角【 學霸筆記+典例精析+競賽試題 】 初中數(shù)學 學科素養(yǎng)能力提升

專題15角一、角度計算中的分類討論【典例】已知∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，則∠MOD的度數(shù)是（）A．20°或50° B．20°或60° C．30°或50° D．30°或60°解：分為兩種情況：如圖1，當∠AOB在∠AOC內(nèi)部時，∵∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，∴∠AOC＝80°，∵OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，∴∠AOD＝∠BOD=12∠AOB＝10°，∠AOM＝∠COM=12∠∴∠DOM＝∠AOM﹣∠AOD＝40°﹣10°＝30°；如圖2，當∠AOB在∠AOC外部時，∠DOM＝∠AOM+∠AOD＝40°+10°＝50°；故選：C．【鞏固】水平直線上順次三點A、O、B，以O(shè)點為頂點在直線上方作∠COD＝40°，OM、ON分別平分∠AOC和∠BOD，求∠MON的度數(shù)．二、鐘表中涉及到的角度問題【典例】（1）求上午10時30分，鐘面上時針和分針的夾角；（2）在上午10時30分到11時30分之間，時針和分針何時成直角？【解答】解：（1）如圖，鐘表上的刻度是把一個圓平均分成了12等份，每一份是30°，上午10時30分，鐘面上時針和分針的夾角是4.5個等份，因而時針和分針的夾角是4.5×30＝135°；（2）時針一小時即60分鐘轉(zhuǎn)30度，一分鐘轉(zhuǎn)動0.5°，分針一小時轉(zhuǎn)360度，一分鐘轉(zhuǎn)6度，可以設(shè)從上午10時30分再經(jīng)過x分鐘，時針和分針成直角，列方程得到：135﹣6x+0.5x＝90，解得x＝8211，即10時38211時時針與分針的夾角是30度，設(shè)再過y分鐘，時針與分針的夾角是直角，根據(jù)題意得到：30+6y﹣0.5y＝90，解得y＝101011則當在11時101011【鞏固】（1）在一個圓形時鐘的表面，OA表示秒針，OB表示分針（O為兩針的旋轉(zhuǎn)中心）．若現(xiàn)在時間恰好是12點整，問經(jīng)過多少秒，△OAB的面積第一次達到最大？（2）鐘面上從2點到4點有幾次時針與分針成60°的角？分別是幾點幾分？三、角度的動態(tài)類問題【典例】如圖所示，OA，OB，OC是以直線EF上一點O為端點的三條射線，且∠FOA＝20°，∠AOB＝60°，∠BOC＝10°．以點O為端點作射線OP，OQ分別與射線OF，OC重合，射線OP從OF處開始繞點O逆時針勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為1°/s，射線OQ從OC處開始繞點O順時針勻速旋轉(zhuǎn)（射線OQ旋轉(zhuǎn)至與射線OF重合時停止），兩條射線同時開始旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒．（旋轉(zhuǎn)速度＝旋轉(zhuǎn)角度÷旋轉(zhuǎn)時間）（1）當射線OP平分∠AOC時，求射線OP旋轉(zhuǎn)的時間．（2）當射線OQ的轉(zhuǎn)速為4°/s，t＝21s時，求∠POQ的值．（3）若射線OQ的轉(zhuǎn)速為3°/s，①當射線OQ和射線OP重合時，求∠COQ的值．②當∠POQ＝70°時，求射線OP旋轉(zhuǎn)的時間．【解答】解：（1）∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝60°+10°＝70°，∴當射線OP平分∠AOC時，∠AOP＝∠POC＝35°，∴此時OP旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為：∠AOF+∠AOP＝20°+35°＝55°，∵射線OP從OF處開始繞點O逆時針勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為1°/s，∴旋轉(zhuǎn)的時間：55÷1＝55s．（2）∵射線OQ的轉(zhuǎn)速為4°/s，射線OQ從OC處開始繞點O順時針勻速旋轉(zhuǎn)，∴t＝21s時，∠COQ＝21×4＝84°，∵射線OP從OF處開始繞點O逆時針勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為1°/s，∴t＝21s時，∠FOP＝21×1＝21°，如圖，∴∠FOQ＝∠FOA+∠AOB+∠BOC﹣∠COQ＝6°．∴∠POQ＝∠FOP﹣∠FOQ＝15°；（3）①當射線OQ和射線OP重合時，t=10+20∴∠COQ=452×②設(shè)射線OP旋轉(zhuǎn)的時間為ts，當OP和OQ在未重合之前，90﹣t﹣3t＝70，t＝5；當OP和OQ在重合之后，3t+t﹣70＝90，解得t＝40；∵OQ按題目條件射線OQ旋轉(zhuǎn)至與射線OF重合時停止，∴t≤90÷3，即t≤30，∴t＝40時（t≤30）早已停止運動，但OP未停止，因此第二種情況t＝70．故當∠POQ＝70°時，射線OP旋轉(zhuǎn)的時間為5秒或70秒．【鞏固】已知O為直線AB上一點，射線OD、OC、OE位于直線AB上方，OD在OE的左側(cè)，∠AOC＝120°，∠DOE＝80°．（1）如圖1，當OD平分∠AOC時，求∠EOB的度數(shù)；（2）點F在射線OB上，若射線OF繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)n°（0＜n＜180且n≠60），∠FOA＝3∠AOD．當∠DOE在∠AOC內(nèi)部（圖2）和∠DOE的兩邊在射線OC的兩側(cè)（圖3）時，∠FOE和∠EOC的數(shù)量關(guān)系是否改變，若改變，說明理由，若不變，求出其關(guān)系．鞏固練習1．如圖，把一長方形紙片ABCD的一角沿AE折疊，點D的對應(yīng)點D'落在∠BAC內(nèi)部．若∠CAE＝2∠BAD'，且∠CAD'＝15°，則∠DAE的度數(shù)為（）A．12° B．24° C．39° D．45°2．如圖，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝（）A．480° B．500o C．540o D．600o3．如圖，已知平面內(nèi)∠AOB＝50°，∠BOC＝20°，若OD平分∠AOC，OE⊥OA，則∠EOD＝°．4．如圖，要用一張長方形的紙片折成一個紙袋，兩條折痕的夾角為80°（即∠POQ＝80°），將折過來的重疊部分抹上膠水，就可以做成一個紙袋，那么粘膠水部分所構(gòu)成的這個角∠A'OB'＝．5．已知長方形紙片ABCD，E、F分別是AD、AB上的一點，點I在射線BC上、連接EF，F(xiàn)I，將∠A沿EF所在的直線對折，點A落在點H處，∠B沿FI所在的直線對折，點B落在點G處．（1）如圖1，當HF與GF重合時，則∠EFI＝°；（2）如圖2，當重疊角∠HFG＝30°時，求∠EFI的度數(shù)；（3）如圖3，當∠GFI＝α，∠EFH＝β時，∠GFI繞點F進行逆時針旋轉(zhuǎn)，且∠GFI總有一條邊在∠EFH內(nèi)，PF是∠GFH的角平分線，QF是∠EFI的角平分線，旋轉(zhuǎn)過程中求出∠PFQ的度數(shù)（用含α，β的式子表示）．6．已知∠AOB＝130°，∠COD＝80°，OM，ON分別是∠AOB和∠COD的平分線．（1）如圖1，如果OA，OC重合，且OD在∠AOB的內(nèi)部，求∠MON的度數(shù)；（2）如圖2，固定∠AOB，將圖1中的∠COD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)n°（0＜n≤90）．①∠MON與旋轉(zhuǎn)度數(shù)n°有怎樣的數(shù)量關(guān)系？說明理由；②當n為多少時，∠MON為直角？（3）如果∠AOB的位置和大小不變，∠COD的邊OD的位置不變，改變∠COD的大??；將圖1中的OC繞著O點順時針旋轉(zhuǎn)m°（0＜m≤100），如圖③，請直接寫出∠MON與旋轉(zhuǎn)度數(shù)m°之間的數(shù)量關(guān)系：．7．閱讀理解：在鐘面上，把一周分成12個大格，每個大格分成5個小格，所以每個大格對應(yīng)的是30°角，每個小格對應(yīng)的是6°角，時針每分鐘轉(zhuǎn)過的角度是0.5度，分針每分針轉(zhuǎn)過的角度是6度．解決問題：（1）當時鐘的時刻是8：30時，求此時分針與時針所夾的銳角的度數(shù)；（2）8：00開始幾分鐘后分針第一次追上時針；（3）設(shè)在8：00時，分針的位置為OA，時針的位置為OB，運動后的分針為OP，時針為OQ．問：在8：00～9：00之間，從8：00開始運動幾分鐘，OB，OP，OQ這三條射線，其中一條射線是另外兩條射線所夾的角的平分線？8．如圖1，點O為直線AB上一點，過O點作射線OC，使∠AOC：∠BOC＝1：3，將一直角△MON的直角頂點放在點O處，邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方，繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)△MON，其中旋轉(zhuǎn)的角度為α（0＜α＜360°）（1）將圖1中的直角△MON旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，使得ON落在射線OB上，此時α為度．（2）將圖1中的直角△MON旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，使得ON在∠AOC的內(nèi)部，試探究∠AOM與∠NOC之間滿足什么樣的等量關(guān)系，并說明理由．（3）若直角△MON繞點O按每秒5°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，當直角△MON的直角邊ON所在直線恰好平分∠AOC時，求此時直角△MON繞點O的運動時間t的值．9．已知如圖1，∠AOB＝40°．（1）若∠AOC=13∠BOC，則∠BOC＝（2）如圖2，∠AOC＝20°，OM為∠AOB內(nèi)部的一條直線，ON是∠MOC四等分線，且3∠CON＝∠NOM，求4∠AON+∠COM的值；（3）如圖3，∠AOC＝20°，射線OM繞著O點從OB開始以5度/秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)一周至OB結(jié)束，在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)運動的時間為t，ON是∠MOC四等分線，且3∠CON＝∠NOM，當t在某個范圍內(nèi)4∠AON+∠BOM會為定值，請直接寫出定值，并指出對應(yīng)t的范圍（本題中的角均為大于0°且小于180°的角）．10．如圖1，∠AOB＝40°，∠COD＝60°，OM、ON分別為∠AOB和∠BOD的角平分線．（1）若∠MON＝70°，則∠BOC＝°；（2）如圖2，∠COD從第（1）問中的位置出發(fā)，繞點O逆時針以每秒4°的速度旋轉(zhuǎn)；當OC與OA重合時，∠COD立即反向繞點O順時針以每秒6°的速度旋轉(zhuǎn)，直到OC與OA互為反向延長線時停止運動．整