有理數(shù)的簡便計算【 學(xué)霸筆記+典例精析+競賽試題 】 初中數(shù)學(xué) 學(xué)科素養(yǎng)能力提升

專題3有理數(shù)的簡便計算一、倒序相加法【典例】閱讀理解：高斯上小學(xué)時，有一次數(shù)學(xué)老師讓同學(xué)們計算“從1到100這100個正整數(shù)的和”．許多同學(xué)都采用了依次累加的計算方法，計算起來非常煩瑣，且易出錯．聰明的小高斯經(jīng)過探索后，給出了下面漂亮的解答過程．解：設(shè)s＝1+2+3+…+100，①則s＝100+99+98+…+1，②①+②，得2s＝101+101+101+…+101．（兩式左右兩端分別相加，左端等于2S，右端等于100個101的和）所以2s＝100×101，s=12×100×101所以1+2+3+…+100＝5050．后來人們將小高斯的這種解答方法概括為“倒序相加法”．請解答下面的問題：（1）請你運用高斯的“倒序相加法”計算：1+2+3+…+200．（2）請你認真觀察上面解答過程中的③式及你運算過程中出現(xiàn)類似的③式，猜想：1+2+3+…+n＝．（3）計算：101+102+103+…+2018．【解答】解：（1）s＝1+2+3+…+200①，則s＝200+199+198+…+1②，①+②，得2s＝201+201+201+…+201，所以2s＝200×201，s=12×200×201所以1+2+3+…+200＝20100；（2）猜想：1+2+3+…+n=12n（n+故答案為：12n（n+1（3）s＝101+102+103+…+2018①，則s＝2018+2017+2016+…+101②，①+②，得2s＝2119+2119+2119+…+2119，所以2s＝（2018﹣100）×2119，s=12×1918×2119所以101+102+103+…+2018＝2032121．【鞏固】計算：二、裂項相消【學(xué)霸筆記】 形如可寫成的形式，在分式的簡便計算中常常有以下變形：①；②.【典例】觀察下面的變形規(guī)律：11×2=1解答下面問題：（1）若n為正整數(shù)請你猜想1n(n+1)=（2）證明你猜想的結(jié)論；（3）利用這一規(guī)律化簡：1(x+（4）嘗試完成．（直接寫答案）1x(x+2)+【解答】解：（1）猜想：1n(n+故答案為：1n（2）等式右邊=n+（3）原式=1（4）原式=12（1x-1x+2故答案為：1008【鞏固】計算下面各題（1）計算：1（2）計算：1+1三、利用圖形進行簡便計算【典例】數(shù)學(xué)問題：計算1m+1m2+1m3+??+1mn探究問題：為解決上面的數(shù)學(xué)問題，我們運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過不斷地分割一個面積為1的正方形，把數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來，并采取一般問題特殊化的策略來進行探究．探究一：計算12第1次分割，把正方形的面積二等分，其中陰影部分的面積為12第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，陰影部分的面積之和為12第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，…；…第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后二等分；所有陰影部分的面積之和為12+1根據(jù)第n次分割圖可得等式：12+1探究二：計算13第1次分割，把正方形的面積三等分，其中陰影部分的面積為23第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，陰影部分的面積之和為23+23…第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后三等分，所有陰影部分的面積之和為23+2根據(jù)第n次分割圖可得等式23+2兩邊同除以2，得13探究三：計算14（仿照上述方法，只畫出第n次分割圖，在圖上標注陰影部分面積，并填寫探究過程和結(jié)果）第n次分割所有陰影部分的面積之和為；最后的空白部分的面積是；根據(jù)第n次分割圖可得等式；兩邊同除以，得；解決問題：計算1m根據(jù)第n次分割圖可得等式，所以1m+拓廣應(yīng)用：直接寫出運算結(jié)果：5-【解答】解：探究三：第n次分割圖如圖所示：所有陰影部分的面積之和為1；最后的空白部分的面積是14根據(jù)第n次分割圖可得等式34+3兩邊同除以3，得14+142+143+?+14n=解決問題：計算1m根據(jù)第n次分割圖可得等式，m-1m+所以1m故答案為：m-1m+m-1拓廣應(yīng)用：直接寫出運算結(jié)果：5＝1-15+1-1＝n﹣（14＝n-1鞏固練習(xí)1．任意大于1的正整數(shù)m的三次冪均可“分裂”成m個連續(xù)奇數(shù)的和，如：23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…按此規(guī)律，若m3分裂后，其中有一個奇數(shù)是2019，則m的值是（）A．46 B．45 C．44 D．432．10個互不相等的有理數(shù)，每9個的和都是“分母為22的既約真分數(shù)（分子與分母無公約數(shù)的真分數(shù)）”，則這10個有理數(shù)的和為（）A．12 B．1118 C．76 3．211×（﹣455）+365×455﹣211×545+545×365＝．4．37.9×0.0038+1.21×0.379+6.21×0.159＝．5．計算：111×13×6．計算：191919767676-767619197．在1到100這100個數(shù)中，任找10個數(shù)，使其倒數(shù)之和等于1．8．自選題：如圖，顯示的填數(shù)“魔方”只填了一部分，將下列9個數(shù)：14，12，1，2，4，8，16，32，64填入方格中，使得所有行、列及對角線上各數(shù)相乘的積相等，求9．規(guī)定：正整數(shù)n的“H運算”是①當(dāng)n為奇數(shù)時，H＝3n+13；②