組，求解后即可得到答案.【詳解】設(shè)與垂直的單位向量，則，解得或，故，.16.已知圓心角為60°的扇形的半徑為1，C是AB弧上一點(diǎn)，作矩形CDEF，如圖所示，這個(gè)矩形的面積最大值為_______【分析】設(shè)出，根據(jù)圖中幾何關(guān)系得到與，表示出矩形面積，并用二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性求得最大值.【詳解】設(shè)，，則，，，所以，所以矩形的面積，因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)，矩形的面積取最大值.故四、解答題（本題共6個(gè)小題，17題10分，18-22題每題12分，共70分．解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.已知兩個(gè)非零向量與不共線，（1）若，證明：三點(diǎn)共線；（2）若，且，求實(shí)數(shù)的值．（1）證明見解析（2）【分析】（1）根據(jù)條件，得到，再證明三點(diǎn)共線即可；（2）根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算公式得到，根據(jù)進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算即可.【小問1詳解】根據(jù)條件可知，，所以，共線，又因?yàn)?，有公共點(diǎn)B，所以A，B，D三點(diǎn)共線．【小問2詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，解得，所以?shí)數(shù)的值為.18.在△ABC中，，求：（1）（2）設(shè)與同方向的單位向量為，求在上的投影向量．（1）（2）【分析】（1）先根據(jù)三邊關(guān)系得到，進(jìn)而利用平面向量線性運(yùn)算和數(shù)量積公式求出答案；（2）計(jì)算出，利用投影向量公式計(jì)算出答案.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，所以，故；小?詳解】，在上的投影向量為19.設(shè)函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值．（Ⅰ），（Ⅱ）3【分析】（1）利用二倍角公式化簡(jiǎn)，根據(jù)周期公式和正弦函數(shù)的單調(diào)性得出的周期和單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)x的范圍得出的范圍，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)得出的最大值．【詳解】解：（1，∴的最小正周期為．令，解得：，∴的單調(diào)遞增區(qū)間是：．（2）當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值1+2=3．本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．20.建設(shè)生態(tài)文明，是關(guān)系人民福祉，關(guān)乎民族未來(lái)的長(zhǎng)遠(yuǎn)大計(jì).某市通宵營(yíng)業(yè)的大型商場(chǎng)，為響應(yīng)節(jié)能減排的號(hào)召，在氣溫超過時(shí)，才開放中央空調(diào)降溫，否則關(guān)閉中央空調(diào).如圖是該市夏季一天的氣溫（單位：）隨時(shí)間（，單位：小時(shí)）的大致變化曲線，若該曲線近似的滿足函數(shù)關(guān)系.（1）求函數(shù)的表達(dá)式；（2）請(qǐng)根據(jù)（1）的結(jié)論，判斷該商場(chǎng)的中央空調(diào)應(yīng)在本天內(nèi)何時(shí)開啟？何時(shí)關(guān)閉？（1）（2）上午10時(shí)開啟，下午18時(shí)關(guān)閉.【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象可知周期T，進(jìn)而根據(jù)求得的值；結(jié)合函數(shù)的最大值和最小值，可求得A，代入最低點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得，進(jìn)而得函數(shù)的解析式．（2）根據(jù)題意，令，解不等式，結(jié)合t的取值范圍即可求得開啟和關(guān)閉中央空調(diào)時(shí)間．【詳解】（1）由圖知，，所以，得.由圖知，，，所以將點(diǎn)代入函數(shù)解析式得，得，即又因?yàn)?，?所以.（2）依題意，令，可得，所以解得：，令得，，故中央空調(diào)應(yīng)在上午10時(shí)開啟，下午18時(shí)關(guān)閉.本題考查了利用部分函數(shù)圖象求三角函數(shù)解析式，三角函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．21.如圖，數(shù)軸的交點(diǎn)為，夾角為，與軸?軸正向同向的單位向量分別是.由平面向量基本定理，對(duì)于平面內(nèi)的任一向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)，使得，我們把叫做點(diǎn)在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)（以下各點(diǎn)的坐標(biāo)都指在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)）.（1）若為單位向量，且與的夾角為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若，點(diǎn)的坐標(biāo)為，求向量與的夾角的余弦值.（1）（2）【分析】（1）時(shí)，坐標(biāo)系為平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)利用求出，再利用模長(zhǎng)公式計(jì)算可得答案；（2）根據(jù)向量的模長(zhǎng)公式、數(shù)量積公式計(jì)算可得答案.，【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，坐標(biāo)系為平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，則有，而，又，所以，又因，解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)是；【小問2詳解】依題意夾角為，，，所以.22.已知．（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）若關(guān)于x方程的解集中恰好有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的值；（3）若對(duì)任意，函數(shù)在區(qū)間上總有意義，且最大值與最小值的差不小于2，求a的取值范圍．（1）（2）或0（3）【分析】（1）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求不等式的解集即可；（2）根據(jù)題意得出方程恰有一個(gè)實(shí)根，化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化為判斷方程的根的個(gè)數(shù)問題，通過討論和即可求出答案.（3）對(duì)任意，函數(shù)在區(qū)間上總有意義，得對(duì)恒成立，求得.根據(jù)題意得出，即任意恒成立，利用二次函數(shù)在區(qū)間上恒成立求得的范圍.【小問1詳解】當(dāng)a＝1時(shí)，不等式化為，∴，即，解得0＜x＜1，經(jīng)過驗(yàn)證滿足條件，因此不等式的解集為；【小問2詳解】由，得，即，所以，當(dāng)時(shí)，則，解得x＝1，經(jīng)過驗(yàn)證此時(shí)滿足題意；當(dāng)時(shí)，①若，則a＝，此時(shí)解得x＝2．經(jīng)過驗(yàn)證滿足題意；②若時(shí)，方程有兩不等實(shí)根，設(shè)為，顯然，由，得，因?yàn)椋?，即所以都滿足，所以此時(shí)不滿足題意.綜上可得或；【小問3詳解】因?yàn)閷?duì)任意，函數(shù)在區(qū)間上總有意義，所以對(duì)恒成立，因?yàn)樵谏蠟闇p