矩陣分析-第七八章-第七章函數(shù)矩陣與矩陣微分方程-第八章-廣義逆矩陣

矩陣分析主講教師：魏豐北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第七章函數(shù)矩陣與矩陣微分方程函數(shù)矩陣定義：

以實變量的函數(shù)為元素的矩陣

北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*稱為函數(shù)矩陣，其中所有的元素都是定義在閉區(qū)間上的實函數(shù)。函數(shù)矩陣與數(shù)字矩陣一樣也有加法，數(shù)乘，乘法，轉(zhuǎn)置等幾種運算，并且運算法則完全相同。例：已知北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*計算定義：設(shè)為一個階函數(shù)矩陣，如果存在階函數(shù)矩陣使得對于任何都有那么我們稱在區(qū)間上是可逆的。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*稱是的逆矩陣，一般記為例：已知，那么在區(qū)間上是可逆的，其逆為北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*函數(shù)矩陣可逆的充分必要條件定理:階矩陣在區(qū)間上可逆的充分必要條件是在上處處不為零，并且，其中為矩陣的伴隨矩陣。定義：區(qū)間上的型矩陣函數(shù)不恒等于零的子式的最高階數(shù)稱為的秩。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*特別地，設(shè)為區(qū)間上的階矩陣函數(shù)，如果的秩為，則稱一個滿秩矩陣。注意：對于階矩陣函數(shù)而言，滿秩與可逆不是等價的。即：可逆的一定是滿秩的，但是滿秩的卻不一定是可逆的。例：已知北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*那么。于是在任何區(qū)間上的秩都是2。即是滿秩的。但是在上是否可逆，完全依賴于的取值。當(dāng)區(qū)間包含有原點時，在上有零點，從而是不可逆的。函數(shù)矩陣對純量的導(dǎo)數(shù)和積分

定義：如果的所有各元素在處有極限，即北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*其中為固定常數(shù)。則稱在處有極限，且記為其中北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*如果的各元素在處連續(xù)，即則稱在處連續(xù)，且記為其中北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*容易驗證下面的等式是成立的：設(shè)則北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*定義：如果的所有各元素在點處(或在區(qū)間上)可導(dǎo)，便稱此函數(shù)矩陣在點處(或在區(qū)間上)可導(dǎo)，并且記為北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*函數(shù)矩陣的導(dǎo)數(shù)運算有下列性質(zhì)：是常數(shù)矩陣的充分必要條件是設(shè)均可導(dǎo)，則北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*設(shè)是的純量函數(shù)，是函數(shù)矩陣，與均可導(dǎo)，則特別地，當(dāng)是常數(shù)時有北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*(4)設(shè)均可導(dǎo)，且與是可乘的，則因為矩陣沒有交換律，所以北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*(5)如果與均可導(dǎo)，則(6)設(shè)為矩陣函數(shù)，是的純量函數(shù)，與均可導(dǎo)，則北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*定義：如果函數(shù)矩陣的所有各元素在上可積，則稱在上可積，且北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*函數(shù)矩陣的定積分具有如下性質(zhì)：例1：已知函數(shù)矩陣試計算北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*證明：北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*由于，所以下面求。由伴隨矩陣公式可得北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*再求北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*例2：已知函數(shù)矩陣北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*試求北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*例3：已知函數(shù)矩陣試求證明：北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*同樣可以求得北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*例4：已知函數(shù)矩陣試計算北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*函數(shù)向量的線性相關(guān)性定義：設(shè)有定義在區(qū)間上的個連續(xù)的函數(shù)向量如果存在一組不全為零的常實數(shù)使得對于所有的等式成立，我們稱，在上線性相關(guān)。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*否則就說線性無關(guān)。即如果只有在等式才成立，那么就說線性無關(guān)。定義：設(shè)是個定義在區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)向量記北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*以為元素的常數(shù)矩陣稱為的Gram矩陣，稱為Gram行列式。定理：定義在區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)向量線性無關(guān)的充要條件是它的Gram矩陣為滿秩矩陣。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*例：設(shè)則于是的Gram矩陣為北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*所以故當(dāng)時，在上是線性無關(guān)的。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*定義：設(shè)是個定義在區(qū)間上的有階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)向量，記那么稱矩陣北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*是的Wronski矩陣。其中分別是的一階，二階，…，階導(dǎo)數(shù)矩陣。定理：設(shè)是的Wronski矩陣。如果在區(qū)間上的某個點，常數(shù)矩陣的秩等于，則向量在上線性無關(guān)。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*例：設(shè)則因為的秩為2，所以與線性無關(guān)。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*

函數(shù)矩陣在微分方程中的應(yīng)用形如北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*的線性微分方程組在引進(jìn)函數(shù)矩陣與函數(shù)向量以后可以表示成如下形式其中北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*上述方程組的初始條件為可以表示成定理：設(shè)是一個階常數(shù)矩陣，則微分方程組滿足初始條件的解為北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*定理：設(shè)是一個階常數(shù)矩陣，則微分方程組滿足初始條件的解為例1：設(shè)北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*求微分方程組滿足初始條件的解。解：首先計算出矩陣函數(shù)北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*由前面的定理可知微分方程組滿足初始條件的解為北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*例2：設(shè)求微分方程組滿足初始條件的解。解：由上述定理可知滿足所給初始條件的微分方程組解為北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*由上面的例題可知而北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*所以有北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*故有北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第八章廣義逆矩陣定理：設(shè)是數(shù)域上一個矩陣，則矩陣方程總是有解。如果，并且其中與分別是階、階可逆矩陣，則矩陣方程(1)的一般解(通解)為(1)(2)北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*其中分別是任意矩陣。證明：把形如(3)的矩陣以及(2)式代入矩陣方程(1)，得到：(3)北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*所以形如(3)的每一個矩陣都是矩陣方程(1)的解。為了說明(3)是矩陣方程(1)的通解，現(xiàn)在任取(1)的一個解，則由(1)和(2)得因為可逆，所以從上式得(4)北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*把矩陣分塊，設(shè)代入(4)式得即(5)北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*由此得出，，代入(5)式便得出這證明了矩陣方程(1)得任意一個解都能表示成(3)的形式，所以公式(3)是矩陣方程(1)的通解。定義：設(shè)是一個矩陣，矩陣方程的通解稱為的廣義逆矩陣，簡稱為的廣義逆。我們用記號表示的一個廣義逆。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*定理(非齊次線性方程組的相容性定理)：非齊次線性方程組有解的充分必要條件是證明：必要性。設(shè)有解，則。因為，所以充分性。設(shè)，則取得所以是的解。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*定理(非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理)：設(shè)非齊次線性方程組有解，則它的一般解(通解）為其中是的任意一個廣義逆。證明：任取的一個廣義逆，我們來證是方程組的解：已知有解，根據(jù)前一個定理得：這表明是的一個解。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*反之，對于的任意一個解，我們要證存在的一個廣義逆，使得。設(shè)是矩陣，它的秩為，且其中與分別是階、階可逆矩陣。由于的廣義逆具有形式(3)，因此我們要找矩陣，使北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*即先分析與之間的關(guān)系。由已知，因此我們有分別把分塊，設(shè)(6)北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*則(6)式成為所以，因為，所以，從而。設(shè)，且設(shè)。取北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*則于是從而只要取則北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*定理(齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理)：數(shù)域上元齊次線性方程組的通解為其中是的任意給定的一個廣義逆，取遍中任意列向量。證明：任取，我們有所以是方程組的解。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*反之，設(shè)是方程組的解，要證存在，使得。取我們有所以是方程組的通解。利用上述定理，可以得到非齊次線性方程組的另一種形式的通解。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*推論：設(shè)數(shù)域是元非齊次線性方程組有解，則它的通解為其中是的任意給定的一個廣義逆，取遍中任意列向量。證明：我們已經(jīng)知道是非齊次線性方程組的一個解，又知道是導(dǎo)出組的通解，所以是的通解。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*偽逆矩陣定義：設(shè)，若，且同時有則稱是的偽逆矩陣。上述條件稱為Moore－Penrose方程。例：設(shè)，那么北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*

設(shè)，那么設(shè)，其中是可逆矩陣，則如果是一個可逆矩陣，那么北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*下面我們討論偽逆矩陣的求法定理：設(shè)是的一個滿秩分解，則是的偽逆矩陣。例1：設(shè)求。解：利用滿秩分解公式可得北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*從而的偽逆矩陣是北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*例2：設(shè)求。解：由滿秩分解公式可得于是其偽逆矩陣為北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*推論：若，則若，則定理：偽逆矩陣唯一。證明：設(shè)都是的偽逆矩陣，則北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*根據(jù)此定理知，若，則。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*定理：設(shè)，則證明：容易驗證(1)，(2)，現(xiàn)在只證(3)。設(shè)是的滿秩分解，則的滿秩分解可以寫成北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*其中是列滿秩，為行滿秩，故由式得因此同理可證：北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*例：設(shè)，則