2023屆高考數(shù)學(xué)沖刺(二)文科數(shù)學(xué)(全國文)答案

2023屆高三沖刺卷(二)全國卷

文科數(shù)學(xué)參考答案及評分意見

1.A【解析】A=<…，-4,一1.2,5,8,…},3={]|/—5]—6忘0}={/1(I+1)(1-6)&0>=(川一1&3〈6〉,人03={—1?2,5》.

故選A.

z—2i4i4i(1+i)4i—4-

2.B【解析】由一工~^=i，得n—2i=i(z+2),N—2i=iz+2i,N=7j—：=——.、/]—、=—7—=-2+2i.INI=2也.故選B.

zZl-i(I-Z

7Q

3.D【解析】塔的偏移距離BC=ABsinJ,設(shè)兩座塔的塔高為人.則根據(jù)傾斜角的正弦值分別為國，1,得兩座塔的偏移距離差的絕

對值為由—義卜即因一小卜3.1,八=去(

25-41

792440

塔頂?shù)降孛娴木嚯xAC=ABcos6,根據(jù)傾斜角的正弦值分別為赤，.得傾斜角的余弦值分別為去.7.兩座塔的塔頂?shù)降孛娴木?/p>

25741T2541r

離差的絕對值為I3一期|=盧bX伴一箱=0.8.故選D.

|Zb41|/y\41Zb)

25-41

4.C【解析】由1g,1g。3，加成等差數(shù)列，得21g.3=」gaLlg曲，1ga*1g。包，武曲曲，乂⑺=ai+24包ai+54,所以

aa~H2d

(&i+2d)2=。[Q[+54),*+4a[a+4/=\=Jga,1ga,1g?的公差為1ga—1g??=1g—=1g二=

aax}s63aia1

4d+2d_3

lg—?--ig5?故選c.

5.D【解析】眾數(shù)是最高矩形的中點橫坐標(biāo)，因此眾數(shù)為2.5,設(shè)中位數(shù)為I.則0.2+0.24+(N-3)X0.2=0.5.得N=3.3?平均數(shù)

為1.5X0.2+2.5X0.24+3.5X0.2+4.5X0.16+5.5X0.12+7X0.04=3.26.因此有眾數(shù)V平均數(shù)V中位數(shù)?故選D.

6.A【解析】若“〃a,〃〃a?則宜線〃?，〃可以平行，也可以相交，還可以異面；若“〃〃,則存在平面a?有,故A正確；若

〃」a,〃_La.則"?〃”.即垂直于同一平面的兩條直線平行；若〃?〃〃.則存在平面a,有〃」a,〃_La.故B錯誤；若帆_L/,〃〃Z?則直

線加_L〃；若，〃〃〃.則不存在直線/?有?故C錯誤；若〃?〃/?〃〃/,則”〃〃，即平行于同一直線的兩直線平行，若，〃〃〃,

則存在直線/，有〃?〃/,??〃/,故D錯誤.故選A.

2.x—3y—620,

7.A【解析】作出約束條件《此-3*+3<0,的可行域，即△ABC所表示的區(qū)域,作出直線/：z—y

?

必?-3y+6=0?n

/,當(dāng)直線/經(jīng)過點A時,二=工一)，取最小值?解方程組|得點于是w

一方.故選A.

8.C【解析】如圖所示.設(shè)ICF?|=m，則|EFz|=2一，|EC|=3m連接CB.E巴，則由雙曲線

的定義，得ICF1I=2a+?〃，|EB|=2a+2m,由于點C在以F,F2為直徑的圓上，所以CF」

22

CF2，在直角三角形EOF?中，|CF[12+|CE12=|EFJ2,即⑵+2m)=(2a+m)+

2

⑶〃)2,得=在直角三角形CF}F2中，|CF||2+|。尸2|2=F1F2|2,即(2a+〃?)2+

〃/=(2。>，f=二，離心率e=—='、~.故選C.

a~9a3

9.C【解析】因為函數(shù)/(1)-sin(car+q)的圖象關(guān)于直線7一2對稱，所以一s?+少1■丁GZ,所以中+2+〃)兀，

<50doZ\￡3b/

沖刺卷(二)全國卷文科數(shù)學(xué)答案第1頁(共6頁)

Z,根據(jù)2VmV號,則篝VcorV:宗，箸+爐<3/+8〈年?十山,因為/（J-）=sin（31r十督）是在區(qū)間（白??。┥系膯握{(diào)減函數(shù),

looolo3blo3b\lo3b）

等+夕+2/n#ez,箸+(4+義一〃)7r》g+2&7r.??eZ,￡eZ'+++,,+2nezez

loLlo\L00J4i(T5)H^^-

所以，

+24k#ez?箸+(：+親+〃)川《?十24”?〃ez?4ez?+++,,<+2,,GZAGZ

*50yZ(J0J45(Ti)T^'-

12(2反一〃)&3&6(26-〃+1),〃￡2/￡2,因為3>0,所以2萬一??=0或兼一〃=1.當(dāng)2人一〃=0時，0<3&6,當(dāng)2萬一〃=1時.

12<3W12；由于白〈得<黑且仆）的一個零點是工=黑.

10/430/L

所以sX—+獷=(2m+l)7t?"？SZ.tdX—+(《+2+")江=(2m+1)7T,〃？6Z.〃￡Z.co=8(2/〃—/)+4,/〃WZ.〃￡Z,

\236)

根據(jù)0Vs<6或12<3<12,可得3=4,或3=12處的最小值為4?故選C.

10.B【解析】拋物線丁=4/的焦點為F（l,0）,設(shè)A（#i必）,B（Z2，山）.

當(dāng)直線AB的斜率不存在時，直線A3的方程為^=2,代入/=41，得/=8~=±26,A（2,2^）,B（2,-2"）,|AF|=

|BF|=jm=3,|AF|+|BF|=6,與|AF|+|BF=10矛盾.

A

當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y=H/—2）.代人/=4/，得一（？+,1）N+叱？=0,則為+12=4+m,

J-,?工2=4,由拋物線的定義知，|人尸[=工]+1,|8尸|=工2+1,于是1，/^|+IBFI=工1+1+工2+1=4+*+2=10.

4

所以62=i.|AF|-|BF|=(—+1)(12+1)=1122+為+￡Z+1=4+4+^+1=13.故選B.

11.D【解析】根據(jù)正方體，得CD_LCB,CD_LC】B,所以CD_L平面QQC,四邊形PQCD是矩形?其中

5+4-51

CD=PQ=2.CQ=PD=4,Z\CQg的三邊為QC=QC]=4，CG=2,COSNC】CQ='L=—.

2^/5X275

sinN。CQ=春，設(shè)△CQC\的外接圓半徑為八則2廠=:f”=)，于是廠=),

,/5sin/C|CQ24

11_____Q

設(shè)矩形PQCD的外接圓半徑為〃??則m=~^~CP=~\/5+4=".

設(shè)球心為O,過O作（X）」平面PQCD,垂足為O「過O作OC>2J"平面GQC,垂足為02?則O,是矩形PQCD的外心,（九是三

角形C.QC的外心，取CQ中點E,則OiE_LQC,于是O|E_L平面（\QC.所以四邊形（乂九歐九是矩形.設(shè)球半徑為R.

254141

解法一：OO2=O1E=1,則8==2+|（X）2|2=77+1=々，于是球的表面積為了工故選D.

lb104

解法二：02七==§由/02?！?廠8$/。1。0=[~乂±=坐，()01=()2E=^.R2="/十(N)|I2=2+/=?，于是球的表面

444441616

41

積為7”.故選D.

4

12.C【解析】由ae=ea,6eL2=1.2e",ce、6=1.6e，,得幺=工，9=，令/(1)=二，則/'(I)=-~~-，當(dāng)工V1時，

euecee'eee

—,當(dāng)工>1時./'(z)V0,所以八工)在(一8」)上是增函數(shù)，在〈，+8)上是減函數(shù)，于是/(1)>/(1,2)>/(1.6).

即又a,〃，c￡[0,□，所以a>b>c,故選C.

13,2【解析】由a(1.—二(*r,—3),a與b共線，得,—一1=3,1o./1+3=2.

x—3

14.-In3【解析】函數(shù)/(1)的定義域為(1,+8)?&(1+1)>0,當(dāng)lVz<2時，ln(E—l)4O,/(z)=—ln(i—l)—lnQ-+l)=

In(彳2—1)"(才)在(1.2)上是減函數(shù).當(dāng)彳>2時，ln(1-1)>0./(J-)=ln(T-1)Tn(.r+1)=In,^=ln(1-----J),

沖刺卷（二）全國卷文科數(shù)學(xué)答案第2頁（共6頁）

/（工）在（2,+8）上是增函數(shù),因此當(dāng)工=2時./（1）有最小值/（2）=-ln3.

15.已【解析】這6盆花可以分別是:玫瑰3百合I牡丹1蘭花1,玫瑰1百合3牡丹1蘭花1*玫瑰1百合1牡丹3蘭花1,玫瑰1百

合1牡丹1蘭花3,玫瑰2百合2牡丹1蘭花1,玫瑰2百合1牡丹2蘭花1.玫瑰2百合1牡丹1蘭花2,玫瑰1百合2牡丹2蘭花

1.玫瑰1百合2牡丹1蘭花2.玫瑰1百合1牡丹2蘭花2.共有10種.其中玫瑰恰好有2盆的有3種.因此玫瑰花恰好種2盆的概

率是祭

16.（—,_1］【解析】/,□）=1+&（1+1）="2：：+。,

當(dāng)T"m0.所以/（工）在（1.+8）上是增函數(shù).當(dāng)J->1時,=與/（工）<0矛盾；

x

當(dāng)&V0時，若1一4/40,即〃《一：時，/'（工）<0,所以/（*?）在（1,+8）上是減函數(shù),當(dāng)J->1時./（工）</（1）=0,符合題意;

若T<a<。，令…）="守〉。.則++,+°〉。，7<7一丫兀:所以/8在「二1二尸：）是增函

數(shù).當(dāng)1<^<—----1-—--三v——/1—4?</'時,/殳）>/（1）=0,與/mco矛盾；故實數(shù)。的取值范圍是（/一8,一《1

la\L

17.（1）解：由5s,=得5（々］+。？）=11。］.所以60］=5。2，~=?.由1=2—a”，i，得二=2一a2*

a10a?a1

24

所以01=可，。2="^-?..........................................................................................................................................................................2分

35

證明如下：

由“,?=2-a”+i，得a?+i=2a?-a”+ia“?所以a…（a”+l）=2a”，所以」一---，................................................................3分

a”G?11Za”

b…1111b…1,1/1\

所以:7=5+荻.所以=77二萬（二一1卜4分

1

---------1

=4■，所以工一1/巴F_=［_.即數(shù)列是以1=4為首項，以4■為公比的等比數(shù)列.

因為即6分

3an1Za1ZN

11/1\"12"2"+1—11

（2）證明：由（1）知.二一1=2><（萬）皿”=汴?%，=^^=1一三,.......................................7分

S”=l-擊+L舟［+L舟［+…+L曰="-（擊+忌j+曰+…+募）,

因為2"<2"+1<2"“，所以，<為〈/，.....................................................................9分

——I———I-???-4------.-4-，-4--,-4-???-|----------1--???-I——.

^22232Htl2+12?+l2」+l2"+l2222"

1,1,,12\2"/11,1,t14I2"）11,1\11

其中5+/+…+囊=-------F,F+'F+'"+FTT=i=2—尹，

1-T

于是〉備〈擊+點+島卜???+告<i/‘..............................................................................................................11分

所以“-1+5<"一（擊+白+&+”.+等），

"-l+^7<S?<>i-y+^TT-..................................................................................................................................................12分

沖刺卷（二）全國卷文科數(shù)學(xué)答案第3頁（共6頁）

ZJ(以—H)(y—y)

18.解：(1)A=J---------------==11.46,.............................................................2分

登0.46

2(力,一不了

i-i

a=y-bx=32.56—11.46X2.820.24?...................................................................4分

y關(guān)于i的回歸方程為3=11.461+0.24......................................................................5分

(2)當(dāng)丁=50時，50=11.463+0.24,則才^4.34,...........................................................7分

根據(jù)2020年人均年可配收入為3.2189,以及3.2189X(1+0.06)5=3.2189X1.34^4.31<4.34,................8分

和3.2189X(1+0.06>=3.2189X1.42%4.57>4.34,.......................................................9分

可得2026年每百戶汽車擁有量可以達到50輛......................................................................10分

從2020年起，設(shè)每百戶汽車擁有量平均每年的增長速度為1,則37.1（1+彳＞=50,（1+1尸=彳］,（1+1）6二二1.348,由于（1+

0.05?=1.340,所以久40.05.

即每百戶汽車擁有量平均每年至少增長的速度為5%............................................................12分

19.解：（1）當(dāng)點F是BC的中點時,面0?尸_1_面ABCQ.證明如下：

1E

由點F是8c的中點.得BF=KBC,又AD〃8C,BC=2AD,所以AD〃3F,AD=I3”,四邊形ADFB於、

Z//V

是平行四邊形，............................................................................2分/6一

根據(jù)NBAD-NCBA=90°,得四邊形ADFB是矩形，故BC_LDF...........................3分/y'\/\/

因為后。_1_面EBC,BCU面EBC,所以BC'J_ED,因為DFDED=D,DF,EDU面DEF,于是BC'±CFB

面DEF,

由于BCU面ABCD,因此面DEF_L面ABCD..................................................................5分

（2）因為面DEFJ/面ABCD,面DEFC1面ABCD=DF.所以過點E作EO±DF于點。,則EOJ_面ABCD,EO的長就是四棱錐

E-ABCD的高...................................................................................................6分

因為ED_L面EBC.所以ED_LEF,在RtADEF中，EF=西，DF=AB=2AD=2ED,由勾股定理，得爾

EF'+ED2=DF2.所以3+ED2=4ED'2,于是ED=1,DF=2,根據(jù)EO-DF=ED-EF,得EO=y.

....................................................................................8分%

C

根據(jù)AB=DF=2,以及BC=AB=2,AD=^AB=1,ZBAD=ZCBA=9O\

得四邊形ABCD的面積為S,wm=9(AD+8C)-A8=；X(1+2)X2=3,......................................10分

因此四棱錐E—ABCD的體積VE-ABm=f~SABmXEO=*~X3X^=與............................12分

1-jr

20.解：（1），（_（?）=——1=——，因為工＞0,由/1工）＞0.得0＜工＜1.由/'（工）＜0,得工＞1,所以/（工）在（0,1）上是增函數(shù).在（1,

JCJC

+8）上是減函數(shù)，/?,）有極大值八1）=一1,無極小值................................................................2分

『（■r）=,2：=J，因為/＞0,由/（4＞0,得，＞2,由/Cr）V0,得0VxV2,所以g（才）在（0,2）上是減函數(shù)，在

（2,+8）上是增函數(shù)是0）有極小值；?（2）=〈,無極大值...........................................................4分

4

1r

（2）函數(shù)A（.丫）的定義域為（0,+8）J?Q,）=af（x'）~\---;-;二?（Ina*—.r）+—.

?rg（w）e

沖刺卷（二）全國卷文科數(shù)學(xué)答案第4頁（共6頁）

h（.x）—aI------1IH----------=a---------1-----；-=（1-JC）I1I,......................................................................................................b分

\x）exe\erx）

當(dāng)a=0時,/1cr）==■>（）,/1cr）無零點;.............................................................................6分

e

當(dāng)心。時，5+3＞。，令得。＜工＜1,令，-，得Ql,所以八⑺在（。」）上是增函數(shù)，在（l,+8）上是減函數(shù).

ACr）有最大值Ml）=^?一a.

e

若----aVO.即a〉—時，〃（?）無零點；..............................................................................7分

ee

若上一a=0,即a=2時?刀Q,）只有一個零點；.......................................................................8分

ee

若工—a>0,即OVa<C--時（1）>0,因為a>0.所以?"〉1.由（1）知Ina—aV—1?

ee

所以/t（a）=--i-a（lna-a）＜^--a=a（---1）V0,根據(jù)/?（①）在（0,1）上是增函數(shù)"（1）〉0,且aVI,所以八（n）在（0,1）上有

e"e\ea/

唯一零點.........................................................................................................9分

?—1—1

由（1）知—7>]>1以及Ina—aV—1,于是有fpVa和In1-------V—1,所以人（'~]=:+a仔1---------a=0,又因

/1、.40；aa\a1[aa

為人在（1.+8）上是減函數(shù),所以/?（①）在（1.+8）上有唯一零點10分

當(dāng)aV0時，由（1）知?In才-1＜0,于是a（In]一]）＞0，而土＞0,所以）無零點H分

e

因此或a＞工時”（.下）無零點,a='-時.力（/）只有一個零點，0VaV，時./z（.r）有兩個零點12分

T*-v*■/54\■■■?/54\a

21.⑴證明：橢圓/十萬=l（a>6>0）的上頂點A（0?）,右焦點F（c,O）,B（-p—可），F(xiàn)B=（不一j—w）,AF=（j—〃），根據(jù)

_（5-3c=2c,

3FB=2AF，W]所以/）=2,c=l,.............................................................................................................................................3分

1-4=-2Z>,

2'>

?2=〃2+。2=5,所以橢圓的方程為^十一=1,

54

因為包+HLg+j,

Q5499

所以點8（9，一在橢圓上......................................................................................5分

1r2V25

（2）解：設(shè)尸（彳1,y1），Q，》），把y=—+工~代入w+丁=1,得（5歸2+4）/+10^-+港一20=0?由△=100—4（5^2+4）

1k54k

5-2。）=80伊+4-2）＞0，得公（5*。+4）＞1田+工2=一前牙工皿

4套J+4-J

1叩="f不'I—1=工丁—="中一定不8分

點。到直線,1，+9的距離，，=JM,所以MPQ的面積為

沖刺卷（二）全國卷文科數(shù)學(xué)答案第5頁（共6頁）

4號/5芯+4-55公+4T2

+4-AP

S=y|PQ|</=yXVT+FX,_____5人有i=2氐,

-5T+4TP+T(5人+4尸

-/(5公+4乂2=1

78(5必+4)210分

令1=(5鏟+4)公，則S=2=275^—H-y=2^A/~----+y^275Xy=V5,

當(dāng)?，即/=2,(5/+4乂2=2時，等號成立，此時滿足八>0,因此40。0的面積的最大值為4....................12分

22.解：(1)把才=pcosJ,y=psin。代人.r—7y+8=0,得直線/的極坐標(biāo)方程為pcos。-7/?sin0I8=0；.................2分

把/+/=p?=pcos0代入/2+/—4i=0,得p"-4pcos6=0,即曲線C的極坐標(biāo)方程為p=4cos0..................5分

(2)聯(lián)\i.pcos0~~7ps\n6+8=