用變分法解平面問題

用變分法解平面問題第1頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月在x方向上，有正應力和正應變,則單位體積的形變勢能（又稱應變能或內力勢能)為：圖5-13）另外，若在x和y方向上有切應力,相應的切應變?yōu)?則其形變勢能為§5－1

彈性體的形變勢能和外力勢能彈性力學中所研究的泛函，就是彈性體的能量（如形變勢能、外力勢能等），彈性力學的變分法又稱能量法形變勢能密度1、形變勢能2）同理，在y方向上的應變勢能為:第2頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月

彈性體有全部六個應力分量：則彈性體的全部形變勢能密度：（a）對于平面問題，則形變勢能密度：（b）整個彈性體的形變勢能U為（取h＝1單位）：（c）ijmxyh圖5-24）整個彈性體的形變勢能第3頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月2.1用應變分量表示形變勢能平面應力問題的物理方程：（d）代入（b）式，得：（e）結論：彈性體每單位體積中的形變勢能對于任一形變分量的改變率，就等于相應的應力分量2、形變勢能的表示形式第4頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2用位移分量表示形變勢能由幾何方程代入（e）式，即得：（f）注：疊加原理不適合于形變勢能平面應變問題時,將上述各式中的

和作如下替換第5頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月外力功：外力（體力和面力）在實際位移上所做的功彈性體受體力和面力作用，平面區(qū)域A內的體力分量為、，邊界上的面力分量為、，則（5－17)外力勢能為：（5－18）3、外力勢能第6頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月§5－2位移變分方程虛位移或者位移變分假想位移分量v、u發(fā)生了位移邊界條件所容許的微小改變實際位移狀態(tài)虛位移狀態(tài)AB圖5－8x實際位移分量：u，v虛位移狀態(tài)：1、虛位移第7頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月2、微分和變分的異同1）運算對象不同

在微分運算中，自變量一般是坐標等變量，因變量是函數(shù)例如：，由坐標的微分dx引起函數(shù)的微分是在變分運算中，自變量是函數(shù)，因變量是泛函。例如，形變勢能U是位移函數(shù)v的函數(shù)，由于位移的變分引起形變勢能的變分是2）運算方法是相同因為微分和變分都是微量第8頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月3、外力勢能和形變勢能的變分由于位移的變分，引起外力功的變分（即外力虛功）和外力勢能的變分(5-19)(5-20)(注：外力作為恒力計算）引起形變勢能的變分：（注：應力分量作為恒力計算）第9頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月4、位移變分方程

1）在實際平衡狀態(tài)發(fā)生位移的變分時，所引起的形變勢能的變分，等于外力功的變分。（5－22）3）虛功方程將用式（5－21），表示，再代入位移變分方程（5－22），得到外力在虛位移上所做的虛功等于應力在虛應變上所做的虛功（條件：彈性體變形前處于平衡狀態(tài)）（5－24）內力虛功=外力虛功2）極小勢能原理在給定的外力作用之下，在滿足位移邊界條件的所有各組位移狀態(tài)中，實際存在的一組位移應使總勢能成為極值第10頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月現(xiàn)在我們得出，實際存在的位移，除了預先滿足位移邊界條件外，還必須滿足位移變分方程（或極小勢能原理，或虛功方程）。而且，通過進一步運算，還可以從位移變分方程（或極小勢能原理，或虛功方程）導出平衡微分方程和應力邊界條件結論位移變分方程（或極小勢能原理，或虛功方程）等價于平衡微分方程和應力邊界條件，或者說可以代替平衡微分方程和應力邊界條件第11頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月§5－3位移變分法變分解法（瑞利－里茨法）思路：1）設定一組包含若干特定系數(shù)的位移分量的表達式，并使它們滿足位移邊界條件，2）然后再令其滿足位移變分方程（用來代替平衡微分方程和應力邊界條件）3）求出待定系數(shù)，即得出實際位移第12頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月取位移表達式：（5－25）其中和均為設定的坐標函數(shù)，并在約束邊界上，令分別等于給定的約束位移值，令分別等于零。（位移分量須預先滿足了約束邊界上的位移邊界條件）而為互不依賴的2m個待定的系數(shù)，用來反映位移狀態(tài)的變化即位移的變分是由系數(shù)的變分來實現(xiàn)。第13頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月位移分量的變分：形變勢能的變分：代入（5－22）式移項整理第14頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月用位移變分法求得位移以后，不難通過幾何方程求得形變，進而通過物理方程求得應力，但是往往會出現(xiàn)這樣的情況：取不多的系數(shù)，就可以求得較精確的位移，而通過求導后的應力卻不精確。為了使求得的應力充分精確，必須取更多的系數(shù)。m＝（1，2，3……)(5-26)Am,Bm的位移變分方程要使上式對任意的都成立,則有第15頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月§5－4位移變分法的例題第一例題設有寬度為a而高度為b的矩形薄板，xyab圖5－9圖5－9，在左邊及下邊受連桿支撐，在右邊及上邊分別受有均布壓力q1和q2，不計體力，試求薄板的位移。第16頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月分析：取坐標軸如圖所示。按（5－25）的形式，把位移分量設定為（a）滿足位移邊界條件試在式（a）中只取A1及B1兩個待定系數(shù)，即（b）代入式（5－16），并積分得，得到（c）因為不計體力，所以有fx＝0，fy＝0。則（5－26）可簡化為（d）（e）（f）第17頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月（c）代入式（f）（g）（h）

若在式（a）中除了A1和B1外再取一些其他的待定系數(shù)，例如A2和B2，則在進行與上相似的計算后，可見這些系數(shù)都等于零。而A1和B1仍然如式（g）所示，可見位移分量的解答仍然如式（h）所示。思考：按照幾何方程及物理方程由位移分量（h）求出的應力分量，可以滿足平衡微分方程和應力邊界條件第18頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月xybbaa圖5－10第二例設有寬度為2a而高度為（b）的矩形薄板，圖5－10,它的左邊、右邊和下邊均被固定，而上邊（自由邊）具有給定的位移，如下式：（i）不計體力，試求薄板的位移第19頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月分析：取坐標軸如圖所示。按照式（5－25）的形式，但m＝1，位移分量的表達式設定為（i）（k）顯然滿足位移邊界條件：因為于是式（5－26）可以簡化為（l）第20頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2