湖南省益陽市香鋪侖中學2022-2023學年高三數學理下學期摸底試題含解析

湖南省益陽市香鋪侖中學2022-2023學年高三數學理下學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合，集合，則（

）A． B． C． D參考答案：C根據題意可得，，，所以，所以．故選C．2.已知，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B3.．函數（其中）的圖象如圖所示，為了得到的圖像，則只要將的圖像

A．向左平移個單位長度

B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度

D．向右平移個單位長度

參考答案：A略4.過坐標原點O作單位圓的兩條互相垂直的半徑，若在該圓上存在一點，使得（），則以下說法正確的是（

）A．點一定在單位圓內

B．點一定在單位圓上C．點一定在單位圓外

D．當且僅當時，點在單位圓上參考答案：B略5.已知集合A={x||x+1|＜1}，B={x|（）x﹣2≥0}，則A∩?RB=（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，﹣1] C．（﹣1，0） D．[﹣1，0）參考答案：C6.已知二面角的平面角為，PA，PB，A，B為垂足，且PA=4，PB=5，設A、B到二面角的棱的距離為別為，當變化時，點的軌跡是下列圖形中的

A

B

C

D參考答案：解析：D

易錯原因：只注意尋找的關系式，而未考慮實際問題中的范圍。7.已知cos（α﹣）+sinα=，則sin（α+）的值是（）A． B．﹣ C．﹣ D．參考答案：B【考點】GQ：兩角和與差的正弦函數．【分析】利用兩角和的正弦公式、誘導公式求得sin（α+）的值．【解答】解：∵cos（α﹣）+sinα=cosα+sinα=sin（α+）=，∴sin（α+）=，則sin（α+）=﹣sin（α+）=﹣，故選：B．8.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中，面積最大的側面的面積為(

)A． B． C． D．3參考答案：B【考點】由三視圖求面積、體積．【專題】計算題；空間位置關系與距離．【分析】由三視圖可知，幾何體的直觀圖如圖所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱錐A﹣BCDE的高為1，四邊形BCDE是邊長為1的正方形，分別計算側面積，即可得出結論．【解答】解：由三視圖可知，幾何體的直觀圖如圖所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱錐A﹣BCDE的高為1，四邊形BCDE是邊長為1的正方形，則S△AED==，S△ABC=S△ADE==，S△ACD==，故選：B．【點評】本題考查三視圖與幾何體的關系，幾何體的側面積的求法，考查計算能力．9.已知某幾何體的三視圖如上圖所示，其中正視圖，側視圖均是由三角形與半圓構成，視圖由圓與內接三角形構成，根據圖中的數據可得此幾何體的體積為(

)

(A)(B)（C）(D)參考答案：D10.一個四面體的頂點在空間直角坐標系O-xyz中的坐標分別是(0,0,0)，(0,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，則此四面體在xOy坐標平面上的正投影圖形的面積為（

）A. B. C. D.1參考答案：B【分析】求出、在坐標平面上的投影點的坐標后可求四面體的正投影的面積.【詳解】、在坐標平面上的投影點的坐標分別為，故四面體的正投影為構成的三角形，因為，故，所以為等腰直角三角形，故，故選：B.【點睛】本題考查空間直角坐標系中的幾何圖形的面積，注意根據利用解直角三角形（有時是解三角形）的方法來求解，本題屬于容易題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，若的夾角為鈍角，則實數的取值范圍為

．參考答案：答案：

12.設分別是雙曲線的左右焦點，點，，則雙曲線的離心率為______．參考答案：考點：雙曲線的簡單性質.13.函數y=ln（x﹣1）+的定義域為．參考答案：（1，2]考點： 函數的定義域及其求法．專題： 函數的性質及應用．分析： 根據對數的性質，二次根式的性質得不等式組，解出即可．解答： 解：∵，∴1＜x≤2．故答案為：（1，2]．點評： 本題考查了對數的性質，二次根式的性質，考查函數的定義域，是一道基礎題．14.已知，則的值為____________．參考答案：略15.（坐標系與參數方程選做題）在極坐標系中，

圓p=4sin的圓心到直線的

距離是______。參考答案：16.平面向量與的夾角為60°，,則等于

參考答案：17.己知拋物線的參數方程為（t為參數）．焦點為F．準線為,直線的參數方程為(m為參數)．若直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點A，是，垂足為M，則△AMF的面積是________．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f（x）=2cosx?cos（x﹣）﹣（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若f（C）=，c=2，且△ABC的面積為2，求△ABC的周長．參考答案：【考點】余弦定理；三角函數中的恒等變換應用；三角函數的周期性及其求法；正弦定理．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；三角函數的求值．【分析】（Ⅰ）根據題意，對f（x）=2cosx?cos（x﹣）﹣化簡可得f（x）=sin（2x+），利用周期計算公式計算可得答案；（Ⅱ）根據題意f（C）=，由（1）可得f（x）=sin（2x+），代入可得sin（2C+）=，解可得C的值，又由△ABC的面積為2，結合正弦定理可得ab=8，①；再結合余弦定理可得a2+b2=20，②；聯(lián)立兩個式子可得a+b=6，又由c的值，計算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根據題意，f（x）=2cosx?cos（x﹣）﹣=2cosx﹣（cosx+sinx）﹣=sin2x+cos2x=sin（2x+），則其周期T==π；（Ⅱ）根據題意，若f（C）=，即sin（2C+）=，又由＜2C++，則2C+=，即C=，又由△ABC的面積為2，即S=absinC=2，變形可得ab=8，①又由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC可得a2+b2﹣ab=12，又由①可得：a2+b2=20，②聯(lián)立①、②可得：a+b=6，又由c=2，故△ABC的周長為6+2．【點評】本題考查三角函數恒等變形的應用，涉及余弦定理、正弦定理的運用，關鍵是正確進行三角函數恒等變形，化簡f（x）=2cosx?cos（x﹣）﹣．19.（13分）設無窮數列滿足關系：

（1）求；

（2）若，求證：數列是等比數列；

（3）若為數列的前n項的和，求.參考答案：解析：（1）由

同理可求……………（4分）

（2）可知代入遞推式中，

是首項為，公比亦為的等比數列………………（9分）（3）由（2）可知，從而

從而的前n項和…………………（13分）20.如圖，在△ABC中，AB=2，cos2B+5cosB﹣=0，且點D在線段BC上．（1）若∠ADC=，求AD的長；（2）若BD=2DC，=4，求△ABD的面積．參考答案：【考點】解三角形．【分析】（1）由，可得3cos2B+5cosB﹣2=0，求出sinB，再利用正弦定理求得AD；（2）（2）由BD=2DC，得，及，利用，得AC由余弦定理AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cosB可得BC、BD=4，再求面積．【解答】解：（1）由，可得3cos2B+5cosB﹣2=0，所以或cosB=﹣2（舍去）

…所以…因為，所以…由正弦定理可得：，所以…（2）由BD=2DC，得，所以…因為，AB=2，所以…由余弦定理AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cosB可得BC=6或（舍去）

…所以：BD=4，所以…21.（本小題滿分12分）（Ⅰ）一動圓與圓相外切，與圓相內切求動圓圓心的軌跡曲線E的方程，并說明它是什么曲線。（Ⅱ）過點作一直線與曲線E交與A,B兩點，若，求此時直線的方程。參考答案：解：（1）設動圓圓心的坐標為，半徑為r又內切和外切的幾何意義

所以所求曲線軌跡為橢圓，方程為：

⑵設直線方程為直線與橢圓交與A

，B聯(lián)立方程組把直線方程代入橢圓方程化簡整理得

①又弦長公式，代入解的所以直線方程為

22.已知橢圓C1：+=1，拋物線C2：y2=4x，過拋物線C2上一點P（異于原點O）作切線l交橢圓C1于A，B兩點．（Ⅰ）求切線l在x軸上的截距的取值范圍；（Ⅱ）求△AOB面積的最大值．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【分析】（I）設P（t2，2t）（t≠0），設切線的方程為：y﹣2t=k（x﹣t2），與拋物線方程聯(lián)立可得：ky2﹣4y﹣4kt2+8t=0，由△=0，解得k=．可得切線l的方程為：x=ty﹣t2，令y=0，可得切線在x軸上的截距．切線方程與橢圓方程聯(lián)立化為：（3t2+4）y2﹣6t3y+3t4﹣12=0，令△＞0，解得t的范圍即可得出．（II）由（I）可得：|AB|==，原點O到切線的距離d=，可得S=|AB|d=，令3t2+4=u，通過換元利用函數的單調性即可得出．【解答】解：（I）設P（t2，2t）（t≠0），設切線的方程為：y﹣2t=k（x﹣t2），與拋物線方程聯(lián)立可得：ky2﹣4y﹣4kt2+8t=0，由△=16﹣16k（﹣kt2+2t）=0，解得k=．∴切線l的方程為：x=ty﹣t2，令y=0，可得切線在x軸上的截距為﹣t2，聯(lián)立，化為：（3t2+4）y2﹣6t3y+3t4﹣12=0，令△=36t6﹣12（3t2+4）（t4﹣4）