河南省駐馬店市第九中學高二數學理下學期期末試卷含解析

河南省駐馬店市第九中學高二數學理下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知三棱錐的各棱長均相等，是的中點，則直線與所成角的余弦值為(

)(A)；

(B)；

(C)；

(D)．參考答案：D2.參考答案：D略3.已知全集，集合，，則等于（

）．A． B． C． D．參考答案：B∵，，∴，∴．故選．4.如圖，正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖，正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱，在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是A. B. C. D.參考答案：B設正方形邊長為，則圓的半徑為，正方形的面積為，圓的面積為.由圖形的對稱性可知，太極圖中黑白部分面積相等，即各占圓面積的一半.由幾何概型概率的計算公式得，此點取自黑色部分的概率是，選B.點睛:對于幾何概型的計算，首先確定事件類型為幾何概型并確定其幾何區(qū)域（長度、面積、體積或時間），其次計算基本事件區(qū)域的幾何度量和事件A區(qū)域的幾何度量，最后計算.5.在復平面內，復數i（2﹣i）對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：A【考點】A4：復數的代數表示法及其幾何意義．【分析】首先進行復數的乘法運算，得到復數的代數形式的標準形式，根據復數的實部和虛部寫出對應的點的坐標，看出所在的象限．【解答】解：∵復數z=i（2﹣i）=﹣i2+2i=1+2i∴復數對應的點的坐標是（1，2）這個點在第一象限，故選A．【點評】本題考查復數的代數表示法及其幾何意義，本題解題的關鍵是寫成標準形式，才能看出實部和虛部的值．6.下列有關命題的說法正確的是(

)．A．命題“若，則”的否命題為：“若，則”．B．“”是“”的必要不充分條件．C．命題“若，則”的逆否命題為真命題．D．命題“使得”的否定是：“均有”．參考答案：C7.是復數為純虛數的（

）A．充分條件但不是必要條件B．必要條件但不是充分條件C．充要條件D．既不是充分也不必要條件參考答案：B8.已知雙曲線的左、右焦點分別是、，其一條漸近線方程為，點在雙曲線上.則·＝(

).

A.－12

B.

－2

C.

0

D.4參考答案：C略9.若展開式中二項式系數之和為128，則展開式中的系數是

A.21

B.－21

C.

D.參考答案：A10.在直角△ABC中，∠ACB=30°，∠B=90°，D為AC中點（左圖），將∠ABD沿BD折起，使得AB⊥CD（右圖），則二面角A﹣BD﹣C的余弦值為（）A．B． C． D．參考答案：A【考點】二面角的平面角及求法．【分析】由（1）的證明可得∠A′EF為二面角A﹣BD﹣C的平面角．過A作AO⊥面BCD，垂足為O．由于面AEF⊥面BCD，所以O在FE上，連BO交CD延長線于M，從而當AB⊥CD時，由三垂線定理的逆定理得BM⊥CM，由此可求得cos∠AEO=，利用互補得出二面角A﹣BD﹣C的余弦值為．【解答】解：過A作AE⊥BD，在原圖延長角BC與F，過A作AO⊥面BCD，垂足為O．由于面AEF⊥面BCD，所以O在FE上，連BO交CD延長線于M，∵在△ABC中，∠ACB=30°，∠B=90°，D為AC中點，AB=，BD=AC，∴△ABD為等邊三角形，∴BD⊥AE，BD⊥EF，∴∠AEF為二面角A﹣BD﹣C的平面角，過A作AO⊥面BCD，垂足為O，∵面AEF⊥面BCD，∴O在EF上，理解BO交CD延長線于M，當AB⊥CD時，由三垂線定理的逆定理可知：MB⊥CM，∴O為翻折之前的三角形ABD的中心，∴OE=AE，cos∠AEO=，∴cos∠AEF=，故選：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知P是底面為正三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1的上底面△A1B1C1的中心，作平面與棱AA1交于點D．若，則三棱錐D-ABC的體積為_____．參考答案：【分析】由題意畫出圖形，求出AD的長度，代入棱錐體積公式求解．【詳解】如圖，∵P為上底面△A1B1C1的中心，∴A1P，∴tan．設平面BCD交AP于F，連接DF并延長，交BC于E，可得∠DEA＝∠PAA1，則tan∠DEA．∵AE，∴AD．∴三棱錐D﹣ABC的體積為V．故答案為：．【點睛】本題考查多面體體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查計算能力，是中檔題．12.已知一個圓錐的母線長是5cm,高為4cm,則該圓錐的側面積是________參考答案：13.命題：“若，則”的逆否命題是

參考答案：14.對于任意實數x，符號[x]表示x的整數部分，即[x]是不超過x的最大整數．那么[log2l]+[log22]+[1og23]+[1og24]+…[log230]=

。參考答案：略15.直線與曲線相切于點（2，3），則b的值為

。參考答案：略16.已知正六邊形ABCDEF如圖，給出下列四個命題：

①點C在以A，B為焦點，且經過點D的橢圓上；

②若以A，C為焦點，經過點E的橢圓的離心率為e，則e=；

③若以A，B為焦點，分別過點C，D，E的橢圓的離心率依次為e1，e2，e3，則el<e2=e3；

④若以A，D為焦點，經過點B，C，E，F的橢圓的離心率為e1，以A，D為焦點，經過點B，C，E，F的雙曲線的離心率為e2，則e1e2=2．

其中所有真命題的序號是

▲

．參考答案：略17.已知，則最小正整數n= .參考答案：3略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知橢圓G：＋＝1(a>b>0)的離心率為，右焦點為(2，0)，斜率為1的直線l與橢圓G交于A，B兩點，以AB為底邊作等腰三角形，頂點為P(－3,2)．(1)求橢圓G的方程；(2)求△PAB的面積．參考答案：解：(1)由已知得，c＝2，＝，解得a＝2，又b2＝a2－c2＝4，所以橢圓G的方程為＋＝1.………………4分(2)設直線l的方程為y＝x＋m………………1分由得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.

①………………1分設A、B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)(x1<x2)，AB中點為E(x0，y0)，則x0＝＝－，y0＝x0＋m＝.………………1分因為AB是等腰△PAB的底邊，所以PE⊥AB，所以PE的斜率k＝＝－1.解得m＝2，………………1分此時方程①為4x2＋12x＝0，解得x1＝－3，x2＝0，所以y1＝－1，y2＝2，所以|AB|＝3，………………1分此時，點P(－3,2)到直線AB：x－y＋2＝0的距離d＝＝，……2分所以△PAB的面積S＝|AB|·d＝.………………1分

略19.（本小題滿分12分）某大學開設甲、乙、丙三門選修課，學生是否選修哪門課互不影響.已知某學生只選修甲的概率為0.08，只選修甲和乙的概率是0.12，至少選修一門的概率是0.88，用表示該學生選修的課程門數和沒有選修的課程門數的乘積.

記“函數為R上的偶函數”為事件A，求事件A的概率；參考答案：設該學生選修甲、乙、丙的概率分別為x、y、z

依題意得

若函數為R上的偶函數，則=0

當=0時，表示該學生選修三門功課或三門功課都沒選.

=0.4×0.5×0.6+（1－0.4）（1－0.5）（1－0.6）=0.24

∴事件A的概率為0.24。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分略20.（本小題滿分12分）如圖，四棱錐的底面是正方形，，點E在棱PB上.（Ⅰ）求證：PB⊥AC;

(Ⅱ)當PD=2AB,E在何位置時，PB平面EAC;(Ⅲ)在（Ⅰ）的情況下，求二面E-AC-B的余弦值.參考答案：：解以D為原點DA、DC、DZ分別為ｘ軸、ｙ軸、ｚ軸建立空間直角坐標系設

則，（Ⅰ）∵

=,=∴==0

∴AC⊥PＣ（Ⅱ）當ＰＤ＝２ＡＢ時，，

由（Ⅰ）知⊥，故只要即可

設,，則

，∴

∴由得=0∴所以，PB平面EAC;（Ⅲ）由（Ⅱ）知,設,則

，

∴等于二面E-AC-B的平面角∴，∴∴二面角E-AC-B的余弦值為21.如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分別為AA1、B1C的中點，DE⊥平面BCC1（Ⅰ）證明：AB=AC

（Ⅱ）設二面角A-BD-C為60°,求B1C與平面BCD所成的角的大小參考答案：解法一：（Ⅰ）取BC中點F，連接EF，則EF，從而EFDA。連接AF，則ADEF為平行四邊形，從而AF//DE。又DE⊥平面，故AF⊥平面，從而AF⊥BC，即AF為BC的垂直平分線，所以AB=AC?！?分（Ⅱ）作AG⊥BD，垂足為G，連接CG。由三垂線定理知CG⊥BD，故∠AGC為二面角A-BD-C的平面角。由題設知，∠AGC=600..設AC=2，則AG=。又AB=2，BC=，故AF=。由得2AD=，解得AD=。…9分故AD=AF。又AD⊥AF，所以四邊形ADEF為正方形。因為BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF。連接AE、DF，設AE∩DF=H，則EH⊥DF，EH⊥平面BCD。連接CH，則∠ECH為與平面BCD所成的角。.

因ADEF為正方形，AD=，故EH=1，又EC==2，所以∠ECH=300，即與平面BCD所成的角為300.…12分解法二：（Ⅰ）以A為坐標原點，射線AB為x軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標系A—xyz。

設B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），則（1，0，2c）,E（，，c）.于是=（，，0），=（-1，b,0）.由DE⊥平面知DE⊥BC，=0，求得b=1，所以

AB=AC?！?分（Ⅱ）設平面BCD的法向量則又=（-1，1，0），=（-1，0，c）,故

令x=1,則y=1,z=,=(1,1,).又平面的法向量=（0，1，0）由二面角為60°知，=60°，故

°，求得

…9分于是

，

，°所以與平面所成的角為30°…12分略22.已知函數（1）求函數f（x）的單調遞減區(qū)間．（2）求函數f（x）的最大值，并求f（x）取得最大值時的x的集合．（3）若，求的值．參考答案：【考點】HW：三角函數的最值；GP：兩角和與差的余弦函數．【分析】由題意可得：f（x）=2sin（x﹣）．（1）當，即化簡可得函數的單調減