第三講相似三角形性質(zhì)

第三講

相似三角形的性質(zhì)普陀區(qū)教育學(xué)院徐煒蓉相似三角知識(shí)要點(diǎn)1、由定義確定的性質(zhì)——相似三

角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.（1）相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比稱為相似比，用k

表示；，如果△ABC∽△DEF，相似比為k形的性那質(zhì)么△DEF∽△ABC的相似比為

k

.1當(dāng)

k

>

1

時(shí)，說(shuō)明由△ABC到△DEF是縮小的；當(dāng)

k

<

1

時(shí)，說(shuō)明由△ABC到△DEF是放大的；當(dāng)

k

=

1

時(shí)，△ABC≌△DEF，因此，全等是相似的特殊情況.知識(shí)要點(diǎn)1、由定義確定的性質(zhì)——相似三

角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.2、性質(zhì)1——相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比.（包括對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)中線和對(duì)應(yīng)高.）=

kA`G`AG(見圖①、②中的)AB·

GD

C圖①A`C

`相似三角·G`形B`的性D質(zhì)`圖②(2)、實(shí)際上“對(duì)應(yīng)線段”還可以推廣到兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)位置上的任何一種對(duì)應(yīng)線段.例如：兩個(gè)相似三角形的重心到各自對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的距離之比等于相似比k.知識(shí)要點(diǎn)相似三角形的性質(zhì)1、由定義確定的性質(zhì)——相似三

角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.2、性質(zhì)1——相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比.3、性質(zhì)2——相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比.（包括對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)中線和對(duì)應(yīng)高.）知識(shí)要點(diǎn)4、性質(zhì)3——相似三角形面積的比等于相似比的平方.相似三（角見圖③、④中的

S

)/

/

/（包括對(duì)應(yīng)角平DD分E

F線對(duì)應(yīng)線段SDD的EF比等2于相似比.形的性質(zhì)ABD

C圖③EF=

k

A`3、性質(zhì)2——相似三角形B`周長(zhǎng)的比等于相似比.D`

C`圖④E`、對(duì)應(yīng)中線和對(duì)F`應(yīng)高.）(4)、實(shí)際上“相似三角形面積的比”還可以推廣到兩個(gè)相似三角形對(duì)1、應(yīng)由位定置義上確的定任的何性圖質(zhì)形—的—面相積似比三都等于相似比的平方.角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.例如：兩個(gè)相似三角形三條高的垂足所構(gòu)成的三角形（稱為垂足三角形2）、面性積質(zhì)之1—比—等相于似相三似角比形的平方.（二）典型題例精講例題1.如圖，△ABC中，DE∥BC，分別交AB于點(diǎn)D，ABCD785EC

DADE

=C四邊形BCED解一：（以線段長(zhǎng)為未知量列方程）

AD

+AE

+DE

=BD

+EC

+BC

+DE∴AD=87

x.同理，AE

=

8

.5

xAD

DEAB

=

BC

.∵DE∥BC，∴設(shè)DE=x，∵AB=7,BC=8,????83.3即DE=20解得x

=2087

x85

x87

-

7

x85

-

5

x由題意，7

x

+

5

x

=

(7

-

7

x

)

+

(5

-

5

x

)

+

88

8

8

8AC于點(diǎn)E，已知AB=7，BC=8，AC=5，且△ADE與四邊形BCED的周長(zhǎng)相等.求DE的長(zhǎng).（二）典型題例精講例題1.如圖，△ABC中，DE∥BC，分別交AB于點(diǎn)D，ABCD785EAC于點(diǎn)E，已知AB=7，BC=8，AC=5，且△ADE與四邊求DE的長(zhǎng).CDAOE

=C四邊形BCEDAD

+

AE+

DE

=

BD

+

EC

+

BC

+

DE????8.3∴DE

=

8k

=

207k5k7-7k5-5k則

AD

=

DE

=

AE

=

k

,7

8

5由題意，7k

+

5k

=

(7

-

7k

)

+

(5

-

5k

)

+

8形BCED的周長(zhǎng)相等.解二：（以相似比k為未知量列方程）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，設(shè)相似比為k，那么AD

=7k,DE

=8k，AE

=5k.例題1.

如圖，△ABC中，DE∥BC，分別交AB于點(diǎn)D，AC于點(diǎn)E，已知AB=7，BC=8，AC=5，且△ADE與四邊形BCED的周長(zhǎng)相等.求DE的長(zhǎng).（點(diǎn)評(píng)）A無(wú)論是以相似比k作未知量，還是以線段DE的長(zhǎng)x作未知量，目的都是為了把其它的量用k或x來(lái)表示，再根據(jù)等量關(guān)系列方程，這一B解題思路可稱之為“方程思想”，這是用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的基

本思想.CDE例1圖另外，我們要特別注意解法二中，由于用到相似三角形的性質(zhì)，所以不要忘證兩個(gè)三角形相似.例題2.

如圖，已知等邊ΔABC邊長(zhǎng)為6，過(guò)重心G作DE∥BC分別交AB、AC于點(diǎn)D、E.點(diǎn)P在BC上，如果ΔBDP與ΔCEP相似，求BP的長(zhǎng).∴有兩種對(duì)應(yīng)關(guān)系：∴當(dāng)ΔBDP與ΔCEP相似時(shí)，BP的長(zhǎng)為3+

5

或3

-5

或3.BD

=

1AB

3ABEDCP·G例2圖，又∵∠B=∠C

，∵ΔBDP∽ΔCEP簡(jiǎn)解：∵點(diǎn)G是ΔABC的重心，DE∥BC，∴∵AB=6，∴BD=2.同理CE=2.BD

=

BP①當(dāng)PC

CE時(shí)，設(shè)BP

=

x，則x

2

-

6

x

+

4

=

0,

x

=

3

–

5;2

=

x

,6

-

x

2BD

BP②當(dāng)CE

=PC

時(shí)，∵BD=CE，∴BP=PC=3；AD第2課例4圖ECF1

2∴有兩種對(duì)應(yīng)關(guān)系：①當(dāng)

—

1

=

—

2

時(shí)，那么點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)；第2課例題4.

在△ABC中，

AB=AC，點(diǎn)E、F分別在AC、AB上，且∠EDF=∠B，聯(lián)結(jié)EF.△FBD∽△FDE

BD

=

BFDE

DF△FBD∽△DCE

DF

=

BFDE

DCDE

DFDC

BF=

BD=DC（1）求證：△BDF∽△CED；（思2）考問(wèn)△當(dāng)DE點(diǎn)FD與為上B述C中兩點(diǎn)個(gè)三時(shí)角，△形D相EF似也，與上述兩那個(gè)么三點(diǎn)角D是形否相一似定嗎是？BC的中點(diǎn)呢？我們得到的答案是點(diǎn)D不一定是BC的中點(diǎn).由于△DEF∽△BDF，又∵∠EDF=∠B

BAFD第2課例4圖EC∴有兩種對(duì)應(yīng)關(guān)系：①當(dāng)

—

1

=

—

2

時(shí)，那么點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)；第2課例題4.

在△ABC中，

AB=AC，點(diǎn)E、F分別在AC、AB上，且∠EDF=∠B，聯(lián)結(jié)EF.23（1）求證：△BDF∽△CED；思考△DEF與上述兩個(gè)三角形相似，

那么點(diǎn)D是否一定是BC的中點(diǎn)呢？我們得到的答案是點(diǎn)D不一定是BC的中點(diǎn).由于△DEF∽△BDF，又∵∠EDF=∠B

B②當(dāng)—3

=—2

時(shí)，那么FE∥BC.ABFDEC23一樣分析剩余的兩對(duì)角.例題2.

如圖，已知等邊ΔABC邊長(zhǎng)為6，過(guò)重心G作DE∥BC分別交AB、AC于點(diǎn)D、E點(diǎn)P在BC上，如果ΔBDP與ΔCEP相似，求BP的長(zhǎng).第2課例題4.

在△ABC中，

AB=AC，

點(diǎn)E、F分別在AC、AB上，且∠EDF=∠B，聯(lián)結(jié)EF.（1）求證：△BDF∽△CED；思考△DEF也與上述兩個(gè)三角形相似，那么點(diǎn)D是否一定是BC的中點(diǎn)呢？（點(diǎn)評(píng)）當(dāng)題目的條件有兩個(gè)相似三角形，我們先要考慮這兩個(gè)三角形相似的對(duì)應(yīng)關(guān)系是否明確，如果不明確就需要分類討論.一般情況下，我們總能找到一對(duì)相等的角或一對(duì)一定不相等的角，那么相似的對(duì)應(yīng)關(guān)系就有兩種.根據(jù)題目要求可ABDCPG·

E例2圖ACF以像（例2）一樣分析對(duì)應(yīng)邊成比例，也可以像（第2課例4）B

D第2課例4圖E例題3.

如圖△ABC中，點(diǎn)D在BC上，∠DAC=∠B，DC=3.

求：CF︰EF的值.EF例3圖解：∵∠DAC=∠B，∠ACD=∠ACB，∴△DAC∽△ABC，聯(lián)想相似三角形與對(duì)應(yīng)線段有關(guān)的性質(zhì)CF︰CE的值∵

BD=1，DC=3，∴

AC

2=BC?DC=12，AC=

2 3

，∵CF、CE分別是△DAC和△ABC的角平分線，2

-

3EFCF

=

3∴

CF

=

AC

=

2 3

=

3

，∴CE

BC

4

2=

2 3

+

3

.DC

AC

AC

=

BC

，∴AC︰BC的值A(chǔ)BCD角平分線CE交AD于F，交AB于點(diǎn)E，

已知BD=1，EF例題3.

如圖△ABC中，點(diǎn)D在BC上，∠DAC=∠B，角平分線CE交AD于F，交AB于點(diǎn)E，已知BD=1，DC=3.

求：CF︰EF的值.（點(diǎn)評(píng)）請(qǐng)同學(xué)們關(guān)注圖中的基本圖形，要學(xué)會(huì)在復(fù)雜圖形中分離出基本圖形，這樣可以將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化.在這里我們分離出的基本圖形是:EFABCD例3圖例題4.

如圖，Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為E、F.求證：DE

2

:DF

2

=AD:DB.EFABCD例4圖S

D

CDBS

D

ADC？例題4.

如圖，Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為E、F.FEABCD例4圖S BC

2

DF

2S AC

2

DE

2=DCDB

DADC

=∴，DADC21S

=

·

DB·CDDCDB21又S

=

·

AD·CD，，DBS=

ADDCDBSDADC∴，DE

2

ADDF

2

=

DB∴.求證：DE

2

:DF

2

=AD:DB.簡(jiǎn)單證明：易證△ADC

∽△CDB，∵DE、DF是△ADC和△CDB的對(duì)應(yīng)高，例題4.

如圖，Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，F(xiàn)EABCD例4圖DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為E、F.求證：DE

2

:DF

2

=AD:DB.證明：∵DE是AC邊上的高，又∵∠ACB=90BC

DFAC

=

DEBC

ACDE

=

AD

DF

BD∴

DE∥BC

∴BC

DF①÷②

DEAC

=

AD

ABDE

AC

AD即

=DF

BC

BDAB

①同理：=

AB

②∵△ADC

∽△CDB

且DE、DF為高∴∴

DE

2

:

DF

2=

AD:DB.AB

BDDE

2

ADDF

2=

DB例題4.

如圖，Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，F(xiàn)EABCD例4圖DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為E、F.求證：DE

2

:DF

2

=AD:DB.（點(diǎn)評(píng)）研究三角形面積比與邊長(zhǎng)比之間的關(guān)系，可以從兩個(gè)角度進(jìn)行，如果兩個(gè)三角形不相似，我們可以通過(guò)三角形的面積公式，將面積比轉(zhuǎn)化為線段比，如果兩個(gè)三角形相似，那么除了以上方法

外還可以考慮利用相似三角形的性質(zhì)將面積比轉(zhuǎn)化為線段之間的關(guān)系.例題5.

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AC交BD于O.(1)如果SDAOD

=

8,

SDBOC=18,

求SDAOB；BCADO題5圖（1）∵△AOD與△AOB有相同的高，12.32DAODDAOBS

=S

ODΔAOD∴AOD

B2

,28

=

4

,18

9=BO

2DO22

,3∴8,DAODS18,DBOC∴∵∴3

,2SΔAOB

=

OB

==

m

2S

=

n2BO

=

nDO

mnmnmS

=

mnm2n2同理可得：SDDOCS

=

m2

+n2

+2mn=(m+n)2=

mn,

∴2

2(2)如果SDAOD

=

m

,

SDBOC

=

n

,

(m、n為正數(shù)),

試用m、n表示梯形ABCD的面積S.解：（2）∵SA=DS∥DABOCD

，+S∴DB△OC

A+OSDDA∽OB△+CSDOCOBD，S

D

m

2D

:

S

n2

OC

=

DO

:

BO例題5.

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AC交BD于O.(1)若SDAOD

=

8,

SDBOC=18,

求SDAOB