測(cè)量平差之二課件

測(cè)量平差

第一期測(cè)量技術(shù)培訓(xùn)班2023/7/20四川礦山安全技術(shù)中心第二章

平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理

2023/7/20四川礦山安全技術(shù)中心§1測(cè)量平差概述§2測(cè)量平差的數(shù)學(xué)模型§3函數(shù)模型的線性化§4最小二乘原理

2023/7/20四川礦山安全技術(shù)中心§2-1測(cè)量平差概述

在測(cè)量工作中，為了確定待定點(diǎn)的高程，需要建立水準(zhǔn)網(wǎng)，為了確定待定點(diǎn)的平面坐標(biāo)，需要建立平面控制網(wǎng)（包括測(cè)角網(wǎng)、測(cè)邊網(wǎng)、邊角網(wǎng)），我們常把這些網(wǎng)稱為幾何模型。每種幾何模型都包含有不同的幾何元素，如水準(zhǔn)網(wǎng)中包括點(diǎn)的高程、點(diǎn)間的高差，平面網(wǎng)中包含角度、邊長(zhǎng)、邊的坐標(biāo)方位角以及點(diǎn)的二維或三維坐標(biāo)等元素。這些元素都被稱為幾何量。2023/7/20四川礦山安全技術(shù)中心測(cè)量平差概述在諸多幾何量中，有的可以直接測(cè)量，但更多的是通過測(cè)定其它一些量來間接求出。如根據(jù)一點(diǎn)的坐標(biāo)，通過直接測(cè)定的角度和距離求定另一些點(diǎn)的坐標(biāo)；根據(jù)一點(diǎn)的高程，通過直接測(cè)定的高差求定另一些點(diǎn)的高程等等。這也充分說明要確定一個(gè)幾何模型，并不需要知道其中所有元素的大小，只需知道其中的一部分就可以了，其它元素可以通過它們之間的函數(shù)描述而確定出來，這種描述所求量與已知量之間的關(guān)系式稱為函數(shù)模型。2023/7/20四川礦山安全技術(shù)中心測(cè)量平差概述在測(cè)量工作中，并不是對(duì)模型中的所有量都進(jìn)行觀測(cè)。假設(shè)對(duì)模型中的幾何量總共觀測(cè)n個(gè)，當(dāng)觀測(cè)值個(gè)數(shù)小于必要觀測(cè)個(gè)數(shù)，即n<t,無法確定模型的解；如果觀測(cè)值個(gè)數(shù)恰好等于必要觀測(cè)個(gè)數(shù)，即n=t,則可唯一地確定該模型，但對(duì)觀測(cè)結(jié)果中含有的粗差和錯(cuò)誤都將無法發(fā)現(xiàn)。為了能及時(shí)發(fā)現(xiàn)測(cè)量中的粗差和錯(cuò)誤，提高觀測(cè)成果的精度和可靠性，通常使觀測(cè)值個(gè)數(shù)大于必要觀測(cè)個(gè)數(shù)，即使n>t，設(shè)：r=n-t式中n是觀測(cè)值個(gè)數(shù)，t是必要觀測(cè)個(gè)數(shù)，r稱為多余觀測(cè)個(gè)數(shù)，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中也叫自由度。2023/7/20四川礦山安全技術(shù)中心測(cè)量平差概述有了多余觀測(cè)，觀測(cè)值之間必然不能滿足理論上的條件方程，即觀測(cè)值產(chǎn)生了矛盾，從而使觀測(cè)值不能完全吻合于幾何模型。為了消除矛盾，通常用另一組被稱為“觀測(cè)值估值（又叫平差值、最或是值、最或然值）來代替觀測(cè)值。任何一個(gè)觀測(cè)值估值都可以看作是一個(gè)改正了的觀測(cè)值，是由觀測(cè)值加上改正數(shù)而得到，觀測(cè)值的改正數(shù)，它們必須在計(jì)算之前被計(jì)算出來。但這種改正數(shù)有無數(shù)多組（如：對(duì)三角形閉合差的分配），但從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度講，只有一組改正數(shù)能得到最優(yōu)解。為求唯一的一組最優(yōu)改正數(shù)，必須附加一定的約束條件，我們把按照某一準(zhǔn)則求得觀測(cè)值新的一組最優(yōu)估值的計(jì)算過程叫平差。

2023/7/20四川礦山安全技術(shù)中心§2-2測(cè)量平差的數(shù)學(xué)模型

在測(cè)量工作中，涉及的是通過觀測(cè)量確定某些幾何量的大小等有關(guān)數(shù)量問題，因此，?？紤]如何建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型及如何解算這些模型。由于測(cè)量觀測(cè)值是一種隨機(jī)變量，所以，平差的數(shù)學(xué)模型與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)上的模型不同，它不僅要考慮描述已知量與待求量之間的函數(shù)模型，還要考慮隨機(jī)模型，在研究任何平差方法時(shí)，函數(shù)模型和隨機(jī)模型必須同時(shí)予以考慮。

2023/7/20四川礦山安全技術(shù)中心函數(shù)模型

1.條件平差法

2.附有參數(shù)的條件平差法

3.間接平差法(參數(shù)平差法)4.附有限制條件的間接平差

5.附有條件的條件平差（綜合平差模型）

2023/7/20四川礦山安全技術(shù)中心1.條件平差法一般而言，如果有n個(gè)觀測(cè)值，必要觀測(cè)個(gè)數(shù)為t，則應(yīng)列出r=n-t個(gè)條件方程，即

如果條件方程為線性形式，則可以直接寫為

將代入，并令

則上式即為條件平差的函數(shù)模型。以此模型為基礎(chǔ)的平差計(jì)算稱為條件平差法。

2023/7/20四川礦山安全技術(shù)中心2.附有參數(shù)的條件平差法在平差問題中，設(shè)觀測(cè)值個(gè)數(shù)為n，必要觀測(cè)個(gè)數(shù)為t，則可以列出r=n-t個(gè)條件方程，現(xiàn)又增設(shè)了u個(gè)獨(dú)立量作為未知參數(shù)，且0<u<t,每增加一個(gè)參數(shù)應(yīng)增加一個(gè)條件方程，因此，共需列出r+u個(gè)條件方程，以含有參數(shù)的條件方程為平差函數(shù)模型的平差方法，稱為附有參數(shù)的條件平差法。

2023/7/20四川礦山安全技術(shù)中心2.附有參數(shù)的條件平差法一般而言，在某一平差問題中,觀測(cè)值個(gè)數(shù)為n，必要觀測(cè)個(gè)數(shù)為t，多余觀測(cè)個(gè)數(shù)為r=n-t，再增選u個(gè)獨(dú)立參數(shù)，0<u<t，則總共應(yīng)列出c=r+u個(gè)條件方程，其一般形式為

如果條件方程是線性的，其形式為

將代入上式，并令

則得

上式為附有參數(shù)的條件平差的函數(shù)模型。

2023/7/20四川礦山安全技術(shù)中心3.間接平差法(參數(shù)平差法)一個(gè)幾何模型可以由t個(gè)獨(dú)立的必要觀測(cè)量唯一的確定下來，因此，平差時(shí)若把這t個(gè)量都選作參數(shù)，即u=t（這是獨(dú)立參數(shù)的上限），那么通過這t個(gè)獨(dú)立參數(shù)就能唯一地確定該幾何模型，換句話說，模型中的所有量都一定是這t個(gè)獨(dú)立參數(shù)的函數(shù)，每個(gè)觀測(cè)量也都可以表達(dá)為所選t個(gè)獨(dú)立參數(shù)的函數(shù)。選擇幾何模型中t個(gè)獨(dú)立量為平差參數(shù)，將每一個(gè)觀測(cè)量表達(dá)成所選參數(shù)的函數(shù)，共列出r+u=r+t=n個(gè)這種函數(shù)關(guān)系式，以此作為平差的函數(shù)模型的平差方法稱為間接平差。

2023/7/20四川礦山安全技術(shù)中心3.間接平差法(參數(shù)平差法)一般而言，如果某一平差問題中,觀測(cè)值個(gè)數(shù)為n，必要觀測(cè)個(gè)數(shù)為t，多余觀測(cè)個(gè)數(shù)為r=n-t，再增選u個(gè)獨(dú)立參數(shù)，

u=t，則總共應(yīng)列出c=r+u=n個(gè)函數(shù)關(guān)系式，其一般形式為

如果這種表達(dá)式為線性的，一般為

將代入上式，并令則上式就是間接平差的函數(shù)模型。

2023/7/20四川礦山安全技術(shù)中心4.附有限制條件的間接平差如果在某平差問題中，選取u>t個(gè)參數(shù)，其中包含t個(gè)獨(dú)立參數(shù)，則多選的s=u-t個(gè)參數(shù)必定是t個(gè)獨(dú)立參數(shù)的函數(shù)，即在u個(gè)參數(shù)之間存在著s個(gè)函數(shù)關(guān)系式。方程的總數(shù)c=r+u=r+t+s=n+s個(gè)，建立模型時(shí)，除了列立n個(gè)觀測(cè)方程外，還要增加參數(shù)之間滿足的s個(gè)條件方程，以此作為平差函數(shù)模型的平差方法稱為附有條件的間接平差。

2023/7/20四川礦山安全技術(shù)中心4.附有限制條件的間接平差其函數(shù)模型的一般形式為

線性形式的函數(shù)模型為將代入，并令

則這就是附有條件的間接平差的函數(shù)模型

2023/7/20四川礦山安全技術(shù)中心5.附有條件的條件平差（綜合平差模型）附有條件的條件平差的基本思想是：對(duì)于一個(gè)平差問題，若增選了u個(gè)參數(shù)，不論u<t、u=t或是u>t，也不論參數(shù)是否獨(dú)立，每增加一個(gè)參數(shù)則肯定相應(yīng)地增加1個(gè)方程，故方程的總數(shù)為r+u個(gè)。如果在u個(gè)參數(shù)中有s個(gè)是不獨(dú)立的，或者說在這u個(gè)參數(shù)中存在著s個(gè)函數(shù)關(guān)系式，則應(yīng)列出s個(gè)的限制條件方程，除此之外再列出c=r+u-s個(gè)一般條件方程，形成函數(shù)模型。2023/7/20四川礦山安全技術(shù)中心5.附有條件的條件平差（綜合平差模型）函數(shù)模型如下

若為線性形式，則為

考慮到，則這就是附有條件的條件平差的函數(shù)模型。2023/7/20四川礦山安全技術(shù)中心平差的隨機(jī)模型

進(jìn)行平差時(shí)除建立其函數(shù)模型外，還要同時(shí)考慮到它的隨機(jī)模型，亦即觀測(cè)向量的協(xié)方差陣：

式中D為L(zhǎng)的協(xié)方差陣，Q為L(zhǎng)的協(xié)因數(shù)陣，P為L(zhǎng)的權(quán)陣，為單位權(quán)方差。函數(shù)模型連同隨機(jī)模型，就稱為平差的數(shù)學(xué)模型。在進(jìn)行平差計(jì)算前，函數(shù)模型和隨機(jī)模型必須首先被確定，前者按上面介紹的方法建立，后者須知道P、Q、D其中之一。一般是按第一章介紹的方法進(jìn)行平差前經(jīng)驗(yàn)定權(quán)?？梢酝ㄟ^平差計(jì)算求出其估值，然后根據(jù)公式求得D的估值。2023/7/20四川礦山安全技術(shù)中心§2-3函數(shù)模型的線性化

設(shè)有函數(shù)按臺(tái)勞級(jí)數(shù)在近似值處展開，略去二次和二次以上各項(xiàng)，于是有

若令

則函數(shù)的線性形式為2023/7/20四川礦山安全技術(shù)中心條件平差法線性化后的形式

對(duì)照線性化一般形式，則有

令

有

上式即為條件平差的線性函數(shù)模型。

2023/7/20四川礦山安全技術(shù)中心附有參數(shù)的條件平差線性化后的形式對(duì)照線性化一般形式，則有

令

有

上式即為附有參數(shù)的條件平差的線性函數(shù)模型。2023/7/20四川礦山安全技術(shù)中心間接平差法線性化后的形式對(duì)照線性化一般形式，則有

令

有

上式即為間接平差法平差的線性函數(shù)模型。2023/7/20四川礦山安全技術(shù)中心附有條件的間接平差線性化后的形式因?yàn)榱顒t線性化后的模型為

2023/7/20四川礦山安全技術(shù)中心附有條件的條件平差線性化后的形式對(duì)照線性化一般形式，則有附有條件的條件平差的線性函數(shù)模型。2023/7/20四川礦山安全技術(shù)中心§2-4最小二乘原理

如果只對(duì)幾何模型中的必要元素進(jìn)行觀測(cè)，而沒有多余觀測(cè)，則在觀測(cè)值之間不可能產(chǎn)生任何函數(shù)關(guān)系式，也不存在平差問題。只有在有了多余觀測(cè)的情況下，才會(huì)產(chǎn)生平差問題。例如為確定一個(gè)三角形的大小和形狀，必要觀測(cè)數(shù)為t=3，如果實(shí)際觀測(cè)了一邊三角（n=4）,則存在一個(gè)多余觀測(cè)（r=n-t=1）?，F(xiàn)以一邊和其中任意兩個(gè)角作為一個(gè)組合來確定三角形的大小和形狀，則有三種組合，由于觀測(cè)值不可避免地含有偶然誤差，三種組合所計(jì)算的結(jié)果將出現(xiàn)微小差別，這說明在具有多余觀測(cè)的情況下，將無法唯一的確定模型的解。

2023/7/20四川礦山安全技術(shù)中心§2-4最小二乘原理從函數(shù)模型來考慮，由于存在一個(gè)多余觀測(cè)，三個(gè)內(nèi)角真值之間就存在一個(gè)條件方程，即：考慮到，代入上式得

式中

稱為條件方程的閉合差或常數(shù)項(xiàng)，它是可以根據(jù)觀測(cè)值計(jì)算出來的。由于觀測(cè)值的真值不知道，所以真誤差是未知量。要確定真誤差的值，顯然其解是不唯一的。要確定滿足函數(shù)模型的唯一的一組解，如果不另外附加一定的約束條件，那是不可能的。到底應(yīng)該采用什么樣的約束條件，才能使模型得到一組具有最佳性質(zhì)的解呢？2023/7/20四川礦山安全技術(shù)中心§2-4最小二乘原理在測(cè)量工作及其它科學(xué)工程領(lǐng)域，應(yīng)用最早也最廣泛的就是所謂的“最小二乘準(zhǔn)則”：在滿足最小二乘準(zhǔn)則下求得的真誤差稱為估值，用表示，測(cè)量工作中習(xí)慣上用符號(hào)代替，因此最小二乘準(zhǔn)則常表達(dá)為：

由于根據(jù)最小二乘準(zhǔn)則可以求得真誤差估值，也就可以求得觀測(cè)值的估值，其計(jì)算公式為

式中稱為觀測(cè)值的改正數(shù)，稱為觀測(cè)值的估值，或平差值、最或然值。

2023/7/20四川礦山安全技術(shù)中心§2-4最小二乘原理當(dāng)為非對(duì)角陣，表示觀測(cè)值相關(guān)，按進(jìn)行的平差稱為相關(guān)觀測(cè)平差。當(dāng)為對(duì)角陣，表示觀測(cè)值不相關(guān)，此時(shí)最小二乘準(zhǔn)則可表示為純量形式，即：

特別