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專題二(二)二次函數(shù)之動線段差最大問題
專題二(二):二次函數(shù)之動線段差最大問題模型:求兩線段差的最大值問題,運(yùn)用三角形兩邊之差小于第三邊。1、在一條直線m上,求一點(diǎn)P,使PA與PB的差最大。(1)點(diǎn)A、B在直線m同側(cè):A——P'——P——B|m(2)點(diǎn)A、B在直線m異側(cè):A——P'——m——P——B|B'過B作關(guān)于直線m的對稱點(diǎn)B’,連接AB’交點(diǎn)直線m于P,此時(shí)PB=PB’,PA-PB最大值為AB’。例1:如圖,拋物線y=-x^2-x+2的頂點(diǎn)為A,與y軸交于點(diǎn)B。(1)求點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)。(2)若點(diǎn)P是x軸上任意一點(diǎn),求證:PA-PB≤AB。(3)當(dāng)PA-PB最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)。Oxy·AB解析:(1)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-0.5,2.25),與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)。(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,0),則PA-PB=√[(x+0.5)^2+(2.25)^2]-√[(x-0)^2+(2)^2],AB=√[(0.5)^2+(2)^2]。將PA-PB和AB分別平方得到(PA-PB)^2=5.0625+x^2-2x√(x^2+1.25),AB^2=4.25。因?yàn)?PA-PB)^2≤AB^2,所以PA-PB≤AB。(3)當(dāng)(PA-PB)^2=AB^2時(shí),即5.0625+x^2-2x√(x^2+1.25)=4.25,解得x≈1.23或x≈-2.73。因?yàn)辄c(diǎn)P在x軸上,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1.23,0)或(-2.73,0)。1.如圖,拋物線l交x軸于點(diǎn)A(-3,0)、B(1,0),交y軸于點(diǎn)C(0,-3)。將拋物線l沿y軸翻折得拋物線l1。(1)求l1的解析式。(2)在l1的對稱軸上找出點(diǎn)P,使點(diǎn)P到點(diǎn)A的對稱點(diǎn)A1及C兩點(diǎn)的距離差最大,并說明理由。解析:(1)拋物線l的解析式為y=-x^2+2x+3,將其沿y軸翻折得到拋物線l1的解析式為y=x^2+2x+3。(2)拋物線l1的對稱軸為x=-1,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,y),點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為A1(-5,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-3)。則點(diǎn)P到點(diǎn)A1的距離為√[(y-0)^2+(-5+1)^2],點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離為√[(y+3)^2+(-1)^2]。設(shè)兩點(diǎn)距離差為d,則d=|√[(y-0)^2+(-5+1)^2]-√[(y+3)^2+(-1)^2]|。對d求導(dǎo)得到d'=(-2y-6)/[2√[(y+3)^2+(-1)^2]]+4/√[(y-5)^2+1]。令d'=0,解得y≈-2.91或y≈0.39。因?yàn)辄c(diǎn)P在l1的對稱軸上,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,-2.91)或(-1,0.39)。當(dāng)y≈0.39時(shí),d取得最大值,所以點(diǎn)P到點(diǎn)A1的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離差最大。2.如圖,已知直線y=x+1與y軸交于點(diǎn)A,與x軸交于點(diǎn)D,拋物線y=ax^2+bx+c與直線交于A、E兩點(diǎn),與x軸交于B、C兩點(diǎn),且B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)。(1)求該拋物線的解析式。(2)在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)M,使|AM-MC|的值最大,求出點(diǎn)M的坐標(biāo)。解析:(1)拋物線的解析式為y=ax^2+(a-1)x+1。(2)拋物線的對稱軸為x=(a-1)/(2a),設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-(a+1)/(2a),0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為((1-a)/(2a),0)。則|AM-MC|=|√[(x+(a+1)/(2a))^2+y^2]-√[(x-(1-a)/(2a))^2+y^2]|。對|AM-MC|求導(dǎo)得到|AM-MC|'=(x+(a+1)/(2a))/√[(x+(a+1)/(2a))^2+y^2]-(x-(1-a)/(2a))/√[(x-(1-a)/(2a))^2+y^2]。令|AM-MC|'=0,解得x=(a^2+a-1)/(2a^2),代入|AM-MC|得到|AM-MC|=|√[(a^2+2a-1)/(4a^2)+y^2]-√[(a^2-2a+1)/(4a^2)+y^2]|。因?yàn)閨AM-MC|與y無關(guān),所以要使|AM-MC|最大,只需令y=0,此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為((a^2+a-1)/(2a^2),0)。3.四邊形ABCD是直角梯形,BC∥AD,∠BAD=90°,BC與y軸相交于點(diǎn)M,且M是BC的中點(diǎn),A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(-1,0)、B(-1,2)、D(3,0)。連接DM,并把線段DM沿DA方向平移到ON。若拋物線y=ax^2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)D、M、N。(1)求拋物線的解析式。(2)設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E,點(diǎn)Q是拋物線的對稱軸上的一個(gè)動點(diǎn),當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)E時(shí),|AQ-QC|取得最大值,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)。解析:(1)因?yàn)镈M平移到ON后與BC平行,所以O(shè)M=BN=1。設(shè)拋物線的解析式為y=ax^2+bx+c,代入點(diǎn)D和M得到兩個(gè)方程:3a+b+c=0,a+b+c=2a+2b+c。解得a=b=-1/3,c=8/3。所以拋物線的解析式為y=-x^2/3-x+8/3。(2)拋物線的對稱軸為x=-1/3,設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,-x^2/3-x+8/3),則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2/3,0)。則|AQ-QC|=|√[(x+1/3)^2+(x^2/3+x-8/3)^2]-√[(x-1/3)^2+(x^2/3-x-8/3)^2]|。對|AQ-QC|求導(dǎo)得到|AQ-QC|'=(2x+1)/(2√[(x+1/3)^2+(x^2/3+x-8/3)^2])-(2x-1)/(2√[(x-1/3)^2+(x^2/3-x-8/3)^2])。令|AQ-QC
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