電路分析第10章頻率響應(yīng)多頻正弦穩(wěn)態(tài)

第十章 頻率響應(yīng) 多頻正弦穩(wěn)態(tài)電路基本概念正弦穩(wěn)態(tài)的疊加平均功率的疊加RLC電路的諧振再論阻抗和導(dǎo)納§10-1§10-2§10-3§10-4§10-5§10-6正弦穩(wěn)態(tài)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)§10-1

基本概念在正弦交流電路中，由于電感元件的感抗和電容元

件的容抗都與頻率有關(guān)，當(dāng)電源電壓或電流（激勵）的頻率改變時，感抗和容抗將隨著激勵的頻率的改變而改

變，即使正弦激勵的有效值不變，在電路中各部分所產(chǎn)

生的電壓和電流（響應(yīng)）的有效值和相位也將發(fā)生變化。電路響應(yīng)隨激勵頻率變化的關(guān)系稱為電路的頻率響應(yīng)。多頻正弦穩(wěn)態(tài)電路就是多個不同頻率的正弦電源激勵下的穩(wěn)態(tài)電路。多頻正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析仍可采用相量法，但只能逐個頻率分別處理，最后再用在時域疊加的方法求得結(jié)果。+U–·I·N0w·I·IuZ

=

U

=

U

—

j

–

ji=

|Z|—

jZ§10-2

再論阻抗和導(dǎo)納一.無源單口網(wǎng)絡(luò)阻抗的性質(zhì)阻抗模|Z|可以確定無源單口網(wǎng)絡(luò)端口上電壓有效值與電流有效值的比值關(guān)系；由阻抗的輻角jZ

可以確定端口上電壓與電流的相位關(guān)系?？梢?，確定了無源單口網(wǎng)絡(luò)的阻抗Z，也就確定了無源單口網(wǎng)絡(luò)在正弦穩(wěn)態(tài)時的表現(xiàn)。同理，確定了無源單口網(wǎng)絡(luò)的導(dǎo)納Y

，也就確定了無源單口網(wǎng)絡(luò)在正弦穩(wěn)態(tài)時的表現(xiàn)。解：[例]

電路如圖，求ab端輸入阻抗。=1+

(wCR1

)2R12wCR1+j1+

(wCR1

)2=

R1

–

jwCR121+

(wCR1

)2=

R

11+

jwCR1R1Zab=

jwC

1jwCR

+

1

Z(jw)=

R(w)+

jX(w)R阻抗的實部和虛部都是頻率的函數(shù)。實部稱為電阻分量，它并不一定只由網(wǎng)絡(luò)中的電阻所確定；虛部稱為電抗分量，它并不一定只由網(wǎng)絡(luò)中的動態(tài)元件所確定。

1ba

1

jwC解：[例]

電路如圖，求ab端輸入阻抗。2=[

R

+1+

(wCR

)21wCR

2]+

j[wL

–1

11+

(wCR

)2]2=

R

+jwL

+11+

(wCR

)R12R1

–

jwCR122=

R

+

jwL

+1+

jwCR1

R

1R1ab2Z

=

R

+

jwL

+

jwC

1R

+

1

jwCZ(jw)=

R(w)+

jX(w)R阻抗的實部和虛部都是頻率的函數(shù)。實部稱為電阻分量，它并不一定只由網(wǎng)絡(luò)中的電阻所確定；虛部稱為電抗分量，它并不一定只由網(wǎng)絡(luò)中的動態(tài)元件所確定。

1R2ba

1

jwCjwL2.

正弦穩(wěn)態(tài)電路abRZab(jw)=R(w)+jX(w)abY

(jw)=G(w)+jB(w)相量模型的等效一.無源單口網(wǎng)絡(luò)的等效1.電阻電路RjXjBGabGN0wabN0abipwtu

i

pu則電壓u

=Um

sin(w

t

+j

)p

=

ui

=

Um

Im

sin(w

t

+

j

)sinw

tp

=

UI

cosj

-

UI

cos(2w

t

+

j

)j瞬時功率對任一無源二端網(wǎng)絡(luò)，設(shè)電流i

=Im

sinw

t

為參考正弦量瞬時功率整理可得i+u-N0當(dāng)j＞0時，為電感性電路單口網(wǎng)絡(luò)的平均功率(有功功率), 無功功率則等效為u=uR+uX則p=iu=iuR+iuX=pR+pX1.

瞬時功率+

uR

-i設(shè)：

uR(t)=

URmcoswt

i(t)=

ImcoswtpR(t)=

uR

·

i

=

URmmcoswt

·

I

coswtRm

m2=

U

I

cos

wtRm

mU

I

[

1＋cos

2w

t

]=

1

2pR

>0

pR

隨時間變化，變化的角頻率為2w

，是電壓或電流角頻率的2倍。wtuR·i·ppRuRiπ0

2π電阻部分的功率(其平均值為有功功率)則p=iu=iuR+iuX=pR+pXXp

(t)=

UXmmcoswtI

sinwt=

12Xm

mU

I

sin2wt

=

UXI

sin2wt0ωtipXuXuX·

i·

pXπ2πpX按正弦規(guī)律變化，變化的角頻率為電壓或電流角頻率的兩倍。pX>0

吸收功率；pX

<0

放出功率。(1)

電抗部分的瞬時功率的平均值為零（2）無功功率Q—表示交換能量的規(guī)模，用電抗瞬時功率pX的最大值表示電抗部分的功率(電感性的情況)0wtpXuXuX·i·pXiπ2π2Xp

(t)=–

UXmmcoswtI

sinwt

=

–1

UXm

mXI

sin2wt

=

–U

Isin2wt電抗部分的功率(電容性的情況)p按正弦規(guī)律變化，變化的角頻率為電壓或電流角頻率的兩倍p>0

吸收功率；P

<0

放出功率(1)

電抗部分的瞬時功率的平均值為零（2）無功功率Q—表示交換能量的規(guī)模，用電抗部分瞬時功率的最大值表示U?I?j??UXUX為電抗部分???I

相差一個j

角，相量圖如下。在一般交流電路中，?與U有功功率無功功率視在功率P

=

UR

I

=

UI

cosjQ

=

UX

I

=

UI

sinjS

=

UI

=

P2

+

Q2UR單位：瓦特（W）乏爾（var）伏?安(V?A)單口網(wǎng)絡(luò)的有功功率和無功功率其中UR為電阻部分的電壓（有功分量）；的電壓（無功分量）。i+u-N0U?I?j?UP?UQ分量；UQ

稱為電壓的無功分量。?U?分解成兩個分量，如下圖。其中UP與I?相差一個j

角。如果將在一般交流電路中，U?稱為電壓的有功有功功率無功功率視在功率P

=

UP

I

=

UI

cosjQ

=

UQ

I

=

UI

sinjS

=

UI

=

P2

+

Q2乏（var）伏?安(V?A)I?U?UR?ULjUc單位：瓦（W）?UL?

?Uc?RLC串聯(lián)電路相量圖單口網(wǎng)絡(luò)的有功功率和無功功率jZ(w)

=

arctg

R(w)

X(w)|Z(jw)|

=

R2(w

)+

X2(w

)j

=

90?j

=

–90?j

=

0?純電感性電路純電容性電路純電阻性電路0?<j

<90?

電感性– 90?<j

<0?

電容性RC電路：對所有頻率都是電容性電路。

RL電路：對所有頻率都是電感性電路。LC電路：對某些頻率是純電感性；對某些頻率是純電容性

RLC電路：某些頻率是電容性；某些頻率是電感性；某些頻率是純電阻性（諧振狀態(tài)）。N0I·+–·U網(wǎng)絡(luò)阻抗分析：Z(jw)=

R(w)+

jX(w)=

|Z(jw)|—

jZ(w)阻抗的模|Z|

和輻角jZ都是頻率的函數(shù)。根據(jù)網(wǎng)絡(luò)的輸入阻抗Z(jw)，即可確定單口網(wǎng)絡(luò)在各個不同頻率下的正弦穩(wěn)態(tài)表現(xiàn)。因此，單口網(wǎng)絡(luò)的阻抗函數(shù)Z(jw)可用于研究該網(wǎng)絡(luò)的頻率響應(yīng)。輸入阻抗Z(jw

)可看作激勵電流1—0?A所產(chǎn)生的電壓響應(yīng)。I·N0+–U·ZR(w)j

(w)

=

arctg

X(w)|Z(jw)|

=

R2(w

)+

X2(w

)Z

=U·I·=

U

Iu—

j

–

ji=

|Z|—

jZZ(jw)=

R(w)+

jX(w)=

|Z(jw)|—

jZ(w)I?Y

I?

1U=

Z

=

—j(w)——相頻特性頻率特性Z與頻率w

的關(guān)系稱為阻抗的頻率特性。|Z|

與頻率w

的關(guān)系稱為阻抗的幅頻特性。j

與頻率w

的關(guān)系稱為阻抗的相頻特性。幅頻特性和相頻特性通常用曲線表示。|Z(jw)|——幅頻特性Z(jw)=

R(w)+

jX(w)Z=

|Z(jw)|—

j

(w)I·N0+–U·解：=1+

(wCR1

)2R12wCR1+j1+

(wCR1

)21+

(wCR1

)2=

R1

–

jwCR12R11+

jwCR1R1Zab=

jwC

=1jwCR

+

1

bR1a

1

jwC幅頻特性0.707Rω0（b）相頻特性j0-

π/4-

π/2ω=R1+

(wRC)2|Z

|R—

–

arctgwRC[例]電路如圖，求ab端輸入阻抗，并畫出幅頻特性和相頻特性曲線解:

Z(jω)=

R

jwC

wCR

+

j

1Rba

1

jwC二.

無源單口網(wǎng)絡(luò)導(dǎo)納的性質(zhì)Y

=I·U·=

I

Ui—

j

–

ju=

|Y|—

jYY(jw)=

G(w)+

jB(w)Y(jw)=

|Y(jw)|—

jY(w)j

=

90?YjY

=

–90?jY

=

0?純電容性電路純電感性電路純電阻性電路0?<jY

<90?

電容性0?>jY

>–90?

電感性輸入導(dǎo)納Y

(jw)可看作激勵電壓1—0?V所產(chǎn)生的電流響應(yīng)。ZY

=

1

=

1

—

–

jZ=

|Y|—

jY|Z|I·N0+–U·阻抗與導(dǎo)納的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(jw

)=

響應(yīng)相量激勵相量2.策動點函數(shù)：同一對端鈕上響應(yīng)相量與激勵相量的比稱為策動點函數(shù)或稱驅(qū)動點函數(shù)。+1–U·I1·N0w+1–U·I1·N0w策動點函數(shù)§10-3

正弦穩(wěn)態(tài)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H1.定義：單一激勵時，響應(yīng)相量與激勵相量之比稱為網(wǎng)絡(luò)函數(shù)。策動點函數(shù)轉(zhuǎn)移函數(shù)策動點阻抗I1Zn=

U1U1策動點導(dǎo)納IYn

=

1

3.轉(zhuǎn)移函數(shù)：不同對端鈕上響應(yīng)相量與激勵相量的比叫轉(zhuǎn)移函數(shù)。根據(jù)指定響應(yīng)相量與激勵相量的不同，轉(zhuǎn)移函數(shù)分為以下四種：(1)

轉(zhuǎn)移阻抗(2)

轉(zhuǎn)移導(dǎo)納1U2ZT

=

I1YTUI=

2

ZL+2–U·I1·N0wZL+1–U·I2·N0w(3)

電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)ZL+–1U·N0w+–2U·1U2Au

=

UI2·ZL+2–U·I1·N0w1I2I(4)

電流轉(zhuǎn)移函數(shù)Ai

=策動點函數(shù)轉(zhuǎn)移函數(shù)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(jw)=|H(jw)|—j(w)|H(jw)|——幅頻特性j(w)——相頻特性頻率特性(實例:)

電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)ZL+–1U·N0w+–2U·1U2Au

=

U策動點函數(shù)轉(zhuǎn)移函數(shù)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(jw)=|H(jw)|—j(w)|H(jw)|——幅頻特性j(w)——相頻特性頻率特性CR+u1–+u2–|Au|10.707ωC幅頻特性0相頻特性ωCj0-

π/4-

π/2ωω網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的求法根據(jù)相量模型，可選擇用串聯(lián)分壓，并聯(lián)分流，支路電流法，節(jié)點分析法，網(wǎng)孔分析法，疊加原理，戴維南定理和諾頓定理等等各種方法。濾波電路電感或電容元件對不同頻率的信號具有不同的阻抗，利用感抗或容抗隨頻率而改變的特性構(gòu)成四端網(wǎng)絡(luò)，有選擇地使某一段頻率范圍的信號順利通過或者得到有效抑制，這種網(wǎng)絡(luò)稱為濾波電路。下面以RC電路組成的濾波電路為例說明求網(wǎng)絡(luò)函數(shù)和分析電路頻率特性的方法。低通濾波電路低通濾波電路可使低頻信號較少損失地傳輸?shù)捷敵龆?，高頻信號得到有效抑制。u1是輸入信號電壓，

u2是輸出信號電壓，

兩者都是頻率的函數(shù)。RjwC

1

+1–U·+U2–·CR+u1–+u2–電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)uA

=U2·U1·R

+

jwC

1

1+

jwCR1=

jwC

=

1

=

1

1+

(wCR)2—

–

arctgwCR1+

(wCR)2=

1

—

–

arctgwCR低通濾波電路u|A

|

=

1

1+

(wCR)2幅頻特性相頻特性j

=–

arctgwCR=Au

=2U·U1·1jwCwCR

+

j

1=11+

jwCR=2

1–

jwCR

1+

(wCR)=1+

(wCR

)21wCR+j1+

(wCR

)2|Au|10.707ωC幅頻特性ω0u|A

|

=

1

1+

(wCR)2幅頻特性w

=0時，|Au|=1，電容阻抗無窮大w

=∞時，|Au|=0，電容阻抗等于0CRCt當(dāng)w

=

w

=

1

=

1

時U12U2

=

1

=

0.707輸出電壓為最大輸出電壓的0.707倍幅頻特性曲線表明此RC

電路具有低通特性。wC稱為截止頻率，0

~

wC

為低通網(wǎng)絡(luò)的通頻帶。CR+u1–+u2–（b）相頻特性0-

π/4-

π/2ω相頻特性說明輸出電壓總是滯后于輸入電壓的，因此，這一RC電路又稱為滯后網(wǎng)絡(luò)。

1

|Au|

=幅頻特性相頻特性w

=

0時，

j

=0w

=∞時，j

=–90?1+

(wCR)2j

=

–arctgwCRCRCt當(dāng)w

=w

=

1

= 1

時，

j

=–

45?u|A

|10.707ωCω0（a）幅頻特性jωCp2p03p

wtUm(a)2p0wtuUm4p(b)wtuUm0p

2p(c)幾種非正弦周期電壓的波形2p0wtuUmp（d）

以非正弦規(guī)律作周期變化的電壓、電流稱為周期性非正弦電壓、電流。u§10-4

正弦穩(wěn)態(tài)的疊加一切滿足狄里赫利條件的周期函數(shù)都可以展開為傅里葉三角級數(shù)。設(shè)周期函數(shù)為f(w

t),其角頻率為w

,可以分解為下列傅里葉級數(shù)：f

(

w

t

)=

A0+A1mcos(w

t+y

1)+

A2mcos(2w

t+y2)+······=

A0+S

Akmcos(kw

t+y

k)￥k=1式中，A0不隨時間變化，稱為恒定分量或直流分量，A0等于周期函數(shù)f

(w

t

)在一個周期內(nèi)的平均值:∫Tf(t)dt

=1T

00A

=∫2pf

(w

t)d(w

t)012p—式中,第二項A1mcos(w

t+y

1)的頻率與非正弦周期函數(shù)的頻率相同,稱為基波或一次諧波;其余各項的頻率為周期函數(shù)的頻率的整數(shù)倍,分別稱為二次諧波、三次諧波等等。u

=

4Um

(sinw

t

+

1

sin

3w

t

+

1

sin

5w

t

+

)π

3

52

π

2π

3πmu

=

U

(1

-

1

sinw

t

-

1

sin

2w

t

-

1

sin

3w

t

-)9

25π2u

=

8Um

(sinw

t

-

1

sin

3w

t

+

1

sin

5w

t

-)幾種非正弦周期電壓的傅里葉級數(shù)的展開式矩形波電壓矩齒波電壓三角波電壓從上面幾個式子可以看出傅里葉級數(shù)具有收斂性。pUm0uw

t2p4pUm2p

w

t

0uw

t2ppUm0u矩形波

鋸齒波

三角波2ppw

tUm03p基波分量u1u三次諧波u3五次諧波u51u

+

u3例如，矩形波電壓可以分解為：u(

t

)=

4Um

(sinw

t+

1

sin3w

t

+

1

sin5w

t

+······)5u1

+

u3

+

u5設(shè)非正弦周期電壓u

可分解成傅里葉級數(shù)u=

U0

+U1mcos(w

t+

y

1

)

+U2mcos(

2w

t+

y

2

)+······,它的作用就和一個直流電壓源及一系列不同頻率的正弦電壓源串聯(lián)起來共同作用在電路中的情況一樣。RLCuuRuLuCiRLCuRuLuCiu2U0u1非正弦周期信號的諧波分析法RLCuRuLuCiu2U0u1圖中,u1

=

U1mcos(w

t+

y

1

)i

=

I0u2

=

U2mcos(2w

t+

y

2

)···

···這樣的電源接在線性電路中所引起的電流,

可以用疊加原理來計算，即分別計算電壓的恒定分量U0

和各次正弦諧波分量u1

、u2······單獨存在時，在某支路中產(chǎn)生的電流分量I0 、i1 、i2

······而后把它們的瞬時值加起來，其和即為該支路的電流，即+

i1

+

i2+

······uC

R10mFuR2kW例： 已知圖中電壓

u=10+12.73cosw

t

+4.24cos3w

t

V式中w

=2p

f=314

rad/s角頻率w

=314rad/s，試求:uR

。解：u=10+12.73cosw

t

+4.24cos3w

t

V=

U0

+

u1

+

u3L=

5H直流分量U0單獨作用時電感L視為短路，電容C視為開路。UR0

=

U0

=

10V基波分量u1單獨作用時jw

L=j314·5=j1570

WZ1+jwCRR+1/jwCR/jwCRC1=

————

= ————

=

314.5—

–80.95°WRUR1m=

—————

=

——————

·

12.73ZRC1+

jwLZRC1

U1m..314.5—

–80.95°1260—

87.75°=

3.18

—

–168.7°VuR1=

3.18cos(314

t

–

168.7

)

V(3)三次諧波分量u3單獨作用時j3w

L=j3·314·5=j4710

WZ1+j3wCRR+1/j3wCR/j3wCRC3=

————

= ————

=

106—

–86.96°WRUR3m=

—————

=

—————–

·

4.24ZRC3+

j3wLZRC3

U3m..106—

–86.96°4604—

89.93°=

0.1

—

–176.9°VuRL=

5HC10mFuR2kWuR3=

0.1cos(942t

–

176.9

)

V瞬時值：uR=

UR0+

uR1+

uR3=10+

3.18cos(314

t

–

168.7 )+0.1cos(942t

–

176.9

)V∫0T2i

dt1TI

=依據(jù)周期電流有效值定義:非正弦周期信號的有效值i(t)=

I0+S

Ikmcos(kw

t+j

k)若某一非正弦周期電流已分解成傅里葉級數(shù)￥k=1=

I0

+

I1m

cos(wt

+j1)+

I2mcos(2wt

+j2)+…i2(t)=

[I0

+

I1m

cos(wt

+j1)+

I2mcos(2wt

+j2)+…]2上式展開后只有四種可能形式：I02I0

Inm

cos(nwt

+jn)(此種形式為正弦量，其平均值為零)Inm2cos2(nwt

+jn)

和Inmcos(nwt

+jn)Immcos(mwt

+jm)下面分析后兩種可能形式的積分

1TT0∫

Inmcos(nwt

+jn)Immcos(mwt

+jm)dtT

∫0

2=

1T

1

I

Inm

mm

n

m[cos(nwt

+j

+

mwt

+j

)+cos(nwt

+jn

-

mwt

-jm)]dt=0\

I

=02I

+I1m2

1

2

+

1

I22m2

+

…I

=

I02

+

I12

+

I22

+

…U

=

U02

+

U12

+

U22

+

…

1TT0∫

Inm22ncos

(nwt

+j

)dtInm2nm2n[cos2(nwt

+j

)

+1]dt

=T

1

IT

∫0

2

12=

1非正弦周期電壓的有效值為非正弦周期電流的有效值為uR=

UR0+

uR1+

uR3U

2

+U

2

+U

2R0

R1

R3有功功率：

P

=

PR=

UR

2/R

=

0.053

W2有效值：UR==102+

–1(3.182

+0.12

)

=

10.25

V=10+

3.18cos(w

t

–

168.7 )+0.1cos(3w

t

–

176.9

)V試計算此電壓的有效值，并求電阻消耗的平均功率。0

1

2

0P

=

P

+P

+P

+…

=

P

+S

Pkk=1￥或例：已知電阻R=2kW

，電阻電壓瞬時值為設(shè)us1和us2

為兩個任意波形的電壓源§10-5

平均功率的疊加電阻消耗的瞬時功率p(t)

=Ri2(t)=R(i1+i2)2=

Ri12

+

Ri22

+2R

i1i2

=

p1+

p2+

2R

i1i2式中p1、p2分別為us1

、us1單獨作用時，電阻所消耗的瞬時功率。一般情況下，

i1i2≠0，因此

p≠p1+p2

，即疊加原理不適用于瞬時功率的計算。當(dāng)us1單獨作用時，流過R的電流為i1(t)us2單獨作用時，流過R的電流為i2(t)依據(jù)疊加原理

i(t)

=

i1(t)

+i2(t)+us2R+us1–

–i設(shè)us1單獨作用時，流過R的電流為i1(t)us2單獨作用時，流過R的電流為i2(t)電阻消耗的瞬時功率p(t)

=Ri2(t)=R(i1+i2)2=

Ri12

+

Ri22

+2R

i1i2

=

p1+

p2+

2R

i1i2如果p(t)是周期函數(shù)，其周期為T，則其平均功率為：∫0Tp(t)dt

=1TP

=∫0T1T1

2 1

2(

p

+

p

+

2R

i

i

)dt∫T1T2R

i1i2

dt0=

P1+P2+一般情況下，

i1i2≠0，因此

P

≠P1+P2

，即疊加原理也不適用于平均功率的計算。+us2R+us1–

–iP

=

1T

∫01m

1

1

2m

2

2T[I

cos(w

t

+q

)+

I

cos(w

t

+q

)]2Rdt+

1T

∫0T2I

I1m

2mcos(w1t

+q1)

cos(w2t

+q2)Rdt=

1T

∫0TI1m22cos

(w

t

+q1

1)Rdt

+

1T

∫0TI2m2

cos2(w2t

+q2)Rdtus2單獨作用時i2(t)=I2mcos(w2t

+q2)電阻消耗的瞬時功率在正弦穩(wěn)態(tài)下us1單獨作用時i1(t)=I1mcos(w1t

+q1)p(t)

=i2R=(i1+i2)2R=[

I1mcos(w1t

+q1)+

I2mcos(w2t

+q2)]2R若w1?w2，且w2=rw1，r為有理數(shù)，則存在一個公周期T，

p(t)的周期即為T

，而T=mT1=nT2,

T1、T2分別為i1(t)

、i2(t)的周期，

m、n均為正整數(shù)。

則平均功率為+us2R+us1–

–i21m22mP=

1

I

2R

+

1

I

2R=I

2R+I

2R

=P

+P1

2

1

2(w1?w2)2P

=

1

I1m22m

1m

2m

1

22R

+

1

I

2R

+

I

I

cos(q

–q

)

R

(w

=

w

)1

2\激勵的頻率相同時不能用疊加原理求功率，頻率不同、且頻率之比是有理數(shù)時可以用疊加原理求功率。即多個不同頻率的正弦電流（電壓）產(chǎn)生的平均功率等于每一正弦電流（電壓）單獨作用時產(chǎn)生的平均功率的和。P

=P1

+P2（2）若w1=w2，則P

=

1T

∫0TI1m22cos

(1

1w

t

+q

)Rdt+

1T

∫0T2I

I1m

2mcos(w1t

+q1)

cos(w2t

+q2)Rdt+

1T

∫0TI2m2

cos2(w2t

+q2)Rdt由公式

2cosacosb=cos(a–b)+cos(a+b)

可知（1）若w1?w2，且w2=rw1

,r為有理數(shù)，則設(shè)u(t)=U0+S

Ukmsin(kw

t+y

uk)i(t)=

I0+S

Ikmsin(kw

t+y

ik)k=1￥瞬時功率0

1

2

0P

=

P

+P

+P

+…

=P

+S

Pkk=1￥N0i(t)u(t)平均功率P

=U0

I0

+S

UkI

k

cosj

kk=1j

k=y

uk–y

ikk=1p=u(t)

i(t)￥非正弦周期電流電路中的平均功率等于恒定分量和各正弦諧波分量的平均功率之和。一切滿足狄里赫利條件的周期函數(shù)都可以展開為傅里葉三角級數(shù)。相當(dāng)于一系列不同頻率的激勵作用于電路。￥例：已知u=15+10cosw

t

+5cos(3w

t+30o)

V，i=2+1.5cos(w

t

–30o)+4cos(2w

t

+60o)

A,求電路消耗的平均功率。0

1解：P

=

P

+P

=15×2+

1

10×1.5cos30o=33.75

W2N0i(t)u(t)u=15+10cosw

t

+5cos3w

t

V，i=2+1.5

cos（w

t

–30o）

A例：已知求電壓有效值、電流有效值。解：U02

+

U12

+

U32U

=I02+

I12I

==2152

+

1（102

+

52）

=17

V=22

+

1

1.522=2.26

Aw

toImp2p3pi例： 已知非正弦周期電流

i的波形如圖所示，試求該電流的有效值和平均值.解:

(1)有效值∫0T

2i

dtTI

=

1

∫0p2pm2(I

sinwt

)

dwt=

12=

Im(2)平均值∫Ti

dt

1

TI0

==

mp∫0I0p2pIm

sinwt

dwt=

1

L1CZ

=

j1/

/

(-j1)

=

￥七、(10分)已知uS(t)=10

+10

cos2t

V，試求電流i

(t)及其有效值。?jW–5W5W

jWI1m·USm+

·2j

Ω310R

5=

US0

=

10

=

2A解：I101

21m5

+

5=

=

1A=R

+

RU

S1mIi1(t)

=

cos

2t

Ai

(t)

=

I0

+

i1(t)

=

2

+

cos

2t

A0

1m4.5

=

2.12AI

=

I

2

+

I

2

/

2

=

22

+

12

/

2=畫出w

=2

rad/s

的相量模型，L1

和C

發(fā)生并聯(lián)諧振，即相量模型+–5WuS21

HH3121

Fi

(t)1L2L

CR15WR2五、(10分)圖示為正弦穩(wěn)態(tài)電路，已知uS1

=4

cos

4

t

V，S1mmU(j2

//

-

j)2

+

(j2

//

-

j)U

￠

=–2W+0.5H–

–+uS1

u(t)+0.25F

uS2uS2

=cos(2t

+45

)V，求u(t)。解：(1)此為多頻正弦穩(wěn)態(tài)電路，利用疊加原理分別求響應(yīng)。畫出u

作用時的相量模型·

4—

0

=

2

2—

-

45

V2

-

j2-

j2=2

cos

(4t

-

45

)

Vu

(t

)

=

2S1w

1

=

4

rad/sU

S1m

=

4—

0

Vm+·2W+–j2W–jW4—

0

V

–US1m

U'·五、(10分)圖示為正弦穩(wěn)態(tài)電路，已知uS1

=4

cos

4

t

V，–2W+0.5H–

–+uS1

u(t)+0.25F

uS2S2mmU(2

//

-

j2)j

+

(2

//

-

j2)U

￠

=(2)

畫出uS2作用時的相量模型w

2

=

2

rad/sU

S2m

=

1—

45

V2—

0

V·1—

45

=j

+

1

-

j21

-

j2=uS2

=cos(2t

+45

)V，求u(t)。解：

u

(t

)

=

2

2

cos

(4t

-

45

)

V2

cos

2t

V2

cos

(4t

-

45

)

++U"m–·2W+––j2W1—

45

Vj

WUS2m·u

(t

)

=

2

cos2t

V(3)疊加

u(t

)

=

u

(t

)

+

u

(t

)

=

2(1)

畫出電路的相量模型；(2)求此電路的戴維南等效電路;(3)

若此電路接一個電阻負(fù)載，電阻值為多少能獲得最大功率?負(fù)載的功率是多少? (4)

在第3問的結(jié)論下，若2

cos

(100t

)V。五、(10分)在如圖交流正弦穩(wěn)態(tài)電路中，u(t

)=22

+2 2

cos

(100t

),則此時負(fù)載電阻的功率是多少？u(t)

=

1

+0=

j2

+

-

j

(1

+

j)Z=

-j2

Vj+

1

-

j-

j·

2—

0UOC

=1W–0.01F0.01H

0.02H+u(t)1W–j2W+2—

0

VjW–

jW解：(1)

電路的相量模型如圖。(2)

電路的戴維南等效電路-

j+

(1

+

j)=

1

+

j

=

2—

45

Ω五、(3)若此電路接一個電阻負(fù)載，電阻值為多少能獲得最大功率?

負(fù)載的功率是多少? (4)

在第3問的結(jié)論下，若2

cos

(100

t

),則此時負(fù)載電阻的功率是多少？u(t

)

=

1

+

2

+

2故有

RL

=

Z0

=

2

Ω(3)

RL與Z0實現(xiàn)模匹配時，獲得最大功率RL(1+j)WZ0+-j2V–解：

(2)

U

OC

=

-j2V,

Z0

=

1

+

j

=

2—

45

ΩILmax=

0.7652

·

2

=

0.828

W\

P

=

I

2

R=

0.765

A(1

+

2)2

+

12=Z0

+

RLU

2I

=(4)20

L0

1

+

2

1

+

2

2·

2

=

·

2

=

2

W2

0 L

R

+

R

UP

=

I

R

=

0

總功率

P

=P0

+

P1

=

1.414+

0.828

=

2.24

W戴維南等效電路直流功率若調(diào)節(jié)電路的參數(shù)或電源的頻率，使電壓與電流同相位，則稱電路發(fā)生了諧振現(xiàn)象。一、RLC串聯(lián)諧振§10-6

RLC

電路的諧振在具有電感和電容的電路中，I?U?UR?UL?jUC?UL?UC?UR?LU?UC?I?U?I?UUR?UC?UL??–+–+–+–+UU

RU

LUCI–jXCRjXL一、RLC串聯(lián)諧振串聯(lián)諧振條件即XL=XC串聯(lián)諧振頻率LuLc

Ciu+–u+R–

R+–u+–或2p

f

L

=

1

2p

f

C

1

f

=

f0=

2p

LCZ

=?

U

I?=U—

Y

u

I—

Yi=

U

Iu—

Y

–

YiZ

=

R

+X2

2阻抗模阻抗角j

=arctan

X

RZ=R+jX=R+j(XL–XC）=

Z‰j1LCw0=

————–+–+–+–+UU

RU

LIUC

–jXCRjXLI?UUR?UC?UL??一、RLC串聯(lián)諧振I0fI0fR串聯(lián)諧振電路的特征

1

wCw

LZ(3)電感和電容兩端電壓大小相等相位相反。L

C當(dāng)X

=X

>R時，電路中將出現(xiàn)分電壓大于總電壓的現(xiàn)象。阻抗模最小,為R。電路電流最大，為U/R。電路呈電阻性,電源供給電路的能量全部被電阻消耗掉。f0f0U?UR?UC0?UL?I?(4)P=UIcosj=UI=I2RQ=

UIsinj=0Z=R+jX=R+j(XL–XC）=

Z‰jRLC串聯(lián)諧振電路的品質(zhì)因數(shù)QQQ

=

——LPU

IRU

IU=

—L—

=

——LURw

LIRI=

——0

—

=

—0—w

LR品質(zhì)因數(shù)Q用于表明電路諧振的程度，無量綱。Q

=

——

=

——

=

——

=

———

=

——|QC|UCIUCP

URI

URI/w0CIRw0CR1可見品質(zhì)因數(shù)Q完全由電路的元件參數(shù)所決定。UC=UL=QUR=QU

串聯(lián)諧振又稱電壓諧振。–+–+–+–+UU

RU

LIUC

–jXCRjXL1LC由w0=————得1

LR

CQ

=CRLuRLciu+–+–u

+–u+–串聯(lián)諧振頻率f0=

1

2p

LC例:

R、L、C串聯(lián)電路如圖，已知R=2W

、L=0.1mH、有效值I,

電感電壓有效值UL及品質(zhì)因數(shù)Q。C=1mF，

電源電壓u=10

2cosw

t

V,

求電路諧振時電流解：I

=

—U

=

—10

=

5AR

2串聯(lián)諧振角頻率51w0=

————

=10

rad/sLCUL=

w0LI=

105×0.1×10–3

×5=50VQ

=

UL

/U

=

5f00II01I02容性感性fR2R1R2>

R10fII00.707I0f2f

f1

0通頻帶f2–

f1IU?UR?UC?UL??–+–+–+–+UU

RU

LUC–jXCRjXL一、RLC串聯(lián)諧振串聯(lián)諧振曲線I0wII00.707I00wHw

wL通頻帶w

H–

wLUI0

=

R1

)2Uw

CR2

+

(w

L

-I

=210I

=

I

,,

U

U 1

)2

2R=wCR2

+

(wL

-21L,H–

R

–

(

R

)2

+=

L

L

LC

wRBW

=

w

H

-

w

L

=

LRBW2pLf

=LR

CQ

=

1f0=

1

2p

LCQBW\

f

=

f021–

R

+

(

R

)2

+=

L

L

LC

w

L,Hw只能為正值RLC串聯(lián)諧振電路的通頻帶BW和fBW例：圖示電路中，電感L2=250mH，其導(dǎo)線電阻R=20W

。如果天線上接收的信號有三個，其頻率：f1=820×103Hz、f2=620×103Hz

、f3=1200×103Hz。要收到f1=820×103Hz信號節(jié)目，電容器的電容C調(diào)變到多大？如果接收的三個信號幅值均為10mV，在電容調(diào)變到對f1發(fā)生諧振時，在L2中產(chǎn)生的三個信號電流各是多少毫安？對頻率為f1的信號在電感L2上產(chǎn)生的電壓是多少伏？L3L2L1C例：圖示電路中，電感L2=250mH，其導(dǎo)線電阻R=20W

。C=150

pFL3L2L1Cw1

C1

2wL

=

1

解：1.

要收聽頻率為f1信號的節(jié)目應(yīng)該使諧振電路對f1發(fā)生諧振，即2.

當(dāng)C=150

pF，L2=250mH時，L2—C電路對三種信號的電抗值不同，如下表所示f/HzXLW820×10312900.5I=U/

Z

mA620×10310000.0151200×1031890XC

W12901660885Z

W2066010000.01UL=(XL/R)U=645

mVL3L2L1C其它頻率在電感上的電壓不到30mV，而對f1信號則放大了64.5倍R=20W

，C=150

pF，

L2=250mHU=10mV設(shè)u=U

mcosw

t二、并聯(lián)諧振CR

LR、L、C

并聯(lián)電路iiRiCiL+u–jwL–

j

1

w

CIRIILCIR+U–CICIRILI相量圖ILIURLICIUI

=

I二、并聯(lián)諧振?=L–j

XCU（

R

1

+

1

+

1

j

X

）?=U

[）]

1

R+XCXL

1

–

1

j（RXCXL

1

–Y=

1

+

j（

1

）并聯(lián)諧振條件：XCXL

1

–

1

=0RY=

1

并聯(lián)諧振頻率即XL=XC或

2p

fL=

1

2p

f

C

1

f

=

f0=

2p

LCjwL–

jw

C

1

IRIILCIR+U–I

=

I

+

I

+

IR

C

L1LCw0=

————并聯(lián)諧振電路特征(1)

電路呈電阻性，Z=R最大，Y最小。二、并聯(lián)諧振0ff0I電流I為最小值，I0=U/R支路電流IL或IC可能會大于總電流I。 所以并聯(lián)諧振又稱電流諧振。I0并聯(lián)諧振曲線jwL–jw

C

1

IRILICIR+U–RLICIUI

=

IRLC并聯(lián)諧振電路的品質(zhì)因數(shù)QILQ

=I0w

0

GLG=

w0C

=

1

Q

=

——

=

——

=

——

=

———

=

——QLUILP

UIRILIRU/w0LU/RRw0LQ

=

——

=

——

=

——

=

———

=

w0CR|QC|UICICP

UIR

IRUw0CU/R或jwLw

C–j

1

IRIILCIR+U–0wUU00.707U0wL

w

0

w

H通頻帶w

H–

wL

IU0

=Gw

LG2

+(w

C-

1

)2U

=

I

20U

= 1

U

,LH=

GCBW

=

w

-

wfBW=

G

2p

CQf\

f

BW

=

0RLC并聯(lián)諧振電路的通頻帶BW和fBW0wII00.707I00w

Hw

wL通頻帶w

H–

wLUI0

=

RUw

CR2

+

(w

L

-

1

)2I

=

1

2I0

,I

=)2,2R

U

U

1

=wCR2

+

(wL

-21L,H–

R

–

(

R

)2

+=

L

L

LC

wRBW

=

w

H

-

w

L

=

LRBW2pLf

=LR

CQ

=

1f0=

1

2p

LCQBW\

f

=

f021–

R

+

(

R

)2

+=

L

L

LC

w

L,Hw只能為正值RLC串聯(lián)諧振電路的通頻帶BW和fBW0wUU00.707U0wL

w

0

w

HCLH=

GBW

=

w

-

wfBW=

G

2p

CQBW\

f

=

f0RLC并聯(lián)諧振電路的通頻帶BW和fBWRLC串聯(lián)諧振電路的通頻帶BW和fBW0wII00.707I0wL

w

0

w

HLLH=

R