離散傅里葉變換及其性質(zhì)

§4.11離散傅里葉變換及其性質(zhì)

離散傅里葉變換DFT

DFT與DTFT、DFS的關(guān)系

DFT的性質(zhì)離散信號分析和處理的主要手段是利用計(jì)算機(jī)去實(shí)現(xiàn)，然而序列f(k)的離散時間傅里葉變換F(ej)是的連續(xù)函數(shù)。為便于計(jì)算機(jī)去實(shí)現(xiàn)，引入離散傅里葉變換(DiscreteFourierTransform,DFT)一．離散傅里葉變換(DFT)

借助周期序列DFS的概念導(dǎo)出有限長序列的DFT。將有限長序列f(k)延拓成周期為N的周期序列fN(k)若將f(k)，F(xiàn)(n)分別理解為fN(k)，F(xiàn)N(n)的主值序列，那么，DFT變換對與DFS變換對的表達(dá)式完全相同。DFT舉例例：求下列矩形脈沖序列的離散傅里葉變換。

解

F

(n)=DFT[f(k)]=僅當(dāng)n=0時，F(xiàn)

(0)=N當(dāng)n=1，2，…，N-1時，F(xiàn)

(n)=Nδ(n)F

(n)=0二、DFT與DTFT、DFS的關(guān)系（1）離散傅里葉變換DFT是為了便于用計(jì)算機(jī)近似計(jì)算離散時間傅里葉變換DTFT而引入的。因此，DFT與DTFT存在一定關(guān)系，其關(guān)系為F(n)是對F(ej)在2周期內(nèi)進(jìn)行N次均勻取樣的樣值，即

F(n)=F(ej)（2）若周期序列fN(k)看作有限長序列f(k)以N為周期拓展而成，則fN(k)離散傅里葉級數(shù)DFS的FN(n)與f(k)離散傅里葉變換DFT

的F(n)在0~N–1范圍相等。DTFT與DFT舉例例：求矩形脈沖序列的DTFT和DFT(N=10)。

三、離散傅里葉變換的性質(zhì)1.線性若f1(k)←→F1(n)f2(k)←→F2(n)則a1f1(k)+a2f2(k)←→a1F1(n)+a2F2(n)2.對稱性若f(k)←→F(n)則F(k)←→Nf((–n))f((–n))應(yīng)是f(n)周期拓展之后反轉(zhuǎn)——稱圓周反轉(zhuǎn)。3.時移特性圓周位移（循環(huán)位移）：將有限長序列f(k)周期拓展成周期序列fN(k)，再右移m位，得到時移序列fN(k

–m)，最后取其主值而得到的序列稱為f(k)的圓周位移序列，記為

f

((k–m))NGN(k)時移特性若f(k)←→F(n)則f

((k–m))NGN(k)←→WmnF(n)DFT時移特性證明DFT[f

((k–m))NGN(k)]=DFT[fN(k–m)GN(k)]令i=k-m，有DFT[f

((k–m))NGN(k)]=由于fN(k)和都是以N為周期的函數(shù)，因此故DFT[f

((k–m))NGN(k)]=WmnF(n)4.頻移特性（調(diào)制）若f(k)←→F(n)則W–lkf

(k)←→F((n–l))NGN(n)5.時域循環(huán)卷積（圓卷積）定理線卷積：有限長序列f1(k)和f2(k)的長度分別為N和M，則兩序列的卷積和f(k)(稱為線卷積)仍為有限長序列序列，長度為N+M–1。循環(huán)卷積：有限長序列f1(k)和f2(k)的長度相等，均為N，則f1(k)與f2(k)的循環(huán)卷積定義為循環(huán)卷積結(jié)果的長度仍為N。若兩序列長度不等，采用補(bǔ)零法。循環(huán)卷積例例求圖(a)和(b)所示f1(k)與f2(k)的循環(huán)卷積f(k)。解將f1(k)補(bǔ)一個零點(diǎn)，使f1(k)與f2(k)的長度均為5。

f(0)=

f1(0)f2((0))+f1(1)f2((–1))+f1(2)f2((–2))+f1(3)f2((–3))+f1(4)f2((–4))=0+4+3+2+0=9f(1)=

f1(0)f2((1))+f1(1)f2((0))+f1(2)f2((–1))+f1(3)f2((–2))+f1(4)f2((–3))=1+0+4+3+0=8……借助循環(huán)卷積計(jì)算線卷積循環(huán)卷積便于利用數(shù)字計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算。為借助循環(huán)卷積求線卷積，要使循環(huán)卷積的結(jié)果與線卷積結(jié)果相同，可以采用補(bǔ)零的方法，使

f1(k)與f2(k)的長度均為L≥N+M–1

則循環(huán)卷積與線卷積的結(jié)果相同。時域循環(huán)卷積定理若f1(k)←→F1(n)f2(k)←→F2(n)則f1(k)*

f2(k)←→F1(n)F2(n)6.頻域循環(huán)卷積定理若f1(k)←→F1(n)f2(k