第三章函數(shù)概念與性質(zhì)3 2基本課時(shí)2最大小值

成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854聯(lián)系微信fjmath加入百度網(wǎng)盤群4000G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存，自動(dòng)更新，永不過期第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì)3.2

函數(shù)的基本性質(zhì)課時(shí)2 函數(shù)的最大（?。┲祵W(xué)習(xí)目標(biāo)理解函數(shù)的最大值和最小值的概念及其幾何意義.（數(shù)學(xué)抽象）能借助函數(shù)的圖象和單調(diào)性，求一些簡單函數(shù)的最值.（數(shù)學(xué)運(yùn)算）能利用函數(shù)的最值解決有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題.（數(shù)學(xué)建模）自主預(yù)習(xí)·悟新知合作探究·提素養(yǎng)隨堂檢測(cè)·精評(píng)價(jià)科考隊(duì)對(duì)“早穿棉襖午穿紗，圍著火爐吃西瓜”這一獨(dú)特的沙漠氣候進(jìn)行科學(xué)考察，某天氣溫隨時(shí)間的變化曲線如圖所示./<>m

.你能寫出該曲線的單調(diào)區(qū)間嗎？[答案]

單調(diào)遞增區(qū)間為<>m

6,17

/<>m

；單調(diào)遞減區(qū)間為<>m

0,6

/<>m

，

<>m

17,24該天的最高氣溫和最低氣溫分別是多少？[答案]

<>m25℃/<>m

，

<>m?5℃/<>m

.設(shè)該天某時(shí)刻的氣溫為??m><

??

m></

，則??m><

??

m></

在哪個(gè)范圍內(nèi)變化？[答案]

<>m?5

≤

??

?? ≤

25/<>m

.從函數(shù)圖象上看，氣溫的最大值、最小值在什么時(shí)刻取得？[答案]

<>m17

h/<>m

時(shí)，

<>m6

h/<>m

時(shí).1.判斷下列結(jié)論是否正確.（正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）（1）

若對(duì)任意??

∈

??

，都有??

?? ≤

??

，則??

是函數(shù)??

??

的最大值.(

×

)若函數(shù)有最值，則最值一定是其值域中的一個(gè)元素.(

√

)若函數(shù)的值域是確定的，則它一定有最值.(

×

)函數(shù)的最大值一定比最小值大.(

×

)若函數(shù)??

??

在區(qū)間[?1,2]

上單調(diào)遞減，則函數(shù)??

??

在區(qū)間[?1,2]

上的最大值為??

?1

.(

√

)2.函數(shù)??

?

??

??

在[?2,2]

上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的最小值、最大值分別是(<>m

m<>

m<>/

m><

m></

m><

m></

m<>

m<>/

m><

m></<>m?/<>m?A.

?1m></

，

0

B.

0

，

2

C.

?1

，

2

D.

，

2<>m

/<>m10@@

C

).[解析]

由圖可得，函數(shù)??

??

在??

?

?2

處取得最小值，最小值為?1

，在??

?

1

處取得最大值，最大值為2，故選C.3.函數(shù)??=???

?2??+2

在區(qū)間[?2,3]

上的最大值、最小值分別是(12@@

B

).D.以上都不對(duì)A.

10

，

5

B.

10

，

1

C.

5

，

1[解析]

因?yàn)??

=

???

?

2??

+2

= ??

?

1

?

+

1

，且??

∈

[?2,3]

，所以當(dāng)??

=

1

時(shí)，

?????

=

1

；當(dāng)??

=

?2

時(shí)，

?????

= ?2

?

1

?

+

1

=

10

.故選B.??4.函數(shù)??

??

=

，

??

∈

[1,2]

，則??

??

的最大值為

，最小值為

.1?? <>m

/><m

?[解析]

∵

??

?? =

?

在區(qū)間[1,2]

上單調(diào)遞減，

∴

??

2?≤

??

?? ≤

??

1

，即?

≤

??

?? ≤

1

.探究1

函數(shù)的最大值、最小值觀察函數(shù)圖象：問題1：.函數(shù)<>m??

??

/<>m

的定義域是什么？[答案]

<>m[?4,7]/<>m

.問題2：.函數(shù)??m><

??

m></

圖象的最高點(diǎn)及最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是什么？[答案]

<>m3/<>m

，

<>m?2/<>m

.問題3：.函數(shù)??m><

=

??

??

m></

的值域是什么？[答案]

<>m[?2,3]/<>m

.新知生成≤??/<>m

；（2）存在<>m???

∈??/<>m

，使一般地，設(shè)函數(shù)<>m??=??

??

/<>m

的定義域?yàn)?lt;>m??/<>m

.如果存在實(shí)數(shù)<>m??/<>m

滿足：（1）對(duì)于任意<>m??∈??/<>m

，都有<>m??

??得??m><

???

=

??/<>m

.那么，稱<>m??/><m

是函數(shù)<>m??

=

??

??

/<>m

的最大值.≥??/<>m

；（2）存在<>m???

∈??/<>m

，使如果存在實(shí)數(shù)<>m??/<>m

滿足：（1）對(duì)于任意<>m??∈??/<>m

，都有<>m??

??得??m><

???

=

??/<>m

.那么，稱<>m??/><m

是函數(shù)<>m??

=

??

??

/<>m

的最小值.新知運(yùn)用一、圖象法求函數(shù)的最值???,

?1

≤

??

≤

1,=

??

，??

?

1,例1

已知函數(shù)<>m??

?? m<>/

求??m><

??/<>m

的最大值、最小值.?[解析]

作出函數(shù)??

??

的圖象（如圖）.=

??

?1 =

1

.由圖象可知，當(dāng)??

=

?1

時(shí)，

??

??

取最大值，最大值為??

1當(dāng)??

=

0

時(shí)，

??

??

取最小值，最小值為??

0 =0

，故??

??

的最大值為1，最小值為0.方法總結(jié)圖象法求函數(shù)最值的一般步驟二、利用函數(shù)的單調(diào)性求最值???/<>m<>m

m<>/例2

已知函數(shù)??

?? =

???

，

??

∈

[3,5]

.m><判斷函數(shù)<>m??

??

/<>m

的單調(diào)性并證明；求函數(shù)<>m??

??

/<>m

的最大值和最小值.[解析]

（1）

??

??

是增函數(shù)，證明如下：任取???

，

???

∈

[3,5]

且???

<

???

，

??

???

?

??

???=

????

?

????

=

?

?????

????

????

????

????，因?yàn)?

≤

???

<

???

≤

5

，所以???

?

???

<

0

，

???

+

2

???

+

2

>

0

，所以??

???

???

???

<

0

，即??

???

<

??

???

.所以??

??

在

[3,5]

上單調(diào)遞增.（2）由（1）可知，

??

??

在

[3,5]

上單調(diào)遞增，則??

??

???

=

??

5 =

?

，

??

??

???

=

??

3 =

?

.?

?方法總結(jié) （1）若函數(shù)??m><

=

??

??

m></

在區(qū)間[m><

??,

??]m></

上單調(diào)遞增，則??m><

??

m></

的最大值為??m><

??

m></

，最小值為??m><

??

m></

.（2）若函數(shù)m??><

=

??

??

m></

在區(qū)間m[><

??,

??]m></

上單調(diào)遞減，則m??><

??

m></

的最大值為m??><

??

m></

，最小值為m??><

??

m></

.若函數(shù)??m><

=

??

??

m></

有多個(gè)單調(diào)區(qū)間，那就先求出各區(qū)間上的最值，再從各區(qū)間的最值中決定出最大（小）值.函數(shù)的最大（?。┲凳钦麄€(gè)值域范圍內(nèi)的最大（小）值.若函數(shù)定義域?yàn)殚_區(qū)間，則不但要考慮函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性，還要考慮端點(diǎn)處的函數(shù)值或者發(fā)展趨勢(shì).三、函數(shù)最值的實(shí)際應(yīng)用例3

某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的銷售經(jīng)驗(yàn)得到有關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品<>m??/<>m（百臺(tái)），其總成本為<>m??

??

/<>m

（萬元），其中固定成本為2.8萬元，并且每生產(chǎn)1百臺(tái)的生產(chǎn)成本為1萬元（總成本＝固定成本+m></m><

生產(chǎn)成本）.銷售收入??m><

??

m></

（萬元）滿足：

??m><

??

=??0.4???

+

4.2??,

??

∈

??,0

≤

??

≤

5,11,

??

∈

??,

??

>

5，/<>m

假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡（即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉），根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律，請(qǐng)完成下列問題：寫出利潤函數(shù)<>m??=??

??

/<>m

的解析式（利潤＝銷售收入－總成本）.工廠生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，可使盈利最多？[解析]

（1）由題意得??

??=

2.8

+??

，所以??

?? =

??

?? ?

??

??=

??0.4???

+

3.2??

?

2.8,

??

∈

??,0

≤

??

≤

5,8.2

???，??

∈

??,

??

>

5.（2）當(dāng)??

>

5

時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)??

??

單調(diào)遞減，所以??

?? <

??

5 =

3.2

（萬元），當(dāng)0

≤

??

≤

5

時(shí)，函數(shù)??

?? =

?0.4

??

?

4

?

+

3.6

，當(dāng)??

=

4

時(shí)，

??

??

有最大值，最大值為3.6（萬元），所以當(dāng)工廠生產(chǎn)4百臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，可使盈利最大，最大盈利為3.6萬元.方法總結(jié) （1）解實(shí)際應(yīng)用題時(shí)，要弄清題意，從實(shí)際出發(fā)，引入數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型，列出函數(shù)關(guān)系式，分析函數(shù)的性質(zhì)，從而解決問題，要注意自變量的取值范圍.（2）在實(shí)際應(yīng)用問題中，最大利潤、用料最省等問題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值來解決，本題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，利用配方法和分類討論思想使問題得到解決.1.已知函數(shù)<>m??=????1+2/<>m

，畫出函數(shù)的圖象，確定函數(shù)的最值情況，并寫出值域.[解析]

??

=?∣

??

?

1

∣

+2

=

?3???,

??

≥

1,??

+

1，??

<

1,圖象如圖所示，由圖象知，函數(shù)??=????1+2

的最大值為2，沒有最小值，所以其值域?yàn)??∞,2].2.已知函數(shù)m><??

??

=????+3

??∈[2,4]m<>/

，求函數(shù)><m??

??

/<>m

的最大值和最小值.[解析]

設(shè)???

，

???是[2,4]

上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且???

<

???

，?

?

?所以

??

???

???

???

= +3

? +3

=

??

=

?

????

??

????????

????

????

????

????

????=?

?????

????

????，因?yàn)?≤???

<???

≤4

，所以???

????

<0

，1????

<0

，1????

<0

，所以??

???

???

???

<

0

，即??

???

<

??

???

，所以??

?? 在[2,4]

上單調(diào)遞增，所以??

??

???

=

??

4 =

1

，

??

??

???

=

??

2 =

?3

.3.將進(jìn)貨單價(jià)為40元的商品按50元一個(gè)出售時(shí)，能賣出500個(gè)，已知這種商品每漲價(jià)1元，其銷售量就減少10個(gè)，為得到最大利潤，售價(jià)應(yīng)為多少元？最大利潤為多少？[解析]

設(shè)售價(jià)為

??

元，利潤為

??

元，單個(gè)漲價(jià)

???50

元，銷量減少

10???50

個(gè)，銷量為500?10???50

=1000?10??

個(gè)，則

??=

???40 1000?10??

=?10

???70

2 ≤9000

.故當(dāng)

??=70

時(shí)，

??

max

=9000

.即售價(jià)為70元時(shí)，利潤獲得最大，最大利潤為9000元.探究2

二次函數(shù)的最值問題如圖，用一段長為<>m50

m/<>m

的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長<>m25

m/<>m

.問題1：.如何表示矩形的面積？[答案]

設(shè)<>m????/<>m

為<>m??/<>m

米，矩形的面積為<>m??/<>m

，則<>m????/<>m

為<>m

50

?

2??

/<>m

米，由<>m0

<

50

?

2??

≤

25/<>m

,得<>m12.5

≤

??

<

25/<>m

，所以矩形的面積??m><

=

??

50

?2?? 12.5

≤

??

<

25

/<>m

.問題2：.如何求圍成的矩形菜園<>m????????/<>m

的面積的最大值？<>m

m></[答案]

矩形的面積??

=

?2???

+

50??

=

?2

??

?

12.5

?

+

312.5

，所以當(dāng)<>m??=12.5/<>m

時(shí)，矩形面積<>m??/<>m

取得最大值，最大值為312.5.問題3：.你能歸納求二次函數(shù)最值的方法嗎？[答案]

求解二次函數(shù)最值問題的方法：確定對(duì)稱軸與拋物線的開口方向并作圖.在圖象上標(biāo)出定義域的位置.觀察函數(shù)圖象，通過函數(shù)的單調(diào)性寫出最值.新知生成二次函數(shù)??

=

?????

+

????

+

??

??

≠

0

具有對(duì)稱性、增減性、最值等性質(zhì)，即對(duì)于??

=

?????

+

????

+m><

/<>m

<>m??

=

?? ??

+

??

?+

???????

??/<>m

，??/><m①其圖象是拋物線，關(guān)于直線??=??

成軸對(duì)稱圖形；m><?

??

?②若<>m??>0/<>m

，則函數(shù)在區(qū)間<>m(?∞,???]/><m

上單調(diào)遞減，在區(qū)間<>m[???

,+∞)/<>m

上單調(diào)遞增；③若<>m??<0/<>m

，則函數(shù)在區(qū)間><m(?∞,???]/><m

上單調(diào)遞增，在區(qū)間<>m[???

,+∞)/<>m

上單調(diào)遞減；④若<>m??>0/><m

，則當(dāng)<>m??=???/><m

時(shí)，<>m??/<>m

有最小值，為><m?

?????????/><m

，若<>m??<0/<>m

，則當(dāng)<>m??=???/><m

時(shí)，<>m??/<>m

有最大值，為><m????????/<>m

.新知運(yùn)用例4

（1）已知函數(shù)m><??

??=

???

?

2??

?

3

，若??

∈

[0,2]

，求函數(shù)??

??

的最值；m></

<>m

/<>m

<>m

/<>m（2）已知函數(shù)??

?? =

???

?

2??

?

3

，若??

∈

[??,

??

+

2]

，求函數(shù)??

??

的最值；m><

/<>m

<>m

/<>m

<>m

/<>m（3）已知函數(shù)??m><

?? =

??

?2 ??

?

3/<>m

，求函數(shù)<>m??

??

/<>m

的最值.方法指導(dǎo)

結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性和求最值的方法進(jìn)行求解.[解析]

（1）∵函數(shù)??

?? =

???

?

2??

?

3

的圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線??

=

1

，∴

??

??

在[0,1]

上單調(diào)遞減，在[1,2]

上單調(diào)遞增，且??

0 =

??

2

.∴

??

??

???

=

??

0 =

??

2 =

?3

，

??

??

???

=

??

1 =

?4

.（2）由題意得函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線??=1

，①當(dāng)1≥??+2

，即??≤?1

時(shí)，??

??

???

=

??

?? =

???

?2??

?3

，??

??

???

=

??

??

+2 = ??

+2

?

?2

??

+2 ?3

=

???

+2??

?3

.②當(dāng)?????

≤1<??+2

，即?1<??≤0

時(shí)，???

??

???

=

??????

??

???

=

??

1=

???

?

2??

?

3

，=

?4

.③當(dāng)??≤1<?????

，即0<??≤1

時(shí)，???

??

???

=

??

??

+2 =

???

+

2??

?

3

，??

??

???

=

??

1 =

?4

.④當(dāng)1<??，即??>1

時(shí)，??

??

???

=

??

??

+2 =

???

+

2??

?

3

，??

??

???

=

??

?? =

???

?

2??

?

3

.設(shè)函數(shù)??

??

的最大值為??

??

，最小值為??

??

，則??

??=

????

?

2??

?

3,

??

≤

0,???

+2??

?

3,

??

>

0,??

?????

+2???

3,

??

≤

?1,=

??4,

?1<

??

≤

1,???

?2???

3,

??

>

1.（3）設(shè)

??

=

??

??

≥

0

，則??

?2 ??

?

3

=

???

?

2??

?

3

.由（1）知??

=

???

?

2??

?3

??

≥

0

在[0,1]

上單調(diào)遞減，在[1,

+∞)

上單調(diào)遞增.∴當(dāng)??=1

，即??=1

時(shí)，??

??

???

=?4

，無最大值.方法總結(jié)

1.二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值與二次函數(shù)圖象的開口、對(duì)稱軸有關(guān)，求解時(shí)要注意這兩個(gè)因素.2.圖象直觀，便于分析、理解；配方法說理更嚴(yán)謹(jǐn)，一般用于解答題.設(shè)函數(shù)??

?? =

???

?

2????

+

3

，

??

∈

??

.m><

/<>m

<>m

/<>m/<>m

的表達(dá)式；（1）

當(dāng)<>m??∈[?1,1]/<>m

時(shí)，求函數(shù)<>m??

??

/<>m

的最小值<>m??

??[解析]

∵

??

?? =

???

?

2????

+

3

，∴對(duì)稱軸為直線??=??

.當(dāng)??

≤

?1

時(shí)，

??

??

在[?1,1]

上單調(diào)遞增，∴

??

??

???

=

??

?1 =

4

+2??

；當(dāng)??

≥

1

時(shí)，

??

??

在[?1,1]

上單調(diào)遞減，∴

??

??

???

=

??

1 =

4

?2??

；當(dāng)?1

<

??

<

1

時(shí)，

??

??

在(?1,

??]

上單調(diào)遞減，在[??,

1)

上單調(diào)遞增，∴

??

??

???

=

??

?? =

3

?

???

.綜上所述，??

??4

+

2??,

??

≤

?1,=

?3?

???,

?1

<

??

<

1,

4

?

2??,

??

≥

1.（2）

求函數(shù)<>m??

??

/<>m

的最大值.[解析] 當(dāng)??

≤

?1

時(shí)，

??

?? =

4

+2??

，

??

??

???

=

??

?1 =

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時(shí)，

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