數(shù)學(xué)思想方法概述

數(shù)學(xué)思想方法概述第1頁，課件共10頁，創(chuàng)作于2023年2月美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞（GeorgePolya,1887-1985）先后出版了《怎樣解題》、《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》和《數(shù)學(xué)與猜想》，這些書被譯成多國文字，成了世界范圍內(nèi)的數(shù)學(xué)教育名著，開起數(shù)學(xué)思想方法研究的先河。

1972年，美國著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史家克萊因(MorrisKline,1908-1992)出版了一部長達1200頁的巨著---《古今數(shù)學(xué)思想》，系統(tǒng)地敘述和總結(jié)了古今數(shù)學(xué)思想發(fā)展史，至今仍是世界經(jīng)典的數(shù)學(xué)思想方法教科書。在我國，徐利治院士倡導(dǎo)“數(shù)學(xué)方法論”研究，出版了《數(shù)學(xué)方法論選講》(1983年)專著，居功厥偉。同時，姜伯駒院士、李大潛院士、張景中院士、劉應(yīng)明院士等的大力倡導(dǎo)，加之“中學(xué)數(shù)學(xué)解題”的社會需求，數(shù)學(xué)思想方法的研究在數(shù)學(xué)教育界得到迅速普及，著作和論文迭出。第2頁，課件共10頁，創(chuàng)作于2023年2月自1993年《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》明確提出數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要組成部分以來，數(shù)學(xué)教學(xué)中如何挖掘課本中所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，如何有效地進行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，如何培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，已成為數(shù)學(xué)教育工作者普遍關(guān)注和潛心探索的一個重要課題。

20世紀(jì)90年代，北京大學(xué)、南京大學(xué)等一大批高等院校數(shù)學(xué)系，相繼開設(shè)《數(shù)學(xué)方法論》選修課，徐利治《數(shù)學(xué)方法論選講》作主要教學(xué)參考書。進入21世紀(jì)，我國高等院校特別是師范院校幾乎都開設(shè)了《數(shù)學(xué)思想方法》必修課或選修課，包括中央電視大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)“專升本”，都把《數(shù)學(xué)思想方法》作必修課(54學(xué)時)。我校是開設(shè)該門課程較早的院校，從1996年起開設(shè)《數(shù)學(xué)思想方法》選修課，2000年起改為必修課，至今已有9屆學(xué)生學(xué)習(xí)該門課程，學(xué)生普遍對該門課程持肯定和歡迎態(tài)度。第3頁，課件共10頁，創(chuàng)作于2023年2月一、方法

“方法”是一種元概念，沒法精確定義，《辭?！分幸参词珍洝胺椒ā鞭o條，它和“物質(zhì)”、“集合”箋等概念一樣，不能邏的定義，只能概略地描述．例如，把“方法”解釋為人們在認(rèn)識世界和改造世界的活動中所采取的方式、手段、途徑等的統(tǒng)稱．這里的“方式”、“手段”、“途徑”等等，都和“方法”大體上是“同義詞”，并非“屬”和“種差”式的嚴(yán)格定義．但是，人們卻熟知“方法”的含義，也從未有什么大的爭論．一個通俗的比喻是：要過河，必須采用造橋和駕船等方法，“不解決橋和船的問題，過河就是一句空話”．第二節(jié)方法·數(shù)學(xué)方法·數(shù)學(xué)思想第4頁，課件共10頁，創(chuàng)作于2023年2月因此，方法是相對于某一目的而言．其次，方法是人的一種活動，人在活動中，為達到某一目的，可以主觀能動地選擇、組合和創(chuàng)造各種手段、方式加以實行．這便是方法的真實含義人們對方法進行研究，這便產(chǎn)生了“方法論”，或稱“方法學(xué)”。如果放在哲學(xué)層面來分析，方法論和世界觀是統(tǒng)一的．馬克思主義哲學(xué)認(rèn)為用世界觀去指導(dǎo)認(rèn)識世界和改造世界，就是方法論．二、數(shù)學(xué)方法

顧名思義，數(shù)學(xué)方法是人們從事數(shù)學(xué)活動時所使用的方法．?dāng)?shù)學(xué)方法論則是對古往今來的數(shù)學(xué)方法進行概括、分類、評價以及如何運用的論述．第5頁，課件共10頁，創(chuàng)作于2023年2月徐利治院士認(rèn)為：“數(shù)學(xué)方法論主要是研究和討論數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律、數(shù)學(xué)的思想方法以及數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明與創(chuàng)新等法則的一門學(xué)問?！?/p>

數(shù)學(xué)方法論從內(nèi)容上可分為宏觀與微觀兩大類：宏觀數(shù)學(xué)方法論是研究“數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律”，如數(shù)學(xué)發(fā)展史，數(shù)學(xué)中的辯證法、數(shù)學(xué)中的美學(xué)方法、數(shù)學(xué)中的思維方法等，因此可以看作哲學(xué)的一個分支;微觀數(shù)學(xué)方法論研究數(shù)學(xué)中的思想、方法以及法則，屬于學(xué)科方法論范疇。第6頁，課件共10頁，創(chuàng)作于2023年2月微觀的數(shù)學(xué)方法有以下四個層次：第一，基本的和重大的數(shù)學(xué)思想方法。如模型化方法、微積分方法、概率統(tǒng)計方法、拓撲方法、計算方法等等，它們決定一個大的數(shù)學(xué)學(xué)科方向，構(gòu)成數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)。第二，與一般科學(xué)方法相應(yīng)的數(shù)學(xué)方法。如類比聯(lián)想、分析綜合、歸納演繹等等。一般科學(xué)方法，在用于數(shù)學(xué)時應(yīng)該有它自己的特點。第三，數(shù)學(xué)中的特有的方法。如數(shù)學(xué)等價、數(shù)學(xué)表示、公理化、關(guān)系映射反演、數(shù)形轉(zhuǎn)換等等方法。其中“關(guān)系、映射、反演”方法是徐利治先生的一項創(chuàng)造性的概括．這些方法主要在數(shù)學(xué)中產(chǎn)生和適用，當(dāng)然也可部分地遷移到其他科學(xué)。第7頁，課件共10頁，創(chuàng)作于2023年2月第四，中學(xué)數(shù)學(xué)中的解題技巧。由于它的內(nèi)容是初等數(shù)學(xué)，規(guī)律較為明確，又易于深入解剖，較為中學(xué)數(shù)學(xué)教師所關(guān)注。例如因式分解中的十字相乘法，解二次方程中的配方法，幾何中的尺規(guī)作圖法，解析幾何中確定直線的點斜式、兩點式等等。

三、數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)思想，人們常用它來泛指某些有重大意義的、內(nèi)容比較豐富、體系相當(dāng)完整的數(shù)學(xué)成果．比如微積分思想、概率統(tǒng)計思想、變換群下的不變量思想等等．第8頁，課件共10頁，創(chuàng)作于2023年2月另一類是范圍較小，內(nèi)容具體、相對獨立的數(shù)學(xué)成果。比如函數(shù)思想、極限思想、積分思想、方程思路想等等．但從這些例子來說，“思想”都可換成“方法”而一樣適用．同一個數(shù)學(xué)成就，當(dāng)用它去解決別的問題時，就稱之為方法。當(dāng)評價它在數(shù)學(xué)體系中的自身價值和意義時，稱之為思想。將這兩重意義合在一起，就稱為“數(shù)學(xué)思想方法”。比如，“極限”，用它去求導(dǎo)數(shù)、求積分、解方程時，人們就說極限方法。當(dāng)我們討論它的價值，即將變化過程趨勢用數(shù)值加以表示，使無限向有限轉(zhuǎn)化時，人們就講“極限思想”了。為了將這兩重意思合在一起說，于是也稱“極限思想方法”。第9頁，課件共10頁，創(chuàng)作于2023年2月其實，數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法往往不加區(qū)別?？巳R因的巨著《古今數(shù)學(xué)思想》，其實說的都是“古今數(shù)學(xué)方法