2022年中考數(shù)學復習：二次函數(shù)應用題（投球問題）

2022年中考數(shù)學專題復習：二次函數(shù)應用題(投球問題)

1.手榴彈作為一種威力較大，體積較小，方便攜帶的武器，在戰(zhàn)爭中能發(fā)揮重要作

用，然而想把手榴彈扔遠，并不是一件容易的事.軍訓中，借助小山坡的有利地勢,

小剛在教官的指導下用模擬彈進行一次試投：如圖所示，把小剛投出的手榴彈的運動

路線看做一條拋物線，手榴彈飛行的最大高度為12米，此時它的水平飛行距離為6

米，山坡04的坡度為1:3.

(1)求這條拋物線的表達式；

(2)山坡上A處的水平距離OE為9米，A處有一棵樹，樹高5米，則小剛投出的手榴

彈能否越過這棵樹？請說明理由；

(3)求飛行的過程中手榴彈離山坡的最大高度是多少米.

2.2021年東京奧運會，中國跳水隊贏得8個項目中的7塊金牌，優(yōu)異成績的取得離

不開艱辛的訓練.某跳水運動員在進行跳水訓練時，身體(看成一點)在空中的運動

路線是如圖所示的一條拋物線，已知跳板AB長為2米，跳板距水面8的高BC為3

米，訓練時跳水曲線在離起跳點水平距離1米時達到距水面最大高度%米，現(xiàn)以8

為橫軸，C8為縱軸建立直角坐標系.

(1)當％=4時，求這條拋物線的解析式.

(2)當人=4時，求運動員落水點與點C的距離.

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(3)圖中CE=］米，CF=5米，若跳水運動員在區(qū)域E尸內(nèi)(含點E,F)入水時才能

達到訓練要求，求上的取值范圍.

3.彈力球游戲規(guī)則：彈力球拋出后與地面接觸一次，彈起降落，若落入筐中，則游戲

成功.彈力球著地前后的運動軌跡可近似看成形狀相同的兩條拋物線.如圖，甲站在

原點處，從離地面高度為1m的點4處拋出彈力球，彈力球在8處著地后彈起，落至

點C處，彈力球第一次著地前拋物線的解析式為y=a(x-2)2+2.

(1)。的值為；點8的橫坐標為；

(2)若彈力球在8處著地后彈起的最大高度為著地前手拋出的最大高度的一半.

①求彈力球第一次著地后拋物線解析式；

②求彈力球第二次著地點到點。的距離；

③如果擺放一個底面半徑為0.5m,高0.5m的圓柱形筐，且筐的最左端距離原點9m,

若要甲能投球成功，需將筐沿x軸向左移動匕m,直接寫出b的取值范圍.

4.一個球從地面豎直向上彈起時的速度為10m/s,經(jīng)過r(s)時球的高度為力

(m).已知物體豎直上拋運動中，h=vot-^gr(%表示物體運動上彈開始的速度，g

表示重力系數(shù),取g=10m/s2).

(1)寫出〃(，〃)關于f(s)的二次函數(shù)表達式.

(2)求球從彈起到最高點需要多少時間，最高點的高度是多少？

(3)若球在下落至/?=3.75m處時，遇一夾板(這部分運動的函數(shù)圖象如圖所示)，球以遇

到夾板時的速度再次向上豎直彈起，然后落回地面.求球從最初10m/s彈起到落回地

面的時間.

5.我國鉛球運動員鞏立姣在2021年8月1日東京奧運會鉛球比賽中以20.53米的成

績力壓群雄奪得冠軍.如圖是在她的一次賽前訓練中，鉛球行進高度y(米)與水平

距離x(米)之間存在的函數(shù)關系式是y=+1求：

(1)這次訓練中，鞏立姣推鉛球的成績是多少米；

(2)這次訓練中，鉛球距離地面的最大高度為多少米.

6.如圖，在某中學的一場籃球賽中，小明在距離籃圈中心7.3m(水平距離)遠處跳

起投籃，己知球出手時離地面§m,當籃球運行的水平距離為4m時達到離地面的最

大高度4m.已知籃球在空中的運行路線為一條拋物線，籃圈中心距地面3m.

(1)建立如圖的平面直角坐標系，求籃球運行路線所在拋物線的函數(shù)表達式;

(2)場邊看球的小麗認為：小明投出的此球不能命中籃圈中心.

①請通過計算說明小麗判斷的正確性：

②若球出手的角度和力度都不變，小明應該向前走或向后退多少米才能命中籃圈中

心？

(3)在球出手后，未達到最高點時，被防守隊員攔截下來稱為蓋帽，但球到達最高點

后，處于下落過程時，防守隊員再出手攔截，屬于犯規(guī).在(1)的條件下，防守方球

員小亮前來蓋帽，已知小亮的最大摸球高度為3.19m,則他應在小明前面多少米范圍

處跳起攔截才能蓋帽成功？

7.如圖，雜技團進行雜技表演，一名演員從蹺蹺板右端4處恰好彈跳到人梯頂端椅子

B處，其身體(看成一點)的路線是拋物線的一部分，跳起的演員距點A所在y軸的

水平距離為2.5米時，身體離地面最高4.75米，已知OA=1.

(1)求該拋物線的解析式.

(2)若人梯到起跳點A的水平距離為4米，求人梯的高.

8.如圖，一小球M從斜坡0A上的。點處拋出，球的拋出路線是拋物線的一部分，

建立如圖所示的平面直角坐標系，斜坡可以用一次函數(shù)y=刻畫.若小球到達的最

高的點坐標為(6,12),解答下列問題：

(1)求拋物線的表達式；

(2)在斜坡0A上的B點有一棵樹，B點的橫坐標為3,樹高為7,小球M能否飛過

這棵樹？通過計算說明理由；

(3)求小球M在飛行的過程中離斜坡0A的最大高度.

9.在一場足球比賽中，球員甲在球門正前方點0處起腳射門，在不受阻擋的情況下,

足球沿如圖所示拋物線飛向球門中心線，當足球飛行的水平距離為2米時，高度為《

米，落地點4距。點12米.已知點0距球門9米，球門的橫梁高為2.44米.

（1）求足球飛行的拋物線解析式及足球飛行過程中的最大高度；

（2）足球能否射入球門？請通過計算說明理由.

10.如圖，小明在一次高爾夫球訓練中，從山坡下P點打出一球向球洞A點飛去，球

的飛行路線為拋物線，如果不考慮空氣阻力，當球達到最大高度8。為12米時，球移

動的水平距離尸。為9米.已知山坡也與水平方向PC的夾角為30。，ACLPC于點

C,P、A兩點相距8G米.請你以P為原點，直線PC為x軸建立適當?shù)钠矫嬷苯亲?/p>

標系解決下列問題.

（1）求水平距離尸C的長;

（2）求出球的飛行路線所在拋物線的解析式；

（3）判斷小明這一桿能否把高爾夫球從P點直接打入球洞A,并說明理由.

11.在體育測試時，初三的一名高個子男同學推鉛球，已知鉛球所經(jīng)過的路線是某個

二次函數(shù)圖像的一部分，如圖所示，如果這個男同學的出手處A點的坐標鉛

球路線的最高處8點的坐標為（4,3）（單位：米）

（1）求這個二次函數(shù)的解析式；

（2）該男同學把鉛球推出去多遠？

12.如圖，足球場上守門員在。處開出一高球，球從離地面1米的4處飛出（4在y

軸上），運動員乙在距。點4米的B處發(fā)現(xiàn)球在自己頭部的正上方達到最高點“，距

地面5米高，球落地為C點.

（1）求足球軌跡的解析式；

（2）足球第一次落地點C距守門員多少米?

13.科研人員為了研究彈射器的某項性能，利用無人機測量小鋼球豎直向上運動的相

關數(shù)據(jù).無人機上升到離地面30米處開始保持勻速豎直上升，此時，在地面用彈射器

（高度不計）豎直向上彈射一個小鋼球（忽路空氣阻力），在1秒時，它們距離地面都

是35米，在6秒時，它們距離地面的高度也相同.其中無人機離地面高度以（米）與

小鋼球運動時間x（秒）之間的函數(shù)關系如圖所示；小鋼球離地面高度為（米）與它

的運動時間x（秒）之間的函數(shù)關系如圖中拋物線所示.

（2）求出力與x之間的函數(shù)關系式；

（3）小鋼球彈射1秒后直至落地時，小鋼球和無人機的高度差最大是多少米?

14.任意球是足球比賽的主要得分手段之一.在某次足球賽中，甲球員站在點。處發(fā)

出任意球，如圖，把球看作點，其運行的高度y（，"）與運行的水平距離x（機）滿足

關系式y(tǒng)=a（x-12）2+〃，已知防守隊員組成的人墻與。點的水平距離為9優(yōu)，防守隊

員躍起后的高度為2.1/w,對方球門與。點的水平距離為18機，球門高是2.43機.（假定

甲球員的任意球恰好能射正對方的球門）

（1）當〃=3時，求y與x的關系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；

（2）當〃=3時，足球能否越過人墻？足球會不會踢飛（球從球門的上方飛過）？請

說明理由.

（3）若甲球員發(fā)出的任意球直接射進對方球門得分，求/?的取值范圍.

15.如圖所示，一場籃球賽中，隊員甲跳起投籃，已知球出手時離地面半米，與籃圈

中心的水平距離為7米，當球出手的水平距離4米時到達最大高度4米，設籃球運行

軌跡為拋物線，籃圈距地面3米.

(1)請根據(jù)圖中所給的平面直角坐標系，求出籃球運行軌跡的拋物線解析式；

(2)問此籃球能否投中？

(3)此時，若對方隊員乙上前蓋帽，已知乙最大摸高3.19米，他如何做才有可能獲

得成功？(說明在球出手后，未達到最高點時.，被防守隊員攔截下來，稱為蓋帽，但

球到達最高點后，處于下落過程時，防守隊員再出手攔截，屬于犯規(guī)，判進攻方得2

分.)

16.如圖，一位運動員進行投籃訓練，設籃球運行過程中的距離地面的高度為y,籃

球水平運動的距離為x,已知y-3.5與/成正比例，

(1)當X=?時，y=2.5根據(jù)己知條件，求y與X的函數(shù)解析式;

(2)直接寫出籃球在空中運行的最大高度.

(3)若運動員的身高為1.8米，籃球投出后在離運動員水平距離2.5米處到達最高

點，球框在與運動員水平距離4米處，且球框中心到地面的距離為3.05米，問計算說

明此次投籃是否成功？

17.如圖，在水平地面點A處有一網(wǎng)球發(fā)射器向空中發(fā)射網(wǎng)球，網(wǎng)球飛行路線是一條

拋物線，在地面上落點為B,有人在直線A8上點C(靠點8一側(cè))豎直向上擺放無蓋

的圓柱形桶，試圖讓網(wǎng)球落入桶內(nèi).己知A8=4米，AC=3米，網(wǎng)球飛行最大高度

OM=4米，每個圓柱形桶的直徑為0.5米，高為0.4米(網(wǎng)球的體積和圓柱形桶的厚

度忽略不計).

(1)建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，求網(wǎng)球飛行路線的拋物線解析式；

(2)若豎直擺放4個圓柱形桶時，則網(wǎng)球能落入桶內(nèi)嗎？說明理由；

(3)若要網(wǎng)球能落入桶內(nèi)，求豎直擺放的圓柱形桶的個數(shù).

18.如圖，小明在一次圖爾夫球爭霸賽中，從山坡下O點打出一球向球洞A點飛去，

球的飛行路線為拋物線，如果不考慮空氣阻力，當球達到最大水平高度12米時，球移

動的水平距離為9米.已知山坡0A與水平方向0C的夾角為30。，O,A兩點相距8

73米.

(1)求出點A的坐標及直線OA的解析式；

(2)求出球的飛行路線所在拋物線的解析式；

(3)判斷小明這一桿能否把高爾夫球從O點直接打入球洞A點.

19.在一次籃球比賽中，如圖，隊員甲正在投籃.已知球出手時離地面半m,與籃圈

中心的水平距離為7m,球出手后水平距離為4m時達到最大高度4m,設籃球運行軌

跡為拋物線，籃圈距地面3m.

(1)建立如圖所示的平面直角坐標系，求此拋物線的解析式；

(2)此時球能否準確投中？

(3)此時，對方隊員乙在甲面前1m處跳起蓋帽攔截，已知乙的最大摸高為3.1m,那

么他能否獲得成功？

20.如圖，有一款電腦屏幕彈球游戲，球每次運行在同一平面內(nèi)，從O處發(fā)射小球，

球?qū)⑼度搿盎@筐”一正方形區(qū)域DABC邊CD,AB為入口和出口，三個頂點為A(2,

2)、B(3,2)、D(2,3),小球按照拋物線y=-x2+bx+c飛行，小球落地點P坐標

(n,0).

(1)點C坐標為；

(2)求出小球飛行中最高點N的坐標(用含有n的代數(shù)式表示)；

(3)隨著n的變化，拋物線的頂點在二次函數(shù)的圖象上運動；

(4)若小球發(fā)射之后能夠直接入籃，球沒有接觸“籃筐”AD、BC,請求出n的取值范

圍.

參考答案:

1.(1)拋物線的解析式為產(chǎn)-；?+4x；

(2)能越過，理由見解析；

⑶以米

12

2.(l)y=-(x-3)2+4

⑵5米

27

(3)4<k<—

3.⑴-!；2>/2+2

4

(2)①y=-](九一2五一4)+1；②(20+6)m；③5-3>/5<人<6-3夜

4.(l)//=10r-5r2

⑵球從彈起到最高點需要1秒，最高點的高度為5米

(3)3

5.⑴20米

吟米

6.(l)y=-1u-4)2+4

(2)①小麗的判斷是正確的；②小明應向前走0.3機才能命中籃圈中心

(3)1.3米

3217

7.(1)y=--(x-2.5)+4.75.;(2)人梯BC的高為三米.

8.(1)y=-g(x-6)2+12；(2)小球M能飛過這棵樹；(3)小球M在飛行的過程中離斜

坡OA的最大高度為1皆21.

9.(1)足球飛行的拋物線解析式為產(chǎn)-《f+x,足球飛行過程中的最大高度為3米；

(2)能射入球門，理由見解析