天津鈴達中學高三數學理模擬試卷含解析

天津鈴達中學高三數學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖，一個底面半徑為R的圓柱被與其底面所成角為θ（00＜θ＜900）的平面所截，截面是一個橢圓．當θ為30°時，這個橢圓的離心率為（） A． B． C． D． 參考答案：考點： 平面與圓柱面的截線．分析： 利用已知條件，求出題意的長半軸，短半軸，然后求出半焦距，即可求出題意的離心率．解答： 解：因為底面半徑為R的圓柱被與底面成30°的平面所截，其截口是一個橢圓，則這個橢圓的短半軸為：R，長半軸為：=，∵a2=b2+c2，∴c=，∴橢圓的離心率為：e==．故選：A．點評： 本題考查橢圓離心率的求法，注意橢圓的幾何量與雙曲線的幾何量（a，b，c）關系的正確應用，考查計算能力．2.直角△ABC中，AD為斜邊BC邊的高，若||=1，||=3，則=（）A．B． C．－D．－參考答案：A【分析】根據題意建立平面直角坐標系，寫出A、B、C的坐標，利用BC的直線方程求出點D的坐標，再寫出、，計算的值．【解答】解：建立平面直角坐標系如圖所示，A（0，0），B（3，0），C（0，1）；則BC的直線方程為+y=1，設點D（m，n）；則，解得m=，n=，∴D（，）；∴=（3，0），=（，﹣），∴=3×+0×（﹣）=．故選：A．【點評】本題考查了平面向量的數量積與運算問題，是基礎題．3.已知函數是奇函數，是偶函數，且=(

)A．-2

B．0

C．2

D．3參考答案：A4.在區(qū)間上隨機取一個數，則事件“”發(fā)生的概率為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C5.已知平面直角坐標系內的兩個向量a＝（1，2），b＝（m，3m－2），且平面內的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb（λ，μ為實數），則m的取值范圍是A．（－∞，2）

B．（2，＋∞）C．（－∞，＋∞）

D．（－∞，2）∪（2，＋∞）

參考答案：D略6.已知等比數列的公比為正數，且，，則（

）A．

B．2

C．

D．參考答案：D7.已知，，c=，則a，b，c的大小關系為（

）

A.c<b<a

B.c<a<b

C.b<a<c

D.b<c<a參考答案：A8.某人設計一項單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在正方形ABCD（邊長為3個單位）的頂點A處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向行走的單位，如果擲出的點數為i(i=1,2,…,6),則棋子就按逆時針方向行走個單位，一直循環(huán)下去，則某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到A處的所有不同走法(

)A22種

B24種

C25種

D36種參考答案：C略9.已知函數f（x）=ax2﹣（3﹣a）x+1，g（x）=x，若對于任一實數x，f（x）與g（x）至少有一個為正數，則實數a的取值范圍是(

)A．[0，3） B．[3，9） C．[1，9） D．[0，9）參考答案：D【考點】二次函數的圖象；一次函數的性質與圖象．【專題】計算題；壓軸題．【分析】對函數f（x）判斷△=（3﹣a）2﹣4a＜0時，一定成立，可排除A與B，再對特殊值a=0時，若對于任一實數x，f（x）與g（x）至少有一個為正數，可得答案．【解答】解：對于函數f（x），當△=（3﹣a）2﹣4a＜0時，即1＜a＜9，顯然成立，排除A與B當a=0，f（x）=﹣3x+1，g（x）=x時，顯然成立，排除C；故選D．【點評】本題主要考查對一元二次函數圖象的理解．對于一元二次不等式，一定要注意其開口方向、對稱軸和判別式．10.已知，若是的充分不必要條件，則正實數的取值范圍是A．

B．

C．

D．參考答案：D試題分析：命題成立，，得或；命題成立，得或，由于是的充分不必要條件，，等號不能同時成立，解得，由于，因此考點：充分、必要條件的應用二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.不等式對一切恒成立，則m的取值范圍是________________。參考答案：12.若這10個數據的樣本平均數為,方差為0.33,則，這11個數據的方差為________．參考答案：0.3略13.設與拋物線的準線圍成的三角形區(qū)域（包含邊界）為，為內的一個動點，則目標函數的最大值為

_

參考答案：略14.若點在橢圓外，過點作該橢圓的兩條切線的切點分別為，則切點弦所在直線的方程為．那么對于雙曲線，類似地，可以得到一個正確的命題為

參考答案：切點弦所在直線的方程為15.如果log3m+log3n=4，那么m+n的最小值是．參考答案：18【考點】基本不等式；對數的運算性質．

【專題】不等式的解法及應用．【分析】利用對數的運算性質和基本不等式即可得出．【解答】解：∵log3m+log3n=4，∴，得mn=34．∵m＞0，n＞0，∴==18，當且僅當m=n=9時取等號．故答案為18．【點評】熟練掌握對數的運算性質和基本不等式是解題的關鍵．16.實數x、y滿足，則z=x2+y2+2x﹣2y的最小值為．參考答案：0考點：簡單線性規(guī)劃．專題：不等式的解法及應用．分析：作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用z的幾何意義進行求解即可．解答：解：作出不等式組對應的平面區(qū)域，則z=x2+y2+2x﹣2y=z=（x+1）2+（y﹣1）2﹣2，設m=（x+1）2+（y﹣1）2，則m的幾何意義為區(qū)域內的點倒是定點D（﹣1，1）的距離的平方，由圖象知D到直線y=x的距離最小，此時d=，則m=d2=2，故z的最小值為z=2﹣2=0，故答案為：0．點評：本題主要考查線性規(guī)劃的應用以及點到直線的距離的求解，利用數形結合是解決本題的關鍵．17.已知，，若同時滿足條件：1對任意實數都有或；2總存在使成立。則的取值范圍是

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設函數（1）設，，證明：在區(qū)間內存在唯一的零點；（2）設為偶數，，，求的最小值和最大值；（3）設，若對任意，有，求的取值范圍；參考答案：（1）由，，得

對恒成立，從而在單調遞增，又，，即在區(qū)間內存在唯一的零點.

………分（2）因為

由線性規(guī)劃（或，）………分（3）當時，（Ⅰ）當或時，即或，此時只需滿足，從而（Ⅱ）當時，即，此時只需滿足，即解得：，

從而（Ⅲ）當時，即，此時只需滿足，即解得：

從而綜上所述：

………分19.已知數列的首項其中，令集合.（I）若是數列中首次為1的項，請寫出所有這樣數列的前三項；（II）求證：；（III）當時，求集合中元素個數的最大值.參考答案：解：（I）27,9,3；8,9,3；6,2,3.

（II）若被3除余1，則由已知可得,；若被3除余2,則由已知可得,,；若被3除余0，則由已知可得,；所以，所以所以，對于數列中的任意一項，“若，則”.因為，所以.所以數列中必存在某一項（否則會與上述結論矛盾?。┤?則；若,則,若,則,由遞推關系易得.

（III）集合中元素個數的最大值為21.由已知遞推關系可推得數列滿足：當時，總有成立，其中.下面考慮當時，數列中大于3的各項：按逆序排列各項，構成的數列記為，由（I）可得或9，由（II）的證明過程可知數列的項滿足：，且當是3的倍數時，若使最小，需使，所以，滿足最小的數列中，或7，且，所以，所以數列是首項為或的公比為3的等比數列，所以或，即或，因為，所以，當時，的最大值是6，所以，所以集合重元素個數的最大值為21.略20.已知函數f（x）=2lnx﹣ax+a（a∈R）．（Ⅰ）討論f（x）的單調性；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，證明：當0＜x1＜x2時，．參考答案：【考點】利用導數研究函數的單調性；函數單調性的性質．【專題】導數的綜合應用．【分析】（I）利用導數的運算法則可得f′（x），對a分類討論即可得出其單調性；（II）通過對a分類討論，得到當a=2，滿足條件且lnx≤x﹣1（當且僅當x=1時取“=”）．利用此結論即可證明．【解答】解：（Ⅰ）求導得f′（x）=，x＞0．若a≤0，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上遞增；若a＞0，當x∈（0，）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；當x∈（，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若a≤0，f（x）在（0，+∞）上遞增，又f（1）=0，故f（x）≤0不恒成立．若a＞2，當x∈（，1）時，f（x）遞減，f（x）＞f（1）=0，不合題意．若0＜a＜2，當x∈（1，）時，f（x）遞增，f（x）＞f（1）=0，不合題意．若a=2，f（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，f（x）≤f（1）=0，合題意．故a=2，且lnx≤x﹣1（當且僅當x=1時取“=”）．當0＜x1＜x2時，f（x2）﹣f（x1）=2ln﹣2（x2﹣x1）＜2（﹣1）﹣2（x2﹣x1）=2（﹣1）（x2﹣x1），∴＜2（﹣1）．【點評】熟練掌握利用導數研究函數的單調性、極值、等價轉化、分類討論的思想方法等是解題的關鍵．21.已知三個互不相等的正數a，b，c成等比數列，公比為q．在a，b之間和b，c之間共插入n個數，使這n+3個數構成等差數列．（1）若a=1，在b，c之間插入一個數，求q的值；（2）設a＜b＜c，n=4，問在a，b之間和b，c之間各插入幾個數，請說明理由；（3）若插入的n個數中，有s個位于a，b之間，t個位于b，c之間，試比較s與t的大小．參考答案：考點：等比數列的性質；等差數列的性質．專題：等差數列與等比數列．分析：（1）若a=1，設由4個數構成的等差數列的公差為d，則，消去d，求得q的值．（2）設所構成的等差數列的公差為d，由題意，d＞0，共插入4個數．若在a，b之間插入1個數，在b，c之間插入3個數，求得q的值；若在a，b之間插入3個數，在b，c之間插入1個數，求得q的值；若a，b之間和b，c之間各插入2個數，求得q的值，綜合可得結論．（3）設所構成的等差數列的公差為d，由題意可得，因為q≠1，所以，分q＞1和0＜q＜1兩種情況，分別得出結論．解答：解：（1）若a=1，因為a，b，c是互不相等的正數，所以q＞0且q≠1．由已知，a，b，c是首項為1，公比為q的等比數列，則b=q，c=q2，當插入的一個數位于b，c之間，設由4個數構成的等差數列的公差為d，則，消去d得2q2﹣3q+2=0，因為q≠1，所以q=2．（2）設所構成的等差數列的公差為d，由題意，d＞0，共插入4個數．若在a，b之間插入1個數，在b，c之間插入3個數，則，于是，2b﹣2a=c﹣b，q2﹣3q+2=0，解得q=2．若在a，b之間插入3個數，在b，c之間插入1個數，則，于是，2c﹣2b=b﹣a，解得（不合題意，舍去）．若a，b之間和b，c之間各插入2個數，則，b﹣a=c﹣b，解得q=1（不合題意，舍去），綜上，a，b之間插入1個數，在b，c之間插入3個數．（3）設所構成的等差數列的公差為d，由題意可得，b=a+（s+1）d，，又c=b+（t+1）d，，所以，，即，因為q≠1，所以．所以，當q＞1，即a＜b＜c時，s＜t；當0＜q＜1，即a＞b＞c時，s＞t．點評：本題主要考查等差數列的定義、性質以及通項公式，等比數列的定義、性質以及通項公式的應用，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．22.（本小題滿分14分）

已知數列的前項和為，通項滿足（是常數，且）。

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）當時，證明；

（Ⅲ）設函數，是否存在正整數，使對都成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。參考答案：解：（Ⅰ）由題意，得

所以…1分

當時，，所以

……………2分

故數列是以為首項，公比為的等比數列

所以

…