2013屆高考數(shù)學二輪突破知精講精練綜合訓練(四)

eq\x(綜合訓練四)時量：50分鐘滿分：50分解答題：本大題共4小題，第1,2,3小題各12分，第4小題14分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．1.在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若tanA＝3，cosC＝eq\f(\r(5),5).(1)求角B的大??；(2)若c＝4，求△ABC的面積．解析：(1)由cosC＝eq\f(\r(5),5)，所以sinC＝eq\f(2\r(5),5)，所以tanC＝2.因為tanB＝－tan(A＋C)＝－eq\f(tanA＋tanC,1－tanAtanC)＝1，又0<B<π，所以B＝eq\f(π,4).(2)由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)可得，b＝eq\f(c,sinC)·sinB＝eq\r(10)，由sinA＝sin(B＋C)＝sin(eq\f(π,4)＋C)，得sinA＝eq\f(3\r(10),10)，所以△ABC的面積S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝6.2.某班甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進行羽毛球比賽．第一局由甲、乙兩人比賽，而丙輪空，以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進行比賽，而前一局的失敗者輪空．比賽按這種規(guī)則進行到其中一人連勝兩局或打滿6局時停止．設(shè)在每局中甲、乙、丙獲勝的概率均為eq\f(1,2)，且各局勝負相互獨立．求：(1)打滿3局比賽還未停止的概率；(2)比賽停止時已打局數(shù)X的分布列與期望EX.解：令A(yù)k，Bk，Ck分別表示甲、乙、丙在第k局中獲勝．(1)由題設(shè)，所求事件的概率P＝P(A1C2B3)＋P(B1C2A3)＝eq\f(1,23)＋eq\f(1,23)＝eq\f(1,4).(2)X的所有可能取值為2,3,4,5,6，P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝eq\f(1,22)＋eq\f(1,22)＝eq\f(1,2)，P(X＝3)＝P(A1C2C3)＋P(B1C2C3)＝eq\f(1,23)＋eq\f(1,23)＝eq\f(1,4)，P(X＝4)＝P(A1C2B3B4)＋P(B1C2A3A4)＝eq\f(1,24)＋eq\f(1,24)＝eq\f(1,8)，P(X＝5)＝P(A1C2B3A4A5)＋P(B1C2A3B4B5)＝eq\f(1,25)＋eq\f(1,25)＝eq\f(1,16)，P(X＝6)＝P(A1C2B3A4C5)＋P(B1C2A3B4C5)＝eq\f(1,25)＋eq\f(1,25)＝eq\f(1,16).故X的分布列如下表：X23456Peq\f(1,2)eq\f(1,4)eq\f(1,8)eq\f(1,16)eq\f(1,16)從而EX＝2×eq\f(1,2)＋3×eq\f(1,4)＋4×eq\f(1,8)＋5×eq\f(1,16)＋6×eq\f(1,16)＝eq\f(47,16).3.如圖，AC是圓O的直徑，點B在圓O上，∠BAC＝30°，BM⊥AC交AC于點M，EA⊥平面ABC，F(xiàn)C∥EA，AC＝4，EA＝3，F(xiàn)C＝1.(1)證明：EM⊥BF；(2)求平面BEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值．解析：(1)證明：因為EA⊥平面ABC，BM?平面ABC，所以EA⊥BM.又因為BM⊥AC，EA∩AC＝A，所以BM⊥平面ACFE.而EM?平面ACFE，所以BM⊥EM.因為AC是圓O的直徑，所以∠ABC＝90°.又因為∠BAC＝30°，AC＝4，所以AB＝2eq\r(3)，BC＝2.在Rt△ABM中，AM＝3，所以CM＝1，BM＝eq\r(3).如圖，以A為坐標原點，垂直于AC，AC，AE所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．由已知條件得A(0,0,0)，M(0,3,0)，E(0,0,3)，B(eq\r(3)，3,0)，F(xiàn)(0,4,1)，所以eq\o(ME,\s\up6(→))＝(0，－3,3)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，1,1)．eq\o(ME,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝(0，－3,3)·(－eq\r(3)，1,1)＝0，得eq\o(ME,\s\up6(→))⊥eq\o(BF,\s\up6(→))，所以EM⊥BF.(2)由(1)知eq\o(BE,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，－3,3)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，1,1)．設(shè)平面BEF的法向量為n＝(x，y，z)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BE,\s\up6(→))＝0,n·\o(BF,\s\up6(→))))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\r(3)x－3y＋3z＝0,－\r(3)x＋y＋z＝0)).令x＝eq\r(3)，得y＝1，z＝2，所以n＝(eq\r(3)，1,2)．由已知EA⊥平面ABC，所以取平面ABC的法向量為eq\o(AE,\s\up6(→))＝(0,0,3)，設(shè)平面BEF與平面ABC所成的銳二面角為θ，則cosθ＝|cos〈n，eq\o(AE,\s\up6(→))〉|＝|eq\f(\r(3)×0＋1×0＋2×3,3×2\r(2))|＝eq\f(\r(2),2)，所以平面BEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值為eq\f(\r(2),2).4.某興趣小組測量電視塔AE的高度H(單位：m)，如圖所示，垂直放置的標桿BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.(1)該小組已經(jīng)測得一組α、β的值，tanα＝1.24，tanβ＝1.20，請據(jù)此算出H的值；(2)該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，認為適當調(diào)整標桿到電視塔的距離d(單位：m)，使α與β之差較大，可以提高測量精確度．若電視塔的實際高度為125m，試問d為多少時，α－β最大？解析：(1)eq\f(H,AD)＝tanβ?AD＝eq\f(H,tanβ)，同理：AB＝eq\f(H,tanα)，BD＝eq\f(h,tanβ).AD－AB＝DB，故得eq\f(H,tanβ)－eq\f(H,tanα)＝eq\f(h,tanβ)，解得H＝eq\f(htanα,tanα－tanβ)＝eq\f(4×1.24,1.24－1.20)＝124.因此，算出的電視塔的高度H是124m.(2)由題設(shè)知d＝AB，得tanα＝eq\f(H,d)，tanβ＝eq\f(H,AD)＝eq\f(h,DB)＝eq\f(H－h(huán),d)，tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanα·tanβ)＝eq\f(\f(H,d)－\f(H－h(huán),d),1＋\f(H,d)·\f(H－h(huán),d))＝eq\f(hd,d2＋HH－h(huán))＝eq\f(h,d＋\f(HH－h(huán),d)).d＋eq\f(HH－h(huán),d)≥2eq\r(HH－h(huán)