第6章-線性二次型最優(yōu)控制系統(tǒng)課件

第6章線性二次型最優(yōu)控制系統(tǒng)如果系統(tǒng)是線性的，性能指標是狀態(tài)變量和控制變量的二次型函數(shù)，則把這種動態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題稱為線性二次型最優(yōu)控制問題，簡稱線性二次型問題（即LQ問題）。線性二次型問題的最優(yōu)解可以用統(tǒng)一的解析式表示，且可得到一個簡單的線性狀態(tài)反饋控制律而構成閉環(huán)控制，這對最優(yōu)控制在工程應用中的實現(xiàn)具有十分重要的意義；同時，線性二次型問題還可以兼顧系統(tǒng)性能指標（例如快速性、準確性、穩(wěn)定性和靈敏度等）的多方面因素。因此，線性二次型問題受到重視和得到相應發(fā)展，成為現(xiàn)代控制理論及應用中最重要的成果之一。16.1線性二次型最優(yōu)控制系統(tǒng)

6.2有限時間狀態(tài)調節(jié)問題6.3無限時間狀態(tài)調節(jié)問題26.1線性二次型最優(yōu)控制系統(tǒng)

線性二次型最優(yōu)控制問題的提法1、定義：線性二次型最優(yōu)控制系統(tǒng)，是指系統(tǒng)的狀態(tài)方程為線性方程，性能指標是狀態(tài)變量和控制變量的二次型函數(shù)的系統(tǒng)。2、問題的提法：已知被控系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為：式中：3用表示期望輸出向量，則偏差向量為求最優(yōu)控制，使下列二次型性能指標最小。式中—半正定常數(shù)矩陣(終端加權矩陣)—半正定矩陣(時變的狀態(tài)加權矩陣)—正定矩陣(時變的控制加權矩陣)始端時刻t0和終端時刻tf是固定的。43、二次型性能指標中各項的物理意義：(1)是末值項，稱為終端代價。它表示在給定的終端時刻tf到來時，系統(tǒng)的終端狀態(tài)x(tf)接近于預定狀態(tài)的程度。(2)表示在控制過程中的綜合指標。其中表示在區(qū)間內對誤差e(t)的要求，用它來度量整個控制期間系統(tǒng)的實際輸出與期望輸出之間的偏差；是對控制量的限制，它表示在工作過程中由控制u(t)產生的能量損耗。54、加權矩陣的意義：(1)性能指標的加權矩陣F,Q(t),R(t)是衡量偏差分量和控制分量的加權矩陣，可根據(jù)各分量的重要性靈活選取。F,Q(t),R(t)中各元素的數(shù)值大小沒有絕對意義，它們之間的相對大小是有實際意義的。對角線上數(shù)值相對大的元素表示所對應分量受到較嚴格的限制。(2)采用時變矩陣Q(t),R(t)更能適應各種特殊情況。例如：t=t0時刻e(t0)很大，但偏差在系統(tǒng)開始前形成，并不反映系統(tǒng)性能的好壞。所以，Q(t)可開始取值小，而后取值大。65、線性二次型問題的本質：6、線性二次型問題的三種重要情形：用不大的控制，來保持較小的誤差，以達到能量和誤差綜合最優(yōu)的目的。(1)狀態(tài)調節(jié)問題如果，則有性能指標演變?yōu)榭刂迫蝿諝w結為：用不大的控制能量，使狀態(tài)x(t)保持在零值附近。這類問題稱為狀態(tài)調節(jié)器問題。7(2)輸出調節(jié)器問題在誤差向量中，如果，則有性能指標演變?yōu)榭刂迫蝿諝w結為：用不大的控制能量，使系統(tǒng)輸出y(t)盡可能保持在零值附近。這類問題稱為輸出調節(jié)器問題。8(3)跟蹤問題如果，則，性能指標仍為控制任務歸結為：用不大的控制能量，使系統(tǒng)輸出y(t)跟蹤期望輸出的變化，稱之為輸出跟蹤問題。若C(t)=I，則可稱之為狀態(tài)跟蹤問題。9對于狀態(tài)調節(jié)問題，按終端時刻tf有限或無限，將狀態(tài)調節(jié)問題分為有限時間狀態(tài)調節(jié)問題和無限時間狀態(tài)調節(jié)問題，即(1)終端時刻，有限時間狀態(tài)調節(jié)問題;(2)終端時刻，無限時間狀態(tài)調節(jié)問題。106.2有限時間狀態(tài)調節(jié)問題

設線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為假設控制向量u(t)不受約束，終端時刻tf固定為一有限值，求最優(yōu)控制u*(t)

，使系統(tǒng)的二次型性能指標為最小值。物理意義：以較小的控制能量為代價，使狀態(tài)保持在零值附近。

116.2.1用最小值原理求解因控制變量u(t)不受約束，故可用控制方程計算：構造哈密頓函數(shù)為正則方程組：12寫成矩陣形式：邊界條件為：上述方法難于計算出λ(t)

，且只能形成開環(huán)順序控制。新的思路：確定x(t)與λ(t)的關系，代入式(6-6)形成狀態(tài)反饋136.2.2用Riccati方程求解1、推導u*(t)與x(t)的關系式利用狀態(tài)轉移矩陣可見協(xié)狀態(tài)

λ(t)和狀態(tài)x(t)之間存在線性關系，其中推導得：將(6-10)代入(6-6)得其中：為反饋增益矩陣。14++控制器裝置圖6-1線性狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)2、計算P(t)的實用算法邊界條件：

P(t)應滿足黎卡提（Riccati）微分方程(6-13)153、四個性質性質1：若P(t)是Riccati方程式的解，且P(tf)=F，則P(t)對于所有的都是對稱的，即P(t)=PT(t)。性質2：最優(yōu)控制至少使J取局部最小值。16性質3：如果狀態(tài)調節(jié)問題有解，則最優(yōu)控制是唯一的，且由式確定。性質4：對于給定的線性系統(tǒng)式和性能指標在最優(yōu)控制時，性能指標最小值為：174、有限時間狀態(tài)調節(jié)的控制規(guī)律對于線性時變系統(tǒng)及其性能指標式中：終端時刻tf固定；控制變量u不受約束；F和Q(t)是正半定矩陣；R(t)為正定矩陣。則最優(yōu)控制存在且唯一，表達式為式中：對稱矩陣是Riccati微分方程18的唯一解，且滿足邊界條件而最優(yōu)狀態(tài)x*是下列微分方程的解性能指標最小值為19幾點說明：1)最優(yōu)控制規(guī)律是一個狀態(tài)線性反饋規(guī)律，它能方便地實現(xiàn)閉環(huán)最優(yōu)控制；2)由于P(t)是非線性微分方程的解，通常情況下難以求得解析解，需要由計算機求出其數(shù)值解，又因為其邊界條件在終端處，所以需要逆時間方向求解，因此應在過程開始之前就將P(t)解出，存入計算機以供過程使用；3)只要控制時間[t0,tf]是有限的，P(t)就是時變的（即使狀態(tài)方程和性能指標J是定常的），最優(yōu)反饋系統(tǒng)將成為線性時變系統(tǒng)；204)當控制時間[t0,tf]為有限時間時，狀態(tài)調節(jié)器最優(yōu)解的存在不要求系統(tǒng)能控，這是因為所采用的性能指標是為了保持系統(tǒng)的狀態(tài)x(t)接近零狀態(tài)。當控制時間[t0,tf]為有限時間時，即使系統(tǒng)不能控，不能控狀態(tài)對性能指標的影響也是有限的，在[t0,tf]區(qū)間中性能指標不至于變?yōu)闊o窮，故最優(yōu)控制存在。21例6-1已知系統(tǒng)狀態(tài)方程、初始狀態(tài)和性能指標為其中：q>0,r>0,a>0,tf固定。試求最優(yōu)控制u*，使上述性能指標最小。解：法1：直接應用最小值原理。法2：應用Riccati方程求解。226.3無限時間狀態(tài)調節(jié)問題（※）

定義:如果終端時刻，系統(tǒng)及其性能指標中的各矩陣均為常數(shù)矩陣，則這樣的狀態(tài)調節(jié)器稱為無限長時間狀態(tài)調節(jié)器。一、問題的描述設線性時不變系統(tǒng)為求最優(yōu)控制u*(t)

，使系統(tǒng)的二次型性能指標為最小值。23幾點說明：1、對于無限時間狀態(tài)調節(jié)器，通常在性能指標中不考慮終點指標，即取終端加權矩陣F=0。2、對于無限時間的狀態(tài)調節(jié)問題，要求系統(tǒng)是完全能控的。當不可控的狀態(tài)不穩(wěn)定且又包含于J之中時，便會使J→∞，從而使u*(t)不存在。例：設系統(tǒng)狀態(tài)方程及初始條件為性能指標求最優(yōu)控制u*(t)

及最優(yōu)性能指標J*。243、卡爾曼證明了對于形如的線性定常系統(tǒng)和形如的性能指標，當系統(tǒng)完全能控時，存在且唯一，并等于常陣P，即式(6-13)所示的Riccati微分方程變?yōu)榇鷶?shù)方程此時的反饋矩陣是常數(shù)矩陣。25二、時的狀態(tài)調節(jié)控制規(guī)律（※）對于完全能控的線性時不變系統(tǒng)：如果u不受約束，矩陣Q和R都是正定常數(shù)矩陣，則最優(yōu)控制存在且唯一，即式中：是正定常數(shù)矩陣。它是黎卡提代數(shù)方程其性能指標為26的解。最優(yōu)軌線x*(t)滿足下列線性時不變齊次方程最優(yōu)性能指標為27幾點說明：1、在控制規(guī)律中，要求系統(tǒng){A,B}完全能控且矩陣Q正定。這是保證時狀態(tài)調節(jié)問題有解的充分條件?？梢宰C明，滿足{A,B}完全能控且Q為正定矩陣的條件，閉環(huán)系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的。2、上述條件可以進一步放寬，得到關于無限長時間狀態(tài)調節(jié)問題的更一般的結論。28無限長時間狀態(tài)調節(jié)問題的一般結論：定理1：設{A,B}能被穩(wěn)定，{A,C}能檢測，R>0，則存在半正定矩陣，使得(1)對任意的F，當時，P(t)→P；(2)P是下述黎卡提代數(shù)方程的唯一半正定解(3)矩陣是穩(wěn)定的。定理2：設{A,B}能被穩(wěn)定，{A,C}能檢測，R>0，則線性無限時間狀態(tài)調節(jié)問題的最優(yōu)控制為最優(yōu)性能指標為若狀態(tài)變量x中的不能控分量xi，在t→∞時，有xi

→0，則稱系統(tǒng){A,B}是能被穩(wěn)定的。如果不能觀測的狀態(tài)xi是漸近穩(wěn)定的，則稱系統(tǒng){A,C}為能檢測的。29例6-4(※)已知系統(tǒng)狀態(tài)方程、初始狀態(tài)和性能指標為其中：a>0,a-b2

>0。求最優(yōu)控制u*，使上述性能指標最小。解：30經常不斷地學習,你就什么都知道。你