2023年4月廣東深圳市2023屆高三高考二模數(shù)學試題卷（含答案）

試卷類型：A

2023年深圳市高三年級第二次調研考試

數(shù)學

本試卷共6頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答題前，考生請務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、準考證號填寫在答

題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼橫貼在答題卡

右上角”條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信

息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)

域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案：不準使用鉛筆和

涂改液。不按以上要求作答的答案無效。

4.考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.已知集合力={2,0},8={2,3},則Qu，(4n8)=

A.{0}B.{2}C.{3}D.{013}

3*r<1

2.已知函數(shù)/(x)=<'、；則，(〃2))=

logjX,X>l,

A.2B.-2D，

3.設等差數(shù)列{%}的前”項和為S.,若Mo=20,$20=10,則%=

A.0B.-10C.-30D.-40

4.設表面積相等的正方體、正四面體和球的體積分別為匕、匕和匕，則

A.匕＜匕＜匕B.匕<匕"C.匕＜匕＜匕D.匕＜匕＜匕

5.已知△0/8中，OC=CA,OD=2DBHO與8c相交于點M,OM=xOA+yOB>

則有序數(shù)對（x,y）=

A.（另）B.（*）c?品

2023年深圳市高三年級第二次調研考試數(shù)學試題第I頁共6頁

6.從1,2,3,4,5中隨機選取三個不同的數(shù)，若這三個數(shù)之積為偶數(shù)，則它們之和大

于8的概率為

1245

A-R_r-D.-

3399

7.設橢圓C：m+[=l(a>6>0)的左、右焦點分別為耳，瑪，直線/過點耳?若點6

ab

關于/的對稱點尸恰好在橢圓C上，且不?麗=!]，則C的離心率為

2

12-1「2

A.]B,-C.5D.工

8.已知￡>0,x,yG(-—,—),且e"'siny=e，sinx,則下列關系式恒成立的為

44

A.coscosyB.cosx》cosyC.sinsinyD.sinx》siny

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分。

9.為了研究y關于X的線性相關關系，收集了5組樣本數(shù)據(jù)(見下表)：

X12345

y0.50.811.21.5

假設經驗回歸方程為j=Ar+0.28,則

A.6=0.24

B.當x=8時，》的預測值為2.2

C.樣本數(shù)據(jù)y的40%分位數(shù)為0.8

D.去掉樣本點(3,1)后，x與y的樣本相關系數(shù)，不變

10.已知/(x)是定義在閉區(qū)間上的偶函數(shù)，且在)，軸右側的圖象是函數(shù)》=5布(,冰+仍

3>0,0<夕<力圖象的一部分(如圖所示)，則

A./(x)的定義域為域為可

B.當x=[時，/(x)取得最大值

O

C.當x<0時，/(X)的單調遞增區(qū)間為勺

3o

D.當x<0時，/(x)有且只有兩個零點-普和-詈

2023年深圳市高三年級第二次調研考試數(shù)學試題第2頁共6頁

11.如圖，在矩形4EFC中，AE=2y[3,EF=4,

B為E尸中點.現(xiàn)分別沿48、8c將

△BC廠翻折，使點E、尸重合，記為點P,

翻折后得到三棱錐P-48C,則

A.三棱錐尸-/BC的體積為逑

3

B.直線以與直線8c所成角的余弦值為且

6

C.直線H4與平面P8C所成角的正弦值為:

D.三棱錐尸一/8C外接球的半徑為叵(第II題圖)

2

12.設拋物線C:j，=Y的焦點為尸，過拋物線。上不同的兩點4,8分別作C的切線,

兩條切線的交點為P,4B的中點為Q,則

A.P0，x軸B.PF1AB

C.Z.PFA=Z.PFBD.\AF\+\BF\=2\PF\

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.已知復數(shù)z滿足z2+z+l=0,貝ljzb=.

14.若X?N(9,22),貝iJP(7<X<13)=(精確到0.01).

參考數(shù)據(jù)：若X?則戶(|>一〃|<。)B0.683,P(|X-//|<2CT)?0.955.

15.已知函數(shù)/(x)的定義域為R,若/(x+l)-2為奇函數(shù)，且/(l-x)=/(3+x),則

/(2023)=.

16.足球是一項很受歡迎的體育運動.如圖，某標準足球場的

底線寬48=72碼，球門寬所=8碼，球門位于底線的正

中位置.在比賽過程中，攻方球員帶球運動時，往往需要

找到一點P，使得NEPE最大,這時候點P就是最佳射門

位置.當攻方球員甲位于邊線上的點。處=,

OA1AB)時，根據(jù)場上形勢判斷，有方、礪兩條進

攻線路可供選擇.若選擇線路而，則甲帶球碼時，

到達最佳射門位置；若選擇線路而，則甲帶球碼

時，到達最佳射門位置.

2023年深圳市高三年級第二次調研考試數(shù)學試題第3頁共6頁

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)

已知叫b,c分別為△/8C三個內角4,8,C的對邊,且sin(4-8)=2sinC.

(1)證明:，=〃+2";

(2)若/=T，a=3,~BC=3BM,求/A/的長度.

18.(12分)

飛盤運動是一項入門簡單，又具有極強的趣味性和社交性的體育運動，目前已經成為

了年輕人運動的新潮流.某俱樂部為了解年輕人愛好飛盤運動是否與性別有關，對該地區(qū)

的年輕人進行了簡單隨機抽樣，得到如下列聯(lián)表：

飛盤運動

性別合計

不愛好愛好

男61622

女42428

合計104050

(1)在上述愛好飛盤運動的年輕人中按照性別采用分層抽樣的方法抽取10人，再從

這10人中隨機選取3人訪談，記參與訪談的男性人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望：

(2)依據(jù)小概率值a=0.01的獨立性檢驗，能否認為愛好飛盤運動與性別有關聯(lián)？如

果把上表中所有數(shù)據(jù)都擴大到原來的10倍，在相同的檢驗標準下，再用獨立性檢驗推斷

愛好飛盤運動與性別之間的關聯(lián)性，結論還一樣嗎？請解釋其中的原因.

n(ad-be)2

附：力2=g+6)(c+d)(a+c)(b+d)'其中〃="6+c+d.

a0.10.010.001

X。2.7066.63510.828

2023年深圳市高三年級第二次調研考試數(shù)學試題第4頁共6頁

19.(12分)

在三棱柱Z8C-44G中，AB=BC=2,ZABC=y,4cl上.

(1)證明：44=4。；

(2)若4/=2，5C,=V14,求平面4c4與平面5CG4夾角的余弦值.

(第19題圖)

20.(12分)

已知數(shù)列｛%｝滿足q=3,勺%“=9x2*1neN-,

(1)求數(shù)列SJ的通項公式：

(2)證明：數(shù)列｛?！埃械娜我馊椌荒軜嫵傻炔顢?shù)列.

21.（12分）

已知雙曲線C:V一/=[,點〃為雙曲線C右支上一點，48為雙曲線C的左、右

頂點，直線/〃與V軸交于點O,點。在x軸正半軸上，點E在夕軸上.

(1)若點”(2,行)，0(2,0),過點。作的垂線/交該雙曲線。于S1兩點，

求△QST的面積.

(2)若點“不與8重合，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.

①歷=詼；②BM工EQ；③|O0|=2.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

22.(12分)

己知函數(shù)f(x)=e"u'1-x.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調性：

(2)當m>0時，函數(shù)g(x)=/(x)-12葉1+x恰有兩個零點.

m

(i)求用的取值范圍；

1,

(ii)證明：g(x)>mm-mm.

2023年深圳市高三年級第二次調研考試

數(shù)學試題參考答案及評分標準

2023.4

本試卷22小題，滿分150分。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的。

題號12345678

答案DACBDDCA

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分。

題號9101112

答案ABDBCDBDAC

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.114.0.8215.216.72-16后，720-16石

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)

解：(1)Vsin(A-B)=2sinC=2sin[7i-(A+B)]=sin(A+B),.................................................1分

...sinAcosB-cosAsinB=2(sinAcosB+cosAsinB),

/.sinAcosB+3cosAsinB=0,.............................................................................................................3分

由正弦定理和余弦定理得axi十02-*+3。*=0,................................................4分

2ac2hc

化簡得/=/+2。2..................................................................................................................................5分

(2)(法1)在△A3C中，由余弦定理得/+02+從=9.............................................................6分

又b2+2c2=a2=9,.......................................................................................................................7分

b=c=yfi>............................................................................................................................................8分

由BC=3BM，得BM=三,

在△ABM中，由余弦定理得AM?=C2+（；?）2-2cxgaxcosB,

AM=1..................................................................................................................................................10分

(法2)在△ABC中，由余弦定理得62+，+左=9........................................................................6分

Xb2+2c2=i72=9,........................................................................................................................7分

2023年深圳市高三年級第二次調研考試數(shù)學試題參考答案及評分標準第1頁共9頁

:?b=c=上8分

18.（12分）

解：（1）樣本中愛好飛盤運動的年輕人中男性16人，女性24人，比例為4：6,

按照性別采用分層抽樣的方法抽取10人，則抽取男性4人，女性6人...................1分

隨機變量X的取值為：0,1,2,3.

C31

P（X=0）=W=z，................................................................2分

Co6

P（X=1）=等總................................................................3分

C10乙

C：C：h3

P(X=2)=.............................................................4分

品10

C31

P（X=3）=T=—，................................................................5分

心30

隨機變量X的分布列為

X0123

]_J_31

P

62To30

隨機變量X的數(shù)學期望E（X）=0xt+lx；+2x—+3xA=《.........................6分

（2）零假設為4°：愛好飛盤運動與性別無關聯(lián).......................................7分

2

根據(jù)列聯(lián)表重的數(shù)據(jù)，經計算得到Z=5。速521x16J]299<6.635=5........9分

10x40x22x28001

根據(jù)小概率值。=0.01的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷”。不成立，因此可以認為”。成立，即認

為愛好飛盤運動與性別無關聯(lián).......................................................10分

列聯(lián)表中所有數(shù)據(jù)都擴大到原來的10倍后，/=500x（60￡40二40/60『己】299>$535=n,

100x400x220x280

根據(jù)小概率值a=0.01的獨立性檢驗，推斷”。成立，即認為愛好飛盤運動與性別有關聯(lián).

所以，結論不一樣，原因是每個數(shù)據(jù)都擴大為原來的10倍，相當于樣本量變大為原來的10倍，導

致推斷結論發(fā)生了變化.............................................................12分

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19.（12分）

證明：（1）設AC的中點為O,連接。A，OB,

因為=所以AC_LOB.......................................................1分

又因為AG〃AC,且AG_LA3,所以....................................2分

因為A3,OBu平面。例，且OB=B,

所以ACJ?平面。網................................................................3分

因為。u平面。網，

所以......................................................................4分

又因為。是AC的中點，

所以AA=4C......................................................................5分

解：（2）（法1）在△45C中，由余弦定理求得AC=26,則AG=AC=20.

因為所以4笈+人仁二臺。：，解得48=&..............................6分

在心△AOA和田△AOB中，可知40=08=1.

在△。陽中，*+。爐=4"，因此A"O8......................................7分

由（1）知，A.O1AC,且AC,O8u平面ABC,且A。0B=0,

所以A。，平面相C................................................................8分

以OB，OC，0A所在直線分別為'軸，）'軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A（o,o，D，

3（1,0,0）,C（0,A/3,0）,A（0,-&,0）.所以4瓦=鉆=（1,6,0）,AC=（O,百,一1）,BC=（-1,73,0）,

BB]=A4,=(0,V3,l).................................................................9分

lz

設平面ACB1的法向量為機=(x,x，zj,

設平面BCQBi的法向量為〃=（々,%,Z2）,

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n-BC=Q-%2+—0

則〈即〈

n-BB、—06y2+z2=0

令w=G,得〃=（G』,一G）................................................ii分

設平面ACBi與平面BCCtB,夾角為8,則cos。=魯駕=I,

Irn||n|7

所以平面AC4與平面8CC4夾角的余弦值為J..................................12分

（法2）設8G與8c相交于點M.同（法1）可求得45=AC=31G=CG=2,.....7分

因此，A.MLB.C,所以NAMG是平面4C4與平面BCG4的夾角（或其補角）,

9分

因為號，=2百,

在△AMG中，由余弦定理可得，

AM+CM-AC；5（第19題圖）

COSNAMG二11分

24MxeM7

所以平面AC4與平面BCC圈夾角的余弦值為1..................................12分

20.（12分）

212n+,

解：（1）由anan+l=9x2"-,得an+tan+2=9x2,.................................1分

以上兩式相比，得吐=4.....................................................2分

由4x4/2=18,q=3,彳導ci2=6,...............................................3分

所以，數(shù)列｛%-｝是首項為3,公比4為的等比數(shù)列，%T=3X4"T=3X2（2MZ,.......4分

數(shù)列｛%,｝是首項為6,公比為4的等比數(shù)列，%,=6X4"T=3X22"T,.................5分

綜上，數(shù)列｛4｝的通項公式為4“=3X2"T,〃eN*..................................6分

（2）假設數(shù)列｛a,J中存在三項數(shù)列金，ak,ap（其中“<&<p）成等差數(shù)列，

則《“+<=24,............................................................7分

由（I）得3x2”“+3X2'T=6X2"T,B|I2m~'+2P''=2k.............................8分

兩邊同時除以2m~'>得1+2p~m=2k~m+'>（*）

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"/m<k<p,且m，A,pwN*,k-m+\,p-meN*,

：.（*）式左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)

.??（*）等式不成立，假設不成立.

所以，數(shù)列｛4｝中得任意三項均不能構成等差數(shù)列....................................12分

21.（12分）

解：（1）（法1）因為點M（2,G），8（1,0）,

直線BM的斜率kBM=手FG，

所以，垂線/的方程為*=-后），+2...................................................1分

設點S(X1,y),T(X2，y2),

x=—>/3y+2

聯(lián)立(,，得2y2―40y+3=O,...........................................2分

W-y-=1

卜+丫2=2退

則△=(-46)2-4x2x3=24,3，........................................3分

昵=5

即|ST1="1+戶"乂+%）2-句為=2瓜..............................................4分

原點。到直線/的距離為"=1,

所以，△QST的面積為Lx|ST|xd=1x2#xl="...................................5分

22

（法2）因為點M的坐標為M（2,G）,點B的坐標為8（1,0）直線的斜率，

1^=在0=0,所以垂線/的方程為x=-Gy+2..................................1分

2—1

設點S（5，M）,八物為），

x=->/3y+2

聯(lián)立2°，得2f+4x-7=()，............................................2分

x-/=1

%+%?=-2

則4=42+4x2x7=72，7，...............................................3分

X,元=--

即|為-x2|=Q（X]+々）2_4藥工2=3a，...............................................4分

垂線/與y軸的交點為（0,羊），

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所以，△OST的面積為gx|X]|x二f=；x30=#...........................5分

（2）①②作為條件，③作為結論

令點0（0,%）,M（而,%）（與>1）,

由題意得8（1,0）,4-1,0）,

ARM三點共線，

XOD=DE，

2y

二點E的坐標為E(0，Tn).........................................................8分

%)+1

直線BM的斜率即M=—%，

玉)T

.BMLEQ,

,k-U

為

設點Q(%,0),

2%

直線EQ的斜率⑥J-%%+1...............................................10分

微%-4

2/_24

：.\OQ\=2.........................................................................12分

①③作為條件，②作為結論

令點。（（）,％）,〃（與,%）（與>D，

由已知點8的坐標為8（1,0）,4（-1,0）,

ARM三點共線，

又OD=DE，

2y

.??點E的坐標為E（0，Tn）.........................................................8分

X。十I

又|OQ|=2,點。在x軸正半軸上，，。⑵。），

2yo

二.+1,%.............................................................10分

‘‘EQ--2-與+1

2023年深圳市高三年級第二次調研考試數(shù)學試題參考答案及評分標準第6頁共9頁

又心

為

^BM^EQ%

，T)Uo+DX(丁-1

.'.BMLEQ................................................................................................................................................12分

②③作為條件，①作為結論

令點。(0,%)，8(1,0),令(如%)(4>1)，不妨設%>0,

A,r>,〃三點共線,

..............................................................8分

點。在x軸正半軸上且\OQ\=2,點Q(2,0),

BM1EQ,

10分

2(%T)：nL..2-4(玉,一1)245-1)245-1)

%yoM-iM+i

???班=2切，即OO=OE......................................................................................................................12分

22.(12分)

解：(1)設/(x)=e'"T-x,f'(x)=wem-'-l,.............................................................................1分

當"70時，,fU)=/we,,tt-1-l<0,

；./(x)在R上單調遞減；...........................................................2分

當機>0時，設尸(x)=-1,F'(x)=w2e,,lv-1>0,

.../'(x)在R上單調遞增，

.?.當xe(-82心')，f'W<0,f(x)在區(qū)間(_8,匕皿)上單調遞減；

mm

當/(X)在xe(上四里，+8),f'(x)>0,/(X)在區(qū)間(上皿,+8)上單調遞增...........3分

mm

/八/?、/\nu-iInx+1T1zw2xewa-1—1

(2)(i)g(x)=e-----------(m>0),g\x)=/ne,nx1-------=-----------------,

tnxmx

設h(x)=m2xentx~]-1,則〃'(x)=trr(mx+l)ewu-1,

???〃'(x)>0,??.h(x)在區(qū)間(0,+oo)上單調遞增，

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t/?、―,、“《m.i/'z、—IntnIn1八口n丫i,八

由(1)可r知當，然=1時，則/(X)/(---------)=——=丁=0,即e*T；X,.............................4分

mm1

_3_3q_3_3

2

h(m~3+1)=巾2.(加3+]).e"M，”+D-1_1根2.(/5+i).機(〃-5+。_]，

_3_3_3

,?h(m+\)>m2-m-mm5-1=0

又???6(0)=-1,由零點存在性定理可知，

存在火(0,1+1)，使得力a)=o,即如0叫-1=5,(*)

g（x）在區(qū)間（0,司）上單調遞減，在區(qū)間（西,內）上單調遞增............................5分

當利附由⑴可知ga）=e"，*」T產，且吶1，

設例工）=朧1,^（x）=（x+l）ev-1>0,則。（x）在（。,物）上單調遞增,

,?*。⑴=1,*,.IWCy1,又由機1.**Xj—1,

m

l-zn^Clnx,+1)\-nixx0,即g(x)g($)0,與條件矛盾，.......................6分

當0vm<1時，g(l)=e"i——,

m

設G(x)=e*T-LG,(x)=ex-1+4->0,

XX

：.G(X)在區(qū)間(0,+oo)上單調遞增，

AG(x)<G(l)=0,即g⑴<0,

,/ev-1x,??.x一1Inx,即y[x-1InyJx,/.2\[x-2Inx,

mH/\2-\/x—2+12,\fx2—4

貝！Jg(x)mx------------------>mx---------“』“二一上=。，且版"

mm

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